九年级数学人教版上册知识点总结

九年级上册人教版数学知识点总结

第二十一章一元二次方程

21.1一元二次方程

知识点——元二次方程的定义

等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元

二次方程。

注意一下几点：

①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2;③是整式方程。

知识点二一元二次方程的一般形式

一般形式：ax2+bx+c=0(a#0).其中，ax?是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系

数；c是常数项。

知识点三一元二次方程的根

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解

的定义是解方程过程中验根的依据。

典型例题：

1、已知关于X的方程(m+G)x+(m-3)-1=0是一元二次方程，求m的值。

21.2降次——解一元二次方程

21.2.1配方法

知识点一直接开平方法解一元二次方程

(1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地,

对于形如x2=a(aN0)的方程，根据平方根的定义可解得xi=&,x2=-6

(2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(mw0)形式的方程，如果p>0,就可以利用直接

开平方法。

(3)用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们

互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是：

①移项；

②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；

③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；

④解一元一次方程，求出原方程的根。

知识点二配方法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程

转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。

(1)把常数项移到等号的右边；

(2)方程两边都除以二次项系数；

(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；

(4)若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

21.2.2公式法

知识点一公式法解一元二次方程

(1)一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a/0),如果b2-4ac>0,那么方程的两个根为

2

-b±b-4ac

x=——y丫----------,这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元

2a

二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

(2)一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=O(a力0)

的过程。

(3)公式法解一元二次方程的具体步骤：

①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a/0),一般a化为正值

②确定公式中a,b,c的值，注意符号；

③求出b2-4ac的值；

④若b2-4ac>0,则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac<0,则方程无实数根。

知识点二一元二次方程根的判别式

式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(ar0)根的判别式,通常用希腊字母△表示它，

即A=b2-4ac.

21.2.3因式分解法

知识点一因式分解法解一元二次方程

(1)把一元二次方程的一边化为0,而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次

方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。

(2)因式分解法的详细步骤：

①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；

②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；

③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；

④解一元一次方程即可得到原方程的解。

知识点二用合适的方法解一元一次方程

方法名称理论依据适用范围

直接开平方法平方根的意义形如x2=p或(mx+n)2=p(p>0)

配方法完全平方公式所有一元二次方程

公式法配方法所有一元二次方程

因式分解法当ab=O,则a=0或b=0一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的

一元二次方程。

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为X1,X2,则有Xi+X2=-p,XiX2=q.

—be

若一元二次方程a2x+bx+c=0(aw0)有两个实数根xi,X2,则有xi+x=--,xix=-

2a2a

22.3实际问题与一元二次方程

知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤：

(1)审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。

(2)设：是指设元，也就是设出未知数。

(3)歹11:列方程是关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示

这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。

(4)解：就是解方程，求出未知数的值。

(5)验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。

(6)答：写出答案。

知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型

(1)数字问题

三个连续整数：若设中间的一个数为X,则另两个数分别为x-1,X+L

三个连续偶数(奇数)：若中间的一个数为x,则另两个数分别为x-2,x+2。

三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c,则这个三位数是100a+10b+c.

(2)增长率问题

设初始量为a,终止量为b,平均增长率或平均降低率为x,则经过两次的增长或降低后的等量关系为a

(l±x)2=b。

(3)利润问题

利润问题常用的相等关系式有：

①总利润=总销售价-总成本；

②总利润=单位利润x总销售量；

③利润=成本x利润率

(4)图形的面积问题

根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立

一元二次方程。

中考回顾

1.关于X的方程2/+/77X+/7力的两个根是-2和L则仍的值为(c)

A.-8B.8C.16D.-16

2.已知关于x的方程g+x-a=0的一个根为2,则另一个根是(A)

A.-3B.-2C.3D.6

3.一元二次方程2〃-5x-24的根的情况是(B)

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

4.若X1,X2是一元二次方程炉+3X-5=0的两个根，则+X1式的值是15.

5.如果关于x的方程/4X+2/77H）有两个不相等的实数根，那么历的取值范围是m<2.

6.已知所,总是关于x的一元二次方程/-5x+a=0的两个实数根，且寸-3=10厕a=4

-4

模拟预测

1.方程g+x-12=0的两个根为（D）

A.AI=-2,A>=6B.AI=-6,放=2

C.M=-3,放=4D.XI=-4,X2=3

2.对形如（X+/77）2=〃的方程，下列说法正确的是（C）

A.都可以用直接开平方得x=-m士京B.都可以用直接开平方得x=-n士而

C.当/7>0时,直接开平方得x=-m士GD.当n>0时,直接开平方得x=-n士河

3.三角形的两边长分别为2和6,第三边是方程g-lOx+21=0的解，则第三边的长为（A）

A.7B.3

C.7或3D.无法确定

4.为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价,对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为

256元，设平均每次降价的百分率为％则下面所列方程正确的是（A）

A.289（l*2=256B.256（1-A）2=289C.289（1-2A）=256D.256（1-2M=289

5.若关于x的一元二次方程（m-l）g+5x+济3m+2=0的常数项为0,则m的值等于（）

A.lB.2C.1或2D.0

函由常数项为零知苏-3m+2=0解之，得他=1,利=2.又二次项系数m-lHO,所以mt1.综上可知,m=2.

故选B.

6.若关于x的一元二次方程2-3x-2a-0有两个实数根，则a可取的最大负整数为.

薪］由题意可知/=9+8*0,故抡三所以a可取的最大负整数为-1.

7.已知X1,A＞是关于x的一元二次方程*-Qm+3)x+*=0的两个不相等的实数根,且满足Xi+垃=加,则m

的值＞.

亟因为一元二次方程有两个不相等的实数根，所以[-(2。+3)]24加＞0,即m＞§由根与系数的关系可知

Ai+及=2/77+3,所以2m+3=加彳导利=-1,02=3,故m=3.

8.某地特产专卖店销售核桃，其进价为40元/午克,如果按60元/午克出售，那么平均每天可售出100kg.后

来经过市场调查发现，单价每降低2元很！1平均每天的销售量可增加20kg.若该专卖店销售这种核桃想要平

均每天获利2240元，请回答：

(1)每千克核桃应降价多少元？

(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

(1)设每千克核桃应降价x元,根据题意彳导

(60-X/0乂100-7X20)-2240.

化简狷/-10x+24=0.

解得＜*!=4〃=6.

答:每千克核桃应降价4元或6元.

(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元，因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元.此

时,售价为60-6=54(元)，所以三X1OO%=9O%.

60

答:该店应按原售价的九折出售.

第22章二次函数知识点归纳及相关典型题

1.定义：一般地，如果y="2+^+c(a也c是常数，“。0),那么y叫做x的二次函数

2二次函数y=a/的性质

(1)抛物线y=♦的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.

(2)函数y=♦的图像与“的符号关系.

①当a>0时o抛物线开口向上o顶点为其最低点;

②当a<0时o抛物线开口向下o顶点为其最高点.

(3)顶点是坐标原点，对称轴是)，轴的抛物线的解析式形式为y=ax2(«^0).

3.二次函数y=ax2+bx+c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.

4.二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成：

旷=心-切2+%的形式，其中〃=_二，kJacjT

2a4a

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①y=ax?;②y=ax2+k；③y=a(x—〃)-；④y=a(x-//)2+k；⑤y=ax1+hx+c.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①。的符号决定抛物线的开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；

时越大，抛物线的开口越小；M越小，抛物线的开口越大。

②平行于J轴(或重合)的直线记作x=h.特别地，)，轴记作直线x=0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数。相同，那么抛物线的开口方向、开口大

小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

、2o

［b|4ac-b

X-\--------H---------------------------,

2a)^a

.・顶点是(-2,处土)，对称轴是直线》=-2.

2a4a2a

(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a(x-+k的形式，得到顶点为(力,女),

对称轴是直线

(3)抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛

物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.

9.抛物线y=ax?+Ox+c中，a,h,c的作用

(1)«决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的。完全一样.

(2)/口a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax?+bx+c的对称轴是直线

hh

x=—一，故：①〃=0时，对称轴为)，轴；②2>0(即4、〃同号)时，对称轴在)，轴左侧；

2aa

h

③一<0(即“、8异号)时，对称轴在轴右侧，"左同右异".

a

(3)c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c^y轴交点的位置.

当x=0时，y=c,，抛物线y+陵+。与)，轴有且只有一个交点(0,c):

①c=0,抛物线经过原点；②c>0,与)，轴交于正半轴；③c<0,与y轴交于负半轴.

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式开口方向对称轴顶点坐标

y=ax2x=0(y轴)(0,0)

当a>0时

y=ax2+kx=0(y轴)(0,k)

开口向上

y=a[x-hfx=h(〃,0)

当。<0时

y=«(x-/z)2+kx=h(h,k)

开口向下b

y=ax1+Z?x+cx=----b4ac-b2

2a(，)

2a4a

11.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)T殳式：y=ax2+bx+c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

(2)顶点式：y=a(x-力尸+h已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标X］、x2,通常选用交点式：y=a(x-X1)(x-X2)-

12.直线与抛物线的交点

(1)y轴与抛物线y=ax2+bx+c得交点为(0,c).

(2)与)，轴平行的直线x=h与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点(h,ah2+bh+c).

(3)抛物线与x轴的交点

二次函数y=a/+0x+c的图像与x轴的两个交点的横坐标毛、马，是对应一元二次方程

ax2+bx+c=O的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式

判定：

①有两个交点。△>0o抛物线与x轴相交；

②有一个交点(顶点在x轴上)o△=0o抛物线与x轴相切；

③没有交点。△<0o抛物线与x轴相离.

(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵

坐标为k,则横坐标是ax2+bx+c^k的两个实数根.

(5)一次函数,y=kx+R0)的图像/与二次函数y=ax2+bx+c[a丰0)的图像G的交点，由方程

y=kx-\-n・

组21的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时oI与G有两个交点；②方

y-ax+法七。

程组只有一组解时o/与G只有一个交点；③方程组无解时。/与G没有交点.

(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y^ax'+bx+c与x轴两交点为A&Q),凤和0)，

由于X]、X2是方程公2+bx+c=0的两个根，故

bc

X1+工2=——，X2=一

a*■a

AB=|x,-x2|=J仇-%)2=-々)2-4X/2=

中考回顾

1.已知抛物线y=^^x+3与x轴相交于点Z,仇点力在点8左侧)，顶点为M平移该抛物线，使点例平移后

的对应点例落在x轴上，点8平移后的对应点8落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为(A)

A.y=M+2x+lB.y=A2+2xAC.y=x^-2x+lD.y-A2-2x-l

2在平面直角坐标系xCy中，二次函数片a/的图象如图所示，下列说法正确的是(B)

A.abc<Q,b^-^ac>Q

B.abc>Q,t^AaoO

C.abc<Q,"4acvO

D.abc>0,t^Aac<Q

3.如果关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是mv2.

4.如图，二次函数片静，6年此权0)的图象交x轴于48两点交y轴于点。点8的坐标为(3,0),顶点C的

坐标为(L4).

备用图

Q)求二次函数的解析式和直线8。的解析式；

⑵点P是直线6。上的一个动点，过点。作x轴的垂线交抛物线于点例当点P在第一象限时，求线段PM

长度的最大值；

(3)在抛物线上是否存在异于自。的点Q使A6OQ中8。边上的高为2\2若存在求出点Q的坐标;若不存

在请说明理由.

园⑴设二次函数的解析式为片a(x-l)2+4.

••点仅3,0)在该二次函数的图象上，

--0=式3-1)2+4,解得:a=-l.

二二次函数的解析式为y=H+2x+3.

.点。在y轴上，所以可令xN,解得:片3.

二点。的坐标为(0,3).

设直线8。的解析式为片依+3把(3,0)代入得3Z+3H),解得波=工

二直线8。的解析式为y=-x+3.

(2)设点P的横坐标为m[m>0),则Rm「m+3),+2/77+3),

PM=-出+2m+3{-m+3)=-浒+3m=卜11--々V/最大值为:

⑶如图，过点Q作QGlly轴交8。于点G作QH'BD于点»则QH=2盘,

设@%-砂+2*+3),贝［|G(%-x+3),

QG4*+2x+3-(-x+3)/=/-*+3x/.

“。。8是等腰直角三角形，

.23=45。〃22=/1=45。.

.•.sinNl嗡==,.:QG=4.

得/-/+3x1=4.

当H+3X=4时,/-9-16<0,方程无实数根.

当H时，解得:吊=-1,及=4,Q(4,-5),Q(-L0).

模拟预测

1.已知二次函数y=Zx2-6x+3的图象与x轴有交点，则Z的取值范围是(D)

A.Zv3B.Z<3,且60C.^<3。心3,且60

2若点M-2，n)，M-IMR8")在抛物线片争+2x上，则下列结论正确的是(C)

A.J4<y2<yiB.yi<yi<yiC.a<yiD.yi师<yz

园x=-2时必=；/+2x=Jx(-2)2+2x(-2)=-24=£

x=-l时十=货+2*=,x(-l)2+2x(-l)=^-2=-2i

x=8时必=+2x=Jx82+2x8=-32+16=-16.

--16<-6<-2,必<yiw.故选C.

3.已知一元二次方程a/+bx+c=0(a>0)的两个实数根xi,及满足X1+x2=A和M•至=3,则二次函数

片a好+6xYa>0)的图象有可能是()

|解析:及=4〃：二=4.

.：二欠函数的对称轴为x=~=2.

2a

'.'XyXi=3'.--3.

ra

当a>0时,c>0〃二次函数图象交于y轴的正半轴.

4.小明在用"描点法"画二次函数片a/的图象时冽了如下表格:

X-2-1012

y-6--4-2--2-2f

根据表格中的信息回答问题:该二次函数*a解+bx+c在x=3时,h4.

5.若关于x的函数y=k#+2x-l与x轴仅有一个公共点很按数Z的值为〃力或攵=-1.

6.抛物线y=H的图象如图，若将其向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度,则平移后的解

析式为.

画由题中图象可知,对称轴x=l,所以-；=1,即b=2.

把点(3,0)代入片/+2x+c得c=3.

故原图象的解析式为_/=-扉+2*+3,即y=Yx-l)2+4,然后向左平移2个单位，再向下平移3个单位彳导

y=-(x-l+2尸+4-3,即y=-解-2x.1案加-/-2x

7.如图@若抛物线2i的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点8也在抛物线Li上(点A与点8不重合),

我们把这样的两抛物线互称为“友好”抛物线，可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有很多条.

(1)如图②，已知抛物线心沙=2产-8x+4与y轴交于点C试求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D

的坐标；

(2)请求出以点。为顶点的心的“友好”抛物线。的解析式,并指出《3与。中y同时随x增大而增大的

自变量的取值范围；

(3)若抛物线〃=的(火-/77)2，〃的任意一条"友好”抛物线的解析式为卜=改(*小)2+£请写出为与宓的关

系式,并说明理由.

献1),.抛物线L3：y=2年-8x+4,

.y=2(x-2)M.

顶点为(2,4),对称轴为*=2,

设x=0测片4,/0,4).

..点C关于该抛物线对称轴对称的对称点。的坐标为(4,4).

(2)•.以点"4,4)为顶点的L3的友好抛物线U还过点(2,-4),14的解析式为y=-2(x-AY+4..&与。

中，同时随x增大而增大的自变量的取值范围是24X44.4

(3)出=-血/n_v

/\o\O

理由如下：：抛物线Li的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B也在抛物线21

上,

Ln=a'("i-炉+”,①

.何以列出两个方程卜=a.而+儿②

由。+②，得(质+改)(/n-/)2=0,.ai=-42.

第二十三章旋转

23.1图形的旋转

知识点一旋转的定义

在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点。叫做旋转中心,

转动的角叫做旋转角。

我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。

知识点二旋转的性质

旋转的特征：

(1)对应点到旋转中心的距离相等；

(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

(3)旋转前后的图形全等。

理解以下几点：

(1)图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。

(2)对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。

(3)图形的大＜］环口形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。

知识点三利用旋转性质作图

旋转有两条重要性质：(1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(2)对应点到旋转

中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。

步骤可分为：

①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；

②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角)

③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点;

④接：即连接到所连接的各点。

23.2中心对称

知识点一中心对称的定义

中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关

于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。

注意以下几点：

中心对称指的是两个图形的位置关系；

只有一个对称中心；绕对称中心旋转180。两个图形能够完全重合。

知识点二作一个图形关于某点对称的图形

要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最

后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出成中心对称图形。

知识点三中心对称的性质

有以下几点：

(1)关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；

(2)关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形；

(3)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或共线)且相等。

知识点四中心对称图形的定义

把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心

对称图形，这个点就是它的对称中心。

知识点五关于原点对称的点的坐标

在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p(x,y)关于原点对称点为

BC

A3B.丑C.5D$

516

丽:在矩形ABCD中/8/D。，

且由折叠可得ABE匡4BEA,

.2BFEa°,AE=EF,AB=BF.

在RbZS。中,/8=。=6,&7=力。=8,

根据勾股定理得8。=10,即尸。=10£=4,

设£下二心%则有ED=3-x,

根据勾股定理得*=（8*2,

解得x=3,所以DE=8-3=5,故选C.

7.如图才巴正方形纸片ABCD先沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为例”再过点8折叠纸片，使点力

落在例/V上的点尸处折痕为6£若28的长为2,则加的长为（B）

不：

-------------------1c

A.2B.、月C.&D.1

画］,・四边形/8C。为正方形,28=2,过点8折叠纸片，使点/落在MN上的点FZ.FB=AB=2,BM=\,

则在RUBMF电FM=NW=小丁=遇故选B.

8.（2017湖南长沙中考）如图，将正方形折叠,使顶点Z与。边上的一点〃重合（〃不与端点C。重

合）,折痕交，。于点£交8c于点£边折叠后与边8c交于点G设。H_________「正方形

的周长为“,A0VG的周长为〃，则潍］值为（B）£

1

_A1.............二

A.=B.；C.孚D.随〃点位置的变化而变化

4一4

解析:设。/=%。£呼则DHq-x,EH=EA=^-yjzEHGWb°,；zDHE+4CHGWN.

.ZDHE+乙DEHGG。，

.-.^DEH=ACHG,

又.zD=/090°,△DEH-△CHG,

CG__CH__HGaCG_x_HG

-'-DH~DE~EH，即R一亍一苧7

△O/G的周长n=CH+CG+HG=^—,

y

在叱DEH中,DN+DR=EH1,

即得才"K-J,

整理得早一层当

mx2my

.,n=CH+HG+CG^—=工=2

yy2

故行押啮B.

模拟预测

1.下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（D）

©&G0

ABCD

2.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（B）

OAeK

ABCD

3.如图才巴一张矩形纸片28。沿对角线ZC折叠，点8的对应点为B：AB'与。0相交于点£则下列结论一

定正确的是（）

4.乙DAB'=zCABB.乙ACD=^B'CD

C.AD=AED.AE=CE

|ii]D

4.如图由巴一张长方形纸片对折,折痕为再以的中点。为顶点把平角N/O8三等分，沿平角的三等分

线折叠，将折叠后的图形剪出一个以。为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的

平面图形一定是（D）

A.正三角形B.正方形

C.正五边形D.正六边形

亟根据第一次对折以及三等分平角可知将360。进行6等分,即多边形的中心角为60。,由最后的剪切可知

所得图形符合正六边形特征.故选D.

5.如图，直线/是四边形28。的对称轴.若有下面的结论:CD,②AC1BD.③AO=OC;④AB

D

"L8C其中正确的结论有.（填序号）

R

国⑦②③

6.如图，在四边形/8C。中，点例/V分别在/日比上将AS例/V沿用/V翻折狷A/TWV若MFWAD.FNWDC.

则N8=95。

|解析-.FN\\DC,"BNF=4070。.

■.MFWAD,.zBMF="=100°.

由翻折知,NF=N8.

又"BMF+zB+zBNF+zF=360°,

.-.100°+AB+1G°+ZA=360°,

.'=N8=36°”TO"=95。

7.如图，在平面直角坐标系中，若A/ISC与关于点£成中心对称,则又撇中心点£的坐标是（3,-1）

8在Rb/SC中/8/0=90。/8=3,例为边8c上的点，连接如图）.如果例沿直线力用翻折后，点B

恰好落在边女的中点处,那么点例到力C的距离是2.

丽如图，过点例作MN±.AC=yN,

由折叠性质可知/BAM=^CAM=AS°.

■点8恰好落在边力0的中点处，

.-.AC=2AB=6.

.zANMGU,

；.4CAM=乙AMN=45°.

..MN=AN.

由RbCNM-Rt△C48得E=W，

ABCA

.MX_&MX

'一6'

..MN=2.

9.A/6C在平面直角坐标系中的位置如图.

⑴作出“8C关于p轴对称的并写出“i8iG各顶点的坐标；

⑵将用8C向右平移6个单位，作出平移后的A/h&G,并写出A/2&G各顶点的坐标;

⑶观察A48IG与A/b&G,它们是否关于某直线对称?若是,请在图上画出这条对称轴.

囤⑴“i&G如图,4(0,4),&亿2),QQ,1).(2)△"&G如图A(6,4),&(4,2),G(5,1).(3)A48IG与△

22&G关于直线x=3对称如图.

y

第二十四章圆

知识点一圆的定义

圆的定义：

第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作

圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。

第二种：圆心为O,半径为r的圆是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。

比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但

是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。

知识点二圆的相关概念

(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。

(2)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，

每一条弧都叫做半圆。

(3)等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。

(4)等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

弦是线段,弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等

弧，而不是长度相等的弧。

24.1.2垂直于弦的直径

知识点一圆的对称性

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。

知识点二垂径定理

(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为MD,AB是弦，

垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

如上图所示，直径MD与非直径弦AB相交于点C,

CD±AB

AC=BCAMWBh/T

AD=BD

注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论

不成立。

24.1.3孤、弦、圆心角

知识点弦、弧、圆心角的关系

(1)弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦

也相等。

(2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其

余的各组量也相等。

(3)注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、

弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。

24.1.4圆周角

知识点一圆周角定理

(1)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一

半。

(2)圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对弦是直径。

(3)圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。"同弧或等弧"是不能改为"同

弦或等弦"的,否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。

知识点二圆内接四边形及其性质

圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫

做这个多边形的外接圆。

圆内接四边形的性质：Q)圆内接四边形的对角互补。

(2)四个内角的和是360°

(3)圆内接四边形的外角等于其内对角

24.2点.直线和圆的位置关系

24.2.1点和圆的位置关系

知识点一点与圆的位置关系

(1)点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。

(2)用数量关系表示：若设OO的半径是r,点P到圆的距离OP=d,则有：

点在圆外军f点在圆上点午在圆内

Pdpd=r;d<r0=

知识点二

(1)经过在同一条直线上的三个点不能作圆

(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆，且只能作一

个圆。

知识点三三角形的外接圆与外心

(1)经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

(2)外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。

知识点四反证法

(1)反证法：假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原

命题成立，这种证明命题的方法叫做反证法。

(2)反证法的一般步骤：

①假设命题的结论不成立；

②从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与已知等相矛盾的结论；

③由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确。

24.2.2直线和圆的位置关系

知识点一直线与圆的位置关系

(1)直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。

(2)直线与圆的位置关系可以用数量关系表示

若设的半径是r,直线I与圆心0的距离为d,则有：

直线I和相交dQ;

直线I和。。相切dg

直线I和0。相离d0

知识点二切线的判定和性质

(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

(2)切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

(3)切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切

线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

知识点三切线长定理

(1)切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

(2)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两

条切线的夹角。

(3)注意：切线和切线长是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，是不能度量的；切线长是

一条线段的长，这条线段的两个端点一个是在圆外一点，另一个是切点。

知识点四三角形的内切圆和内心

(1)三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做圆的外切三角

形。

(2)三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。

(3)注意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和

内心的射线，必平分三角形的内角。

(4)直角三角形内切圆半径的求解方法：

①直角三角形直角边为a.b,斜边为c,直角三角形内切圆半径为r.21+"「=(;得。

2

②根据三角形面积的表示方法：^ab=-(a+b+c)r,r=?.

22a+b+c

24.3正多边形和圆

知识点一正多边形的外接圆和圆的内接正多边形

正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成n（n是大于2的自然数）等份，顺次连接各分点所得的多边形

是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。

正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。

知识点二正多边形的性质

(1)各边相等，各角相等；

(2)都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴，每一条对称轴都经过n边形的中心。

(3)正n边形的半径和边心距把正多边形分成2n个全等的直角三角形。

(4)所有的正多边形都是轴对称图形，每个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的

中心；当正n边形的边数为偶数时，这个正n边形也是中心对称图形，正n边形的中心就是对称

中心。

(5)正n边形的每f内角等于"匚2）x180：,中心角和外角相等，等于弛

nn

24.4弧长和扇形面积

知识点一弧长公式L=&或

180

在半径为R的圆中，360。的圆心角所对的弧长就是圆的周长C=2nR,所以n。的圆心角所对的弧长的计算

八HccnriR

公式L二——x2n