北师大版八年级数学下册期中必考经典题详解

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北师大版八年级数学下册期中必考经典题详解

题目

如图，在△ABC中，AB=AC,

ABAC=36°,BD是N4BO的平分线，交

AC于点D,E是AB的中点，连接ED并延长，交

BC的延长线于点F,连接AF,求证:

(1)EF±AB；

(2)歹为等腰三角形.

BC

解答

【答案】

(1)见解析.

(2)见解析.

【解析】

•/AB=AC,ABAC=36°,

AABC=72°

又「是的平分线，

AABD=36°

ABAD=/ABD

AD=BA

又7E是的中点，

DE1AB,即FELAB.

(2)\-FE±AB,AE=BE,

...FE垂直平分

AF=BF

：,ABAF=AABF

又•「AABD=ABAD

：.AFAD=Z.FBD=36°

又「Z.ACB=72°

AAFC=AACB-ACAF=36°

ACAF=AAFC=36°

AC=CF,即△4CF为等腰三角开乡.

一枝寒梅初中数学

题目

某校餐厅计划购买12张餐桌和一批餐椅，现从

甲、乙两商场了解到：同一型号的餐桌报价每

张均为200元，餐椅报价每把均为50元.甲商场

称：每购买一张餐桌赠送一把餐椅；乙商场规

定：所有餐桌椅均按报价的八五折销售.那么，

什么情况下到甲商场购买更优惠？

解答

设学校计划购买/把餐椅，到甲、乙两商场购

买所需要费用分别为g申、期乙,

①当椅子的数量小于12时，

g甲—2400；

y乙=(200x12+50x)x85%；

or

当由<g乙时，2400<2040+—x,

解得：x>8.47,即］29.

②y甲=200x12+50(3：-12),

即：期甲=1800+50/；

y乙=(200x12+500x85%,

85

即g乙=2040H——x；

85

当？/甲<J乙时，1800+50x<2040+—x

/.X<32,又根据题意可得：1212,

12W1<32,

综上所述，当购买的餐椅大于等于9少于32把

时，到甲商场购买更优惠.

题目

如图，四边形ABCD中，

AABC=AADC=45°,将△3CO绕点C

顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与

点A重合，得到△力。石.

(1)请求出旋转角的度数；

(2)请判断AE与BD的位置关系，并说明理

由；

(3)若40=2,CD=3,试求出四边形

ABCD的对角线BD的长.

>

解答

【答案】

(1)90°；(2)4E_LB。；(3)50=海

【解析】

4令A71znrI-I+>—++4日Kil

题目

如图,在RtAABC中，ZACB=90°,

NB=60。，AD,CE是角平分线，AD与CE相交

于点F,FM_LAB,FN_LBC,垂足分别为M,

No求证：FE=FD.

解答

证明：连接BF,如下图所示:

.「F是角平分线交点，

二.BF是角平分线，

「.MF=FN,NDNF二NEMF=90°.

,在RtZXABC中，NACB二90。，NABC=60°,

「.NBAC=30°,

「.NDAC=15。，

/.ZCDA=75°.

.「NNFC=45°,NMFN=120°,

「.NMFE=15。，

「.NMEF二75。=NNDF.

(ADNF=NEMF

在4DNF和Z\EMF中，(乙NDF=4MEF,

INF=MF

/.△DNF^AEMF,

/.FE=FD.

题目

如图(1),在△48C中，乙创c二

75。，乙4c5=35°,乙ABC的平分线BD交边AC于

点以

(1)求证：△BCO为等腰三角形；

(2)若乙BAC的平分线AE交边BC于点心如图(2),

求证：30+4D=45+5£；

(3)若4刚C外角的平分线AE交CB的延长线于点

E,请你探究(2)中的结论是否仍然成立，并直接写出

正确的结论.

解答

【证明】⑴在△A8C中，乙ft4c=75。，"8=35°,

/.ABC=1800-ABAC-乙ACB=70°.

vBO平分44BC,

/,DBC=^-/.ABC=35°,

乙DBC=LACB,:.BD=DC,

■.△BCO为等腰三角形.

（2）如图（1）,在4c上截取4H=4B,连接EH.

由（1）得△BC。为等腰三角形，

/.BD=CD,A

・•・BD+AD=CD+AD=AC.

・・・AE平分464C,

•・・乙EAB=乙EAH,/L/

BEC

・•・△ABE^AAHE,图⑴

・•・BE=EH,jAHE=乙ABE=700,

・・・乙HEC=LAHE-乙ACB=35。，

・•・乙HEC=乙ACB,

・・・EH=HC,

・•.AB+BE=AH+HC=AC,.-.BD+AD=AB+BE.

（3）不成立，正确结论：5O+4D=8£-/1B.理由：

如图（2）,在8£上截取=连接的

—FBc

图⑵

・・・ZABC=70°,

・•・44尸8=484/=350.

•••Z.B4C=75°,

・•・Z.tt4B=105°.

・・・4£平分Z,EAB^-YZ_HAB=52.509

・・・LEAF=52.5°-35°=17.5°,乙AEF=乙ABC-/.EAB=

17.5°,

・••Z.EAF=乙AEF,则AF=EF.

•:£AFC=£C=35O,

/.AF=AC=EF,

・•.BE-AB=BE-BF=EF=AC=AD+CD=AD+BD,

BD+AD=BE-AB.

题目

某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入

园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消

费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问

(1)分别求出选择这两种卡消费时，y关于x

的函数表达式；

(2)请根据入园次数确定选择哪种卡消费比

较合算.

解答

【答案】

(1历甲=20/；y乙=10x+100

⑵当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较

合算；当入园次数等于10次时，选择两种消费

卡费用一样；当入园次数大于10次时，选择乙

消费卡比较合算

【解析】

(1)设g甲=kix,根据题意得5kl=100,

解得比=20,

g甲=20N,

设U乙=心6+100,根据题意得：

20k2+100=300,解得小=10

/.y乙=10力+loo；

(2)①g甲<y乙,即20N<10x+100,解

得出<10,当入园次数小于10次时，选择甲消

费卡比较合算；

②2/甲=y乙,即20i=101+100,解得

泥=10,当入园次数等于10次时，选择两种消

费卡费用一样；

③g甲>y乙、即20宏>10a?+100,解得

I>10,当入园次数大于10次时，选择乙消费

卡比较合算.

综上，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡

比较合算；当入园次数等于10次时，选择两种

消费卡费用一样；当入园次数大于10次时，选

题目

当。在什么范围内取值时，关于宏的一元一次方

程—--=―--的解，两足—1<1<1?

解答

解方程至F得：力=3—2a,

O/

丫工的-“士R2N+Qx+1

二•关于力的一兀一次方程—--=---的

O/

解满足一1W/W1,

‘3-2。2一1

―[3-2QW1'

解得：1WQW2,

所以当1W。（2时，关于I的一元一次方程

2x+a力+1-—5l,一

---=---的负星7两足一1（况WL

题目

如图，在△48C中，请用尺规作图法在BC边上求作

一点〃，使得△480是直角三角形.（保留作图痕迹,

不写作法）

解答

解:如解图，点。即为所求.

题目

已知关于x、y的方程组[*+"=2m+7的

[x—y=4m—3

解都为正数.

(1)求m的取值范围；

(2)化简：|3m+2]——5.

[剽

答2

1<<5/2\43

3m(\)/-

)-

解

[粕

⑴，i+g=2山+7①

—y=4m—3②

①+②得,2/=6m+4

解得二=3m+2

①—②得，2y=—2m+10

解得g=-m+5

•.•小g都是正数

J3m+2>0③

I—m+5>0④

2

由③得772>——

由④得m<5

2

/.m的取值范围是一可<m<5

O

2

(2)由(1)得一可<m<5

O

3m+2>0,m—5<0

13m+2|—|m—5|=3m+2+m—5

=4m—3

故答案为4zn—3.

题目

将两个全等的直角三角形48。和。BE按图①

方式摆放，其中/4C8=NDEB=90\

/4=/。=30°,点E落在48上，DE所在

直线交4C所在直线于点F.

(1)求证：AF-hEF=DE；

(2)若将图①中的△OBE绕点B按顺时针方

向旋转角a,且0。<aV60°,其它条件不

变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写

出你在(1)中猜想的结论是否仍然成立；

(3)若将图①中的△