专题03条件概率与全概率公式2

专题03条件概率与全概率公式专题03条件概率与全概率公式一．事件的相互独立性1.两个事件相互独立的定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.必然事件Ω，不可能事件∅都与任意事件相互独立.2.相互独立的性质：如果事件A与B相互独立，那么A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与B，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也都相互独立．二．条件概率①定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.②概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)·P(B|A)．三．条件概率的性质设P(A)>0，则①P(Ω|A)＝1；②如果B和C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；③设eq\x\to(B)和B互为对立事件，则P(eq\x\to(B)|A)＝1－P(B|A)．四．全概率公式1.P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))；2.定理1若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝Ω；③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝eq\o(\o(∑,\s\up11(n),\s\do4(i＝1))PBAi)＝eq\o(\o(∑,\s\up11(n),\s\do4(i＝1))PAiPB|Ai).五．贝叶斯公式1.一般地，当0＜P(A)＜1且P(B)＞0时，有P(A|B)＝eq\f(PAPB|A,PB)＝eq\f(PAPB|A,PAPB|A＋P\o(A,\s\up6(－))PB|\o(A,\s\up6(－))).2.定理2若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝Ω；③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.则对Ω中的任意概率非零的事件B，有P(Aj|B)＝eq\f(PAjPB|Aj,PB)＝eq\o(\f(PAjPB|Aj,\o(∑,\s\up11(n),\s\do4(i＝1))PAiPB|Ai)).3.拓展：贝叶斯公式充分体现了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))，P(AB)之间的转化．即P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)，P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(B|A)P(A)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))之间的内在联系．六、常用结论与知识拓展1.两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．2.P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)是在事件B发生的条件下事件A发生的概率．3.计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B的概率P(B)代替P(AB)．题型一相互独立事件判断【典例1】(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(B)A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立【典例2】【多选题】（2324高二下·四川成都·开学考试）已知，是随机事件，若，且，则下列结论正确的是（

）A． B．，为对立事件C．，相互独立 D．【规律方法】1.判断事件是否相互独立的方法（1）定义法：事件A，B相互独立⇔P(A∩B)＝P(A)·P(B)．（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．（3）条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．题型二：独立事件与互斥事件【典例3】（2324高二上·浙江舟山·期末）已知事件，且，如果与互斥，那么；如果与相互独立，那么，则分别为（

）A． B．C． D．【典例4】（2324高二上·广东佛山·阶段练习）射箭是群众喜闻乐见的运动形式之一，某项赛事前，甲、乙两名射箭爱好者各射了一组（72支）箭进行赛前热身训练，下表是箭靶区域划分及两人成绩的频数记录信息：用赛前热身训练的成绩估计两名运动员的正式比赛的竞技水平，并假设运动员竞技水平互不影响，运动员每支箭的成绩也互不影响．箭靶区域环外黑环蓝环红环黄圈区域颜色白色黑色蓝色红色黄色环数12环34环5环6环7环8环9环10环甲成绩（频数）0012363624乙成绩（频数）01245123612(1)甲乙各射出一支箭，求有人命中8环及以上的概率；(2)甲乙各射出两支箭，求共有3支箭命中黄圈的概率．题型三相互独立事件概率计算【典例5】（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为．【典例6】（2007·陕西·高考真题）某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否回答正确互不影响．(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．【规律方法】1.求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积．(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．2.求相互独立事件同时发生的概率的步骤(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件的概率，再求积．3.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．4．求复杂事件的概率一般可分三步进行(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．5.计算事件同时发生的概率常用直接法，当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法．题型四条件概率的计算【典例7】（2023·全国·高考真题）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（

）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4【典例8】（2022·天津·高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为【规律方法】1.判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的“已知”“在…前提下(条件下)”等字眼．第3题中没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也认为是条件概率问题．运用P(AB)＝P(B|A)·P(A)，求条件概率的关键是求出P(A)和P(AB)，要注意结合题目的具体情况进行分析．2.求条件概率的两种方法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得，这是求条件概率的通法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得.题型五条件概率性质的应用【典例9】（2324高二上·河南南阳·期末）已知，，则.【典例10】（2324高二下·山东烟台·阶段练习）已知，，，则，．【规律方法】条件概率性质：设P(A)>0，则①P(Ω|A)＝1；②如果B和C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；③设eq\x\to(B)和B互为对立事件，则P(eq\x\to(B)|A)＝1－P(B|A)．题型六全概率公式的应用【典例11】（2024·全国·二模）某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（

）A． B． C． D．【典例12】（2324高三下·浙江·阶段练习）甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为.【总结提升】利用全概率公式的思路(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)；(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)；(3)代入全概率公式计算．题型七贝叶斯概率公式的应用【典例13】（2024·江苏宿迁·一模）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（

）A． B． C． D．【典例14】（2324高二下·江苏·课前预习）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.假设发送信号0和1是等可能的.若已知接收的信号为0，求发送的信号为1的概率.【规律方法】利用贝叶斯公式求概率的步骤第一步：利用全概率公式计算P(A)，即P(A)＝eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)；第二步：计算P(AB)，可利用P(AB)＝P(B)P(A|B)求解；第三步：代入P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求解．题型八递推法求概率【典例15】【多选题】（2324高三上·湖北·阶段练习）投掷一枚质地不均匀的硬币，己知出现正面向上的概率为p，记表示事件“在n次投掷中，硬币正面向上出现偶数次”，则下列结论正确的是（

）A．与是互斥事件 B．C． D．【典例16】（2024高三上·全国·专题练习）随着芯片技术的不断发展，的性能越来越强大，为用户体验带来了极大的提升．某科技公司开发了一款学习类的闯关益智游戏，每一关的难度分别有“容易”“适中”“困难”三个档次，并且下一关的难度与上一关的难度有关，若上一关的难度是“容易”或者“适中”，则下一关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为，若上一关的难度是“困难”，则下一关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为，已知第1关的难度为“容易”．(1)求第3关的难度为“困难”的概率；(2)用表示第关的难度为“困难”的概率，求．一、选择题：1．（2014·全国·高考真题）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.452.（2024·黑龙江哈尔滨·一模）有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．己知第台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”，事件“零件为次品”，则（

）A．0.2 B．0.05 C． D．3．（2024·海南省直辖县级单位·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（

）A． B． C． D．4．（2324高二下·山东青岛·阶段练习）盒中有除颜色外完全相同的2个红球和3个黑球，随机地从中取出1个，观察其颜色后放回，并加上同色球2个，再从盒中取出1个球，则取出的是黑球的概率为（

）A． B． C． D．5．（2024·全国·二模）某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（

）A． B． C． D．6．（2324高二下·吉林长春·阶段练习）某学校高中部有自由、青华两个校区，数学教研组每周选择其中一个校区开例会，第一周例会选择青华校区的概率是，如果第一周例会选择自由校区，那么第二周去自由校区的概率为；如果第一周去青华校区，那么第二周去自由校区的概率为；已知数学教研组第二周去自由校区开会，则第一周去自由校区开会的概率为（

）A． B． C． D．二、多选题7．（2324高二下·河北沧州·阶段练习）设A，B为随机事件，且，则下列说法正确的是（

）A．若，则A，B相互独立B．若，则C．若，则D．若，则8．（2024·湖北·二模）已知为随机事件，，则下列结论正确的有（

）A．若为互斥事件，则B．若为互斥事件，则C．若相互独立，则D．若若，则三、填空题：9．（2324高二上·河南南阳·期末）已知，，则.10．（2010·安徽·高考真题）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球