广东省四校（华附、省实、广雅、深中）2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题（解析版）

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应【答案】D【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简z，即可求出其共轭复数，再由复数的减法计算可得.7【答案】C【解析】【详解】设等比数列{an}的公比为q,a1=1,a2a4=9,:a1qa1q3=9⇒q2=3，则a7=a1q6=33=27，3.已知圆O:x2+y2=2与抛物线C:x2=2py(p>0)的准线相切，则p的值为()A.22B.2C.4D.2【答案】A【解析】【分析】写出抛物线C的准线方程，根据该准线与圆O相切求出实数p的值. 4.如图所示，在正方形铁皮上剪下一个【答案】C【解析】锥的高.【详解】由图可知，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为r=1，设扇形半径为R，则有R=2τr，解得R=4，所以圆锥的母线长为R=4，−r222，则该次数学考试及格的人数约为()【答案】B【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩X□N(73.5,222)，再根据所给条件求出所以学生的数学成绩X□N(73.5,222)，即μ=73.5，σ=22，又=0.75，2PF.PF2【答案】A【解析】得. )()()2(2,(2,(2,7.现有一组数据0,1,2,3,4,5，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数小于3的概率为A.B.【答案】B【解析】【分析】设删去的两数之和为x，依题意可得<3，求出x的范围，再列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得.(4,5)共11种情况，故所求概率P=.8.若函数g=ex−存在单调递减区间，则实数b的取值范围是()【答案】D【解析】x当x<0时，f′(x)>0,f(x当x>0时，f′(x)<0,f(x)在(−∞,0)上递减；所以函数f(x)有最大值f(0)=0，【答案】BCD【解析】10.下列关于成对数据统计的表述中，正确的是()A.成对样本数据的经验回归直线一定经过点(x,y)B.依据小概率事件α=0.1的χ2独立性检验对零假设H0进行检验，根据2×2列联表中的数据计算发现χ2≈0.837<x0.1=2.706，由P(χ2≥2.706)=0.1可推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过0.1C.在残差图中，残差点的分布随解释变量增大呈现扩散的趋势，说明残差的方差不是一个常数D.决定系数R2越大，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差【答案】AC【解析】【详解】对于A：成对样本数据的经验回归直线一定经过点(x,y)，故A正确；对于B：因为χ2≈0.837<x0.1=2.706，由P(χ2≥2.706)=0.1可推断H0成立，即认为X和Y独立，对于D：决定系数R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故D错误. 11.如图，心形曲线L:x2+(y−x)2=1与y轴交于A,B两点，点P是L上的一个动点，则()和均在L上 B.点P的纵坐标的最大值为-2 【答案】ABD【解析】【分析】点代入曲线判断A，根据曲线分段得出函数取得最大值判断B，应用三角换元再2222因为曲线关于y轴对称，当x≥0时，设x=cosθ,y−x=sinθ,2OP2+y2=cos2θ+(cosθ+sinθ)2=2cos2θ+sin2θ+2sinθcosθ因为θ可取任意角，整理得4sin2θ+3cos2θ≤5，即sin(2θ+β)≤1恒成立，故D选项正确.【点睛】方法点睛：应用三角换元，再结合三角恒等变换化简，最后应用三角函数值域求最值即可.12.(2x+y−1)6的展开式中，所有项的系数和为.【解析】【分析】令x=y=1计算可得.【详解】令x=y=1，可得所有项的系数和为(2+1−1)6=64.故答案为：6413.如图，正八面体ABCDEF的12条棱长相等，则二面角E−AB−F的余弦值为.【解析】【分析】AB的中点为G，∠EGF为二面角E−AB−F的平面角，结合正八面体的几何特征，利用余弦定理求值即可.【详解】连接AC,BD交于点O，连接EF，取AB的中点G，连接EG,FG，根据正八面体的几何特征，有EF过点O，EG丄AB，FG丄AB，又EG⊂平面ABE，FG⊂平面ABF，平面ABE∩平面ABF=AB，正八面体中，EF丄平面ABCD，AC⊂平面AB 13.__________【答案】9【解析】nS929−9215.已知□ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且（1）求A；（2）如图，若点D是BC边上一点，且AB丄AD,BD=2CD，求∠ADB.【解析】（2）由AB丄AD结合A=可得∠DAC可得b=c，进而可求出∠ADB.2所以由余弦定理得cosA=所以∠DAC=∠BAC−∠BAD=2τ−τ=τ,ABBDBD在△ABD中，由正弦定理得sin∠ADB=sin∠BAD=sin因为∠ADB+∠ADC=τ,所以sin∠ADB=sin∠ADC16.如图，四棱锥P−ABCD的侧面PCD为正三角形，（1）证明：AM//平面PBC；若AC=AD,PA=3求直线AM与平面PAB所成角的正弦值.【解析】点，OA,OC,OP分别为x,y,z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系A−xyz，利用线面角的空间向量法求解.取PC上的点，所以四边形ABNM为平行四边形，所以AM//BN，又BN⊂平面PBC，AM丈平面PBC，所以AM//平面PBC；又平面PCD丄平面ABCD，平面PCD∩=以O为坐标原点，OA,OC,OP分别为x,y,z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系A−xyz， 则A(6,0,0)，C(0,2,0)，D(0,−2,0)，B(6,1,0)，P(0,0,23)， 则A(6,0,0)，C(0,2,0)，D(0,−2,0)，B(6,1,0)，P(0,0,23)， 设=(x,y,z)为平面PAB的法向量， 故直线AM与平面PAB所成角的正弦值为.本，摸到红球或者第5次摸球之后停止.用X表示停止时摸球的次数.（1）求X的分布列和期望；（2）用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.1的概率.【解析】值为1,2,3,4,5，依次求出概率，可得分布列，再由期望公式求解；（2）设样本中红球的比例为f，B=“样本中有红球”，且C=不发生，和B发X的可能取值为1,2,3,4,5，AA2A32AX12345P1329 427 总体中的红球比例，设样本中红球的比例为f，设B=“样本中有红球”，且C=，若B不发生，则f=0，此时C=∅,所以P(BC)=0，若B发生，则f=此时所以P(BC)=P(X=3)+P(X=4)=+=，（1）求椭圆E的方程；（2）过P(4,0)作一条斜率存在且不为0的直线l交E于A,B两点.（i）证明：直线AM和直线BM的斜率均存在且互为相反数；（ii）若直线AM与直线BN交于点Q，求Q的轨迹方程.（2i）证明见解析【解析】 根据题意，2a=42，−c2=6，2x所以直线AM和直线BM的斜率均存在，kAM=,kBM=即直线AM和直线BM的斜率均存在且互为相反数；BM设，则整理得{①,x2y222yx2y2x2y222yx2y2所以Q的轨迹方程为.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为(x1,y1)，(x2,y2)；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的（5）代入韦达定理求解.19.拟合（Fittiong）和插值（Imorterpolation）都是利用已律的近似函数，并以此预测或估计未知数据的方法.拟合方法在整体上寻求最好地逼近数据，适据可能包含误差的情况，比如线性回归就是一种拟合方法；而插值方法要求近似函数经过所有的已知点.适用于需要高精度模型的场景，实际应用中常用多项式函数来满足，可得f在上的一次插值多项式L1(x)=−x+1，由此可计算出cos的“近似值”cos≈0.682，显然这个“近似值”与真实值的误差估计的误差，除了要求插值函数与原函数在给定节点处的函数值相等，还可要求在部分节点处的导（1）求H(x)，并证明当x∈[0,1]时，f(x)≤H(x)；（2）若当x∈[0,1]时，f(x)−H(x)≤λx2，求实数λ的取值范围；利用H计算cos的近似值，并证明其误差不超过.2 1（3）cos≈0.899，证明见解析2【解析】【分析】（1）由题意列方程组求出a,b,c，得H(x)；通过构造函数，利用导数求最值证明f(x)≤H(x)；成立，利用导数求函数单调性和最值，得条件满足时实数λ的取值范围；由cos代入求值即可，由误差可证得结论.故存在x1且F(x)在(0,x2)上单调递减，在(x2,1)上单调递增，由（1）知f(x)−H(x)≤λx2