高一数学解三角形知识点总结及习题练习

2[课前热身]△ABC中，a＝eq\r(2)，b＝eq\r(3)，B＝60°，那么角A等于()A．135° B．90°C．45° D．30°2．在△ABC中，，那么A等于()A．60°B．45°C．120°D．30°3．在△ABC中，假设A＝120°，AB＝5，BC＝7，那么△ABC的面积是()A.eq\f(3\r(3),4)B.eq\f(15\r(3),2)C.eq\f(15\r(3),4)D.eq\f(15\r(3),8)(2021年高考广东卷)a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，假设a＝1，b＝eq\r(3)，A＋C＝2B，那么sinA＝________.5．在△ABC中，如果A＝60°，c＝eq\r(2)，a＝eq\r(6)，那么△ABC的形状是________．3[考点突破]考点一正弦定理的应用利用正弦定理可解决以下两类三角形：一是两角和一角的对边，求其他边角；二是两边和一边的对角，求其他边角．例1、(1)(2021年高考山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.假设a＝eq\r(2)，b＝2，sinB＋cosB＝eq\r(2)，那么角A的大小为________．(2)满足A＝45°，a＝2，c＝eq\r(6)的△ABC的个数为________．考点二余弦定理的应用利用余弦定理可解两类三角形：一是两边和它们的夹角，求其他边角；二是三边求其他边角．由于这两种情况下的三角形是惟一确定的，所以其解也是惟一的．例2、在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，c＝2，C＝eq\f(π,3).(1)假设△ABC的面积等于eq\r(3)，求a，b的值；(2)假设sinB＝2sinA，求△ABC的面积．考点三三角形形状的判定判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形〞与“等腰三角形或直角三角形〞的区别．例3、(2021年高考辽宁卷)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)假设sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．互动探究1假设本例条件变为：sinC＝2sin(B＋C)cosB，试判断三角形的形状．．(1)两角A、B与一边a，由A＋B＋C＝180°及eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，可求出角C，再求出b，c.(2)两边b，c与其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccosA,求出a，再由正弦定理，求出角B，C.(3)三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.(4)两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，求出C，再由eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，求出c，而通过eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)求B失误防范1．用正弦定理解三角形时，要注意解题的完整性，谨防丢解．2．要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，那么必有一角为60°；假设三内角的正弦值成等差数列，那么三边也成等差数列；三角形的内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，sineq\f(A,2)＝coseq\f(B＋C,2)，sin2A＝－sin2(B＋C)，cos2A＝cos2(B＋C)等．3．对三角形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩〞．五、标准解答(此题总分值12分)(2021年高考大纲全国卷Ⅱ)在△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sinB＝eq\f(5,13)，cos∠ADC＝eq\f(3,5)，求AD的长．【解】由cos∠ADC＝eq\f(3,5)>0知∠B<eq\f(π,2)，由得cosB＝eq\f(12,13)，sin∠ADC＝eq\f(4,5)，4分从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝eq\f(4,5)×eq\f(12,13)－eq\f(3,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(33,65).9分由正弦定理得eq\f(AD,sinB)＝eq\f(BD,sin∠BAD)，所以AD＝eq\f(BD·sinB,sin∠BAD)＝eq\f(33×\f(5,13),\f(33,65))＝25.12分【名师点评】此题主要考查正弦定理、三角恒等变换在解三角形中的应用，同时，对逻辑推理能力及运算求解能力进行了考查．此题从所处位置及解答过程来看，难度在中档以下，只要能分析清各量的关系，此题一般不失分．出错的原因主要是计算问题．名师预测1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，那么cosB＝()A．－eq\f(2\r(2),3) B.eq\f(2\r(2),3)C．－eq\f(\r(6),3) D.eq\f(\r(6),3)2．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且S△ABC＝eq\f(a2＋b2－c2,4)，那么角C＝________.3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足(2b－c)·cosA－acosC＝0.(1)求角A的大小；(2)假设a＝eq\r(3)，S△ABC＝eq\f(3\r(3),4)，试判断△ABC的形状，并说明理由．解：(1)法一：∵(2b－c)cosA－acosC＝0，由正弦定理得，(2sinB－sinC)cosA－sinAcosC＝0，∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，即sinB(2cosA－1)＝0.∵0<B<π，∴sinB≠0，∴cosA＝eq\f(1,2).∵0<A<π，∴A＝eq\f(π,3).法二：∵(2b－c)cosA－acosC＝0，由余弦定理得，(2b－c)·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)－a·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝0，整理得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2).∵0<A<π，∴A＝eq\f(π,3).(2)∵S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(3\r(3),4)，即bcsineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3),2)，∴bc＝3，①∵a2＝b2＋c2－2bccosA，∴b2＋c2＝6，②由①②得b＝c＝eq\r(3)，∴△ABC为等边三角形．课后作业1在△ABC中，角均为锐角，且那么△ABC的形状是〔〕A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形2边长为的三角形的最大角与最小角的和是〔〕A.B.C.D.3在△ABC中，，那么的最大值是_______________.4在△A