2022-2023学年高三第一次模拟考试数学试卷（含解析）

2022-2023学年高三第一次模拟考试数学试卷

学校:姓名：班级：

一、单选题

1.已知集合4=卜€口%24i},8={x-y|x,yeA},则AB=（）

A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}

C.{-2,-1,0,1,2}D.{-1,0,1}

2.i是虚数单位，若言=a+〃（。，/JeR）,则loga（a—6）的值是

A.-1B.1C.0D.-j

3.唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”

诗中隐含着一个有趣的数学问题一一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚

下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标

系中，设军营所在位置为3（-2,0）,若将军从山脚下的点42,0）处出发，河岸线所在直

线方程为x+y=3,则“将军饮马”的最短总路程为（）

A.4B.5C.5/26D.3亚

4.如图，在正方体ABCD-ABCD中，E,F分别是CD,CG的中点，则异面直线AE与

BF所成角的余弦值为（）

5.已知数列{叫为等差数列，生+4=6,则4+%+%=（）

A.9B.12C.15D.16

6.我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形

结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角

三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图，若大正方形的面积是25,小正

方形的面积是1,则A£>.AE=（）

AB

A.16B.15C.12D.9

7.若对函数/(x)=2x-sinx的图象上任意一点处的切线函数g(x)=〃/'+(〃?-2)x

的图象上总存在一点处的切线4,使得则〃，的取值范围是()

A.'"JB.(0,|]

C.(-1,0)D.(0,1)

8.已知函数AM是定义在R上的可导函数，时于任意的实数x,都有与"=当

/(X)

xvO时,/(x)+/,(x)>0,若e"/(2a+l)N/(a+l),则实数。的取值范围是()

"2"1「21

A.0,-B.--,0C.[0,+s)D.(-«,0]

二、多选题

9.已知直线4：4x-3y+4=0,/2：(，〃+2)x-(，〃+l)y+2巾+5=0(〃zeR),则()

A.直线4过定点(-2,-1)

B.当机=1时，/1±/2

C.当根=2时，

D.当时，两直线44之间的距离为1

10.函数/(x)=sin(0x+“0>O,|0|<5)的部分图象如图所示，则()

C.f(x)在区间(一|,0)上单调递增

D.将/(x)的图象向左平移刍个单位长度后得到y=cos2x的图象

6

11.下列说法不正确的是()

A.不等式(2x-l)(l-x)<0的解集为｛xg<x<l)

B.已知。：l<x<2,^:log2(x+l)>l,则。是4的充分不必要条件

C.若xeA,则函数y=4rM+美£^的最小值为2

D.当xeA时，不等式Ax?+日+1>0恒成立，则k的取值范围是(0,4)

12.正方体ABCQ-A4G2的棱长是2,M.N分别是AB、8c的中点，则下列结论

正确的是()

A.DtM±B.C

B.以鼻为球心，括为半径的球面与侧面BCC4的交线长是兀

C.平面QMN截正方体所得的截面周长是a+2月

D.。声与平面QMN所成的角的正切值是正

三、填空题

9

13.灯△/!弦的两条直角边叱3,AO\,PCL平面/8GPO-,则点尸到斜边18的距

离是.

14.已知数列｛叫的前〃项和为S,,4=1,a3-4用=4+为3>0),则

15.下列命题中，正确命题的序号是.

①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是m；

②终边在y轴上的角的集合是｛a\a=k7r,keZ｝i

③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象与函数y=x的图象有3个公共点；

④把函数丫=3疝(2呜)的图象向右平移7个单位长度得到y=3sin2x的图象.

16.设“X)是定义在R上的偶函数,当X20时,f(x)=2x2-x,WJ/(-1)=

四、解答题

17.已知向量OA=(2cosa,/lsina)(2wO),OB=(-sincos/?),其中O为坐标原点.

TT

(1)若="且2=1,求向量OA与0B的夹角；

O

(2)若网匐04对任意实数&,4都成立，求实数4的取值范围.

18.甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲赢的概率为

3由于心态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为3=,若甲输了上

44

一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率就变为3.已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢.

(1)求第四盘棋甲赢的概率；

(2)求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率.

19.如图所示，在正四棱柱ABCO-AACQI中，点E，F,G分别为棱CG，CD,DD,

的中点.

(1)证明：FG〃平面ABE：

⑵若他=2,〃=3,求平面A成与平面A8AA,夹角的余弦值.

20.已知数列｛q,｝是公差不为零的等差数列，4=2,且4，生,对成等比数列.

⑴求数列｛叫的通项公式；

⑵设4=q-2/，求数列他,｝的前〃项和S,,.

21.在直角坐标系xOy中，直线)，=丘+1与抛物线C:/=4y交于A,B两点.

(1)证明：498为钝角三角形；

(2)若直线/与直线平行，直线/与抛物线C相切，切点为P,且一R记的面积为16,

求直线/的方程.

22.已知函数/(x)=(x-l)e*-or.

⑴当x>-l时，而是y=的一个极值点且/小)=-1,求.%及〃的值；

⑵已知gGbYlnx,设〃(*)=叫/")+可，若%>1,x2>0,且g(x)=〃(w),

求占-2%的最小值.

参考答案:

1.D

【分析】求得集合4={-1,0,1},结合集合交集的运算，即可求解.

【详解】由题意，集合A={xeZ|x241}={-l,0,l},所以集合

3={x-y|x,ywA}={-2,T0,l,2},所以A3={-1,0,1}.

故选：D

2.B

【详解】试题分析：因为咎=所以由复数相等的定义可

l+i?+限—?222

31

知。=1，=y,log,(a-b)=log22=1.选B.

考点：复数相等

【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数

的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,(a,b,c.deR).其次要熟悉复数相关基本概念，如

复数“+砥的实部为。、虚部为匕、模为行不、共轨为桢

3.C

【分析】求出点力关于直线的对称点，再求解该对称点与6点的距离，即为所求.

【详解】根据题意，作图如下：

因为点A(2,0),设其关于直线x+y=3的对称点为A(A-o,%)

故可得解得%=3,%=1,即A（3,1）

22

故“将军饮马”的最短总路程为由固=J(3+2)2+(l-0)2=腐.

试卷第6页，共19页

故选：c.

【点睛】本题考查点关于直线的对称点的坐标的求解，以及两点之间的距离公式，属基

础题.

4.D

【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DDi为z轴，建立空间直角坐标系，再利

用向量法求出异面直线AE与BE所成角的余弦值.

【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD为z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体ABCD-ABCD中棱长为2E,F分别是CD,CG的中点,

A(2,0,0),E(0,1,2),B(2,2,0),F(0,2,1),

AE=(-2,1,2),BF=(-2,0,1),

设异面直线AE与BF所成角的平面角为。，

AE'BF=6—述...异面直线AE与BF所成角的余弦值为手.

则cos0

AE\\BF~3S/5~~

故选D.

【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，注意向量法的合理运用，属于基础

题.

5.A

【分析】根据等差数列下标和性质计算可得.

【详解】解：在等差数列｛q｝中/+6=2%=6,所以%=3,

所以/+%+%=3%=9；

故选：A

6.A

【分析】设DE=W=x，根据勾股定理求得x=3,得出cosNDAE,再根据数量积的

定义可求.

【详解】因为大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,••.AO=5,EH=1,

试卷第7页，共19页

i^DE=AH=x,贝lj短=4/+即=》+1,

在向△AEQ中，AD2=DE2+AE2,即25=d+(x+l)?,解得x=3或T(舍去)，

r…AE4

/.cosNDAE=---=—

AD5f

.■MDME=|AD|.|A£|-COSZDA£=5X4X1=16.

故选：A.

7.D

【分析】求导得到一看范围A,再分〃?>0,加<0,，〃=0三种情况讨论得g'(x)范

围B,最后根据条件得A与B包含关系，计算得到答案.

【详解】由〃x)=2x—sinx,得尸(x)=2—cosxe[l,3],所以一1w-1,-1=A,

乙一wOo人J

由g(x)=me"+(m-2)x,得g'(x)=mex+m—2.

(1)当机>0时，导函数单调递增，/(x)e(/7?-2,4w),

由题意得吃,加,((为必'(々)=-ig‘(w)=-7777AcB

J\^>

故，解得

⑵当相<0时，导函数单调递减，g'(x)e(-oo,m-2),同理可得，〃-2>-g,与机<0矛

盾，舍去；

(3)当加=0时，不符合题意.

综上所述：川的取值范围为(0,1).

故选：D.

【点睛】本题考查了函数的切线问题，根据直线的位置关系求参数，意在考查学生的计

算能力和应用能力.

8.B

AT)

【分析】由e?,得e"(x)=e-'f(-x),进而令g(x)=e"(x),易知g(x)为偶函数,

,f(x)

再结合当x<0时，/(x)+/'(x)>0得函数g(x)在(-8,0)上单调递增，由于不等式

</(2〃+1)2/3+1)转化为/"+了(2。+1)26-'/(4+1),进而根据偶函数的性质解

g(2a+l)2g(a+l)即可.

【详解】•••^^=/工，.•.^^=e"(x)=e-"(-x),

f(x)e'

令g(x)=e"(x),则g(-x)=g(x),即g(x)为偶函数，

试卷第8页，共19页

当x<o时〃x)+r(x)>o,

g'(x)=(x)+f(x)]>0,即函数g(x)在(-8,0)上单调递增.

根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知g(x)在(0,田)上单调递减，

•••eaf(2a+\)>f(a+\),

：.e2a+'f(2a+\)>e0+'f(a+l),

：.g(2a+l)>g(a+l),即12a+1凶a+11,

2

解得，——<a<0,

故选:B.

【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性，单调性，解题的关键在于根据已知构造函数

g(x)=e"(x),进而将问题转化为而2a+l)Ng(a+l),利用g(x)的性质求解,考查运

算求解能力，化归转化思想，是中档题.

9.CD

【分析】根据给定的直线44的方程，结合各选项中的条件逐一判断作答.

[x—y+2=0fx=-3

【详解】依题意，直线4：(x-y+2)加+(2x-y+5)=0,由」八解得：，，

[2x-y+5=0[y=T

因此直线4恒过定点(-3,-1),A不正确；

当m=1时，直线4：3x—2y+7=0,而直线4：4x-3y+4=0,显然3x4+(-2)x(-3)w0,

即直线4,不垂直，B不正确;

当，"=2时，直线小4厂3尸9=0,而直线《：4x_3y+4=0,显4然-3;4即////,,

4-39

C正确；

当“〃时，有小2=-(、+1)*也乂解得加=2,即直线4：4x-3y+9=0,

4-34

.|9-4|।

因此直线《4之间的距离"=/,，八，=1，D正确.

0-+(-3)2

故选：CD

10.BD

【分析】先根据图象求解出了(x)的解析式，然后逐项判断最小正周期、/1g]的值、

在上的单调性以及平移后的函数解析式.

试卷第9页，共19页

【详解】因为/(O)=sine=±|同所以e=/,所以〃x)=sin5+4

2266)'

5兀

0,所以sin

又因为了71

所以包0+工=上%,keZ,所以“二'!^--,keZ,

1265

T57c

—>--

T7m、1.212匚lI、［5/r27r5乃..1612

又因为<,所"以一<二，所以=<。<二，

T6。355

—<--5TT

1412

所以当〈空/eZ,所以k=l,O=2,所以〃x）=sin卜x+j］；

555\o7

A.T=§=万，故错误；

B./侍卜'in（与+3=sin^=_l,故正确；

C.当仪4,0）时，（2x+?Hf,因为y=sinx在「普意上不单调，

所以“X）在区间（一|，0）上不单调，故错误；

D.将/（x）的图象向左平移各个单位长度后得到

y=sin2（x+?）+?=sinf2x+=cos2x,故正确；

故选:BD.

11.ACD

【解析】根据一元二次不等式的解法，可判定/错误；根据对数的运算和充分、必要条

件的判定，可判定6正确；结合基本不等式，可判定C错误；根据不等式恒成立和二次

函数的性质，可判定〃错误.

【详解】对4由（2x-l）（l-x）<0可得（2x—l）（x—1）>。，

所以或x>l,所以4错误.

对6：由Iog2（x+1）N1可得x+122,所以x21,

所以p:1<x<2是q：log?（》+1）21的充分不必要条件，所以8正确.

对C：由y=Jf+4+1产,当且仅当f+4=1时取等号，

但是-+424,所以丫=6+4+-74f4+：=］,所以。错误.

Vx+444

对"若当xeR时，不等式履2_h+［〉0恒成立，

①当左=（）时，不等式为1>0恒成立，满足题意；

试卷第10页，共19页

②当心。时，只要-—Av。,解得。＜女＜4；

所以不等式"2一区+1〉。的解集为R,则实数％的取值范围为［0,4）,所以〃错误.

故选：ACD

【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，其中解答中涉及到了一元二次不等式的求解,

基本不等式的应用，以及不等式的恒成立问题的求解，着重考查推理与运算能力，属于

中档试题.

12.AC

【分析】以点A为坐标原点，A3、AD.AA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直

角坐标系，可判断AD选项；分析可知以A为球心，逐为半径的球面与侧面BCC内的

交线是以点C为圆心，半径为厂=小5-CQ；=1的;圆,利用扇形的弧长公式可判断B

选项；确定平面"MN与正方体各棱的交点，求出截面周长，可判断C选项.

【详解】以点A为坐标原点，AB.AD,AA所在直线分别为x、y、z轴建立如图所

示的空间直角坐标系，

对于A选项，A（0,2,2）、M（1,0,0）、4（2,0,2）、C（2,2,0）,

£＞附=（1,—2,-2）,4c=（0,2,-2）,则RM由C=0—4+4=0,DtM1B.C,A对；

对于B选项，因为DCJ■平面881GC,

所以，以。为球心，方为半径的球面与侧面8CC4的交线是以点G为圆心，半径为

Js-CQ；=1的;圆,

故交线长为gx兀xl=5,B错；

对于D选项，易知点4（2,0,2）、4（0,2,2）、M（1,0,0）、N（2,l,0）,

设平面RMN的法向量为〃=（x,y,z）,MN=0,1,0）,DtM=（1,-2-2）,

n・MN=x+y=0

则取x=2,可得〃=（2,—2,3）,

n-DXM=x-2y-2z=0

B.D,•n—82>/2

牝=（-2,2,。），8s<杷,〃>=硕"而，

试卷第11页，共19页

设直线BQ与平面所成角为6,则sin6=^；,

后

所以，cos（9=Vl-sin26>=-^=,故tan6="2=22,

V17cos。3

因此，。蜴与平面"MN所成的角的正切值是过1,D错.

3

对于C选项，设平面交棱AA于点E（0,0/）,其中04d2,M£=（-l,0,r）,

因为MEu平面RMN,所以，MEn=-2+3t=0,解得，=［，即点后1,。1}

由空间中两点间的距离公式可得忸同=0目=,02+（2-0）2+（2-目—=半，

同理可得目=|NF卜半，|例可=血，

因此，平面1MN截正方体所得的截面为五边形D,EMNF,

其周长是尤+2x言—+己_=5/2+2>/13,C对.

故选：AC.

【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：

（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在

平面内的射影，即可确定线面角；

（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度"，从而不必

作出线面角，则线面角，满足sine=：（/为斜线段长），进而可求得线面角；

（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线/的方向向量，〃为平面的法

向量，则线面角。的正弦值为sin0=|cos<a,".

13.3

【分析】先建立空间直角坐标系，写出P，A8坐标和AB的坐标，再利用空间中点到直

试卷第12页，共19页

线的距离公式计算即可.

【详解】解：以点C为坐标原点，CA,CB,“所在直线分别为X轴，y轴，z轴建立如

则4(4,0,0),6(0,3,0),所以A8=(-4,3,0),衣=卜,0,)

所以点P到48的距离d=4|J"为]="6+坦—变=3.

Y1|A8|JV2525

故答案为：3.

【点睛】本题考查空间中点到直线的距离，关键是熟悉向量法表示距离，属于基础题.

【分析】根据题意求得。,用-4,=1,得到q=",利用等差数列的求和公式，求得

1c/I1、

2・(----------),结合裂项法求和法，即可求解.

Stlnn+l

【详解】由碌1-4向=4+%，可得。；+1-d="“+|+。“，即(~-%)(4+1+%)=%+%，

因为M>。，所以

又因为4=1,所以%=l+(〃-l)xl=",

可得5.=吗曲，所以

"2Sn〃(几+1)n〃+1

所以J+[++-^-=2x[(l-1)+(1-1)++(---二)]=2x(1--二)=鸟.

SjS2Sn223n/?+1n+1n+\

2〃

故答案为：----.

n+1

15.①④

【分析】对于①，利用辅助角公式可得y=3sin(4x-?),利用公式可求其最小正周

期后可知①正确；对于②，｛a[e=QrMwZ｝表示x轴上的角，对于③，不等式

sinx<x(0<x<]｝亘成立，故可判断②③是错误，而利用图像变换可知④正确.

【详解】对于①，因为y=^sin(4x-?),故最小正周期为7=今=],故①正确；

试卷第13页，共19页

对于②，｛。|。=版deZ｝表示》轴上的角，故②错；

对于③，不等式sinx<｛0<x<]｝亘成立，故在(O,])±y=sinx的图像与y=x的图

rr

像没有公共点，但x=0,sinx=x=O,当x>5时，x>1,5>sinx，,y=sinx的图像与

丁=》的图像在(。,+8)没有公共点，而丫=$皿工为奇函数，所以在同一坐标系中，函数

y=sinx的图像与函数y=x的图像有1个公共点；

对于④，因为y=3sin2x=3sin(2x—9+])=3sin20,一高+?,故把函数

y=3sin(2x+的图像向右平移%个单位长度可得到y=3sin2x的图像，故④正确.

综上，①④正确，填①④.

【点睛】三角函数的图像往往涉及振幅变换、周期变换和平移变换，找寻两个不同函数

图像的变换时，首先它们的函数名要相同，其次两者之间的周期变换看。，左右平移看

区.注意周期变换和平移变换(左右平移)的次序对函数解析式的影响，比如

CD

>=sin(2x+?),它可以先向左平移(个单位，再纵坐标不变，横坐标变为

原来的;，也可以先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的;，再向左平移g.

//6

16.1

【解析】由偶函数的性质运算即可得解.

【详解】因为/⑴是定义在R上的偶函数且当xNO时，fM=2x2-x,

所以f(T)=〃l)=2-l=l.

故答案为：1.

17.(1)〈04,08〉=。；(2)(-00,-311J[3,+«).

【分析】(1)按向量数量积的定义先求夹角余弦，再求得夹角；

(2)不等式22|。0化为l+2/lsin(p-a)+4b4恒成立，令sin(/?-a)取1和一1

代入解不等式组即可得.

【详解】(1)当/=1时，(?A=(cosa,sina),故|。小=Jcos?a+sin2a=1,

|OB|=J(-sin此+cos2。=\,

41

又。4O8=sin(a—/?)=sin_=一,

试卷第14页，共19页

小.OAOB1

故cos〈OA,08〉=।~~-।.

供必n卜阿2-

jr

因为〈。4。8〉£[0,如，所以〈。4,。8〉=§.

(2)BA=OA-OB=(2cosa+sin4,2sina-cos(3),

故网>2|(?B|对任意实数a,夕都成立，

即(Acostz4-sin/7)24-(2sincr-cos/7)224对任意实数a,p都成立.

整理得储+1+22sin(4-a)24对任意实数a,P都成立.

因为一lWsin(力-a)Wl,

所以「fA>+0心“或Wf2<+0,I+2…解得八3或&3.

所以实数2的取值范围为(9,-3][3,+w).

【点睛】本题考查向量模与夹角，考查不等式恒成立问题，不等式

22+l+22sin(^-a)>4中把sin(力-a)作为一个整体，它是关于sin(£-a)的一次不等

式，因此要使它恒成立，只要sin(/?-a)取1和一1时均成立即可.

【分析】(1)第四盘棋甲赢的事件为A,它是第三盘棋甲赢和甲输的两个互斥事件的和，

再利用独立事件、互斥事件的概率公式计算作答.

(2)甲恰好赢三盘棋的事件为反它是甲在第三盘赢、第四盘赢、第五盘赢的互斥事

件的和，再利用独立事件、互斥事件的概率公式计算作答.

【详解】(1)记第四盘棋甲赢的事件为4它是第三盘棋甲赢和甲输的两个互斥事件A，4

的和，

339111g111

P(A)=：X，=77,^)=7XX=O*则P(A)=P(A)+P(4)=/+$=R，

44lo42oloolo

所以第四盘棋甲赢的概率是

16

(2)记甲恰好赢三盘棋的事件为6,它是后三盘棋甲只赢一盘的三个互斥事件的和，

甲只在第三盘赢的事件为耳、只在第四盘赢的事件为打、只在第五盘赢的事件为反，

试卷第15页，共19页

则尸(即=汨x(l-；)G，P(B2)=lxlx[l-2j=±.P(B3)=lx(l-l)xl^I,

3113

则有尸8)=尸4+P闯+尸闯=++=

3232lolo

3

所以比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率为77.

16

19.(1)证明见解析

⑵必

61

【分析】(1)证明尸G〃BA，根据线面平行的判定定理证明FG〃平面ABE；(2)距离

空间直角坐标系利用向量方法求平面ABE与平面A3AA夹角的余弦值.

(1)

如图，连接CR.

因为点F,G分别为棱CO,OR的中点，所以FG〃CR.

在正四棱柱ABCO—AAGR中，CD,//BAt,所以FG〃B4，

又尸Ga平面aBE,BAU平面ABE

所以FG〃平面ABE.

(2)

如图，以A为坐标原点，分别以A3,AD,A4所在直线为x,y,z轴建立空间直角

坐标系A-孙z.

则A(0,0,3),8(2,0,0),

所以BE=(0,2,1),BA,=(-2,0,3).

试卷第16页，共19页

设平面ABE的法向量为〃=(x,)，,z),则〃_(_网，nlBE，

n-BA=-2x+3z=0

所以3，令z=4,得〃=(6,-3,4).

n-BE=2y+—z=0

易知平面ABB,A的一个法向量为初=(0,1,0).

设平面ABE与平面AB4A的夹角为e.

m-n33向

则|cos0\

Im||n\66+9+16-61

所以平面ABE与平面A网A夹角的余弦值近.

20.(1)an=2/?,HGN.

44n+,

(2)Sn=n+«+---—.

【分析】(1)根据等比中项求解得d=2,进而根据等差数列通项公式求解即可;

(2)由题知％=2〃-4",进而分组求和即可.

【详解】(1)解：由题意，设等差数列｛%｝的公差为"0x0),

?=2+d,%=2+3d,

生,4成等比数列，

：.a-=ai-a,,即(2+d)2=2(2+34),整理得/一2"=0,

解得”=0(舍去)，或4=2,

二.。“=2+2(〃-1)=GN\

试卷第17页，共19页

(2)解：由(1)知么=4一2%=2〃-22"=2〃一4",

l2

所以，S„=b］+b2++Z>„=(2xl-4)+(2x2-4)++(2〃-4")

=2x(l+2++”)-(4+42+....+4")

〜”(〃+l)4(1-4")244,1+1

21-433

21.(1)证明见解析；(2)y=±y/3x-3.

【分析】(1)设AG/),85,为)，联立［iU：得/一4收一4=0,求出

。4。3=为电+芦％<0,从而证明.408为钝角三角形；

(2)由(1)知，xt+x2=4k,y+、2=%(可+±)+2=4标+2,求出弦长|A3|和点p到

直线>=履+1的距离，由.皿的面积为16可列式计算，求直线/的斜率，进而求直线/

的方程.

【详解】(1)证明：设A(x“yJ,8(与％)，联立，一4"-4=0,

则为々=-4,

所以yyB1=1.

1216

从而=+、［必=-3<0,

则，403为钝角，故AOB为钝角三角形.

(2)解：由(1)知，%+工2=4攵，%+%=k(玉+/)+2=4左2+2,

贝|J|阴=y+%+p=4k2+4.

由12=4y,得夕=工，

42

设户(*0，九)，则;x0=无,x0=2k,%=公，

则点P到直线y=履+1的距离d=7F71.

从而一小8的面积+

解得k=±6,

故直线/的方程为y=±百x-3.

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【点睛】圆锥曲线是高考的的重要考点，也是难点，一般的解题方法是将直线方程和圆

锥曲线方程联立，然后结合题意，应用韦达定理求解.

22.(1)/=0,a=0

(2)2-21n2

【分析】(1)由已知可得出消去。可得(片―%+1卜*-1=0,令

F(x)=(x2-x+l)et-l,其中x>-l,利用导数分析函数尸(x)的单调性与极值，可得

出％的值，进而可求得。的值；

(2)由已知可得小11占=(d)%/2,即为g(xj=g(e*2),利用导数分析函数g(x)在

(1,内)上的单调性，可得出％=e”，可得出为-2%=j-2%，利用导数求出函数

4(x)=e'-2x在(0,+向上的最小值，即为所求.

【详解】(1)解：因为/(x)=(x-l)e*-亦,其中x>-l,则/(障)=屁*-4,

令P(x)=f'(x),则p,(x)=(x+l)ex>0对任意的x>-1恒成立，

所以，函数尸(x)在(-1,+8)上单调递增，

因为%是y="X)的一个极值点且/伉)=-1,则

消去“可得(片-%+1)呼一1=0,

令尸(x)=(x2-x+l)e*-l,其中x>-l,则/'(x)=x(x+l)e*,

当-l<x<0时，F(x)<0,此时函数尸(x)单调递减，

当x>0时，F(x)>0,此时函数尸(x)单调递增,

所以，尸(可0加=/(°)=°，所以，%=。，故a=/e"=。，

此时/(x)=(x-l)ev,则f\x)=xex,

当—l<x<0时，/'(x)<0,此时函数f(x)单调递减，

当x>0时，制x)>0,此时函数〃x)单调递增，

故函数/(X)在x=0处取得极小值-1,合乎题意.

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综上所述，«=Xo=0.

(2)解：因为/?(x)=e，[r(x)+a]=xe2*,

因为8(%)=人(々)，即X：In%，即x；lnX1=(e*YIne*,

即g(xj=g(e*2),其中玉>1,x2>0,则e->l,

当x>l时，g'(x)=2xlnx+x>0,故函数g(x)在(1,+oo)上单调递增,

12

由g(xi)=g(e*)可得%=e*,所以，x,-2x2=e-2x,,其中%>。，

构造函数<7(x)=e*-2x,其中x>0,则</(x)=e*-2,由q[x)=0可得x=ln2,

当0<x<ln2时，q'(x)<0,此时函数q(x)单调递减,

当x>ln2时，q'(x)>0,此时函数4(可单调递增，

故9(x)min=4(ln2)=2-21n2,即芯-2%的最小值为2-21n2.

【点睛】关键点点睛：解本题第(2)的关键就是将等式变形为玉21nxi=(e*『Ine&,转

化为ga)=g(e"),利用指对同构的思想得出百=e4,将为-2々转化为以巧为自变量

的函数，进而利用导数求解.

2023届高三第一次模拟考试数学试卷

学校:姓名：班级：

一、单选题

1.设全集U=R,集合A={x|x—240},集合8Hxilgx>0},则AB=()

A.{2}B.{0,2}C.(0,2)D.(1,2]

2.若复数z满足(1—i)z=2+i,贝”=(

“13.13.

A.------1Bn.——+—i

2222

3.ub>a+\n是3'>3"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材

埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，

不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯

试卷第20页，共19页

口深C£>=2-若，锯道越=2,则图中AC8与弦A8围成的弓形的面积为（）

5.已知向量a=(T,2),b=,〃包=8，则加=()

A.-2B.-1C.1D.2

A.1B.-1C.2D.-4

8

8.定义域为R的可导函数的导函数y=/（x）为尸（X）,满足〃x）>r（x）,且“0）=1,

则不等式/（x）<e，的解集为（）

A.（YO,2）B.（2,+oo）C.（T,0）D.

二、多选题

9.若a>b>l,0<c<l,则下列表达正确的是（）

A.logac>log*cB.log,,a<log,,b

C.ac<bcD.ca>cb

10.已知函数f（同=心叭5+。）（4>0,0>0,|同<:|）的部分图象如图所示.将函数

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/（X）的图象向右平移2■个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵

坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，则（）

B.g（x）的图象关于直线x=对称

O

c.g（x）的图象关于点修，0）对称

D.函数〃x）+g（x）的最小值为-4

11.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M、N,若线段MN的最小值为73-1，

则（）

4%

A.正方体的外接球的表面积为12万B.正方体的内切球的体积为7

C.正方体的棱长为2D.线段MN的最大值为2石

12.设函数〃x）=xlnx,g（x）=gx2,给定下列命题，其中正确的是（）

A.若方程〃力=%有两个不同的实数根，则壮（一,0）；

B.若方程/（力=/恰好只有一个实数根，贝必＜0；

c.若片＞莅＞。，总有，”[8（n）-8（*2）]＞/（菁）-/（*2）恒成立，则加之/；

D.若函数尸（x）=〃x）-2«g（x）有两个极值点，则实数

三、填空题

13.已知向量。=(1,3),6=(-2,1),1=(3,2)若向量'与向量3+5共线,则实数

k=.

14.sin(-1110°)=.

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W-2x+4

15.若x>2,则、=的最小值为

x—2

四、双空题

16.三棱锥尸―ABC中，R4=P3=PC=AB=BC=1,且平面PACJ_平面ABC,则AC=

；若球。与该三棱锥除PB以外的5条棱均相切，则球。的半径为.

五、解答题

17.已知数列｛%｝满足4=1,4+|=-"：

[a“+2,〃为偶数.

(1)记"=a2„,写出々，b2,并求数列也｝的通项公式；

(2)求｛%｝的前20项和.

18.在；A8C中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知A=:,6=200

(1)求tanC；

(2)若“=26,求_43C的面积.

19.某校两个班级100名学生在一次考试中成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩

分组如下表：

组号第一组第二组第三组第四组第五组

分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

频率

(1)求。的值，并根据频率分布直方图，估计这100名学生这次考试成绩的平均分；

(2)现用分层抽样的方法从第三、四、五组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个

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总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率.

20.如图，在三棱柱ABC-A4G中，AB=AC^2,。为BC的中点，平面阳C。，平

面ABC,设直线/为平面ACQ与平面A4G的交线.

(1)证明：/工平面

(2)已知四边形BBC。为边长为2的菱形，且N8/C=60。，求二面角。-AC；-C的余

弦值.

2、,21

21.已知椭圆C:r予■+方=1(。>6>0)的下顶点A和右顶点B都在直线4：y=](x-2)上.

(1)求椭圆方程及其离心率；

⑵不经过点B的直线4：y=履+相交椭圆C于两点P,Q,过点尸作x轴的垂线交/,于点

。，点P关于点D的对称点为E.若E/.Q三点共线，求证：直线4经过定点.

22.已知函数/(x)=xe*-ar-gax2.

⑴当。=2时，求函数〃x)的单调区间；

(2)若〃")=/("+：以2在(y,0)上单调递增，求a的取值范围；

⑶当时，确定函数“X)零点的个数.

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参考答案：

1.D

【分析】求出集合A中的不等式的解集，确定出集合A,利用对数函数的图像与性质及

对数的运算性质，求出集合8中不等式的解集，确定出集合8,找出两集合的公共部分，

即可得到两集合的交集.

【详解】由集合A中的不等式X-2W0,解得X42,

•••集合4=（fo,2］,

由集合8中的不等式lgx>O=l