函数：函数图象变换及其应用-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学上学期同步讲与练(人教A版2019必修第一册)（解析版）

函数专题：函数图象变换及其应用

等知识梳理

一、函数图象变换

y=/G）的图象向右平片/（公的兔象向左平

①简记为

移a（a>0）个单位得、1\U

，左加右减,

到河石）的图象；'到尸八的图象;

上加下减”

平移变换

y=/G）的图象向上平y=/G）的图象向下平

移b（b>0）个单位得+移6（b>0）个单位得

到匕的图象;到y=/（工）-6的图象.

y=/G）的图象上所有点片/G）的图象上所有点

的横坐标缩短为原来的《、、的横坐标伸长为原来的

宣（3>1）得到y=/（3x）_£（0<3<1）倍得到

硒象；y=f（（cx）的图象；

伸缩变换

y=/G）的图象上所有点片/G）的图象上所有点

的纵坐标伸长为原来的*的纵坐标缩短为原来的

X_（A>D倍得到y=A/U）_4_（0<4<1）得到y=4/（x）

硒象；硼象.

y=/（x）与y--f（x）的<y=/（x）与/=/（-%）的

图象关于/轴对称；"f图象关于y轴对称;

对称变换

一

片/（%）与y=~f（rx）的图象关于侬对称.

片|/（工）1的图象:可将y=/（|x|1的图象：可先

片/⑷的图象在工轴"-、、、判露曾隼胪专

八V■上—7T翻折变换右边的图象，再作，轴

工史的部分关于X轴翻折受,右边的图象关于y轴

翻折，其余部分不变；对称的图象.

二、作函数图象的一般方法

1、直接法:当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线（如圆、

椭圆、双曲线、抛物线的一部分）时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出.

2、转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画

图象.

3、图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变

换得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序.对不能直接找到熟悉的基本

函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响.

4、如何制定图象变换的策略

(1)在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下：

①若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换；

②若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换.

例如：y=/(3x+l)：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤.

y=〃f)+2：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标

的为平移变换.

(2)多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标

的变换后，在安排顺序时注意以下原则：

①横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求；

②横坐标的多次变换中，每次变换只有x发生相应变化.

三、函数图象的辨识的方法步骤

图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异,排除筛选”

(1)求函数定义域(若各选项定义域相同，则无需求解)；

(2)判断奇偶性(若各选项奇偶性相同，则无需判断)；

(3)找特殊值：①对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；②对比各选项，函

数值符号的差别，自主取值(必要时可取极限判断符号)；

(4)判断单调性：可取特殊值判断单调性.

w____________

r¥常考题型

题型精析

题型一函数图象变换的判断

【例1】若想得到函数尸-3丁+1211的图象，应将函数y=-3/的图象（）

A.向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度

B.向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度

C.向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度

D.向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度

【答案】C

【解析】由题意，要得到函数广示+⑵-”的图象，即y=-3（x-2）01的图象，

只需将函数），=-3/的图象向右平移2个单位长度，再向上平移I个单

位长度，

即可得到函数丫=-3八您-11的图象.故选：C.

【变式1-1］为了得到函数了=陶（2》+2）的图象，只需把函数〉=1叫》的图象上

的所有点（）

A.向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度

B.向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度

C.向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度

D.向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度

【答案】C

［解析］因为y=log?（2x+2）=log?［2x（x+1）］=log?2+log2（x+1）=log?（x+1）+1,

所以为了得到函数y=log式2x+2）的图象，

只需把函数y=iog2》的图象上所有的点向左平移1个单位长度，

再向上平移1个单位长度.故选：C.

【变式1-2］要得到函数y=J的图象，只需将函数y二的图象（）

X-Lx

A.先向右平移1个单位，再向上平移2个单位

B.先向左平移1个单位，再向上平移2个单位

C.先向右平移2个单位，再向上平移1个单位

D,先向左平移2个单位，再向上平移1个单位

【答案】A

【解析】因为丁="=2&?+1=2+；,

x-1x-ix-1

所以函数"一的图象向右平移1个单位，

再向上平移2个单位即可得到函数y=的图象.故选：A

X—I

【变式1-3】将函数〃x)=lg(2x)的图像向左、向下各平移1个单位长度得到g(x)

的函数图像，则如)=()

A.lg(2x+l)-lB.Igf-C.lg(2x-l)-lD.

【答案】B

【解析】由题意，将函数〃x)=lg(2x)的图像向左、向下各平移1个单位长度，

可彳导g(x)=lg[2(x+l)]-l=lg(2x+2)-l=lg^^=lg~y~.故选：B.

【变式1-4]已知函数/⑶曰嗝工，将函数y=/(x)的图像向右平移1个单位长度，

再将所得的函数图像上的点的横坐标缩短为原来的3，纵坐标不变，然后将所得

的图像上的点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到函数"g(x)的图

像，则函数g。)的解析式为()

A.g(x)=31og、(；xT)B.g(x)=；k)g3(Jx_g)

C.^(x)=31og,(2x-l)D.g(x)=31og,(2x-2)

【答案】c

【解析】由函数f(x)=iog+的图像向右平移1个单位长度得到函数y=ioge-i)的

图像，

再将函数丫=1。83。-1）图像上的点的横坐标缩短为原来的3,纵坐标不

变，

得到函数y=l啕（2x7）的图像，

然后将函数y=1呜（2》-1）图像上的点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐

标不变，

得到函数g（x）=3bg3（2x-l）的图像.故选：c

题型二利用变换画函数图象

【例2】作出函数〃力=,—4-5|在区间［-2,6］上的图象.

【答案】作图见解析

【解析】先作出二次函数y=d-4x7的图象，

再把图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，保留x轴上及其上方

的部分，

并截取在区间［-2,6］的部分，即得函数〃x）=W-©-5］的图象，如图所

示.

【变式2-1］画出函数=’的图象并根据图象写出函数的单调区间及值域.

【答案】作图见解析；函数的单增区间为（口/），单减区间为。,+?）,

值域是（05.

【解析】函数y=（£|"是由函数y=向右平移一个单位得到的，

显然，y=Qj是偶函数，先画出产6，20的图像，

再作出其关于）‘轴对称的图象，即可得到y=（；『的图像，

再向右平移一个单位即得到y=（小的图像，如下图所示:

由图象可知，函数尸的单增区间为（-,1）,单减区间为。,+?）,

值域是（05.

【解析】函数f（x）=l-匕的图象，

是将函数），=--先向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到;

又由于函数y=—-图象关于原点中心对称，

所以/。）=1-一、图象关于（-1』）中心对称，所以c正确.

X+1

故选：C.

【变式2-3］已知函数y"(x)的图象如图所示，贝！|丫=/(1-司的图象为()

y\.

__/0x

【解析】将函数y="力的图象先作关于y轴的对称变换得到函数尸的图

象，

再将函数y=/(r)的图象向右平移I个单位长度得到y=〃i-x)的图

象.故选：A.

【变式2-4】已知函数〃x)=,则下列图象错误的是()

也凡r-1)的图象沙=1曲小的图象

yy-x)的图象

驴弗rl）的图象

【答案】D

【解析】当TWxWO时，〃x）=-2x，表示一条线段，且线段经过（T2）和（0,0）两

点.

当0<x41时，于g=6,表示一段曲线,函数的图象如图所示.

/（xT）的图象可由/（"的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确；

/（t）的图象可由f（x）的图象关于）'轴对称后得到，故B正确；

由于/⑺的值域为[。，2],故小）=|〃力|,

故的图象与〃x）的图象完全相同，故C正确；

很明显D中〃同）的图象不正确.故选：D.

题型三根据复杂函数解析式选择图象

【答案】B

【解析】定义域为(fO)U(OM),

X

又——一(X),故'=千为奇函数，排除CD；

3,-3

又八3)=,/(D=e+e-',显然/⑶＞〃1),故A错误，B正确.

故选：B

【变式3-1】函数y=的图像大致是()

【解析】函数＞=旨^的定义域为{加工±1}

,3Q

当x=2时，尸声1正＞°,可知选项D错误；

(-2)3-8

当、=-2时，产/=裾＜0，可知选项C错误；

.(-2)-155

i12/7

当x=5时，丫=京：-=漏<。,可知选项B错误，选项A正确.

故选：A

【解析】因为函数f（x）=a^的定义域为（7,0）U（0，KO），且

2x

-4x2+1

故/（xX*1是偶函数，排除选项B,C；

2x

当x=2时，"2）=?<0,对应点在第四象限，故排除A,故选：D.

【变式3-3］函数/（xQdlogs尸的大致图象是（）

2.—X

【解析】函数/（幻=/3『定义域为（々2）,/（-x）=（-x）2log--=-/«,

2-x2+x3

则有函数/（X）是奇函数，其图象关于原点对称，选项B,C不满足；

24~Y2+Y

当xe（O⑵时，彳」>1,即1咆3产,

L—XL-X

因此/3>0,选项A不满足，D符合条件.故选：D

9V_O-x

【变式3-4】函数），=与一的部分图象大致为（)

【解析】因为〉=〃》）=得二定义域为R,

又=半公-与：）=_〃x）,

>_0~x

所以y=〃x）=q^为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B；

当x<0时0<2*<1,2,>1,2H>1,

所以2，_2-<0,所以/（可<0,故排除D；

因为。<*1,所以。<1-*1，即。</（x）<l,故排除C；故选：A

题型四根据函数图象选择解析式

【例4】已知函数小）的部分图像如图所示，则函数/（X）的解析式可能为（

D.f(x)=x\nx+x-\

【答案】C

【解析】当x=2时,殍-2+l=ln夜-1<(),

号+2-l=ln&+l>l,21n2+2-l>l,故排除ABD.故选：C.

【变式4-1］已知函数/“）图象如图所示，那么该函数可能为（）

,-^U>0）fx-\f、川

A•”x）=MB./"）=/x）C-/（'）=e'

3l^（x<0）［（x+l）e'（x<0）

lr

D./（》）=叫叫

X

【答案】D

【解析】由图象可知，函数定义域为（7,0）UQ+8）,

图象关于原点对称，函数是奇函数，X>1时fM>0,

InX

据此，f（x）=二定义域不符合，排除A；

lax/八、

—>0）

若/(x)=:,则x>l时，/（x）<0,不符合图象，故排除B；

-Mu<o）

X-］0

A>

若〃力=<h,则当X趋向于。’时，/。）=个趋向于-1,

（x+l）e，（x<0）

当X趋向于0时，/（x）=（x+l）e、趋向于1,不符合图象,故排除c：

故选：D

【变式4-2］已知函数“X）的图象如图所示，则的解析式可能是（）

（e-2.71828是自然对数的底数）

A./（x）=e'（2x：l）B.=

X-1x+1

c.=D,=

【答案】A

【解析】由图知，,可排除BC；

又由图可知/（。）>。,因为选项D中函数/（］）=.07）,

X—1

则〃O）=e°（?：+l）=_|<o,故D错误.故选：A

【变式4-3］函数/（x）的图像如图所示，则其解析式可能是（）

5

X——

B・〃x)=4

(e-2)(x-l)

5

c/W=x——

-7(^T)D-/(x)=4

Ml)

【答案】A

【解析】由给定图像知，函数析力的定义域为{xeRIxxO且xxl},

对于B,x#ln2且XHI,B不是；

对于C,,C不是；

由图像知，当x＜0时,F(x)vT恒成立,

_5_5

44

对于D,当x=-(时，/(-1)=-55-=,D不是，A满足条

一4(一4一"

件.

故选：A

题型五多个函数在同一坐标系问题

【例5】当()＜。＜1时，在同一坐标系中，函数y=d)'与y=bg.x的大致图像只

可能是()

劭

A.B.C.

【答案】C

【解析】当。＜。＜1时，,＞1,函数尸在其定义域上是增函数，

故图象从左向右看是上升的；

y=log〃在其定义域上单调递减，故图象从左向右看是下降的.故选:

C.

【变式5-1］在同一直角坐标系中，函数/(x)=x"与8(力=尸在［。，”)上的图

【答案】A

【解析】=为幕函数，g(x)=L=d)'为指数函数

a

A.g(x)=a-，=(》，过定点(0,1),可知0＜卜1,

.•/＞1,/(x)=E的图象符合，故可能.

B.g(x)=a-*=(3'过定点(01)，可知0＜工＜1,

aa

.”＞1,/(x)=x〃的图象不符合，故不可能.

C.8(同=4=(%过定点(0,1)，可知L〉1,

aa

.-.0<«<l,/(%)=X"的图象不符合，故不可能.

D.图象中无幕函数图象，故不可能.故选：A

【变式5-2］函数/(x)=1+log2(-x)与g(x)=2一在同一直角坐标系中的图像大

【解析】•."(x)=l+log2(f)为减函数；g(x)=21为减函数;

可知图像中只有A满足两函数均为减函数.故选：A.

【变式5-3】函数y=£,y=优，)>=log0》,其中a〉0,“1存在某个实数。，使得以

上三个函数图像在同一平面直角坐标系宜打中，则其图像只可能是()

【答案】C

【解析】A：假设指数函数，=优的图象是正确的，所以有”>1,

这时对数函数y=log"是单调递增的，但是选项中的图象是单调递

减的，

所以假设不成立，故本选项不正确；

B:假设指数函数y="的图象是正确的，所以有0<a<l,

这时对数函数J=10g“X是单调递减的，但是选项中的图象是单调递

增的，

所以假设不成立，故本选项不正确；

C:假设指数函数了=优的图象是正确的，所以有,

这时对数函数J=log.X是单调递减的，选项中的图象是单调递减的，

假设不成立，

这时幕函数图象有可能正确，也有可能错误，

故存在某个实数“，使得这三个图象是正确的，故本选项正确；

D:假设指数函数＞=优的图象是正确的，所以有,

这时对数函数y=是单调递增的,选项中的图象是单调递增的,

所以假设成立，这时幕函数y=£的图象是不正确的，

因为这时的器函数的定义域是全体实数集，故本选项不正确.故选：

C

题型六图象在实际问题中的应用

【例6】小明去上学，先步行，后跑步，如果y表示小明离学校的距离，X表示

【答案】B

【解析】由题意可知：》=0时所走的路程为0，离单位的距离为最大值，排除A、

C,

随着时间的增加，先步行，开始时）'随X的变化慢，后跑步，则）'随X的

变化快，

所以适合的图象为B.故选：B

【变式6-1】“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，

骄傲起来，睡了一觉.当