第7章 三角函数 章末题型归纳总结-苏教版高一《数学》同步学与练

第第页第7章三角函数章末题型归纳总结模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：任意角三角函数的定义经典题型二：同角三角函数基本关系式的应用经典题型三：诱导公式的应用经典题型四：三角函数的图象与性质经典题型五：三角函数图象的变换经典题型六：三角函数实际应用模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想

模块一：本章知识思维导图

模块二：典型例题经典题型一：任意角三角函数的定义例1．（2023·辽宁大连·高一统考期末）1988年3月14日，LanyShaw在旧金山科学博物馆组织举办了最早的大型以为主题的活动，之后博物馆继承了这一传统，后来3月14日成为了国际圆周率日（日）.历史上，求圆周率的方法有多种，其中的一种方法：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形的周长，将它们的算术平均数作为的近似值.按照这种方法，的近似值的表达式是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】单位圆的内接正边形的边长为，则其内接正边形的周长为，单位圆的外切正边形的边长为，则其外切正边形的周长为，则有.故选：B.例2．（2023·安徽亳州·高一亳州二中校考期中）已知角的终边经过点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，，，又，显然，，，故选：A例3．（2023·全国·高三对口高考）以下命题正确的是（

）A．都是第一象限角，若，则B．都是第二象限角，若，则C．都是第三象限角，若，则D．都是第四象限角，若，则【答案】D【解析】A：都是第一象限角，如下图单位圆中，此时，错；B：都是第二象限角，如下图单位圆中，此时，错；C：都是第三象限角，如下图单位圆中，此时，错；D：都是第四象限角，如下图单位圆中，此时，对.故选：D例4．（2023·江西上饶·高一江西省余干中学校考阶段练习）设，角的终边经过点，则的值等于（

）A． B．－ C． D．－【答案】B【解析】.由三角函数的定义：，当时，，故选：B例5．（2023·江西·高三统考开学考试）《梦溪笔谈》是我国科技史上的杰作，其中收录了扇形弧长的近似计算公式：.如图，公式中“弦”是指扇形中所对弦的长，“矢”是指所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径.若扇形的面积为，扇形的半径为4，利用上面公式，求得该扇形的弧长的近似值为（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】设该扇形的圆心角为，由扇形面积公式得，所以，取的中点，连接，交于点，则，则，，，所以扇形的弧长的近似值为.故选：D例6．（2023·河北张家口·高一统考期中）如图，已知扇形的周长为，当该扇形的面积取最大值时，弦长（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，则，，由可得，所以，扇形的面积为，当且仅当，即时，扇形的面积最大，此时．因为，则扇形的圆心角，取线段的中点，由垂径定理可知，因为，则，所以，.故选：A.例7．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期中）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，则下列结论错误的是（

）（参考数据：）

A．B．若，扇形的半径，则C．若扇面为“美观扇面”，则D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为【答案】D【解析】扇形的面积为，其圆心角为，半径为R，圆面中剩余部分的面积为，选项A：.故A正确；选项B：由，可得，解得，又扇形的半径，则.故B正确；选项C：若扇面为“美观扇面”，则，解得.故C正确；选项D：若扇面为“美观扇面”，则，又扇形的半径，则此时的扇形面积为.故D错误.故选：D例8．（2023·河南新乡·高一校联考期末）已知角的终边经过点，则（

）A． B．7 C． D．【答案】A【解析】由角的终边经过点，得，解得，所以．故选：A例9．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，，所以．故选：D经典题型二：同角三角函数基本关系式的应用例10．（2023·广东茂名·高一统考期末）已知，则．【答案】/【解析】由于，所以.故答案为：例11．（2023·全国·高一专题练习）若，则.【答案】【解析】，两边平方得，∴，则．故答案为：．例12．（2023·广东广州·高三广州大学附属中学校考开学考试）设，则．【答案】【解析】因为，显然，则.故答案为：.例13．（2023·广东佛山·高一校考期中）已知，是第三象限角，则的值为．【答案】【解析】因为是第三象限角，且，则，解得，故答案为：例14．（2023·江苏扬州·高三仪征中学校考开学考试）已知，，且为第二象限角，则.【答案】/【解析】为第二象限角，，解得：或；，即，，解得：（舍）或，，，.故答案为：.例15．（2023·高一课时练习）已知，则的值为．【答案】3【解析】故答案为：.例16．（2023·山东菏泽·高一校联考期末）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则.【答案】【解析】因为，所以，所以有，故答案为：例17．（2023·全国·高一课堂例题）已知，则（1）；（2）；（3）．【答案】【解析】（1）分子分母同时除以得：（2）分子分母同时除以得：．（3）.故答案为：；；例18．（2023·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）已知，则.【答案】2或【解析】由两边平方得，解得，所以，即，解得或，故答案为：2或例19．（2023·贵州遵义·高一统考期中）已知为第四象限角，且，则.【答案】/【解析】因为为第四象限角，则，，则，因为，将代入上式可得，因此，.故答案为：.经典题型三：诱导公式的应用例20．（2023·全国·高一专题练习）．【答案】/【解析】由三角函数的诱导公式，可得：．故答案为：.例21．（2023·上海崇明·高三校考阶段练习）化简：.【答案】【解析】∵，，，，，∴.故答案为：.例22．（2023·四川南充·高一四川省南充高级中学校考开学考试）计算：．【答案】/【解析】.故答案为：例23．（2023·江西萍乡·高一统考期中）若，则．【答案】【解析】由，即，而，故.故答案为：例24．（2023·广东深圳·高三深圳市宝安第一外国语学校校考阶段练习）若，，则．【答案】【解析】因为，则，，又，则，因为，所以，即，所以（负舍），，则.故答案为：.例25．（2023·高一课时练习）若，，则.【答案】【解析】由，得，由，则，故.故答案为：.例26．（2023·高一单元测试）已知是方程的根，α是第三象限角，则＝.【答案】【解析】，解得或1，又α是第三象限角，∴，，故，∴，∴，∴.故答案为：例27．（2023·高一课时练习）已知，且，则.【答案】/【解析】因为，所以，又所以，所以.故答案为：例28．（2023·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过函数（且）的定点M.则【答案】/【解析】由，得，，即点，，因此，所以.故答案为：例29．（2023·上海嘉定·高一校考期中）已知，则的值为；【答案】【解析】，，，，.故答案为：.例30．（2023·四川绵阳·高一四川省绵阳实验高级中学校考期末）已知，则．【答案】1【解析】因为，所以，故答案为：1例31．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的值为．【答案】18【解析】由，可得，∴．故答案为：18.例32．（2023·上海闵行·高一校考期中）已知且，则.【答案】/【解析】因为且，则为第四象限角，因此，.故答案为：.经典题型四：三角函数的图象与性质例33．（多选题）（2023·河北秦皇岛·高二校考开学考试）下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】对于A，函数满足，且的定义域为关于原点对称，即是奇函数，且注意到其周期为，故A正确；对于B：函数满足，且的定义域为关于原点对称，所以是偶函数，不是奇函数，故B错误；对于C：，由A选项分析易知是奇函数，同时也是最小正周期是的周期函数，故C正确；对于D：函数满足，且的定义域为关于原点对称，所以是偶函数，不是奇函数，故D错误．故选：AC．例34．（多选题）（2023·吉林长春·高三长春外国语学校校考阶段练习）已知函数，则（

）A．B．的最小正周期为C．把向左平移可以得到函数D．在上单调递增【答案】AD【解析】A：因为，所以本选项正确；B：由正切型函数的最小正周期公式可得，所以本选项不正确；C：把向左平移可以得到函数，所以本选项不正确；D：当时，，显然是的子集，因此本选项正确，故选：AD例35．（多选题）（2023·云南昆明·高一校考期中）若函数在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是（

）A．B．的图象的一个对称中心为C．的单调递增区间是，D．把的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得的图象【答案】BC【解析】由图可知，，所以A选项错误.，，所以，，所以B选项正确.由，解得，所以的单调递增区间是，，C选项正确.把的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到，所以D选项错误.故选：BC例36．（多选题）（2023·安徽合肥·高一校联考期末）下列关于函数说法正确的是（

）A．周期为 B．单调递增区间是C．图象关于直线对称 D．图象关于点对称【答案】ABD【解析】对于A，函数的周期为，故A正确；对于B，令，得，所以单调递增区间是，故B正确；对于C，因为，所以直线不是函数图象的对称轴，故C错误；对于D，因为，所以函数图象关于点对称，故D正确.故选：ABD.例37．（多选题）（2023·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期末）已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（

）

A． B．C．函数为偶函数 D．函数在区间上单调递减【答案】BD【解析】函数的部分图象，可得，，，则．又，所以，，所以，，又，，，故A错误．由，，，故B正确；将函数的图象向左平移个单位长度得到，则为奇函数，故C错误；当则，因为在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，故D正确，故选：BD．例38．（多选题）（2023·辽宁铁岭·高一西丰县高级中学校考期中）已知，给出下列结论：其中正确结论是（

）A．若，，且，则B．存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称C．若在上恰有7个零点，则的取值范围为D．若在上单调递增，则的取值范围为【答案】BD【解析】对A，因为，，，则即，即，即，故A错误；对B，的图象向左平移个单位长度后得到，若其图象关于y轴对称，则，即，故当时，，故B正确；对C，设，当时，.在上有7个零点，即在上有7个零点.则，解得，故C错误；对D，在上单调递增，则，又，故解得，故D正确.故选：BD例39．（多选题）（2023·山东泰安·高一泰山中学校考期末）已知函数，下列四个结论中，正确的有（

）A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称C．函数的图象关于点对称 D．函数在上单调递增【答案】AD【解析】函数，最小正周期，A选项正确；由，解得函数的图象的对称轴方程为，当时，得函数的图象关于直线对称，BC选项错误；时，，是正弦函数的单调递增区间，所以函数在上单调递增，D选项正确.故选：AD例40．（2023·陕西商洛·高一校考期中）已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的单调增区间；(2)求在区间上的最大值和最小值.【解析】（1）由已知得，则，所以，又，所以，由函数最大值为，所以，所以，又函数过点，所以，解得，又因为，所以取，所以，则，解得，所以函数的单调增区间为；（2）由（1）得，又，则，所以当，即时，函数取最大值为，当，即时，函数取最小值为.例41．（2023·北京·高一北京市十一学校校考期末）设函数，.(1)求函数的最小正周期和对称轴方程以及单调递增区间；(2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时的值.【解析】（1）的最小正周期为，由，可得，则的对称轴为，由，可得，则的单调递增区间为.（2）由，可得，则，故函数在区间上的最小值为最大值为，当即时函数取得最小值为，当即时函数取得最大值为.例42．（2023·四川巴中·高一四川省平昌县第二中学校考阶段练习）已知函数．(1)求的对称轴和单调递增区间；(2)求不等式的解集．【解析】（1）因为，由，得，所以函数的对称轴为；令，得，所以的单调递增区间为.（2）由可得，,所以,解得,即不等式的解集为.例43．（2023·四川南充·高一四川省南充高级中学校考开学考试）已知函数，的图象相邻两条对称轴间的距离为，且___________．请从以下3个条件中任选一个，补充在上面横线上．①为奇函数；②当时，；③是函数的一个零点．并解答下列问题：(1)求函数的解析式，并作出函数在上的图象；(2)求函数在上的单调增区间．【解析】（1）由题设，函数的最小正周期，解得．若选①，为奇函数，则的图象关于点对称．∴，即，∵，∴，则．故．若选②，，即，∵，∴，则，得，故．若选③，，即，∵，∴，则，得，故．列表：描点、连线得到其函数图象如下：（2）令，，得，所以函数的单调递增区间为，设集合，，∴，故在上的单调增区间是和．例44．（2023·河南驻马店·高一校联考期中）已知函数，(1)若，则的最小值为，求的解析式．(2)在（1）的条件下，若在上的值域是，求实数的取值范围；【解析】（1）由题意可得：，所以：，故的解析式为；（2）由（1）可得，令，则，如图所示，的值域是，，，即：，由图可知，解得，所以实数的取值范围为．例45．（2023·黑龙江大庆·高一大庆中学校考阶段练习）设函数.(1)求函数的最小正周期；(2)求不等式的解集.【解析】（1）的最小正周期.（2）不等式，即，所以，求得，故不等式的解集为，.例46．（2023·新疆乌鲁木齐·高一新疆师范大学附属中学校考开学考试）已知函数

(1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；00(2)求在区间上的最大值和最小值及相应的值.【解析】（1）分别令，可得：x00100画出函数在一个周期的图像如图所示：（2）因为，所以，所以当，即时，取最小值0；当，即时，取最大值1.例47．（2023·江苏盐城·高一校联考期末）已知函数的图象的一条对称轴是直线．(1)当时，求函数的值域；(2)求函数在上单调减区间．【解析】（1）由题意得，，，，因为，所以时，，所以．因为，所以所以，所以的值域为．（2），即，又因为，所以或．所以在上单调减区间为和．经典题型五：三角函数图象的变换例48．（2023·北京·高一北京市十一学校校考期末）要得到函数的图象，只要把函数的图象（

）A．向左平移个单位； B．向右平移个单位；C．向左平移个单位； D．向右平移个单位【答案】D【解析】由题意知：，所以只需的图像向右平移个单位就可以得到的图像，故D项正确.故选：D.例49．（2023·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数的部分图像如图所示，则，的值分别是（

）A．2， B．2， C．2， D．4，【答案】C【解析】设函数的周期为，则由图象知，，解得，；由图象点在函数的图象上，则，则，则，解得，又已知，则.故选：C.例50．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（）.A． B．C． D．【答案】A【解析】将函数的图象上各点向右平移个单位长度，得到函数即的图象，再把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，就得到函数的图象，然后再把函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的4倍，就得到函数的图象.故选：A.例51．（2023·吉林·高三校考期中）已知曲线C1：，C2：，则错误的是（

）A．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动个单位长度，得到曲线B．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动个单位长度，得到曲线C．把向左平行移动个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线D．把向左平行移动个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线【答案】D【解析】对于A.上各点横坐标缩短到原来的倍，得到，再向左平移个单位长度，得到，正确；对于B.上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到，再向右平移个单位长度，得到，正确；对于C.向左平移个单位长度，得到，再把各点横坐标缩短到原来的倍，得到，正确；对于D.向左平移个单位长度，得到，再把各点横坐标缩短到原来的倍，得到，错误.故选：D例52．（2023·江苏连云港·高一连云港高中校考期中）函数相邻对称轴和对称中心之间的距离为，将函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知，，所以，，又∵且，∴，则，由题意，函数图象向左平移个单位长度可得，∵函数为偶函数，∴，解得：，.又∵，∴.故选：B.例53．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将它的图象向右平移个单位长度，得到了一个奇函数的图象，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得，再将它的图象向右平移个单位长度，得，因为函数为奇函数，所以，即，又因，所以当时，.故选：B.例54．（2023·山东泰安·高一泰安一中校考期中）函数在区间上的图象如图所示，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】由图象可知函数的最小正周期为，又，故，由于，故，所以，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，得到的图象，因为该图像图象关于原点对称，即为奇函数，故，则，而，则的最小值为，故选：C例55．（2023·江苏盐城·高一校联考期末）要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（

）A．横坐标变为原来的（纵坐标不变）再向左平移个单位长度B．横坐标变为原来的（纵坐标不变）再向左平移个单位长度C．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度【答案】C【解析】因为，将的图象上所有的点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到，再向左平移个单位长度得，即得到函数的图象.故选：C例56．（2023·安徽马鞍山·高一安徽省当涂第一中学校考期中）把函数的图像向右平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数的图像向右平移个单位长度，所得函数解析式为，其图象关于轴对称，则，即，因为，所以当时的最小值是.故选：C例57．（2023·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考期中）若把函数的图象向左平移（）个单位长度后，得到的图象，则m的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数的图象向左平移个单位长度后为函数，所以，则又，所以m的最小值为.故选：C.例58．（2023·山西大同·高一校考阶段练习）将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变得到的图象，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，该图象关于轴对称，所以，，，，若，解得，若，解得，若，解得，若，解得，故选：D.例59．（2023·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考期末）已知函数的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（

）

A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度【答案】D【解析】根据题中函数的部分图象，结合五点法作图可得，故，又，故，所以，为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点向右平行移动个单位长度即可．故选：D．例60．（2023·高一单元测试）函数其中，，，它的图象如图所示，则它是由怎样变换得到的（

）

A．横坐标先向左平移单位，再缩小为原来的，然后纵坐标拉伸为原来的2倍B．横坐标先缩小为原来的，再向左平移单位，然后纵坐标拉伸为原来的2倍C．横坐标先向右平移单位，再缩小为原来的，然后纵坐标拉伸为原来的2倍D．横坐标先缩小为原来的，再向左平移单位，然后纵坐标拉伸为原来的2倍【答案】D【解析】因为，，，由图可得，，，，由五点法作图可知：，，，对A，的横坐标向左移动单位得，然后纵坐标伸为原来的2倍，得，所以A错误；对B，的横坐标缩小为原来的，得，再向左平移单位得，纵坐标拉伸为原来的2倍得，故B错误；对C，横坐标先向右平移单位得，再缩小为原来的得，纵坐标拉伸为原来的2倍得，所以C错误；对D，横坐标先缩小为原来的得，再向左平移单位得，纵坐标拉伸为原来的2倍得，故D正确.故选：D.例61．（2023·江西吉安·高一统考期末）为了得到函数的图象，只要把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，再把得到的曲线上所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】D【解析】把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，对于A，再向左平移个单位长度，得的图象，A错误；对于B，再向左平移个单位长度，得的图象，B错误；对于C，再向右平移个单位长度，得的图象，C错误；对于D，再向右平移个单位长度，得的图象，D正确.故选：D例62．（2023·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）已知函数在一个周期内的图象如图所示；若为偶函数，则的值可以为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据函数，，在一个周期内的图象，可得，，．再根据五点法作图，可得，所以，由于，，故．若为偶函数，则，，即，，取，则，故的值可以为，故选：B例63．（2023·北京东城·高一北京二中校考阶段练习）设函数，将函数图像上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若对于任意的实数，恒成立，则的最小值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】将函数图像上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则可得，且对于任意的实数，恒成立，则，即，，解得，，且，所以当时，.故选：C例64．（2023·江西上饶·高一统考期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（

）

A． B．C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称【答案】A【解析】由已知图象可得，所以，，由图象过点，由“五点法”可得，，所以，.因为，所以，，故B项错误；，故A项正确；因为，所以点不是函数的对称中心，故C项错误；对于D项，当时，，故D项错误.故选：A经典题型六：三角函数实际应用例65．（2023·贵州遵义·高二校考阶段练习）弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的事件t与位移s之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（

）t0123456789101112s0.110.31.720.017.710.30.1A．， B．C． D．，【答案】D【解析】设简谐振动的解析式为，其中由表格可知：振幅，周期，过点，由周期，且，可得，由过点，可得，即，则，可得，所以简谐振动的解析式为.故选：D.例66．（2023·北京海淀·高一北京市八一中学校考阶段练习）为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为点．若初始位置为点，秒针从（规定此时）开始沿顺时针方向转动，点P的纵坐标y与时间t的函数关系式可能为（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】因为函数的周期为，所以，由于秒针顺时针旋转，所以可设函数解析式为，因为初始位置为点，所以当时，，所以，所以可能取，所以，故选：D例67．（2023·浙江宁波·高一统考期末）据长期观察，某学校周边早上6时到晚上18时之间的车流量y（单位：量）与时间t（单位：）满足如下函数关系式：（为常数，）.已知早上8：30（即）时的车流量为500量，则下午15：30（即）时的车流量约为（

）（参考数据：，）A．441量 B．159量 C．473量 D．127量【答案】A【解析】由题意可得，可得，解得，所以，当时，（量）.故选：A.例68．（2023·北京海淀·高一统考期末）海洋中的波动是海水的重要运动形式之一．在外力的作用下，海水质点离开其平衡位置做周期性或准周期性的运动，由于流体的连续性，必然带动其邻近质点，从而导致其运动状态在空间的传播．（节选自《海洋科学导论》冯士筰李风岐李少菁主编高等教育出版社）某校海洋研学小组的同学为了研究海水质点在竖直方向上的运动情况，通过数据采集和分析，同学们发现海水质点在某一时间段相对于海平面的位移（米）与时间（秒）的关系近似满足，其中常数．经测定，在秒时该质点第一次到达波峰，在秒时该质点第三次到达波峰．在时，该质点相对于海平面的位移不低于0.5米的总时长为（

）A．秒 B．2秒 C．秒 D．3秒【答案】C【解析】因为秒时该质点第一次到达波峰，在秒时该质点第三次到达波峰．所以，即，当时，，，即，因为，所以.则，由得出或，.即，或，因为，所以.因此该质点相对于海平面的位移不低于0.5米的总时长为.故选：C例69．（2023·广东韶关·高一统考期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为4，筒车的轴心到水面的距离为2，筒车每分钟按逆时针转动3圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：），且此时点P距离水面的高度为h（单位：）.若以筒车的轴心为坐标原点，过点的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy（如图2），则h与t的函数关系式为（

）

A．B．C．D．【答案】D【解析】，所以对应的角是，由在内转过的角为，可知以为始边，以为终边的角为，因为圆的半径为则点的纵坐标为，又因为筒车的轴心到水面的距离为，所以点距水面的高度表示为的函数是.故选：D例70．（2023·北京东城·高一统考期末）如图，质点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当时，动点的纵坐标关于（单位：）的函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为在单位圆上的角速度大小为，起点为射线与的交点，所以，，所以动点的纵坐标关于（单位：）的函数，由，得，因为，所以，，，.所以动点的纵坐标关于（单位：）的函数的单调递增区间是，，，.故选：B例71．（2023·江西景德镇·高一统考期中）筒车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的筒车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则函数的解析式是（

）

A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意，，，所以，又点代入可得，解得，又，所以，故函数解析式为.故选：B例72．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）用数学的眼光观察世界，神奇的彩虹角约为．如图，眼睛与彩虹之间可以抽象为一个圆锥，设AO是眼睛与彩虹中心的连线，AP是眼睛与彩虹最高点的连线，则称为彩虹角．若平面ABC为水平面，BC为彩虹面与水平面的交线，为BC的中点，米，米，则彩虹（）的长度约为（

）（参考数据：，）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【解析】在中，由勾股定理，可得：，连接PO，则在中，，连接OB，OC，OM，则在中，，故，，则彩虹（）的长度约为.故选：A例73．（2023下·北京·高一101中学校考期中）石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径约为86米，总高约100米，匀速旋转一周时间为18分钟，配有42个球形全透视360度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱，甲、乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差6分钟，这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为(

)A．79米 B．157米 C．113米 D．189米【答案】B【解析】因为摩天轮匀速旋转一周时间为18分钟，所以摩天轮的角速度为，又因为甲乙两人进入各自座舱的时间相差6分钟，所以两人相差的角度为，设第二个人进仓后转动角时对应的高度为，因为摩天轮直径约为86米，总高约100米，所以摩天轮底部距离地面高度为14米，摩天轮半径约为43米，所以，因为甲乙两人相差的角度为，所以甲乙两人所在的高度之和为：，所以，所以，化简可得，又根据题意可知，所以，所以当时，即时，取得最大值.故选：B.模块三：数学思想方法①分类讨论思想例74．若，，则终边所在象限为（

）A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限【答案】B

【解析】

，当时，，为第三象限角；当时，，为第一象限角；所以的终边在第一或第三象限．故选例75．设函数，则的最小正周期（

）A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关【答案】D

【解析】

对于，其最小正周期为，对于，其最小正周期为，所以对于任意a，的最小正周期都为，对于，其最小正周期为，故当时，，其最小正周期为；当时，，其最小正周期为，所以的最小正周期与a无关，但与b有关．故选：例76．已知函数，满足，且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C

【解析】函数，满足，，①，对于任意的都有，故的图象关于直线对称，，②，②-①可得

，即，，，即为奇数，若在上单调，则，求得，当时，由①可得，，结合，可得，此时，，当，，故不满足在上单调，故不满足条件，当时，，由①可得，，结合，可得

或，当时，，满足在上单调，当时，，满足在上单调，故的最大值为故选：例77．若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是

（

）A． B．C． D．【答案】D

【解析】根据题意，角的终边在直线上，为第二象限角时，，；为第四象限角时，，；综上，角的取值集合是故选：例78．函数，已知点为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在区间上单调递减，则满足条件的所有的值的和为（

）A． B． C． D．【答案】C

【解析】因为

在区间

上单调递减，所以

，所以

．又

为

图象的一个对称中心，直线

为

图象的一条对称轴，且

．因为

，所以

．又根据正弦函数的图象可知，

，所以

或

或

．当

时，有

，此时有

，

．由已知可得，

在

处取得最大值，所以有

，解得

．又

，所以

，满足题意；当

时，有

，此时有

，

．由已知可得，

在

处取得最大值，所以有

，解得

．又

，这样的不存在；当

时，有

，此时有

，

．由已知可得，

在

处取得最大值，所以有

，解得

．又

，所以

，满足题意．综上所述，

或

．所以，满足条件的所有

的值的和为

．故选：例79．已知命题p：角为第二或第三象限角，命题q：，命题p是命题q的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D

【解析】当角

为第二象限角时，

，所以

，当角

为第三象限角时，

，所以

，所以命题

p

是命题

q

的不充分条件．当

时，显然角

可以为第四象限角，命题

p

是命题

q的不必要条件．所以命题

p

是命题

q

的既不充分也不必要条件．故选：②转化与化归思想例80．在中，C是直角，则（

）A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值C．有最大值也有最小值 D．无最大值也无最小值【答案】D

【解析】因为在中，C是直角，所以，所以由题意可得，所以，所以，设，则，令，，因为函数的对称轴，所以函数没有最值，即没有最值．故选：例81．奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则的值为（

）A．2 B．1C． D．【答案】D

【解析】由为偶函数，，令，则，即，因为为奇函数，有，所以，令，得，，即函数是周期为4的周期函数，奇函数中