2024-2025学年度北师版九上数学4.4探索三角形相似的条件(第一课时)【课外培优课件】

第四章图形的相似4探索三角形相似的条件(第一课时)

1.在△

ABC

中，已知∠

ACB

＝90°，用直尺和圆规在

AB

上确定

点

D

，使△

ACD

∽△

CBD

.

根据作图痕迹判断，下面符合要求

的是（

C

）ABCCD2.若将含60°角的直角三角板

ABC

（∠

A

＝60°）与含45°角的直

角三角板

BCD

按如图方式放置，斜边

AC

与斜边

BD

相交于点

E

.

则下列结论正确的是（

A

）A.△

ABE

∽△

CDE

B.△

ABE

∽△

BCE

C.△

BCE

∽△

DCE

D.△

ABC

∽△

DCB

（第2题图）A3.已知点

D

是△

ABC

中的边

BC

上的一点，∠

BAD

＝∠

C

，∠

ABC

的平分线交边

AC

于点

E

，交

AD

于点

F

，则下列三角形中

与△

BDF

一定相似的是（

C

）A.△

BAC

B.△

BEC

C.△

BAE

D.△

BFA

（第3题图）C4.如图，在四边形

ABCD

中，

CA

平分∠

BCD

，要使△

ABC

∽△

DAC

，还需添加一个条件：

⁠

（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）.（第4题图）∠

BAC

＝∠

D

（或∠

ABC

＝

∠

DAC

）5.如图，已知点

E

是▱

ABCD

的边

BC

延长线上的一点，连接

AE

交

CD

于点

F

，则图中的相似三角形共有

对.（第5题图）3

6.如图，已知∠

CAB

＝∠

BCD

，

AD

＝2，

BD

＝4，则

BC

＝

⁠

⁠.2

7.如图，在△

ABC

和△

DEC

中，已知∠

A

＝∠

D

，∠

BCE

＝∠

ACD

.

（1）求证：△

ABC

∽△

DEC

；（1）证明：∵∠

BCE

＝∠

ACD

，∴∠

BCE

＋∠

ACE

＝∠

ACD

＋∠

ACE

，即∠

ACB

＝∠

DCE

.

又∵∠

A

＝∠

D

，∴△

ABC

∽△

DEC

.

（2）若

AB

∶

DE

＝2∶3，

BC

＝6，求

EC

的长.

8.如图，在梯形

ABCD

中，已知

AB

∥

DC

，∠

B

＝90°，点

E

为

BC

上一点，且

AE

⊥

ED

.

（1）在图中找出一对相似三角形，并说明理由；解：（1）△

ABE

∽△

ECD

.

理由如下：∵

AE

⊥

ED

，∴∠

AED

＝90°.∴∠

AEB

＋∠

CED

＝90°.∵∠

B

＝90°，∴∠

BAE

＋∠

AEB

＝90°.∴∠

BAE

＝∠

CED

.

∵

AB

∥

DC

，∴∠

C

＝180°－∠

B

＝90°.∴∠

C

＝∠

B

.

在△

ABE

与△

ECD

中，∵∠

BAE

＝∠

CED

，∠

B

＝∠

C

，∴△

ABE

∽△

ECD

.

（2）若

BC

＝12，

DC

＝7，

BE

∶

EC

＝1∶2，求

AB

的长.

9.如图，已知点

D

是等腰直角三角形

ABC

斜边

BC

上的一个动

点，以

AD

为边作等腰直角三角形

ADE

，斜边

AE

交

BC

于点

F

，

则图中的相似三角形共有

对.（第9题图）5

【解析】∵△

ABC

和△

ADE

都是等腰直角三角形，∴∠

BAC

＝

∠

ADE

＝90°，∠

B

＝∠

C

＝∠

E

＝∠

DAE

＝45°.∴△

ABC

∽△

DAE

.

∵∠

AFB

＝∠

DFE

，∠

B

＝∠

E

＝45°，∴△

ABF

∽△

DEF

.

∵∠

ADF

＝∠

ADB

，∠

B

＝∠

DAE

＝45°，∴△

ABD

∽△

FAD

.

同理，得△

FCA

∽△

FAD

.

∴△

ABD

∽△

FCA

.综上所

述，图中相似的三角形共有5对.故答案为5.10.如图，在矩形

ABCD

中，

AB

＝3，

BC

＝4，点

M

是对角线

BD

上的动点，过点

M

作

ME

⊥

BC

于点

E

，连接

AM

.

当△

ADM

是等腰三角形时，则

ME

的长为

⁠.（第10题图）

11.如图，在正方形

ABCD

中，已知点

E

，

F

分别是边

AD

，

CD

上的点，且

AE

＝

ED

，

EF

⊥

BE

，连接

EF

并延长，交

BC

的延

长线于点

G

.

（1）求证：△

ABE

∽△

DEF

；（1）证明：∵四边形

ABCD

为正方形，∴∠

A

＝∠

D

＝90°.∴∠

ABE

＋∠

AEB

＝90°.∵

EF

⊥

BE

，∴∠

DEF

＋∠

AEB

＝90°.∴∠

ABE

＝∠

DEF

.

∴△

ABE

∽△

DEF

.

（2）若正方形的边长为4，求

BG

的长.

12.如图，在△

ABC

中，已知点

D

，

E

分别在边

BC

，

AC

上，连

接

AD

，

DE

，且∠

B

＝∠

ADE

＝∠

C

.

（1）求证：△

BDA

∽△

CED

；（1）证明：∵∠

ADE

＋∠

ADB

＋∠

EDC

＝180°，

∠

B

＋∠

ADB

＋∠

DAB

＝180°，且∠

B

＝∠

ADE

＝∠

C

，∴∠

DAB

＝∠

EDC

.

∴△

BDA

∽△

CED

.

（2）若∠

B

＝45°，

BC

＝2，点

D

在

BC

上运动（点

D

不与点

B

，

C

重合），当△

ADE

是等腰三角形时，求

BD

的长.

图1图1

图2

13.（选做）在Rt△

ABC

中，已知∠

BAC

＝90°，

AD

⊥

BC

于点

D

，点

O

是边

AC

上一点，连接

BO

交

AD

于点

F

，

OE

⊥

OB

交

BC

于点

E

.

（1）如图1，求证：△

ABF

∽△

COE

；图1（1）证明：∵

AD

⊥

BC

，∴∠

DAC

＋∠

C

＝90°.∵∠

BAC

＝90°，∴∠

BAF

＋∠

DAC

＝90°.∴∠

BAF

＝∠

C

.

∵

OE

⊥

OB

，∴∠

BOA

＋∠

COE

＝90°.又∵∠

BOA

＋∠

ABF

＝90°，∴∠

ABF

＝∠

COE

.

∴△

ABF

∽△

COE

.

图1

图2（2）解：如图，过点

O

作

AC

的垂线，交

BC

于点

H

，则

OH

∥

AB

.

由（1），得∠

ABF

＝∠

COE

，∠

BAF

＝∠