冀教版八年级数学上册【教学设计】《反证法》

义务教育教科书

数学

八年级上册

《反证法》

♦教材分析

反证法又称归谬法。反证的批判思想有助于学生正确的认识客观世界。中学阶段，是一个人

形成价值观的重要阶段。这些信息在学生头脑中留下各种是或非的印象，如何取其精华，去

其糟粕？学生可以利用反证法。我们现行的教材中，许多的内容可以说是矛盾的，学生如果

能正确的分析问题，不是被动的接受书本或是教师的灌输，对其今后的学习、工作，无疑将

有很大的帮助。

在教学过程中，我们重视的不是学生如何解决矛盾，而是非常高兴地看到学生利用反证法对

客观世界的认识提出了自己的问题，正是反证法教学所要教给学生的。这些正是学生学习数

芋应该学会的能力.

♦教学目标

【知识与能力目标】

通过实例，体会反证法的含义，培养用反证法简单推理的技能，进一步培养观察能力、分析

能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。

【过程与方法目标】

了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

【情感态度价值观目标】

在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是

相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。

♦教学重难点

【教学重点】

1、理解反证法的概念，2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反

证法证明简单的命题。

【教学难点】

理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”。

♦课前准备

直尺、三角板、多媒体课件等。

♦教学过程

（一）情境导入

王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子。小伙伴们纷纷去摘取果

子，只有王戎站在原地不动。

王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李。”

小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李。

王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法？

我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了反证法的思维。反证法是数学中常用的一种方

法。人们在探求某一问题的解决方法而正面求解乂比较困难时，常常采用从反面考虑的策略,

往往能达到柳暗花明又一村的境界。你能总结出以上这种证明方法的步骤吗？

假设李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘

去解渴呢？那么，树上的李子还会这么多吗？这与事实矛盾吗？说明李子是甜的这个假设是

错的还是对的？所以，李子是苦的。其思维过程的表述如下图：

假设李子甜-树在道边则李子少-与与己知条件“树在道边而多子”产生矛盾-假设“李子

甜”不成立-所以“树在道边而多子,此必为苦李”是正确的。

（二）探究新知

1.认识反证法

反证法：在证明一个命题时，有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和

已知条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所

求证的命题正确。这种证明方法叫做反证法。

在证明一些命题为真命题时，一般用直接证明的方法，但有时候间接证明的方法可能更方便,

反证法就是一种常见的间接证明方法。

在第九章中，我们已经知道”一个三角形中最多有一个直角''这个结论，我们怎样证明它呢？

求证：一个三角形中最多有一个直角.

已知:如图,AABC.

求证：在△ABC中，如果它含有直角，那么它只能有一个直角.

A、

C

B

证明：假设aABC中有两个（或三个）直角，不妨设/A=NB=90°

VZA+ZB=180°,

’从这个假设和其他已知条件出发，经

।--------\过推论论证，得出矛盾的结果.

.,.ZA+ZB+Z01800.1-----------/

这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾.

因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立。

故如果三角形含有直角，那么它只能有一个直角.i

,由矛盾的结果，河岸

立，从而说明命题的

不用HU・

同学们讨论用反证法证明一个命题的步骤，然后师生共同总结。

用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤：

第一步，假设命题的结论不成立；

第二步，从这个假设和其他已知条件出发，经过推论论证，得出与学过的概念，基本事实,

己知证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果；

第三步，由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的。

（三）学以致用

例1用反证法证明平行线的性质定理一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.。

已知：如图，直线46〃切，直线旗分别于直线16,切交于点G,H,N1和N2是同位角.

求证：Z1=Z2.

师生互动。

证明：假设N1WN2.

过点C作直线JW,使得/£6沪N1.

VZEGN=Z1.

AMN#CD（基本事实）,

又：AB〃CD（已知），

.••过点G,有两条不同的直线AB和MN都与直线CD平行.这与“经过已知直线外一点，有且

只有一条直线和已知”相矛盾.

••.N1rZ2的假设是不成立的.

因此，Z1=Z2.

使学生再次明确：用反证法证题的基本思路及步骤。

例2用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.

已知：如图，在△ABC和△4‘6'C'中，NC=NC'=90。，AB=A'B',AC=A'C'.

求证：△ABCgaA'B'C'.

证明：假设△ABC与△A'B'C'不全等,即BCWB'C'.

不妨设BCVB'C'.如图，在B'C'上截取C'D=CB,连接A'D

在△ABC和4A'DC'中，VAC=A'C,ZC=ZC，,CB=CD

AAABC^AA'DC'（SAS）.

/.AB=A，D（全等三角形的对应边相等）.

•.•AB=A'B''（已知），

.•.A'B'，=A'D（等量代换）.

AZB'=/A'DB'（等边对等角），.'.NA'DB'<90°（三角形内角和定理），

即/C'〈/A'DB'<90°（三角形的外角大于和它不相邻的内角）.

这与/C'=90°相矛盾.

因此，BCWB'C'不成立.即4ABC与ANB'C'不全等的假设不成立.

AABC^AA'B*C.

教师带领学生先进行一定的分析，预设问题：

（1）你首选的是哪一种方法？

（2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？

（3）能不用反证法吗？你准备怎样证明？

教师在例后要引导学生比较体会反证法的优点：当正面证明比较繁杂或较难证明时，用反证

法证明是一种证明的思路。

（四）巩固新知

1.利用反证法证明"直角三角形至少有一个锐角不大于45°”，应先假设（C）

A.直角三角形的每个锐角都小于45°B.直角三角形有一个锐角大于45°

C.直角三角形的每个锐角都大于45°D.直角三角形有一个锐角小于45°

2.命题“aABC中，若NA>/B,则a>b”的结论的否定应该是(B)

A.a<bB.aWbC.a=bD.a》b

3、“a<b”的反面应是(C)

(A)aW>b(B)a>b(C)a=b(D)a=b或a>b

4.用反证法证明命题“若X244,则XW2”的第一步应假设(X=2)

(五)链接生活

反证法的思想也时常体现在人们的日常交流中，下面是有关的一个例子：

妈妈：小华，听说邻居小芳全家这几天下在外出旅游。

小华：不可能，我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢！

上述对话中，小华要告诉妈妈的命题是什么？(小芳全家没外出旅游.)

他是如何推断该命题的正确性的？

在你的日常生活中也有类似的例子吗?请举一至两个例子.

(六)课堂小结

间接证明方法

反证法〉

假设结论不成立

I得出矛盾的结果

假设不成立,原命题成立

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