2024-2025学年度北师版九上数学-专题1-矩形、正方形中的四个常考模型【课件】

第一章特殊平行四边形专题1矩形、正方形中的四个常考模型数学九年级上册BS版专题解读典例讲练目录CONTENTS数学九年级上册BS版01专题解读◎问题综述

几何变换主要是平移、翻折、旋转三大变换，它们最大的特征都是只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小.四边形作为初中阶段最核心的内容之一，逐渐被用来作为呈现知识和能力的载体.常见模型如下：1.折叠中的“十字架”模型.

如图，在正方形ABCD中，EG⊥FH，则有EG＝FH.

2.旋转中的“手拉手”模型.

如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，可得到△BP'A，则△

BPP'为等腰直角三角形.3.旋转中的“K”模型.如图，在正方形ABCD中，点O为对角线的交点，直角EOF绕点O旋转.若OE，OF分别与射线DA，AB交于点G，H，则△

AGO≌△BHO，△OGH是等腰直角三角形.4.正方形中的半角模型.从正方形的一个顶点出发的两条线所夹的角等于正方形内角的一半，并且与正方形的边（或其延长线）相交.（1）如图1，在正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，则：①EF＝BE＋DF；②△CEF的周长为正方形ABCD边长的2倍；③FA平分∠DFE，EA平分∠BEF；④MN2＝BM2＋DN2.图1（2）如图2，在正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，FA平分∠

DFE，则EF＝DF－BE.

图2数学九年级上册BS版02典例讲练类型一

折叠中的“十字架”模型

如图，ABCD是一张矩形纸片，AB＝3，BC＝9.在边AD上取一点E，在BC上取一点F，将纸片沿EF折叠，点C恰好落在点A处，点D落在点D'处，则线段EF的长度为

⁠.

【点拨】矩形的翻折变换其本质就是“十字架”模型，关键是

根据翻折变换的性质找出图形中隐含的等量关系，灵活运用勾

股定理来解决线段长度问题.

如图，在矩形OABC中，OA＝4，AB＝3，点D在边BC上，且CD＝3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠.若点A的对应点A'恰好落在边OC上，点B为点B'的对应点，则OE的长为

⁠.

类型二

旋转中的“手拉手”模型

一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1,PB＝2,PC＝3.你能求出∠APB的度数吗？图1小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B按逆时针方向旋转90°，得到△BP'

A，连接PP'，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CP'

B，连接PP'，求出∠APB的度数.（1）请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程；图1

图2

【点拨】正方形两邻边相等且垂直，联想到构造“手拉手”全等三角形解决问题.

如图，点G是正方形ABCD对角线DB的延长线上任意一点，以线段BG为边作一个正方形BEFG，线段CE和AG相交于点H.

（1）求证：CE＝AG，CE⊥AG；

（2）若AB＝2，BG＝1，求CE的长.

类型三

旋转中的“K”模型

如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F.

（1）求证：△AOE≌△BOF.

（2）若两个正方形的边长都为a，则正方形A1B1C1O绕点O转动时，两个正方形重叠部分的面积是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出面积.

【点拨】计算正方形中不规则图形的面积时，可利用割补法，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积.

如图，四边形ABCD是正方形，点E是直线AD上的一点，连接

CE，以CE为一边作正方形CEFG（点C，E，F，G按逆时针方向排列），直线BE与直线GD交于点H.

若AE＝2，AB＝4，则点F到GH的距离为

⁠.

类型四

正方形中的半角模型

如图，在正方形ABCD中，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且DF＝BE.

（1）求证：CE＝CF.

（2）若点G在线段AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD

成立吗？为什么？【点拨】解决半角模型问题的方法有两种.方法一：把半角一侧的三角形通过旋转变换或轴对称变换构造新的全等三角形，利用全等三角形的对应边相等、对应角相等来转化边和角，进而可以探究新的边边关系或角角关系；方法二：截长补短.

如图，在正方形ABCD中，已知点E，F分别为BC，CD上一点，点M为EF上一点，点D，M关于直线AF对称.（1）求证：点B，M关于直线AE对称；证明：（1）如图，连接DM，BM.

∵点D，M关于直线AF对称，∴AF垂直平分DM.

∴AD＝AM，FD＝FM.

又∵AF＝AF，∴△DAF≌△MAF（SSS）.∴∠AMF＝∠ADF＝90°.∴∠AME＝90°.又∵