广西南宁市某中学2023届高三模拟（三）数学（理）试题（含答案与解析）

□□□□□□□□匚2023口口口口口口口口口口

□□□□□

（试卷满分150分，考试用时120分钟）

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；

2.请将答案正确填写在答题卡上.

卷I（选择题）

一、选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分,）

1设全集。={X€2|凶<2},A={x|x+l〈O,xeU},B={—2,0,2},则&A)B=

A.{1}B.{0,2}C.{-2,0,1,2}D.(-l,2]u{-2}

2.设复数z=—!—（其中i为虚数单位），I是z的共聊复数，则z+W=（

)

1-1

1+i

B.1

A.-1C.iD.T

3.某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图.

3535

3030

2525

2()20

1515

1010

55

00

51015202530355101520253035

相关系数为小相关系数为七

3535

3030

2525

2()20

1515

1010

55

()

51015202530355101520253035

相关系数为相关系数为々

下面关于相关系数比较，正确的是)

A.r4<r2<r]<r3B.r2<r4<r]<r3C.弓D.〃<弓

181877

A.——B.——C.D.

25252525

5.在数列｛为｝中，4=1,数列,十+1，是公比为2的等比数列，设S,,为｛凡｝的前〃项和，则下列结论

埼送的是()

7

C.数列｛4｝为递减数列D.S3>-

8

6.设随机变量百服从正态分布N(3,4),若<2a-1)=>a+4),则。的值为()

15

A.-B.1C.2D.-

32

7.如图，在正方体ABCD-A4G2中，尸为棱GA上的动点，则直线PB与平面CGRO所成角(过

点8作平面的垂线，设垂足为。.连接P0,直线PB与直线P0相交所形成不大于90的角)的

正弦值的范围是()

AW，也]B□，回c『运回D『返回

32J[23J|_32J[63

8.已知函数/(x)=sin2x+百cos2x的图象向左平移。个单位长度后，得到函数g(x)的图象，且g(x)的

图象关于y轴对称，则SI的最小值为()

71—K广汽—5万

A.—B.-C.-D.—

126312

9.若函数/(x)=f—l与g(x)=alnx—1的图象存在公共切线，则实数〃的最大值为()

A.2eB.eC.5/eD.e2

10.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例,引入数列：1』,2,3,5,8,…，该数列从第三项起,每一项都等

于前两项和，即递推关系式为%+2=«„+1+%，〃wN*,故此数列称为斐波那契数列,又称“兔子数列”.已知

满足上述递推关系式的数列｛《,｝的通项公式为a“，其中AB的值可由％

小二1

和的得到，比如兔子数列中q=1，4=1代入解得A=不利用以上信息计算

）.（国表示不超过X的最大整数）（)

A.10B.11C.12D.13

「v2

H.已知双曲线G：与一方=i（a>o,8〉o）与抛物线G：y2=2〃x（〃>o）有公共焦点尸，过点F作双

曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点A，延长E4与抛物线G相交于点8,若点A满足BB=4E4,双曲

线G的离心率为e,则/=（）

A.空B.^±1C.73D.也+1

32

12.已知函数/（幻=之学0〃<0）送（%）=弛仁2,设方程/（g（x））+^=0的3个实根分别为

3厂xm

Xi，%,.且玉<X2<工3，则g（X1）+2g（x2）+3g（%3）的值可能为（）

223

A.—B.-C.—D.一

eeee

卷n（非选择题）

二、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分）

2x-y>0

13.点P（x,y）满足不等式组<x+y—2W0,点A（2,l）,。为坐标原点，。尸.。4的取值范围是

x-2y-2<0

14.如图，在菱形中，AB=2。ZBAD=60°,沿对角线8。将△A3。折起，使点/,。之间

的距离为3亚，若P，。分别为线段8。，。上的动点，则线段尸。的最小值为.

22

15.双曲线C:=l(a>0力>0)的左、右顶点分别为4B,P为C上一点，若点尸的纵坐标为1,

a~h~

|PA|=拒,|PB|=2,则C的离心率为.

16.已知函数g(x)=3x+cos(-2x)-\n(>]x2+\-x)+3,若g(ax-2e'+2)<3在xe(0,+oo)上恒成

立，则正实数。的取值范围为.

三、解答题(本题共计5小题，每题12分，共计60分)

17.已知的内角4B,。的对边分别是。，b,c,的面积为S,且满足

4S+bc-tan(B+C)=O.

(1)求角[的大小；

(2)若a=4,求~9。周长的最大值.

18.已知四棱锥P-ABC。的底面A8C。是正方形，侧棱24,平面ABC。，点/在棱DP上,且

0M=2MP，点N是在棱PC上的动点(不为端点).

(1)若N是棱尸C中点，求证：PB〃平面4MN；

(2)若AP=AO=3,当点N在何处时，直线以与平面所成角的正弦值取得最大值.

19.全国中学生生物学竞赛隆重举行.为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽

取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40,50),[50,

60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6组,制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中加值，并估计这50名学生成绩的中位数；

(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70,80),[80,90),[90,100]的三组中抽取了11人,

再从这11人中随机抽取3人，记J为3人中成绩在［80,90)的人数，求J的分布列和数学期望；

20已知函数〃x)=ln(l+3x)-o¥(aNO)

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)证明：++…+/(e为自然对数的底数，neN*).

21.已知椭圆。:与+左=1(。>人>0)过点1,手)，且离心率为孝.

(1)求椭圆c的方程；

(2)已知直线/：y=mx+2与椭圆交于不同的两点尸，Q,那么在x轴上是否存在点"，使=

且若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.

(二)选考题共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计

分.

x=3cos6—1

22.已知曲线C的参数方程为{..八_(。为参数),

y=3sin，+2

(1)求曲线C的轨迹方程，并判断轨迹的形状；

(2)设P为曲线。上的动点，且有0(0,0),A(l,0),求|PO5+|PA『的取值范围.

23.已知函数/(X)=|X-4|T,reR,且关于x的不等式/(x+2)<2的解集为(―1,5).

(1)求/的值；

a2b2c2

(2)设。，b,c均为正实数，S.a+b+c=t,求证：—+—+—>1.

bca

参考答案

一、选择题(本题共计12小题,每题5分，共计60分,)

I设全集"一{xeZ|W<2},A={x|x+140,xeU},§={一2,0,2},贝九&4)_8=()

A.{1}B.{0,2}C.{-2,0,1,2}D.(-l,21u{-2}

【答案】C

【解析】

【分析】先求补集再求并集即可.

【详解】因为U={xeZ||Xw2}={-2,—1,0,1,2},A={x|x+lW0,xeU}={-2,—1},

所以电4={0,1,2},所以@A)B={-2,0,1,2}.

故选：C.

2.设复数2=-L（其中i为虚数单位），I是Z的共物复数，则z+W=（）

1-1

1+i

C.i

A.-1B.1D.T

【答案】B

【解析】

【分析】利用共辄复数定义及复数的除法法则，结合复数加法法则即可求解.

1l+i11.-ii

【详解】z=口(l-i)x(l+i)=5+A所以z=5一

所以z+W='+Li+L_J_i=J_+_L=i.

222222

故选：B.

3.某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图.

3535

3030

2525

2020

1515

1010

55

00

101520253035101520253035

相关系数为小相关系数为A

3535

3030

2525

2()20

1515

1010

55

00

5101520253035101520253035

相关系数为「3相关系数为々

下面关于相关系数的比较，正确的是(

A.r4<r2<r}<r3B.r2<r4<r]<r3C.r2<r4<r3<r]D.r4<r2<r3<r]

【答案】C

【解析】

【分析】根据散点图的分布可得相关性的强弱，即可比较大小.

【详解】由图可知：好4所对应的图中的散点呈现正相关，而且可对应的相关性比4对应的相关性要

强，故0<4</，卬9所对应的图中的散点呈现负相关，且根据散点的分布情况可知弓<0,因此

乃<〃<G<6,

故选：c

4.设sin(a+工473(71.

-----cosa,则cosI——2a()

I65

1818C.-2D

A------B.—-士

252525

【答案】D

【解析】

竽—cosa进行化简，可得

【分析】利用和差角的正弦公式和辅助角公式对sina+-

l6

4

COS--再利用二倍角的余弦公式即可得到答案

也+c°s>=WLc°saMna

【详解】解：sina+—I=sin^-.立+cosa*=巫，所以

I625225

4

sina•—+cosa•=-BPcos

2255

71)271小=2x3-1」

所以cos--2a\-2cos

2525

故选：D

q=l，数列4是公比为2的等比数歹ij,

5.在数列｛4｝中,设S,为｛4｝的前〃项和，则下列结论

UJ

错误的是（）

111

B.a=—+—

2"-1〃2"2

7

C.数列｛a,,｝为递减数列D.S,>-

38

【答案】B

【解析】

1,

【分析】由已知结合等比数列通项公式可求一+1,进而可求。“，然后结合单调性定义及数列的求和分别

%

检验各选项即可判断和选择.

1,数列」-+11是公比为2的等比数列,

【详解】因为q

则，+1=2-2"T=2",所以41

，故A正确，B错误;

2"-]

因为y=2*—1(x21)是单调增函数，故y=_L(xNl)是单调减函数,

2—1

故数列｛g｝是减数列，故C正确；

$3=4+…=1+阜」

故D正确.

378

故选：B.

6.设随机变量J服从正态分布N(3,4),若PC<2。—1)=>。+4),则a的值为()

15

A.-B.1C.2D.-

32

【答案】B

【解析】

【分析】根据正态分布的对称性，即得解.

【详解】•••随机变量自服从正态分布N(3,4),

2a-1+a+4

根据正态分布的对称性，可得------------------=3,

2

解得＜2=1.

故选：B.

7.如图，在正方体ABC£)-A4GR中，P为棱GA上的动点，则直线PB与平面CGA。所成角(过

点6作平面CG2。的垂线，设垂足为0.连接产。，直线与直线尸。相交所形成不大于90的角)的

正弦值的范围是()

V6V3

D.T'B

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意连接尸C,可知NCP8为直线P8与平面所成的角，进而求得，8的值，从而代

入sinNCPB=—化简即可得正弦值的范围.

PB

【详解】连接PC，则ZBPC为直线PB与平面CCQ。所成的角,

设正方体ABCD-ABCQi的棱长为a,PC,=x(O<x<a),

口PB=JBC2+PC?=JBC?+PC：+CC「=d2a2+3,

-J7五

即直线P8与平面CG2。所成角的正弦值的范围是W

故选：A.

8.已知函数/(x)=sin2x+百cos2x的图象向左平移。个单位长度后，得到函数g(x)的图象，且g(x)的

图象关于N轴对称，则I勿的最小值为()

7i„re„n„5%

A.—B.-C.-D.—

126312

【答案】A

【解析】

【分析】首先将函数/(X)化简为“一角一函数”的形式，根据三角函数图象的平移变换求出函数g(x)的解

析式，然后利用函数图象的对称性建立8的关系式，求其最小值.

【详解】/(x)=sin2x+GCOS2X=2sin|2x+—\,

jl/7兀t।

所以g(x)=f(x+夕)=2sin2(x+9)+§=2sin[2x+2°+§J,

3

7TTT

由题意可得，g(x)为偶函数，所以2Q+—=七r+—/GZ),

32

解得e=4+^(ZeZ),又e>0,所以9的最小值为《

故选：A.

9.若函数/(x)=f-1与g(x)=alnx-1的图象存在公共切线，则实数〃的最大值为()

A.2eB.eC.yfeD.g2

【答案】A

【解析】

【分析】由导数的几何意义将公共切线的斜率分别由两函数上的切点横坐标占,今表示，并据此建立关系，

将。由切点坐标巧表示，进而将。转化为关于々的函数，通过求导求其最大值.

【详解】由题意得，f'(x)=2x,g'(x)=@.

X

设公切线与1的图象切于点(西，片-1),

与g(x)=alnx-l的图象切于点(七,alnx2-1),

.ca(。由々-1)-(片-1)<zlnx,-%,2

・・2%=—=------------------------=-------------，

x2x2-Xjx2-x｛

：.a=2%赴HO，，2%=2中2mx2看,

々一玉

X)=2X2-2X2Inx2,/.a=2x1x2=Inx2.

设〃(x)=4x2-4x2\nx,则h(x)=4x(1—2Inx),

J/z(x)在(0,五)上单调递增，在(五,+0。)上单调递减，

・'・力(初皿=h(yfc)—2e,

・,・实数。的最大值为2e,

故选：A.

10.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1J2,3,5,8,…，该数列从第三项起,每一项都等

于前两项的和，即递推关系式为%+2=4用+%,〃WN,故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”.已知

n

满足上述递推关系式的数列｛〃〃｝的通项公式为。〃二A・+3・，其中A8的值可由q

1

和的得到，比如兔子数列中q=1，4=1代入解得小二利用以上信息计算

A=不

V54-1Y

=（）.（［可表示不超过X的最大整数）（）

A.10B.11C.12D.13

【答案】B

【解析】

【分析】根据题不妨设A=8=l,求出％,々，进而得到的，通过｛4｝的第五项，即可得到

之间的关系，根据的范围可大致判断的范围，进而选出选项.

【详解】解：由题意可令A=5=l,

所以将数列｛4｝逐个列举可得:

=7,%=44+%=11，

'1+小丫

故[MJ=11.

故选:B

22

H.已知双曲线G：+-方=1（〃>0,人〉0）与抛物线6：、2=2。4/?>0）有公共焦点/,过点尸作双

曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点A,延长E4与抛物线。2相交于点8,若点A满足EB=4E4,双曲

线G的离心率为e,则e?=（）

A.巫B.^±1C.上D.G+1

32

【答案】A

【解析】

【分析】根据双曲线和抛物线的焦点，结合点到直线距离公式、三角形面积的等积性、双曲线离心率公式进

行求解即可.

2

【详解】如图，因为双曲线和抛物线a共焦点，故可得/+从=2

4

1be

又F(c,O)到y="X的距离d=7K=8，即|AF|=)，又EB=4E4，则忸可=4仇易得=a.

设点B（x,y）,则48=x+5,解得x=46—5；则由等面积法可知：|x|BF|x|0A|=|x|（9F|xy,

8ab（,nSab|12abb

解得y=一，则84。一与,一，则4=分+二〃，%=——，又点A在渐近线y=-x上,

PI2pJ4pa

labb（,1,c

即"-b+-p,即8。2=42。+/?~,又p=2c,

P八4J

所以2a2—0?=2机=（2/—。2）2=4c，2（c2_a2）,

化简得4a4=3C3故/=殛

3

故选：A.

【点睛】关键点睛：根据三角形面积的等积性是解题的关键.

12.已知函数/(x)=三学(祖<0),g(x)=2E(—x),设方程y(g(x))+J_=。的3个实根分别为

3rxm

XvX2,Xy,且玉<%2<w，则g(X1)+2g(X2)+3g(%3)的值可能为()

2233

A.—B.-C.—D.—

eeee

【答案】B

【解析】

【分析】利用导数研究g。)的单调性、极值及区间值域，由题设可知3/+〃a-2〃/=0在

(—8,0).(0,”)上必有两个不等的实根小，2(假设4>。2)且。=一和出=彳，结合g(X)的性质有

2

—<—<0且L=g(X)=g(M)，4=8(&)，进而求目标式的值，即可确定答案.

e3

【详解】由题设，g(x)=21n(一X)的定义域为(-8,0),且g十%)=2口

XX

・••当x£(-8,-e)时，g\x)<0,即g(x)递减；当x£(-e,o)时，g'(x)>0,即g(x)递增.

2

Ag(x)>g(-e)=一一，又不在(—8,一e)上逐渐变小时g(x)逐渐趋近于0,当—lvx<0时

e

g(x)>g(—1)=0且随x趋向于0,g。)趋向无穷大.

•.•/5)的定义域为{m了二0},由/\力+~1=0可得：3/+〃优-2/=0在(-8,0)1(0,+8)上必有两个

m

2m

不等的实根£/2(假设tx>t2)且tx=-m,t2=—(m<0),

1222次

・・・令，=g(x),要使/。)+—=0的3个实根，贝北£。+8)、re(—,0),即一一〈二［<0,可得

mee32

3

——<m<0.

e

・••由为<々<£知：，2=用(内)=g(々)，。=且(工3)，

3

g(玉)+2g(/)+3gH)=3(4+L)=-me(0,-).

故选：B.

【点睛】首先应用导数研究g(x)的性质，根据/(g(x))+,=0有3个实根，则3/+〃a—2//=0在

m

2/77

(-8,0)(0,一)上必有两个不等的实根4=—根4=3-，结合g(x)的值域求机的范围且

=g(X1)=g(%2)、4=g(%3)，即可求目标式的范围.

卷II(非选择题)

二、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分）

'2x-y>0

13.点P（x,y）满足不等式组<x+y—2<0，点A（2,l）,。为坐标原点，。尸.。4的取值范围是

X—2y—2W0

O

【答案】一]，4

【解析】

【分析】由向量数量积坐标运算可知需求z=2x+y中的z的取值范围；由约束条件可得可行域，将问题

转化为y=-2x+z在V轴截距取值范围的求解问题，采用数形结合的方式可求得结果.

UU

【详解】OP=（%,>'）>。4=（2,1）,OPOA=2x+y,

令z=2x+y,则z的取值范围即为y=-2x+z在y轴截距的取值范围；

由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，

2x-y=0

x-2y-2=0/\l\\x+y-2=0

/\\y=-2x

由图象可知：当y=-2x+z过。点时，z取得最小值；过点。时，Z取得最大值:

y—2___

山《2x一-2y），一=20=。得：'「-34’即。（鸟,2一§4、}

，一3

由1x，-+2广y-22==。0得：[xy==2。’即G/O、）；

448..「81

•f_§=_],2,皿=4+n0=4,;.z十§,41

一「8J

即OP-。4的取值范围为一§，4.

~Q-

故答案为：一〈4-

14.如图，在菱形/8CO中，AB=26NBAD=6()°,沿对角线8。将△A8L>折起，使点4C之间

的距离为3后，若P，。分别为线段8。，C4上的动点，则线段P0的最小值为

【解析】

【分析】取8。的中点E,连接/E,EC,则AEL8D，EC上BD,同时可证得AELEC.□□以E为原

点,分别以E8,EC,4所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，得出各点坐标，设0,0),

CQ=/lC4=(O,—3432),求出尸。的坐标，配方后可得最小值.

【详解】取8。的中点£,连接/E,EC,则A£_L3D，ECVBD,AE=EC=3.

因为AC=3直，所以AE?+CE=AC2,即AELEC.

以E为原点，分别以£8,EC,以所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系石一孙z,

则网60,0),C(0,3,0),A(0,0,3),O卜60,01设P(a,0,0),CQ=404=(0,-3/1,34),

所以PQ=PC+CQ=(—a,3,0)+(0,—3/1,34)=(—a,3—32,3/1),

从而有=J42+(3—34)2+(32『=J42—+1,

【点睛】本题考查用空间向量法求空间两点间距离，解题关键是建立空间直角坐标系各，引入参数设

P(a,0,0),CQ=4C4=(O,-343/1).考查了学生的运算求解能力.

15.双曲线C:=l(a>0,6>0)的左、右顶点分别为A,B,尸为C上一点，若点尸的纵坐标为1,

7b2

IPA|=后,|PB|=2,则C的离心率为.

【答案】叵

6

【解析】

【分析】根据双曲线上的点与双曲线顶点连线斜率的关系，结合双曲线离心率公式进行求解即可.

【详解】根据双曲线的对称性，由|PA|〉|PB|,不妨设点P在第一象限，

设P(%,l),即.—《=1=>*=/(]+*),A(-a,0),8(a,0),

,,1111b2

kpA.kpB='=-22=i=~

xo+axo-axo-a。2(1+4)_/a，

所以---=r，即=所以c的离心率为Jl+.

V13^1V4^1a2a26\a26

742

故答案为：--

6

【点睛】关键点睛：利用双曲线上的点与双曲线顶点连线斜率的关系是解题的关键.

16.已知函数g(x)=3x+cos2x)-\n(y]x2+\-x)+3,若g(ax-2e*+2)<3在xe(0,+oo)上恒成

立，则正实数。的取值范围为.

【答案】0<a<2

【解析】

【分析】

先分析g(x)的单调性，然后将问题转化为g{ax-2ex+2)<g(0)在(0,+e)上恒成立，再利用导数采用

分类讨论的方法求解出。的取值范围.

(冗\_____(]、

【详解】因为g(x)=3x+cos2一2x+3=3x+sin2x-ln-----------+3,

令y=3x+sin2x,所以y=3+2cos2x>0,所以y=3x+sin2x在(0,+8)上单调递增，

(i、

又因为y=ln—在(0,+。)上单调递减，所以g(x)在(0,+。)上单调递增，

+1

又因为g(。)=3x0+sin0—lnl+3=3,

所以g(ax—2e'+2)<3在(0,+向上恒成立Og(分一2"+2)<g(0)在(0,+少)上恒成立，

所以以一2"+2<0在(。,+8)上恒成立，所以2e*-奴一2>0在(。,+8)上恒成立，

设〃（x）=2Z-ox-2,所以〃'（x）=2e*-a,且2e、>2，

当a<2时，h'（x）=2ex-a>0,所以〃（x）在（0,+8）上递增,所以〃（x）>〃（0）=0,满足；

当a>2时，令〃'（X）=2^,-0=0,所以x=l吗，所以〃（X）在（0,In；）上单调递减，在（1吟,+8）上

单调递增，

所以〃（1吟]<〃（0）=0,这与&（x）>0矛盾，所以不满足，

综上可知：0<。<2,

故答案为：0<aV2.

【点睛】方法点睛：利用导数求解参数范围的两种常用方法：

（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的

关系，求解出参数范围；

（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范

围最后取并集.

三、解答题（本题共计5小题，每题12分，共计60分）

17.已知的内角B,C的对边分别是。，b,c,一ABC的面积为S,且满足

4S+3tan（B+C）=0.

（1）求角力的大小；

（2）若a=4,求「ABC周长的最大值.

【答案】（1）A=]

（2）12

【解析】

【分析】（1）由4S+机:^211（3+。）=。结合三角形面积公式可化简得到cosA=g,即可求得答案；

（2）利用余弦定理得到。2+。2-16=比，进而化为（b+c）2=16+3bc,结合基本不等式求得

h+c<S,即可得cABC周长的最大值.

【小问1详解】

A+B+C=71

/.4S=-/2ctan（B+C）=-Z?ctan（7i-A）=/?ctanA,

»sinA

则2Z?csinA=he-----,

cosA

Ae(0,7i),/.sincosA=—,

又，AG(0,K),A=^；

【小问2详解】

..兀

:a=4,4=丁

/72+4—cr1

由余弦定理得cosA='=-,

2bc2

即"+c?-16=bc，(Z?+c)2=16+3bc,

所以9+C)2_]6=3AW3X色J,(当且仅当。=c=4时取“=”),

12

故W(8+C)W16,b+c<S,

.'b+c的最大值为8,a+/?+c的最大值为12,

.'ABC周长的最大值为12.

18.已知四棱锥P-ABC。的底面ABC。是正方形，侧棱E4L平面ABC。，点M在棱DP±,且

DM=2MP，点N是在棱尸C上的动点(不为端点).

(1)若N是棱PC中点，求证：PB”平面4MN；

(2)若AP=AD=3,当点N在何处时，直线均与平面所成角的正弦值取得最大值.

【答案】(1)证明见解析

(2)好

5

【解析】

【分析】(1)结合三角形的重心、”对应边成比例，两直线平行”以及线面平行的判定定理证得〃平面

AMN-

(2)建立空间直角坐标系，设PN=APC,求得直线以与平面所成角的正弦值，结合二次函数的性

质求得其最大值.

小问1详解】

设ACBD=O,连接P0交/N于点G,

连接。G并延长交P8于点儿连接例G,

在三角形PAC中，O,N分别是AC,PC的中点，

所以G是三角形24。的重心，所以上=2,

GO

PG

在三角形PBD中，。是8。的中点，一=2,

GO

所以点G为△P8D重心，所以0G=2G"，且“是PB的中点,

又•：DM=2MP，

：.MG//PH即MG//PB,又MGu平面AMN,P8平面AMN,

所以PB〃平面ZMM

••,四边形力88是正方形，且Q4J_平面/8cD,

：.AB,AD、4尸两两垂直，

以/为坐标原点，AB方向为x轴正方形建立空间直角坐标系4-町z,

如图所示，则点4(0,0,0),P(0,0,3),C(3,3,0),M(0,1,2),

则”=(0,0,3),AM=(0,1,2),PC=(3,3,-3),

设PN=2PC(0<2<1),则