《微波有源电路理论分析及设计》课件第3章

第三章微波功率放大器3.1微波晶体管的非线性及其表征方法3.2微波晶体管大信号建模3.3功率放大器的工作状态3.4微波非线性电路的分析方法3.5微波晶体管功率放大器的设计3.6微波放大器线性化技术综述3.1微波晶体管的非线性及其表征方法

3.1.1非线性电路

非线性电路可以分为弱非线性电路和强非线性电路。假若它的非线性特性I/U，Q/U

或Φ/I可用幂级数展开，并且具有满意的精度(从数学上来看其特性是连续的，其导数也是连续的，只需取少数几项就可以满足一般的实际应用)，此外激励信号较弱，弱到不影响直流工作点的程度，这种非线性电路称为弱非线性电路。3.1.2非线性电路所出现的非线性现象

图3-1为一个非线性网络，也就是说，该网络的传递函数是非线性传递函数，若其传递函数满足上述条件，且网络是无记忆的，则网络的输出可以表示为输入信号的幂级数(也可以用输入信号的台劳级数来表示)，即

(3-1)

对于线性网络k2=k3=ki=0，i=4，5，…，对于弱非线性网络，可以近似表示为

(3-2)令ui=Acosω0t，代入上式可得

(3-3)图3-1双端口非线性网络由上述的分析可以看出，当激励信号是一个单频激励时，非线性网络输出信号除了基波(ω0)外，还产生了直流

分量和一系列谐波分量。若激励信号是双频信号，即

ui=A1cosω1t+A2cosω2t

时，代入(3-2)式，为了方便，令A=A1=A2，可得

(3-4)由上述的分析可以看出，当激励信号是双频激励时，非线性网络输出信号中除了基波(ω0)和直流分量外，还产生了一系列组合频率分量，即

(3-5)由于非线性的存在，所以通过非线性电路的信号会出现各种各样的现象，主要有如下几种非线性现象：

(1)谐波的产生。

(2)交调(IM)。

(3)饱和与钝化。

(4)交叉调制(CM)。

(5)AM/AM和AM/PM变换。3.1.3非线性电路的表征方法

1.单频输入时的非线性表征方法

单频输入时其输出电压由下式给出

(3-6)基波的输入输出功率用dBm表示时分别为

(3-7)

(3-8)此特性可以用1dB功率压缩点(P-1)来表征，同样可用1dB增益压缩点(G-1)来表征。用1dB功率压缩点(P-1)或1dB增益压缩点(G-1)来表征的情形可用图3-2来说明。图3-2

1dB功率压缩点和1dB增益压缩点示意图由此可以看出1dB功率压缩点(P-1)是出现非线性失真的临界点，如果要求功率放大器工作在线性区域，则输出功率要远离1dB功率压缩点(P-1)。

从(3-8)式可以看出输出信号的幅度被输入信号的幅度调制，可以用AM-AM来表征，其单位是dB/dB。如果输入一个调幅信号uin=A［1+ε(t)］cos(ω0t)，把它

代入(3-2)式，经过三角运算可得输出信号基波分量为uout(ω0)=Bcos［ω0t+j(Aε(t))］，由此式可以看出基波频率的输出信号的相位被输入信号的幅度调制，相位j(Aε(t))随着Aε(t)而变化，可以采用AM-PM来描述。为了描述相位失真的大小，通常引入“调幅—调相转换系数”，即功率放大器AM-PM转换的功能模型可以近似用图3-3表示。AM-PM失真将使系统的群延时失真，微分相位、微分增益以及交调失真变坏。同时，AM-PM失真的存在将使输出信号中存在调相分量，产生杂波干扰，特别是对于各种数字调相信号，将会产生严重的误码率，因此对于通信系统的CDMA、WCDMA、TDS-CDMA、OFDM等调制信号进行功率放大时，要特别注意它的影响。图3-3

AM-PM失真示意图由(3-6)式可以看出单频输入时由于非线性将会产生一系列谐波频率分量，因此也可以用总的谐波失真来表征非线性特性。总谐波失真THD定义为所有谐波的输出功率的平方根与基波输出功率平方根的比值，表达式如下：

(3-9)

同样也可以用某一次谐波的功率电平来表征。如二次谐波的功率电平为

2.双频输入(也称双音输入)时的非线性表征方法

双频输入时其输出电压由下式给出

从上式可以看出，双频等幅输入时，非线性电路的输出信号除了直流分量和基波频率分量(ω1，ω2)外，还有大量的组合频率。值得注意的是这样几个频率分量，(2ω1－ω2)，(2ω2－ω1)，由于它的阶数为3，我们称为三阶互调分量(IMD3)，它还会出现五阶互调分量(IMD5)(3ω1－2ω2)和(3ω2－2ω1)，七阶互调分量(IMD7)(4ω1－3ω2)和(4ω2－3ω1)等，这些频率均在通带之内，滤波器不能滤除，故将使得信号严重失真，这些互调分量的频谱分布如图3-4所示。图3-4双频信号激励时非线性引起的互调分量频谱分布示意图双频激励下的非线性的指标参数可以分为对带内失真的描述和对带外失真的描述。带内失真的产物是指那些出现在基波频率周围的混频成分，指标参数有：互调失真(IMD)和互调失真比(IMR)。

IMD：互调失真。用双频信号激励非线性网络时，其输出信号除了基波(ω0)和直流分量外，还产生一系列组合频率分量所对应的功率，如图3-4所示。

IMR：互调失真比，定义为

参见图3-4所示。

3.多频激励下(也称多音激励，泛指CDMA信号)的非线性表征方法

在窄带通讯系统中，实际传输的信号通常由一个或多个被信息信号调制的载波所构成。假设一个信号由10个等间隔等幅度的频率组成。用公式表示为

(3-11)假若这里Q=10，ωq=ω0+(q－1)Δω，这里ω0是第一个角频率，Δω是多频的等间隔。理论上，经过一个线性系统后，输出信号的频谱，除了幅度和输入信号有差异以外，其余的参数都应该相同。实际上，由于非线性的存在，产生互调失真，会在频率(产生新频率)、相位、幅度上产生失真，如图3-5所示。图3-5窄带多频音激励下非线性系统的输出频谱从图中可以看出，失真成分组成了两个边带，分别称下边带、上边带。实际上，还有一部分失真落在了基波上，并且和基波相重合(如图3-5所示)，所以看不出来。将落在基波频率范围内的失真信号称为带内失真。落在基波两边的失真信号称为带外失真。两个失真频率的间隔也是Δω，和基波的间隔相同。多音激励下，非线性的表征参数有以下几个：M-IMR，ACPR和NPR。

M-IMR：多音互调失真比，表示基波功率Po/t与在上边带或下边带出现的失真成分Pl/u(ωr)功率的比值，表示如下：

(3-12)

示意图如图3-6所示。图3-6

M-IMR示意图表示上边带和下边带的每一个失真频率都有与其对应的M-IMR。M-IMR越大则表示失真越严重。除此以外，有的文献资料上对M-IMR还有如下的定义：

(3-13)

即定义为每频音基波功率与在上边带或下边带出现的失真成分功率最大值的比值。

ACPR：邻近信道失真功率比，邻近信道失真由临近信道上的失真成分构成，表现为对临近信道的干扰。ACPR越大则对临近信道的干扰越大，失真也越严重。

总邻近信道功率比(ACPRT)是在基波区域的总的输出功率Po和在邻近信道上边带Pua和下边带Pla失真功率的总和的比值。定义如下：

(3-14)如果只考虑上边带或下边带的临近信道，就将使用临近信道功率比定义为，在基波区域所测试的总的输出功率Po与上边带或下边带临近信道功率Pl/ua的比值：

(3-15)

NPR：噪声功率比，是表征同信道失真的直接手段。多音失真所产生的新频率有很大一部分是和基波杂乱地混合在一起，而且有些失真和基波是重合的。噪声功率比的测试需要消除频域测试中的基波成分。定义为在测试窗位置ωT附近测试的输出功率谱密度函数So(ωT)和窗函数内观察到的功率谱密度函数Swd(ωT)的比值：

(3-16)

示意图如图3-7所示。图3-7

NPR示意图

3.2微波晶体管大信号建模

3.2.1大信号模型概述

大信号等效电路拓扑的选取和经验公式的选定对模拟精度有着重大影响。不同的电路模型和经验公式会导致差异很大的结果。3.2.2

GaAsMESFET大信号模型的建立

大信号的模型电路并不复杂，是在小信号模型的基础上求得的。如图3-8所示，给出了大信号输入情况下晶体管的等效电路。在这个电路模型中，包含三个非线性元件：IDS，IDG，IGS。而其余的元件均为线性元件，可由小信号模型通过S参数计算得到。图3-8大信号模型的拓扑电路

1.大信号模型中非线性元件的表述

(1)Curtice平方律模型

(3-17)

在这个模型中需要提取的参数有：β，Ut0，α，λ。(2)Curtice-Ettenberg立方模型

(3-18)

在这个模型中需要提取的参数有：A0，A1，A2，A3，α，β，UDS0(理论上可以计算得出)。

(3)改进的Curtice立方模型

(3-19)

在这个模型中需要提取的参数有：β，UDS0，α，λ，A0，A1，A2，A3。

(4)Raytheon模型

(3-20)

这个表达式中需要提取的参数有：b，k，UT，β，α。

(5)Triquint模型

(3-21)

这个表达式中需要提取的参数有：β，α，r，γ，Q

。

(6)Materka-Kacpreak模型

(3-22)

需要提取的参数有：IDS0，γ，α，UP0。

(7)Angelovetal模型

(3-23)

(8)改进的Materka模型

(3-24)

2.大信号模型中非线性元件的确定

1)非线性电流源IGS的确定

IGS为栅极和源极之间正向导通时的非线性电流，它受栅源极间电压的控制。由于栅源极间电压等于电容CGS两端电压和电阻Ri两端电压之和，而作为线性电阻Ri与1/ωCGS相比，其值小得多，所以非线性电流IGS与可以当做仅受非线性电容CGS两端电压UG的控制，其拟合的函数关系为

(3-25)其中IGS0和αf为待定参数，已知

(3-26)

通过直流状态下对GaAsMESFET栅流的测量可以得到

IG－UGS簇关系曲线。用式(3-26)分别把IG，UGS转换成对应的IGS，UG的值，就可以用计算机模拟出IGS关于UG的函数关系，由该函数关系可描绘出IGS－UG关系曲线。

2)非线性电流源IDG的确定

IDG为栅、漏极间反向击穿的非线性电流。在栅源电压UGS<UP时，沟道夹断。但随着漏源极间电压的加大，由于雪崩击穿效应而产生栅流，使得漏极电流并没有被完全夹断，它是大信号工作时影响器件输出电流和功率的主要非线性因素。其拟合函数关系式为

(3-27)

其中，IB0

，aR为待定参数，UD为电容CDG两端的电压。已知

(3-28)

3)非线性电流源IDS的确定

IDS为非线性漏电流，随UD和UG的变化而变化，其经验公式有很多种。这里以微波SPICE2中的Statz模型的一种改进模型为例，简单介绍一下。Statz的这种改进模型能比较精确地模拟漏极I－U特性，适用于漏源电压从零到雪崩击穿电压的整个变化范围。其函数关系为

(3-29)

这个表达式中需要提取的参数有：b，k，UT，β，α。考虑到漏极电流和栅极电压间的时延效应，这里有

(3-30)这里t0为待定参数。已知

(3-31)

4)非线性电容CGS的确定

CGS主要随电压UG发生变化，当UG<0.8Uf时可以用肖

特基势垒二极管的结耗尽电容来表示，即

(3-32)当UG>0.8Uf时，电荷储存电容占了主要部分，它随着UG增大，以UG=0.8Uf时，式(3-32)的导数值dCGS/dUG为斜率线性增加，可表示为

(3-33)

其中CGS0为UG=0时的栅极源极电容，它可以由小信号模型中的CGS值推算出，Uf栅极与沟道间的肖特基内建电势。

3.3功率放大器的工作状态

3.3.1

A类功率放大器

A类功率放大器属于线性功率放大器，功率放大器的电流导通角θ=180°，也就是说，在正弦信号的一个周期内，放大器中的晶体管处于全导通的工作状态，其典型的电路结构、负载线和波形如图3-9所示。图3-9晶体管A类功率放大器典型的电路结构、负载线和波形图输入正弦信号时，经分析理论上其效率为

一般情况下，实际的效率不超过30%。在没有输入信号时电源供给的全部功率都消耗在晶体管上，这是我们不希望出现的。3.3.2

B类功率放大器

B类功率放大器的典型电路结构、负载线和波形如图3-10所示。在电路中，直流偏置电压UBB等于晶体管的截止电压。当正弦波信号输入时，晶体管在输入波形的正半个周期内导通，而在负半个周期内晶体管是截止的。可以得知，在静态时集电极电流等于零，集电极-发射极间的电压为UCC。由于晶体管在半个周期内导通，因此其电流导通角θ=90°，所以输出是一个半周期信号，如图3-10所示。图3-10晶体管B类功率放大器典型的电路结构、负载线和波形图

B类功率放大器电路可以采用双管B类推挽电路，如图3-11所示，即用两只B类工作的晶体管各放大半个正弦波信号，然后在负载上合成一个完整的正弦波信号。其理论效率为

实际上的效率可达到50%左右。图3-11晶体管B类推挽功率放大器典型的电路结构图3.3.3

AB类功率放大器

AB类功率放大器直流工作点的选择是介于A类和B类这两种工作状态间的折衷选择。这种类型功率放大器的输出信号在部分时刻为零，但它小于正弦信号的半个周期。AB类功率放大器所产生的失真大于A类功率放大器，小于B类功率放大器。相反它的效率比B类功率放大器效率低，而比A类功率放大器的效率高。在推挽功率放大器中，采用AB类工作状态，通过调整直流偏置可以获得性能相当好的功率放大器，因此在高功率放大器设计中常常被广泛采用。图3-11为晶体管B类推挽功率放大器典型的电路，改变直流工作点和匹配电路，同样可以实现AB类推挽功率放大器。3.3.4

C类功率放大器

晶体管C类功率放大器的典型电路结构、负载线和波形图如图3-12所示。图3-12晶体管C类功率放大器典型的电路结构、负载线和波形图晶体管C类功率放大器又称谐振功率放大器，放大器电流的导通角θ<90°，它会产生严重的非线性失真，因此它只适合放大恒定包络的信号，广泛应用在脉冲信号放大电路。经

分析C类功率放大器的效率为3.3.5

D类功率放大器

B类功率放大器和C类功率放大器都是通过减小晶体管的导通时间，即减小导通角θ来提高效率的。但是，导通角的减小是有限度的。这是因为导通角减小时，虽然效率提高了，单基波电流却减小了，从而使得输出功率下降，两者是相互制约的。从以上分析中可以看出，消耗在晶体管上的功率是由于集电极电流iC流过晶体管时，晶体管集电极—发射极间电压uCE不为零所造成的，晶体管的耗损功率为图3-13给出晶体管电流开关型D类推挽功率放大器典型的电路结构和波形图。输入信号的幅度足够大，能够保证晶体管导通时进入饱和导通状态，两个晶体管的激励信号相位相反，因此一个晶体管导通时，另一个晶体管截止，两个晶体管轮流工作。集电极供电电源通过一个高频扼流电感连接到谐振回路的电感中心抽头(A点)，当扼流电感所呈现的感抗大于A点和任意晶体管集电极之间的谐振阻抗时，集电极供电电源可以看成是一个恒流源。这样一来流过晶体管的集电极电流就是一个占空比为0.5的方波，其电流幅度为ICC，是晶体管处于开关工作状态，以提高其效率，理论上效率可达到100%。晶体管的开关时间不可能很快，因此限制了D类功率放大器的工作频率。图3-13晶体管电流开关型D类推挽功率放大器典型的电路结构和波形图3.3.6

E类功率放大器

E类功率放大器的电路中含有一个无源负载网络，图3-14给出了E类功率放大器典型的电路结构和等效电路。图3-14

E类功率放大器典型的电路结构和等效电路3.3.7

F类功率放大器

图3-15给出了具有三次谐波反射的F类功率放大器电路示意图。

串联的谐振电路可以采用四分之一波长传输线来实现，如图3-16所示。图3-15具有三次谐波反射的F类功率放大器电路示意图图3-16传输线型F类功率放大器电路示意图

3.4微波非线性电路的分析方法

非线性电路的分析与设计是人们最感兴趣的，同时也是最受重视的工作。许多学者在这方面做了大量的工作，力求寻找非线性电路新的分析方法，或者完善现存的方法，以使其更趋于合理化、实用化。

根据非线性电路中线性元件和非线性元件的描述方法，对一些较为适用的算法进行分类，如表3-1所示。3.4.1微波非线性电路分析——时域中的状态变量法

1.状态变量方程的建立

用状态变量建立状态变量方程时，先需将电路中的支路约定为两种支路：Y支路和Z支路。Y支路是电导和电容的并联，如图3-17(a)所示，其中

(3-34)

Z支路是电阻和电感的串联，如图3-17(b)所示，其中

(3-35)图3-17

Y支路和Z支路与建立网络线性方程组一样，建立网络状态变量方程时，先给出电路的支路电流矢量［iB］，支路电压矢量［uB］和节点电压矢量［un］(值得注意的是，这里矢量使用列阵来表示)，再根据电路中各支路的关系写出关联矩阵，并把它们写成分块矩阵的形式，则有

［A］=［［AY］［AZ］［AI］［AE］］

(3-36)

式中：［AY］是与Y支路有关的关联矩阵，［AZ］是与Z支路有关的关联矩阵，［AI］是与电路中电流源有关的关联矩阵，［AE］是与电路中电压源有关的关联矩阵。根据克希霍夫电流定律可以得到

(3-37)

根据克希霍夫电压定律可以得到［uB］=［A］T［un］，即

(3-38)由元件定义方程得知

(3-39)

式中［G］，［C］，［R］，［L］是以G，C，R，L为对角线元素的对角线矩阵。将上面三组方程(3-37)～(3-39)综合起来，可得

于是(3-37)式变为

(3-40)

又因故有

(3-41)

同时有

(3-42)最后将(3-40)～(3-42)式联立起来，并写成矩阵形式，得到

(3-43)

可令［x］表示电压矢量和电流矢量，［u］表示其它矢量，则(3-43)式可以化成

(3-44)

这就是利用状态变量所建立的状态变量微分方程。

2.状态变量的解法

状态变量方程是一组一阶微分方程，一般采用迭代法求解。求解该方程的第一步是用差分方程来逼近微分方程，即将连续的时间变量t变换成离散的变量tk(k=0，1，…，n)，并在离散变量各点上列出差分公式。第二步是用迭代法求解差分方程。3.4.2微波非线性电路分析——频域中的伏特拉级数法

1.伏特拉级数

伏特拉指出，若泛函G(x)在连续函数区域内连续，则此泛函可用泛函级数展开式表示为

(3-45)

式中Fn(x)是具有下列形式的正则齐次泛函，下标n表示泛函的阶数。

(3-46)

Wiener首先提出用此泛函级数展开式来分析非线性系统。他发现非线性系统的输出y(t)是输入x(t)的某种泛函，两者之间的关系可用泛函级数表示为

(3-47)

n阶伏特拉核的傅立叶变换式为

(3-48)

H(f1，…，fn)称为n阶伏特拉核谱，又称为n阶非线性转移函数，hn是Hn的傅立叶逆变换

(3-49)考虑到输入-输出关系式(3-47)，则有

(3-50a)

(3-50b)

这里X(fi)是x(t)的谱函数，即是x(t)的傅立叶变换。在(3-50)式中引用了卷积定理。将(3-50)式两边进行傅立叶变换，可以得到n次输出谱函数为

(3-51)

其中

(3-52)

是Delta谱函数。于是输入-输出谱间关系为

(3-53)例如，输入函数为

其谱函数为则二次非线性响应Y2(f)为在中共有16项δ(f1－fa)δ(f2－fb)形式的积，于是Y2(f)有16项输入响应，其中响应

是输出频率fa+fb上的一个响应。而H2(fa，fb)δ(f－fa－fb)是另一个响应，两者的傅立叶逆变换合成为一个正弦波。由此可见，在计算多调制信号输入的输出谱时，将会遇到Hn(f1，…，fn)中宗数次序的交换排列问题，如果Hn是对称的，交换宗数排列后Hn是不变的。通常Hn不一定是对称的，只有hn是对称的，Hn才是对称的。但是由(3-50)式可知，hn和Hn的宗数排列不同并不影响yn(t)，因此宗数排列不同的所有核都是等效的。我们对不同宗数排列的n!核求和再除以n!，这样平均的转移函数可保证其对称性，即

(3-54)

式中f=［f1，f2，…，fn］T，τ=［τ1，τ2，…，τn］T是矢量，而pi(τ)和pi(f)是τ和f中分量不同排列的矢量，pi(τ)·f是两矢量的点乘。

Hn的另一个性质是

(3-55)

引入多尺度辅助时间函数可使(3-50)式一般化，即

(3-56)应用n重傅立叶变换

(3-57)

其逆变换为

(3-58)比较式(3-56)和式(3-58)可得

(3-59)

将上式代入式(3-51)中，得

(3-60)

上式的约束条件是f=f1+…+fn。方程(3-50)是任意输入-输出的关系，若输入函数x(t)为特定函数

(3-61)

其谱为

(3-62)则由式(3-47)得

(3-63)上式中如果某一在Hn的宗数中出现ki次，则有

个宗量排列不同的Hn等效项，于是上式可简化为

(3-64)

2.伏特拉(Volterra)级数的性质与特点

伏特拉级数具有以下一些性质；

(1)Volterra级数具有收敛性。

(2)对称性。

(3)齐次性。

(4)因果性。由Volterra级数表达式，可以推导出它有以下特点；

(1)由式(3-59)，当系统的零阶伏特拉核和二阶以上的伏特拉核都恒为零时，Yn(f)=H(f)X(f)，此时系统只剩余一阶伏特拉核，可看出系统降为了线性动态系统。由此可以看出，线性动态系统仅是非线性动态系统的一个子类。

(2)当Volterra核取如下特殊形式：hn(τ1，…，τn)=anδ

(τ1)δ(τ2)…δ(τn)时，代入式(3-46)，响应为

可看出此时伏特拉级数退化为一个幂级数。因此，Volterra级数是幂级数的一种推广形式，并且幂级数是它的一个特例。同

时也证明了非线性即时系统仅是非线性动态系统的一个子类。

(3)在很容易满足的约束条件下，一大类非线性系统都有它固定的Volterra核，Volterra核完全确定地表征了非线性系统。

(4)采用Volterra级数描述非线性动态系统的输出y(t)时，可以看成是无穷多个“子”非线性动态系统输出的合成，如图3-18所示。图3-18非线性动态系统输出合成

3.非线性转移函数法

在伏特拉级数分析法中，较常用的有非线性转移函数法和非线性电流法两种分析方法。这里我们先介绍以下非线性转移函数法。根据伏特拉级数分析的特点(4)，对于一个具有输入x(t)及输出y(t)的非线性电路，可以建立如图3-19所示的基于非线性传输函数的电路模型。图3-19非线性转移函数电路模型我们将输出y(t)分为N个子系统输出的组合(实际上应该是无穷个组合，但N次以上的组合对输出的影响很小，可以忽略，故我们在模型中不再考虑)，每一个子系统有一个作为公共输入的电路激励x(t)，电路的总响应由各个子系统输出的和得到，即

(3-65)

图3-19中Hn(f1，f2，…，fn)为电路的第n阶非线性转移函数，表示了第n个子系统的特性，它与输入激励无关。因此，只要确定出电路的各阶非线性转移函数就可以完整地表示出该电路的本质特征。求解Hn(f1，f2…fn)的过程如下：同样设激励为最简单的n阶激励

(3-66)

即s(t)是n个幅度为1的正频率分量之和。这里我们仅仅是要用s(t)来确定转移函数而已，它不是时间的实函数。由式(3-64)，f1+f2+…+fn的第n阶响应分量具有下列形式

(3-67)

将yn(t)代入电路方程。由于只有第n阶项才对第n阶响应有影

响，所以我们只需保留第n阶项而略去其它各项，这样就能确定第n阶非线性转移函数Hn(f1，f2…fn)。当全部N个转移函数确

定后，可用式(3-63)求出总响应中最为重要的频率分量电平。

4.非线性电流法——简单非线性电路的VSM求解

在非线性电路系统中，非线性元件有非线性电导、非线性电感、非线性电容以及非线性跨导等，若将这些非线性元件用幂级数表示，则有

以图3-20为例说明非线性电流法用于非线性电路分析求解的过程。图3-20简单非线性电路图3-20示出一个简单非线性电路，它是由一个线性电容和一个非线性电导并联而成，在激励电流i(t)的作用下，电路微分方程为

(3-72)另一方面，在伏特拉级数的表达式中，令输入信号x(t)=Ai(t)，其输入信号的谱为X(fi)=AI(fi)，则上式变为

令

即考虑到i(t)和u(t)满足方程(3-72)式，故可以推广到x(t)和y(t)满足的微分方程，即

(3-73)

式中A是个与u、i、t无关的假变量，利用此变量可以求得u(t)的各分量un(t)间的递推关系。例如，为求u1(t)可将(3-73)式对A求导一次，可得令上式中的A=0，则有

(3-74)

已知i(t)，解线性微分方程(3-74)式可得u1(t)。

为求u2(t)可将(3-73)式对A求导二次，再令A=0，得到

(3-75)为求u3(t)可将(3-73)式对A求导三次，再令A=0，得到

(3-76)

如此继续下去，可以得到更高次非线性响应un(t)与其低次响应间的关系。比较(3-74)式，(3-75)式和(3-76)式，如果我们令

则此三个微分方程具有相同形式，都是电流激励的一阶微分方程，具有相同形式的解。电流i2(t)，i3(t)等称为非线性电流，用它们作为激励电流，将非线性电路变为线性电路求解，这就是非线性电流法具体求解整个过程。此方法求解的步骤如下：第一步，从非线性电路去掉非线性部分，在剩下的线性电路中用电流i(t)激励求得其解u1(t)，即是一阶响应。

第二步，由求得的一阶响应u1(t)，计算出二次非线性电流i2(t)=G2u21(t)，解线性微分方程L［u2(t)］+i2(t)=0，即可求出u2(t)。这里L是线性电路的算子。

第三步，由求得的u1(t)和u2(t)计算出三次非线性电流

i3(t)=2G2u1(t)u2(t)+G3u31(t)，解线性微分方程L［u3(t)］+i3(t)=0,即可求出u3(t)。第四步，继续递推下去，由下式计算出式中符号表示对离散集合{pi}求和，而且

以及pi的范围是从0到m，例如m=4，则有

再由L［um(t)］+im(t)=0，即可求出um(t)。第五步，最后得到

对于弱非线性元件，其幂级数型非线性的最高次幂通常取n=3，因而取m=3截留项来表示u(t)，在一般条件下可以满足

要求。在上述的非线性电流法中，将输入和输出用其瞬时响应表示，求解线性电路的微分方程必须在时域上进行，显然，这是很不方便的。由于伏特拉级数解是非线性电路方程的稳态解，用它可以在频域上计算，这就要求把瞬时响应un(t)变换为非线性转移函数Hn。对于多调输入其输出响应可由(3-64)式求得

(3-77)将代入(3-72)式，可得

令两边相同频率项的系数相等，则有如下表示。

(1)令频率为fm的项系数相等，即1=(G1+j2πfmC)H1(fm)

(2)令频率为fm1+fm2的项系数相等，即

(3)令频率为fm1+fm2+fm3的项系数相等，即其中，I2，I3为非线性电流谱。则它的前三阶伏特拉频域核分别为

5.非线性转移函数法——非线性网络的VSM解法

现在来讨论非线性网络的VSM解法，分析时将非线性转移函数与非线性响应结合起来，导出具有幂级数型非线性元件网络的一般解法。下面通过具体的例子来说明这种方法。图3-21给出了一个非线性网络，其中电导g(ub)和电容C(ub)都是非线性元件，其特性可用幂级数来表示，其余均为线性元件。ya(f)、yb(f)、yc(f)为节点电纳，yG(f)为源电纳，yL(f)为

负载电纳。节点电压ua(t)、ub(t)、uc(t)的傅立叶变换为

Ua(f)、Ub(f)、Uc(f)，通过非线性电导和非线性电容的电流

ib(t)可用幂级数来表示为图3-21非线性网络在频域上列出图3-21中各节点的电流方程，节点a上的电流方程为

节点b上的电流方程为

节点c上的电流方程为将图3-21电路中的非线性元件去掉，变成线性电路，该电路的矩阵方程为

(3-78)可以写成

同时ua(t)对iG(t)的n次转移函数Han(f1，…，fn)由下式定义

同样，ub(t)对iG(t)以及uc(t)对iG(t)也具有相同形式的伏特拉级数展开式，由此可定义出Hbn(f1，…，fn)，Hcn(f1，…，fn)。解图3-21非线性电路的第一步是求一次转移函数，此时线性电路的矩阵方程(3-78)成立。设

IG=F［iG(t)］=δ(f－f1)，则代入线性矩阵方程(3-78)式，可得

或

由此可得Ha1(f1)、Hb1(f1)和Hc1(f1)。第二步是求二次转移函数Ha2(f1，f2)、Hb2(f1，f2)和Hc2(f1，f2)。这时线性矩阵方程(3-78)是对f=f1+f2成立，并且电流矩阵只有I2不为零。先由非线性特性计算出二次非线性电流I2为再写出二次线性电路矩阵方程

或

由此可求出二次转移函数Ha2(f1，f2)、Hb2(f1，f2)和Hc2(f1，f2)。第三步是求三次转移函数Ha3(f1，f2，f3)、Hb3(f1，f2，f3)和Hc3(f1，f2，f3)。这时线性矩阵方程(3-78)是对f=f1+f2+f3成立，并且电流矩阵只有I3不为零。先由非线性特性计算出三次非线性电流I3为再写出三次线性电路矩阵方程

或

由此可求出三次转移函数Ha3(f1，f2，f3)、Hb3(f1，f2，f3)和Hc3(f1，f2，f3)。第四步是重复上面的方法，求出所需的Hn。

第五步是由各次非线性转移函数写出各节点电压响应

应用伏特拉级数法可以分析功率放大器、混频器、变频器等非线性电路，也可以用来计算它们的噪声和交调等性能。3.4.3微波非线性电路的稳态分析——谐波平衡法

含有非线性器件的微波网络，当其工作于连续波的情况下时，除了要知道起始工作条件外，更重要的是知道其稳定的工作状态。当非线性微波网络中的非线性器件特性和网络拓扑已知时，分析其稳态特性以谐波平衡法为最有效。图3-22给出了微波非线性网络的框图，其ZG和ZL为源阻抗和负载阻抗。图3-22非线性微波网络框图应用谐波平衡法分析时，通常将网络分成两部分：一部分是含有固定激励源的线性子网络；另一部分是含有非线性器件的非线性子网络(其中也可以包含有少数的线性元件)；如图3-23所示。图3-23线性子网络与非线性子网络

1.谐波平衡方程的建立

图3-23中线性子网络的端口电流［Il］与非线性子网络端口电流［Id］应满足克希霍夫定理，即

(3-79)

式中：对于线性子网络中的电流，可用线性子网络的导纳矩阵和端口电压来表示

(3-80)式中：［Il1］和［Ul1］为

式中各元素的下标中的l表示线性，n表示第n端口，k表示第k次谐波。

(3-80)式导纳矩阵中各元素［Ymn］均为对角线矩阵，即式中ωp为基波激励频率。其激励电压向量［Ul,n+1］和

［Ul,n+2］为

(3-81)其中Un+1,0是第n+1端口的直流偏置电压，Un+1,1是第n+1

端口的基波激励电压，Un+2,0是第n+2端口的直流偏置电压。

(3-81)式意味着第n+1端口基波激励时，该端口有一个直流偏置电压和一个基波激励电压，其余分量为零。若不是正弦波激励，其余分量要看有几次谐波而定。第n+2端口只有一个直流偏置电压，其余均为零。这正对应着晶体管功率放大器的实际情况。第n+1端口是栅极，在栅极上应加直流偏置和激励电压，第n+2端口是漏极，在漏极上应加漏极偏置电压，不存在激励电压。将(3-81)写成分块矩阵的形式就可以得到1～n端口电流

向量的表达式

(3-82)令则(3-82)式可以写成如下形式

也可以简化为

(3-83)若线性子网络采用阻抗矩阵来分析，则谐波平衡方程可以表示为

(3-84)

式中，［Zn×n］是线性子网络1～n端口的线性子网络的阻抗矩

阵，［E］代表与前n个端口并联的一组电压源，即一组等效的代文宁电压。在时域上非线性子网络的特征方程可以表示为

(3-85)

式中，F是已知的非线性解析函数，算子L的定义为

(3-85)式是一个一般表达式，它隐含着i和u。对于某些特殊情况，可以化成

(3-86)

或

(3-87)式中，F是已知的非线性解析函数，内含微分或积分算子。

当电路稳定工作时，电路维持一个恒定周期的稳态解，其基

波的周期为T0，基波的频率为f0，故稳态解可以用傅立叶级数表示为

2.谐波平衡方程的解法——分裂法

1)修正电压法

此方法的计算步骤如下：

(1)开始时，给定非线性子网络端口电压u(t)的初值ud(0)

(t),此值在激励源的基波频率ω0上，并设为正弦波，即

还可以加入直流分量和谐波分量。初值的估计是很重要的，通常可以从直流状态或小信号状态来估算。

(2)根据非线性子网络的特性i(t)=F{L-mu(t)，…Lmu(t)}，由ud(0)

(t)计算id(0)(t)，这是在时域上进行的。若i(t)是含有u(t)的显式，可以直接计算出id(0)(t)。若i(t)是含有u(t)的隐式，则可以数值计算方法计算出id(0)(t)。id(0)(t)的解将是离散时间上的数据，可用离散傅立叶变换(DFT)或快速傅立叶变换(FFT)得到

id(0)(t)的频域表达式，其表达式为

式中M是截留的谐波数。

(3)由id(0)(t)离散时间上的数据来求解其各次谐波的复振幅时，采用周期取样技术可以大大节省计算时间。对于时域周期函数的抽样要满足Nyquist抽样定理，即“对一个周期波形抽样，其样本间隙的倒数要大于其最高次谐波频率fm的2倍，才能再现原来的波形，否则就要产生混叠效应”。例如，某一波形含有一些频率为f0整数倍的离散谐波分量，设其最高次谐波频率为fm，则样本间隙TS应取为而一个周期的样本数为N，于是T0=NTS。图3-24给出离散化的情况。当fm为m次谐波频率时，则N≥2m，才能满足Nyquist抽样条件。因此，在用DFT或FFT来求解谐波分量时，只要谐波截取得不高，抽样点数就不会太多，计算量也就不会太大。图3-24周期波形的离散化

(4)由id(0)(t)=il(0)(t)可得到Idk(0)=Ilk0

(k=1，2，…，M)，再由谐波平衡公式计算出

最后可以得到

(5)建立一个误差函数来比较线性子网络计算的电压Ulk(n)

和非线性子网络计算的电压Udk(n)，即

给定误差因子ε，当上式得到满足时，迭代停止；当不满足时，进行下一步骤。

(6)经过n次迭代后，仍不低于给定的误差因子ε，可以采用下式计算

计算Udk(n+1)进行加速迭代，其中pk是收敛性参数，可取实数，且有0<pk<1，它是保证解收敛的参数。再转第(2)步骤。

2)修正电流法

修正电流法是预先给定非线性子网络端口电流id(0)(t)作为初值，而不是预先给定端口电压ud(0)(t)。它与修正电压法是对偶的，这里就不再介绍了。

3)修正电压法和修正电流法的收敛性

(1)修正电压法的收敛性。设非线性子网络的端口电压ud(t)的真值为

则Udk(k)=UdkT+εk(k)，其中εk(k)是k次谐波第k次迭代的误差项。同样Udk(k+1)=UdkT+εk(k+1)，其中εk(k+1)是k次谐波第k+1次迭代

的误差项。由电路理论得知，udT(t)必须满足一定电路的约束，由图

3-25可知，此约束条件为

式中，USk是激励源等效电压k次谐波振幅；Zlk是线性子网络

k次谐波输出阻抗；Zdk是非线性子网络k次谐波所呈现的阻抗。

显然，每次迭代时Zdk的值是变化的，不管Zdk怎样变化，在迭代接近真值时，Zdk的变化是很小的。这个问题可以从两方面来说明：①在迭代接近真值时不应发散；②在迭代远离真值时，适当选择收敛性参数pk，使得收敛区域扩大，就可以覆

盖Zdk的任意变化。图3-25

k次谐波的等效电路现在设

而由此可得

(2)修正电流法的收敛性。本方法的误差放大因子是

其余与修正电压法相类似，这里就不再论述了。

3.求解谐波平衡方程时谐波数目的选取

在非线性电路分析中，产生的波形含有无穷多个谐波，因此，对一个非线性电路工作状态的完整描述，就需要无限维电流和电压向量。各频率分量的幅度随频率明显减小。因此总可以略去高于某一最大次数M的所有谐波。谐波平衡分析中，M的选择很关键，M选得太小，会使精度下降，收敛困难；M选得太大时，求解过程变慢，从而使计算时间过长，增加对计算机的存储量的要求。3.4.4全频域改进的谐波平衡法

1.频域转换矩阵的引入

1)时域信号的频域表示

时域信号的频域表示就是时域准周期信号的频域表征方法。这种表征方法无论是对单边带频谱还是双边带频谱都适用。双边带频谱包括正、负频率，它们一一对应，但是幅度和相位不需要相关，如图3-26(a)所示。单边带频谱不包括正负频率对，也不限制为非负频率，如图3-26(b)所示。图3-26双边带和单边带频谱图频谱表征类型的选择取决于时域信号的频谱是实数域还是复数域。这里我们讨论的主要是实数域的准周期信号。一个实数域准周期信号x(t)，包含若干个正弦信号，可以描述为

(3-88)其中每个余弦分量都包括角频率ωn=2πfn，幅度|Xn|和相位jn。这个信号可以扩展为

(3-89)其中是Xn(t)的第n次正频率分量的频域矢量。是Xn(t)的第n次负频率分量的频域矢量。对x(t)作Fourier变换

(3-90)由上式可以看出Xn=Xnr+jXni，是第n次正频率分量ωn的频谱。X-n=X-nr+jX-ni，是第n次负频率分量ω－n的频谱。同时，

x(t)的负频率频谱分量与正频率频谱分量是一一对应，呈共轭的关系。

这样对于准周期信号x(t)的频谱来说，它具有2N+1个频率分量，如式(3-91)所示。

(3-91)准周期信号x(t)

的频谱矢量为

(3-92)

式中，Xn为复数矢量，包含了幅度和相位信息。由于x(t)的负频率频谱分量与正频率频谱分量呈共轭的关系，因此，在下面构建频域转换矩阵中，只需要考虑正频率分量。于是，x(t)的时域表达式为

(3-93)

其中ωn为正频率，x(t)的频谱为

(3-94)

2)单频转换矩阵的建立

在微波非线性电路中，电路的非线性由大信号模型中的几个非线性元件表征，这些元件包括非线性电容和非线性电流源等，它们都是以电压为自变量的非线性函数。直接求这些非线性函数的频域表达式是非常困难的。所以先将非线性函数展开成基本的初等函数，而任一基本的初等函数都可以展开成自变量的算术运算函数(加、减、乘、除)。那么非线性函数

(3-95)

就可由自变量x1(t)，x2(t)，…，xn(t)的算术运算函数来表示。利用下面的时频域矩阵转换，只要求出自变量算术运算函数的频谱，就可以求出非线性函数的频谱。在时域中加减运算函数表达式为

(3-96)

对于单频激励情况，x(t)、y(t)、z(t)均为具有相同周期T的周期函数，根据傅立叶级数的关系，显然x(t)、y(t)、z(t)的频谱间有着相同的加减关系

(3-97)

在时域中乘法运算函数表达式为

(3-98)由于电压的时域形式可以表示为其中ωk为k次谐波，Uk为k次谐波的频谱分量。设x(t)、y(t)、z(t)为时域电压，那么在只考虑三次谐波的情况下，有如下关系

则z(t)的频谱分量

(3-100)写成矩阵的形式为

(3-101)因为Z－i=Zi*，所以不考虑负频率的频谱，写成矩阵的形式为

(3-102)那么可以得到

(3-103)

其中TX为关于频谱X的单频转换矩阵。由式(3-101)可知，Z(ω)、X(ω)、Y(ω)为复数域频谱，同时由于X－i=X*i，Y－i=Y*i，那么需要将其整理为实数域频谱运算。由式(3-102)得

Z=AY*+BY

(3-104)

其中将式(3-104)转换成实部虚部分开的形式

(3-105)

所以时域中的乘法运算函数的频谱为

Z=TXY

(3-106)在时域中除商运算函数表达式为

(3-107)

由乘法运算函数可知

(3-108)

(3-109)

3)双频转换矩阵的建立

单一正弦信号的频谱只含有基波，当单一正弦信号经过非线性电路后产生的电压频谱有基波和相应的谐波。但是多频激励的情况下，电压的频谱分量不再是谐波的关系，其中不仅包括基波分量和相应的谐波分量，还包括信号的互调分量。这里只考虑双频激励的情况，频谱分量的最大阶数为三阶。假设双频激励的频率为p1，p2，时域表达式为

(3-110)

那么它的频谱如图3-27所示,系统输出信号的频谱如图3-28所示。图3-27双频激励信号的频谱图3-28双频激励系统输出信号的频谱图中所有的频率分量为

双频转换矩阵Tx中将不仅包括基波分量和谐波分量，还包括互调频谱分量，Tx的推导过程和单频激励的推导过程相同。

(3-111)

2.非线性函数表达式的频域计算

转换矩阵的建立避免了时域和频域的转换。求出了基本的算术运算函数(加、减、乘、除)的频谱。同时，更复杂的表达式或者算数运算可以分解成基本的算术运算函数。例如时域表达式为

w(t)=y(t)u(t)(3-112)

w(t)=x(t)z(t)u(t)(3-113)

相应的频域运算为

w=Tyu

(3-114)

w=TxTzu(3-115)由式(3-112)~式(3-115)可知乘法运算

y(t)=x(t)z(t)

(3-116)

相应的转换矩阵运算为

Ty=TxTz

(3-117)

如果时域表达式为

y(t)=xr(t)up(t)vq(t)

(3-118)

那么它的频谱为

y=TxrTupTqv-1v

(3-119)

其中变量r，p，q可以为正也可以为负，也不一定是整数。如果一个非线性系统的输出y(t)是输入信号x(t)的函数

(3-120)

而且这个系统的非线性可以表示为一个幂级数的展开式

(3-121)其中ak是幂级数k次项的系数，x(t)≠0。那么由式(3-116)、

式(3-117)可知

(3-122)

(3-123)

(3-124)由第二章的建模理论可以看到在微波非线性大信号模型中，如图3-29所示，非线性元件主要是三个非线性电流源，它们的时域表达式为

(3-125)

(