高考数一轮复习 7.2空间立体几何体的表面积和体积讲解与练习 理 新人教A版

eq\a\vs4\al(第二节空间几何体的表面积和体积)[备考方向要明了]考什么怎么考了解球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式).1.多以选择题或填空题的形式考查，有时也以解答题形式考查．2.常以三视图为载体考查几何体的表面积或体积，如年安徽T12，广东T6，浙江T11等．也可以给出几何体的棱、面满足的条件来计算表面积或体积，如年江苏T7，山东T13.解答题(其中的一问)一般给出相关条件来判断几何体形状特征(特别是几何体的高)并计算体积或表面积，如年湖南T18(2)，湖北T19(2)等.[归纳·知识整合]1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r＋r′)l2.空间几何体的表面积和体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3[探究]1.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么联系？提示：2．如何求不规则几何体的体积？提示：常用方法：分割法、补体法、转化法．通过计算转化得到基本几何体的体积来实现．[自测·牛刀小试]1．棱长为2的正四面体的表面积是()A.eq\r(3) B．4C．4eq\r(3) D．16解析：选C正四面体的各面为全等的正三角形，故其表面积S＝4×eq\f(\r(3),4)×22＝4eq\r(3).2．(·上海高考)一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________．解析：由已知条件得圆柱的底面半径为1，所以S表＝S侧＋2S底＝cl＋2πr2＝2π×2＋2π＝6π.答案：6π3．(教材习题改编)一个球的半径扩大为原来的3倍，则表面积扩大为原来的______倍；体积扩大为原来的______倍．解析：设原球的半径为1，则半径扩大后半径为3，则S1＝4π，S2＝4π×32＝36π，即eq\f(S2,S1)＝9，所以表面积扩大为原来的9倍．由V1＝eq\f(4,3)π，V2＝eq\f(4,3)π×33＝12π，即eq\f(V2,V1)＝27，所以体积扩大为原来的27倍．答案：9274．(·辽宁高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知该组合体的上方是一个高为1，底面直径为2的圆柱，下方是一个长、宽、高分别为4、3、1的长方体，如图所示，它的体积V＝1×π＋4×3×1＝12＋π.答案：12＋π5．(教材习题改编)如图，用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是________．解析：由于半圆的圆弧长等于圆锥底面圆的周长，若设圆锥底面圆半径为r，则得2π＝2πr，解得r＝1，又圆锥的母线长为2，所以高为eq\r(3)，所以这个圆锥筒的容积为eq\f(1,3)π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.答案：eq\f(\r(3),3)π几何体的表面积[例1](·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()A．28＋6eq\r(5) B．30＋6eq\r(5)C．56＋12eq\r(5) D．60＋12eq\r(5)[自主解答]该三棱锥的直观图如图所示．据俯视图知，顶点P在底面上的投影D在棱AB上，且∠ABC＝90°，据正视图知，AD＝2，BD＝3，PD＝4，据侧视图知，BC＝4.综上所述，BC⊥平面PAB，PB＝eq\r(PD2＋BD2)＝5，PC＝eq\r(BC2＋PB2)＝eq\r(16＋25)＝eq\r(41)，AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(41)，PA＝eq\r(PD2＋AD2)＝2eq\r(5).∵PC＝AC＝eq\r(41)，∴△PAC的边AP上的高为h＝eq\r(PC2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AP,2)))2)＝6.∴S△PAB＝eq\f(1,2)AB·PD＝10，S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝10，S△PBC＝eq\f(1,2)PB·BC＝10，S△APC＝eq\f(1,2)AP·h＝6eq\r(5).故三棱锥的表面积为S△PAB＋S△ABC＋S△PBC＋S△APC＝30＋6eq\r(5).[答案]B———————————————————由三视图求几何体表面积的方法步骤eq\x(\a\al(根据三视图,画出直观图))→eq\x(\a\al(确定几何体,的结构特征))→eq\x(\a\al(利用有关,公式计算))1．(·马鞍山模拟)如图是一个几何体的三视图，则它的表面积为()A．4π B.eq\f(15π,4)C．5π D.eq\f(17π,4)解析：选D由三视图可知该几何体是半径为1的球被挖出了eq\f(1,8)部分得到的几何体，故表面积为eq\f(7,8)·4π·12＋3·eq\f(1,4)·π·12＝eq\f(17,4)π.几何体的体积[例2](1)(·湖北高考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.eq\f(8π,3) B．3πC.eq\f(10π,3) D．6π(2)(·安徽高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是________．[自主解答](1)由三视图可知，该组合体上端为一圆柱的一半，下端为圆柱．其体积V＝π×12×2＋eq\f(1,2)×π×12×2＝3π.(2)据三视图可知，该几何体是一个直四棱柱，其底面是直角梯形(两底边长分别为2、5，直腰长为4，即梯形的高为4)，高为4.∴该几何体的体积为V＝eq\f(2＋5,2)×4×4＝56.[答案](1)B(2)56———————————————————由三视图求解几何体体积的解题策略以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．2．(·新课标全国卷)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A．6 B．9C．12 D．18解析：选B由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形高为3的三棱锥，其体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×6×3×3＝9.3．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是()A．8－eq\f(2π,3) B．8－eq\f(π,3)C．8－2π D.eq\f(2π,3)解析：选A圆锥的底面半径为1，高为2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，即V＝23－eq\f(1,3)×π×12×2＝8－eq\f(2,3)π.与球有关的切、接问题[例3](·新课标全国卷)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()A.eq\f(\r(2),6) B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(2),2)[自主解答]△ABC的外接圆的半径r＝eq\f(\r(3),3)，点O到平面ABC的距离d＝eq\r(R2－r2)＝eq\f(\r(6),3).SC为球O的直径，故点S到平面ABC的距离为2d＝eq\f(2\r(6),3)，故棱锥的体积为V＝eq\f(1,3)S△ABC×2d＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(2\r(6),3)＝eq\f(\r(2),6).[答案]A———————————————————与球有关的切、接问题的解题策略解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．4．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3eq\r(2)，则这个四棱锥的外接球的表面积为()A．12π B．36πC．72π D．108π解析：选B依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为3eq\r(2)×eq\r(2)＝6，高为eq\r(3\r(2)2－\f(1,2)×62)＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于4π×32＝36π.3个步骤——求解与三视图有关的几何体的表面积、体积的解题步骤3种方法——求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体．1种数学思想——求旋转体侧面积中的转化与化归的数学思想方法计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.创新交汇——空间几何体中体积的最值问题1．求空间几何体的体积一直是高考考查的重点，几乎每年都考查，既可以与三视图结合考查，又可以单独考查．而求空间几何体体积的最值问题，又常与函数、导数、不等式等知识交汇考查．2．求解空间几何体最值问题，可分为二步：第一步引入变量，建立关于体积的表达式；第二步以导数或基本不等式为工具求最值．[典例](·湖北高考(节选))如图1，∠ACB＝45°，BC＝3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°(如图2所示)．当BD的长为多少时，三棱锥A－BCD的体积最大？[解]如图1所示的△ABC中，设BD＝x(0<x<3)，则CD＝3－x.由AD⊥BC，∠ACB＝45°知△ADC为等腰直角三角形，所以AD＝CD＝3－x.由折起前AD⊥BC知，折起后(如图2)，AD⊥DC，AD⊥DC，且BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BDC，∠BDC＝90°，所以S△BCD＝eq\f(1,2)BD·CD＝eq\f(1,2)x(3－x)．于是VA－BCD＝eq\f(1,3)AD·S△BCD＝eq\f(1,3)(3－x)·eq\f(1,2)x(3－x)．法一：VA－BCD＝eq\f(1,6)(x3－6x2＋9x)．令f(x)＝eq\f(1,6)(x3－6x2＋9x)．由f′(x)＝eq\f(1,2)(x－1)(x－3)＝0，且0<x<3，解得x＝1.当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1,3)时，f′(x)<0，所以当x＝1时，f(x)取得最大值，即BD＝1时，三棱锥A－BCD的体积最大．法二：VA－BCD＝eq\f(1,12)·2x(3－x)(3－x)≤eq\f(1,12)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x＋3－x＋3－x,3)))3＝eq\f(2,3)，当且仅当2x＝3－x，即x＝1时，取“＝”．故当BD＝1时，三棱锥A－BCD的体积最大．eq\a\vs4\al([名师点评])解答此题的关键是恰当引入变量x，即令BD＝x，结合位置关系列出体积的表达式，将求体积的最值问题转化为求函数的最值问题．eq\a\vs4\al([变式训练])如图，动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N.设BP＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是()解析：选B显然，只有当P移动到中心O时，MN有唯一的最大值，淘汏选项A、C；P点移动时，取AA1的中点E，CC1的中点Q，平面D1EBQ垂直于平面BB1D1D，且M、N两点在菱形D1EBQ的边界上运动，故x与y的关系应该是线性的，淘汰选项D，选B.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为()A．7 B．6C．5 D．3解析：选A设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.2．(·长春模拟)一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为()A.eq\f(3,2)π B．2πC．3π D．4π解析：选A依题意知，该几何体是一个底面半径为eq\f(1,2)、高为1的圆柱，则其全面积为2π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋2π×eq\f(1,2)×1＝eq\f(3,2)π.3．(·广东高考)某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A．72π B．48πC．30π D．24π解析：选C此几何体由半个球体与一个圆锥组成，其体积V＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×33＋eq\f(1,3)π×32×eq\r(52－32)＝30π.4．(·广州模拟)设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则eq\f(S1,S2)的值等于()A.eq\f(2,π) B.eq\f(6,π)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,2)解析：选D设球的半径为R，其内接正方体的棱长为a，则易知R2＝eq\f(3,4)a2，即a＝eq\f(2\r(3),3)R，则eq\f(S1,S2)＝eq\f(4πR2,6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)R))2)＝eq\f(π,2).5．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．48 B．32＋8eq\r(17)C．48＋8eq\r(17) D．80解析：选C由三视图可知几何体是一个放倒的直棱柱(最大的侧面贴在地面上)，直观图如图，底面是等腰梯形，其上底长为2，下底长为4，高为4，∴两底面积和为2×eq\f(1,2)×(2＋4)×4＝24，四个侧面的面积为4×(4＋2＋2eq\r(17))＝24＋8eq\r(17)，∴几何体的表面积为48＋8eq\r(17).6．已知正方形ABCD的边长为2eq\r(2)，将△ABC沿对角线AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到如图所示的三棱锥B－ACD.若O为AC边的中点，M，N分别为线段DC，BO上的动点(不包括端点)，且BN＝CM.设BN＝x，则三棱锥N－AMC的体积y＝f(x)的函数图象大致是()解析：选B由平面ABC⊥平面ACD，且O为AC的中点可知，BO⊥平面ACD，易知BO＝2，故三棱锥N－AMC的高为ON＝2－x，S△AMC＝eq\f(1,2)MC·AD＝eq\r(2)x，故三棱锥N－AMC的体积为y＝f(x)＝eq\f(1,3)·(2－x)·eq\r(2)x＝eq\f(1,3)(－eq\r(2)x2＋2eq\r(2)x)(0<x<2)，函数f(x)的图象为开口向下的抛物线的一部分．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(·安徽高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．解析：由三视图可知此几何体为底面是直角梯形的直四棱柱，其表面积S＝(4＋2＋5＋5)×4＋2×eq\f(1,2)×(2＋5)×4＝92.答案：928．(·江苏高考)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________cm3.解析：由题意，四边形ABCD为正方形，连接AC，交BD于O，则AC⊥BD.由面面垂直的性质定理，可证AO⊥平面BB1D1D.四棱锥底面BB1D1D的面积为3eq\r(2)×2＝6eq\r(2)，从而VA－BB1D1D＝eq\f(1,3)×OA×S长方形BB1D1D＝6.答案：69．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的外接球的表面积为________．解析：该棱锥的直观图如图，取CD的中点E，BD的中点F，由三视图知，AE⊥平面BCD，AF＝5，AE＝eq\r(52－32)＝4，∠CBD＝90°.设O为该棱锥外接球的球心，半径为R，由题知BO2＝BE2＋EO2，即R2＝(3eq\r(2))2＋(R－4)2，解得R＝eq\f(17,4)，故球的表面积为S＝4×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,4)))2＝eq\f(289π,4).答案：eq\f(289π,4)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．(·杭州模拟)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2eq\r(2)＝(60＋4eq\r(2))π，V＝V圆台－V圆锥＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π·22＋π·52＋\r(22·52π2)))×4－eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(148,3)π.11．(·郑州模拟)一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为eq\r(3)，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为eq\r(3).所以V＝1×1×eq\r(3)＝eq\r(3).(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，所以S＝2×(1×1＋1×eq\r(3)＋1×2)＝6＋2eq\r(3).12．如图1所示，在边长为12的正方形ADD1A1中，点B、C在线段AD上，且AB＝3，BC＝4，作BB1∥AA1分别交A1D1、AD1于点B1、P，作CC1∥AA1分别交A1D1、AD1于点C1、Q，将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得DD1与AA1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC－A1B1C1.(1)求证：AB⊥平面BCC1B1；(2)求多面体A1B1C1－APQ的体积．解：(1)由题知，在图2中，AB＝3，BC＝4，CA＝5，∴AB2＋BC2＝CA2，∴AB⊥BC.又∵AB⊥BB1，BC∩BB1＝B，∴AB⊥平面BCC1B1.(2)由题易知三棱柱