新课标1、2卷立体几何高考题含答案

精选新课标1、2卷立体几何高

考题含答案

(2023-2023)20231118

全国卷高考题(立体几

何）20231118

学号

姓名

2023新课标2卷

18.(本小题总分值12分)

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形,

PA_L平面ABCD,E为PD的中点.

(I)证明：PB〃平面AEC；

(II)设二面角D-AE-C为60。，AP=LAD=®

求三棱锥E-ACD的体积.

2

2023新课标2卷

如图，长方体ABC。—AgCQ中,A8=16,/\/

BC=10,A4=8,点E,E分别在4g,C[D[―Iz

上，AE=£>IF=4.过点E,b的平面a与;/n

〃/

此长方体的面相交，交线围成一个--------1;

正方形.

(I)在图中画出这个正方形(不必说出画法和

理由)；

(II)求直线心与平面a所成角的正弦值.

3

2023新课标2卷

18.(2023课标全国D,理18)(本小题总分值

12分)如图，直三棱柱四。一43G中，D,总分别

是AB,能的中点，AAI=AC=CB=*B.

(1)证明：园〃平面4曲

(2)求二面角4。一总的正弦值.

4

2023新课标1卷

18.（2023课标全国I,理18）（本c，

小题总分值12分汝口图，三棱柱/v1

ABC-AiBiCi中，CA=Cb,A3/\

=AAi,ZBAAi=60°.工1吨

4

⑴证明：AB±AiC；

（2）假设平面ABC_L平面AAiBiB9AB=CBf

求直线AiC与平面BBiCiC所成角的正弦值.

5

2023新课标1卷

19.(本小题总分值12分)如图三

棱锥ABC—AgG，11,

侧面因GC为菱形,ABLB}C.

(I)证明：AC=Ag；

(II)假设AC_LAg,ZCBB}=60°,AB=Bc,求二面角

A-A4-c的余弦值.

6

2023新课标1卷

(18)如图，，四边形ABCD为菱形，ZABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的

两点，BEJL平面ABCD,DF_L平面ABCD,BE=2DF,

小、

AE±ECo/\F

(1)证明：平面AEC_L平面AFC/x.

(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值'弋二二-一＞^

2023新课标2卷

如图，菱形ABCD的对角线AC与80交于点0,

AB=5,AC=6，点E,F分别在AD,CD上,

AE^CF=-fEF交BD于点H,将AO沿

EE折到ADEb位置，0。=所.

(I)证明：姐_L平面ABCD；

(ID求二面角B-D'A-C的正弦值.

7

2023新课标1卷

如图，在已2,B,C,D,E,尸为顶点的五面体

中，面ABEF为正方形，

AF^2FD,ZAFD=90f且二面

角D-AF^E与二面角

C-BE-F都是60.

(I)证明；平面ABER平面EFDG

(II)求二面角比册2的余弦值.

8

答案:

2023新课标2卷

(18)解：

(I)连接BD交AC于点O,连结EO。

因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点。

又E为PD的中点，所以EO〃PB。

EOu平面AEC,PB.平面AEC,所以

PB〃平面AEC.

(II)因为PA,平面ABCD,ABCD为矩形，/力/一

所以AB,AD,AP两两垂直。/，,y:笑导才

如图，以A为坐标原点，,月的方向为x/—I二------

轴的正方向，|丽|为单位长，建立空间直角坐标系A-xyz,那么

0((),百,0),E(0±

2

9

设伏，〃,0,0)(m80),那么c(/n,G,O),AC=(〃?,G,O)。

设4=(x,y,z)为平面ACE的法向量，

inx+=0,

小"=0,即

那么V31

鹿1•AE=0,——y+—z=0,

I2-2

可取小

又〃2=。,0,0)为平面DAE的法向量，

由题设卜05〈勺,々)|=；,即

0^4解得〃?=(

因为E为PD的中点，所以三棱锥£-AC。的高为

2

三菱锥E-AC£>的体积

V11631G

V=-x—x>/3x—x—=.

32228

2023新课标2卷

(I)交线围成的正方形EHGF如图：

(II)作A.AB,垂足为M，那么AM==

EM=A4t=8,因为EHGF为正方形，所以

22

EH=EF=BC=10.于是MH=y/EH-EM=6,所

以AH=10.以。为坐标原点，方的方向

为x轴的正方向，建立如下图的空间/

直角坐标系D-xyz,那么4(10,0,0),77(10,10,0),£(10,4,8),

F(0,4,8)9FE=(10,0,0)>HE=(0,-6,8)•=(x,y,z)是平面EHGF

io

的法向量，那么上色支即段u,所以可取

n-HE=O,1-6y+8z=0,

[=(0,4,3)・又丽=(—10,4,8),故卜os<，/>|=^^[=至・所

11|n|-|AF|15

以直线心与平面a所成角的正弦值为售.

考点：1、直线和平面平行的性质；2、直线和平

面所成的角.

2023新课标2卷

解：(1)连结ZG交4。于点月

那么分为ZG中点.

又〃是四中点，连结以，那

么BCJ/DF.

因为所u平面4s阳0平面

A@,

所以因〃平面ABD.

⑵由4=龙=圣8得，ACX.BQ

以。为坐标原点，回的方向为x轴正方向，建立

如下图的空间直角坐标系C-xyz.

设CA=2,那么设1,1,0),E(0,2,1),4(2,0,2),

CD=(1,1,0),CE=(0,2,1),CA=(2,0,2).

设〃=(为，％,Zi)是平面的法向量，

11

那么卜金=。，即行+乂=。，

[n-CA[=0,[2x]+2z}=0.

可取〃=(1,—1,—1).

同理，设山是平面4位的法向量，

那么卜里二°,可取刃=(2,L-2).

m•CA,=0,

从而COS<27,jn)=/4=近，

InIIm|3

故sin5,m)=冷.

即二面角片4。一月的正弦值为名

2023新课标1卷

(1)证明：取A3的中点Q连结OC,OAi,

AiB.

因为CA=CBf所以

OC±AB.

由于AB=AAi,N

BAAi=60°,

故△AAib为等边三

角形，

所以Q4i_LA氏

因为0。0。41=0,所以平面。AC.

又AiCu平面O41C,故Ab_LAC.

(2)解：由(1)知0C_LA5,OAi±AB.

又平面ABCJ•平面441515,交线为Ab,

所以OCJ■平面AAiBiB,

故。4,OAi,OC两两相互垂直.

12

以。为坐标原点，砺的方向为X轴的正方向，

同|为单位长，建立如下图的空间直角坐标系0

-xyz.

由题设知4(1,0,0),4(0,73,0),C(0,0,6),

那么心=(1,0,6),函=涵=(—1,石，0),

AC=(0,-'V3).

设〃=(x,j,力是平面笈31GC的法向量，

那么卜吗=0,即1+岳=0,可取n=m,1,-

n•BBX-0,-x+6y-0.

1)._

故cos<w,而〉=架5=-粤.

H|AC|5

所以AC与平面331GC所成角的正弦值为

Vio

了.

2023新课标1卷

(I)连结BG，交8c于O,连结AO.因为侧面BB£C

为菱形，所以B©1Bq,且O为

4C与5G的中点.又AB1B£,所以

B,C1平面ABO，故B.CLAO

又B0=CO，故AC=A耳

(ID因为AC±AB.且O为B.C的中点，所以

AO=CO又因为AB=BC，所以ABOA勺A8OC

13

故OAJ_OB,从而OA,OB,04两两互相垂

直.

以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，

OB为单位长，建立如下图空间直角坐标系

O-xyz.因为ZCBB,=60°f所以ACBB]为等边三角形.又

AB=BC,那么

((行、(八、

A0,0,^-,8(1,0,0),4。，芋0，C0，-芋。

[(),£-£],丽=丽=

设展(“Z)是平面的法向量，那么

所以可取心(1,也⑹

设而是平面的法向量，那么严任=°,同理可取

[〃・.G=o

那么cos值冲=舒4,所以二面角A-M—C的余弦值

2023新课标1卷

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试题解析：（I）连接BD,设BDAAC=G,连接EG,FG,EF,在菱形ABCD中，不妨设GB=1,由

ZABC=120°,可得AG=GC=④.

由BE1平面ABCD,AB=BC可知，AE=EC,

X'."AElEC,；.EG=®EG1AC,

在RtZXEBG中，可得BE=啦，故DF=—.

2

在RtAFDG中，可得FG=述.

2

在直角梯形BDFE中，由Bg,BE",DF哼可得EF考,

EG2+FG2=EF2,:.EGXFG,

VACnFG=G,...EGJ_平面AFC,

TEGu面AEC,；.平面AFC,平面AEC....6分

（ID如图，以G为坐标原点，分别以赤，前的方向为x轴，y轴正方向，|的

为单位长度，建立空间直角坐标系G“yz,由（I）可得A（0,一6，0）,E（l,0,

行)，F(-1,0,—),C[0,G,0),AAE=(1,8，后)，CF=(-1,

2

-百，争.T0分

AE•CFG

故cos<AE.CF〉=__________—_____

~\AE\\CF\~3

所以直线AE与CF所成的角的余弦值为字……12分

考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的

计算；空间想象能力，推理论证能力

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2023新课标2卷

(D证明：VAE=CF^,

4

••EF//AC.

,**四边形ABCD

••AC1BD,

•••

••EF1BD9••EFLDH9••EFLD'H.

•AC=69••AO=35

又A8=5，AOA.OB9OB=4,

•A[7

••OH=——OD=]9

AO

••DH=D,H=39

•\|OZ)f=|o川2+|D'/7|29

••D'HLOH.

又「IEF=H9

£>'"_1面ABCD.

⑵建立如图坐标系〃5Z.

8(5,0,0),C(l,3,0),D'(O,0,3),A(l,-3,0),

uuuuuuuuu

48=(4,3,0),m=(-l,3,3"AC=(0,6,0),

设面am法向量I=(x,y,z),

x=3

%-AB=04HJ4x+3y=()

由取y=-49

，.而=01-x+3y+3z=09

z=5

16

•u

••%=(3,-4,5).

同理可得面AD,C的法向量黑（3,。,1”

|9+5|775

5万屈-25

J2返

25

2023新课标1卷

【解析】

(1),**ABEF为正方形

•

••AF.LEF

YZAFD=90°

•\AFLDF

••

•DF^EF=F

AF±面EFDCAF±面ABEF

・•・平面ABEF上平面EFDC

(2)由(1)知ZDFE=ZCEF=6O°

AB//EF

ABU平面EFDC

Mu平面EFDC

；•A