2024-2025学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大小值第2课时函数的最大小值分层演练新人教A版必修第一册VIP

3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第2课时函数的最大（小）值A级基础巩固1.下列函数在区间[1,4]上的最大值为3的是 ()A.y=1x+B.y=3x-2C.y=x2 D.y=1-x答案:A2.函数f(x)=|x+1|在区间[-2,2]上的最小值为 ()A.5 B.2 C.1 D.0答案:D3.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌汽车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为 ()A.90万元 B.60万元C.120万元 D.120.25万元答案:C4.(2024年广东惠州二模)已知x≥52,则f(x)=x2-A.最大值52B.最小值5C.最大值2 D.最小值2解析:因为x≥52,所以x-2>0,故f(x)=x-2+1x-2答案:D5.已知函数f(x)=32(1)推断函数f(x)在区间(12,+∞(2)求函数f(x)在区间[1,5]上的最值.解:(1)设x1,x2是区间(12,+∞)上的随意两个实数,且x2>x1>1f(x1)-f(x2)=32x1-1因为x2>x1>12,所以x2-x1>且(2x1-1)(2x2-1)>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)=32x-1在区间(1(2)由(1)知,函数f(x)在[1,5]上是减函数,因此,函数f(x)=32x-1在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值,即最大值为f(1)=3,最小值为fB级实力提升6.(2024年广州增城区期末)已知f(x)=x2+1,x≥0,2x,A.-3或3 B.3或5C.-3或5 D.3解析:当a≥0时,由f(a)=a2+1=10,得a=3或a=-3(舍去);当a<0时,由f(a)=2a=10,得a=5(舍去).综上所述,a=3,故选D.答案:D7.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围是[1,2].解析:函数y=x2-2x+3=(x-1)2+2的图象开口向上,对称轴为x=1,则函数y=x3-2x+3在区间(-∞,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以当x=1时,y=x2-2x+3取得最小值ymin=2.因为函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最小值2.所以m≥1,又因为y=x2-2x+3=3时,x=0或x=2,所以函数y2=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3时,1≤m≤2.故实数m的取值范围是[1,2].8.定义在R上的函数f(x)对随意两个不等实数a,b,总有f(a)-f(b)a-b>0成立,且f(-3)=m,f(-1)=n,则解析:由f(a)-f(b)a-b>0,且a,b是随意的,得f(x)在R上是增函数,则f(x9.已知函数f(x)=x2-x+a+1.(1)若f(x)≥0对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;(2)求f(x)在区间(-∞,a]上的最小值g(a)的解析式.解:(1)由f(x)≥0对一切实数x恒成立,知x2-x+a+1≥0对x∈R恒成立,所以Δ=1-4(a+1)≤0,解得a≥-34所以实数a的取值范围为[-34,+∞)(2)因为f(x)=x2-x+a+1=(x-12)2+a+34(x≤①当a<12时,g(a)=f(x)min=f(a)=a2+②当a≥12时,g(a)=f(x)min=f(12)=a+所以g(a)=aC级挑战创新10.多选题已知函数f(x)=(1-x)|x-3|在(-∞,a]上取得最小值-1,则实数a可以是()A.1 B.2C.3 D.4解析:f(x)=(1-x)|x-3|=-作函数图象如图所示.所以当x≥3时,令f(x)=-x2+4x-3=-1,得x=2+2,(x=2-2舍去);