北师大版九年级数学下册第二章二次函数教学设计（11课时含教学反思）

第二章二次函数教学设计

1二次函数..............................................................1

2二次函数的图象与性质................................................4

第1课时二次函数y=x2和y=­X?的图象与性质....................4

第2课时二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质..................6

第3课时二次函数y=a(x—疗和y=a(x—h)2+k的图象与性质.........9

第4课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质.....................11

3确定二次函数的表达式................................................14

4二次函数的应用......................................................17

第1课时最大面积是多少..........................................17

第2课时何时获得最大利润.......................................21

5二次函数与一元二次方程.............................................24

第1课时二次函数与一元二次方程.................................24

第2课时利用二次函数求方程的近似根.............................27

1二次函数

教学目标＜：«<

1.探索并归纳二次函数的定义.

2.能够用二次函数表示简单的变量之间的关系.

3.从实际情境中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，获

得用二次函数表示变量之间关系的体验，并通过合作、交流体验学习的乐趣.

重Q难Q＜：«<

重点

能表示简单变量之间的二次函数关系.

难点

经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程.

教学设计＜：«<

一、情境导入

问题1：现有一根12加长的绳子，用它围成一个矩形，如何围才能使矩形的面积最大？

小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？

问题2：很多同学都喜欢打篮球，投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球

达到最高点时的高度？

师：这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习二次函数.

二、探究新知

1.课件出示：

某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园

产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估

计•，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.

(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？

(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个

橙子？

（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式.

处理方式：先引导学生填写下表，再回答.

X/棵12345678910111213

y/个

2.课件出示:

设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期

储蓄转存.如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y（元）的表达式.（不考虑

利息税）

中国邮政行蓄偎行

POSTALSAVINGSBANKOFCHINA

储蓄存款利率表

存款静类“期年利率应得利息（元）

三个月2.85年门元到期0.71

半年3.05年百元到期1.S3

一年3.25每门无到期3.2S

««二年4.10年仃元到期8.20

三年4.65修仃元到期13.95

五年S.10每仃元到期25.50

一年3.10年月存10元到期2.42

零存整取三年3.15施月存10元到期17.48

五年3.25每月存10元到期49.56

活期估蓄0.40每百元一年未动0.40

一天0.95

开户时妁定提管♦知存间,KJJ

个

匕天1.49艮瞽.利率依通知"*HlHb分

定活两便按•年期以内餐存整取同档次利率六折计算

处理方式：先让学生自主独立尝试写出y与x之间的函数表达式.在独立自主探求的基

础上，小组进行合作交流，共同探讨.然后展示答案，教师对于解决问题有困难的学生从以

下两个方面进行指导：（1）银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，利率是一个变量；（2）

利息=本金X利率X期数（时间）.

3.从以上两个问题中，你发现这两个函数关系式有什么共同特征？你能用一个通用的

表达式表示它们的共性吗？

归纳总结：一般地，若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax?+bx+c（其中

a,b,c是常数，a#0）的形式，则称y是x的二次函数（quadratic.其中x是自

变量，a为二次项系数，ax'叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一次项，c为常数项.

三、举例分析

例1已知函数y=（m+2）xm：‘-2+2x—1是二次函数，求m的值.

处理方式：先给学生两分钟时间独立思考尝试解答，然后指名学生板演，学生评析，老

师纠正并对二次项系数重点强调.

例2正方形ABCD的边长为4,P是BC边上一点，QPLAP交DC于点Q,如果BP=x,

△ADQ的面积为y,用含x的代数式表示y.

D

Q

c

四、练习巩固

1.下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2+bx+c(aW0)模型的是()

A.在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系

B.我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的变化关系

C竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气

阻力)

D.圆的周长与圆的半径之间的关系

2.在生活中，我们知道，当导线有电流通过时，就会发热，它们满足这样一个表达式:

若导线电阻为R,通过的电流强度为I,则导线在单位时间所产生的热量Q=R「.若某段导线

电阻为0.5欧姆，通过的电流为5安培，则我们可以算出这段导线单位时间产生的热量Q=

3.某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件.现在他

采用提高售出价、减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减

少10件.若他将售出价定为x元，每天所赚利润为y元，请你写出y与x之间的函数表达

式.

五、课堂小结

1.一般地，若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax?+bx+c(其中a,b,c

是常数，aWO)的形式，则称y是x的二次函数.其中x是自变量，a为二次项系数，ax'叫

做二次项，b为一次项系数，bx叫做一次项，c为常数项.

2.已知函数y=ax?+bx+c(其中a,b,c是常数)，当a,b,c满足什么条件时，

(1)它是二次函数？

(2)它是一次函数？

(3)它是正比例函数？

六、课外作业

1.教材第30页“随堂练习”第1、2题.

2.教材第30〜31页习题2.1第1〜4题.

敦与反思

本节课从学生非常熟悉的矩形的面积的研究出发，再结合两个生活中的实际问题，通过

建立函数模型，归纳函数表达式的特点从而给出二次函数的定义，再针对二次函数的定义和

能用二次函数表示变量之间的关系进行了巩固应用本节课通过丰富的现实背景，使学生感受

二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值.

2二次函数的图象与性质

第1课时二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质

教学目标<

1.能够利用描点法作出二次函数y=x，的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y

2.猜想并能作出二次函数y=一—的图象，并能比较它与y=x?的图象的异同.

3.经历探索二次函数y=x?的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质

的经验.

重点

理解和掌握函数y=x?和y=-x?的图象与性质.

难点

比较y=x?和y=-x?的图象与性质的异同.

1.二次函数的定义是什么？

2.一次函数的图象是什么？性质是什么？

3.反比例函数的图象是什么？性质是什么？

4.画函数的图象有哪些步骤？

教师提出上述问题，学生讨论后回答问题.

二、探究新知

1.画二次函数y=x?的图象

引导学生利用画函数的图象的步骤画出y=1的图象：

(1)观察y=x2的表达式，任意选择x值，并计算相应的y的值，完成下表:

(2)在直角坐标系中描点.

(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x?的图象.

2.二次函数y=x?的图象的性质

问题1：图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？

问题2：当x<0时;随着x值的增大，y的值如何变化？当x>0时呢？

问题3：当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？

问题4：图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点.

问题5：你能描述图象的形状吗？

处理方式：第一步出示问题1、2、3,留给学生足够的时间思考并交流后，让学生自主

回答.在学生回答完毕后教师点拨：这三个问题都与一个神秘的点有关，就是点(0,0),它

叫做顶点.

第二步出示问题4,学生自己考虑，并举手回答.在学生回答完毕后教师点拨：二次函

数的图象为轴对称图形，对称轴为y轴，也可写成直线x=0.所以我们以后在列表时可以

对称着列出各个点的数据.

第三步出示问题5,学生先交流讨论后，教师利用课件动画演示并点拨：二次函数丫=

X，的图象是一条抛物线，并且抛物线的开口向上.如果你在地球的另一端向斜上方扔一件物

体，就是这种样子.

3.二次函数y=-x?的图象与性质

问题1：回顾一下画二次函数y=(的图象的步骤，你认为画图时需要注意什么？

问题2：二次函数y=-Y的图象是什么形状？先猜一猜，然后在教材第33页画出它的

图象.

问题3：类比研究y=x，的图象的方式，请回答：

(1)你能描述y=--的图象的形状吗？开口方向呢？

(2)y=-X’的图象的顶点坐标是什么？

(3)y有最大值还是最小值？当x取什么值时，y的最值是什么？

(4)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？

(5)当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x>0时呢？

处理方式：先出示问题1,让学生充分回顾思考后回答：①列表的选点的对称性；②描

点的准确性；③连线的平滑性.如果学生回答不全，教师可适当提示或补充.

再出示问题2,先让学生猜一猜，然后带着疑问画图.学生画图完毕后，选取部分学生

所画的图进行展示.

最后出示问题3、4、5,选取画图优秀的同学作业作为展示，同时出示5个问题，学生

自主思考，如有困难可适当讨论，思考完毕后举手回答.

三、举例分析

例1(1)点A(2,4)在二次函数y=x?的图象上吗？

(2)请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标、关于y轴的对称点C的坐标、关于原

点0的对称点D的坐标；

(3)点B,C,D在二次函数y=x?的图象上吗？在二次函数y=-x2的图象上吗？

例2比较y=x?与y=—X?的图象有什么关系？

处理方式：本环节问题比较大，可先留出时间让学生充分思考后，再组织交流讨论.学

生可以有不同说法，只要意思正确即可.教师可以分别从相同点：开口大小、对称轴、顶点;

不同点：开口方向、增减性、最值，联系：轴对称性、中心对称性等方面进行引导.

四、练习巩固

1.在函数y=x,上有两点(-1,yi),(—3,y2),那么y”y2,0的大小关系是()

A.yi<y2<0B.y2Vy】V0

C.yi>y2>0D.y2>yi>0

2.如图，边长为2的正方形ABCD的中心是直角坐标系的原点0,AD〃x轴，抛物线y

=x2和y=一(分别经过点A,B,C,D,将正方形成几部分，则图中阴影部分的面积为.

3.已知正方形的周长为Ccm,面积为S

(1)求$和C之间的函数表达式，并画出图象；

(2)根据图象，求出S=1时，正方形的周长;

(3)根据图象，求出C取何值时，S24ci

五、课堂小结

1.二次函数y=x?和y=­x?的图象的画法：

(1)选择适当的x值，计算相应的y的值；

(2)在坐标系中描点；

(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数的图象.

2.二次函数y=x?和y=-—的图象与性质：

函数表达式y=x2y=—x2

开口方向向上向下

对称轴y轴(直线x=0)

当xVO时，y随x的增大而减小当x<0时，y随x的增大而增大

增减性

当x>0时，y随x的增大而增大当x>0时，y随x的增大而减小

对称轴顶

原点(0,0)

点坐标

当x=0时，当x=0时，

最值

y有最小值为0y有最大值为0

六、课外作业

教材第34~35页习题2.2第1题.

敢与反思<:«<

本节课的设计力求体现使学生学会学习，努力实现学生的主体地位，使数学教学成为一

种过程教学，并注意教师角色的转变，为学生创造一种宽松、和谐，适合发展的学习环境，

创设一种有利于思考、讨论、探索的学习氛围，根据学生的实际水平，选择恰当的教学起点

和教学方法.由此我采用“问题一猜想一探究一应用”的学科教学模式，把主动权充分地还

给学生，让学生在自己已有经验的基础上提出问题，明确学习任务，教师引导学生观察、发

现、猜想、操作、动手实践、自主探索、合作交流，寻找解决的办法并最终探求到真正的结

果，从而体会到数学的奥妙与成功的快乐.

第2课时二次函数丫=筮2和y=ax2+c的图象与性质

数与目标<：«<

1.能画出二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象，并能够比较它们与二次函数y=x?的图

象的异同，理解a与c对二次函数图象的影响.

2.能说出二次函数y=ax“byuax'+c图象的开口方向、对称轴及顶点坐标.

3.理解并掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象之间的关系.

重Q难后<

重点

掌握二次函数y=ax，和y=ax2+c的图象的画法和性质.

难点

能够比较二次函数y=ax?和y=ax2+c的图象的异同，理解a与c对二次函数图象的影

响.

教学设计<

一、复习导入

1.什么是二次函数？二次函数y=x，与y=—x2的图象一样吗？它们有什么相同点和不

同点？

2.二次函数是否只有y=x?与y=-x?这两种呢？有没有其他形式的二次函数呢？

二、探究新知

1.二次函数y=ax?的图象与性质

活动内容一：在平面直角坐标系中画二次函数y=x?和y=2x?的图象.

(1)完成下表：

X・・・-3-2-10123・・・

y=x2・・・…

y=2x2・・・・・・

(2)分别画二次函数y=x?和y=2x?的图象.

(3)二次函数y=2x?的图象是什么形状？它与二次函数y=d的图象有什么相同点和不

同点？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？

活动内容二：在刚才的平面直角坐标系内画出函数y=52的图象，观察它与y=x",y

=2/的图象有什么相同点和不同点？

2.二次函数y=ax?+c的图象与性质

活动内容三：在同一直角坐标系内画函数y=2x?和y=2x2+l的图象.

处理方式：同桌之间，一个列表，一个描点，然后用彩笔连线.教师巡视，指导画法.展

示好的作品(以作探讨，研究性质之用).

(1)二次函数y=2x?+l的图象与二次函数y=2x?的图象有什么关系？它是轴对称图形

吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？

(2)比较函数y=2x?+l的图象与函数y=2(的图象的异同.(从轴对称图形、开口方向、

对称轴和顶点坐标方面比较)

(3)在同一直角坐标系内画函数y=2x?—1的图象，比较这3个图象的异同.(从轴对称

图形、开口方向、对称轴和顶点坐标方面比较)

归纳：①一般地，由丫=2/心力0)的图象便可得到二次函数y=ax2+c(aW0)的图象：y

=ax2+c(aW0)的图象可以看成y=ax2(aW0)的图象沿y轴整体上(下)平移Ic|个单位(当

c>0时，向上平移；当c<0时，向下平移)得到的.因此，二次函数丫=@*2+八@彳0)的图象

是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,c的值有关.

②二次函数y=ax2+c(a^0)的性质：

抛物线y=ax2+c(a>0)y=ax2+c(a<0)

顶点坐标(0,c)(0,c)

对称轴直线x=0直线x=0

位置由c的符号确定由c的符号确定

开口方向向上向下

在对称轴的左侧，y随着x的增大而减在对称轴的左侧，y随着x的增大而增

增减性小；在对称轴的右侧，y随着x的增大大；在对称轴的右侧，y随着x的增大

而增大而减小

当x=0时，当x=0时，

最值

最小值为c最大值为c

三、练习巩固

1.己知二次函数y=ax，'+c,当x取x1和xz(xl#xz)时，函数值相等，则当x取

(xl+xj时，函数值为()

A.a+cB.a-cC.—cD.c

2.抛物线y=x?—5的顶点坐标是,对称轴是,在对称轴的左侧，y

随着*的；在对称轴的右侧，y随着x的_，当=一时，函数y

的值最—，最—值是.

3.如图，小明的父亲在相距20的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千,

拴绳子的地方距地面高都是2.5/，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1历的小明距较近的那

棵树0.5〃时，头部刚好接触到绳子，求绳子的最低点距地面的距离.

四、课堂小结

1.说说二次函数y=ax?的图象的开口方向、对称轴、及顶点坐标.

2.说说二次函数yuax'+c的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标.

3.比较丫=2*2和y=ax''+c的图象的异同.

五、课外作业

1.教材第36页“随堂练习”第1、2题.

2.教材第36页习题2.3第1〜4题.

教学反思＜

在这节课的教学中除了以前用过的教学方法外，还应注入现代教学方法.例如用多媒体

展示函数图象的画法，扩大了受教育面，减小了教学难度，提高了教学效率，扩大了知识量,

便于及时巩固.使用现代化教学工具，可以使学生不受时间、空间的限制，及时得到事物的

信息.有些现象，学生很难感知或无法感知，可以借助于现代化教学设备.

本节课要始终贯彻让学生动手画图、观察、讨论而发现新知这一主线，这一做法符合学生的

心理特点和认知规律，大大增加了学生的学习气氛，加深了学生对知识的认识与理解.从而

培养了学生的画图能力、观测能力、分析问题、解决问题的能力以及团结合作的意识，同时

也渗透了类比归纳、数形结合等数学思想方法.

第3课时二次函数y=a(x—h)2和y=a(x—h)2+k的图象与性质

敦与目标：«<

1.能够画出二次函数y=a(x—Fl)，和y=a(x—h)?+k的图象，并能够理解它们与y=

ax?的图象的关系，理解a,h和k对二次函数图象的影响.

2.能正确说出二次函数y=a(x—Fl)，和y=a(x—h)'+k的图象的开口方向、对称轴和

顶点坐标.

3.能利用二次函数的对称轴和顶点坐标解决问题.

重Q难后＜：«<

重点

能够画出二次函数y=a(x—卜尸和y=a(x-h)2+k的图象，并能理解它们与二次函数y

=ax?的图象的关系，理解a,h和k对二次函数图象的影响.

难点

能够利用二次函数的图象和性质解决问题.

敦与设计：«<

一、情境导入

师：生活中有很多的建筑造型不仅大气美观，而且也与我们数学中的抛物线相关，请同

学们看下面的图片.(多媒体出示)你认为它们可以抽象成怎样的抛物线形状?

师：大家看，是否是下面的抛物线形状？(多媒体出示)你认为这种抛物线与我们所学习

过的二次函数y=ax\y=ax?+c的图象有什么不同？

二、探究新知

1.y=a(x—h),的图象和性质

课件出示教材第37页“做一做”.

(1)完成下表：

X-4-3-2-101234

2x2

2(x—I)?

观察上表，比较2(与2(x—1产的值，它们有什么关系？

(2)在同一坐标系中画出y=2x，与y=2(x—l)，的图象.

同伴交流：你是怎样画的？

(3)结合图象，议一议.交流；二次函数y=2(x-l)?的图象与二次函数y=2x?的图象

有什么关系？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？当x取哪些值时，y的值随x

值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？

(4)结合图形变换的知识，能否用移动的观点说明函数y=2(x—l)2与y=2x，的图象之

间的关系呢？

(5)猜一猜:y=2(x+l)2的图象是怎么样的？它的图象与y=2x"的图象之间有什么样的

关系？

归纳：二次函数y=2x1y=2(x-l)2,y=2(x+l)?的图象都是抛物线，并且形状相同，

只是位置不同.将y=2x?的图象向右平移1个单位，就得到y=2(x-D,的图象；将y=2x?

的图象向左平移1个单位，就得到y=2(x+lV的图象.

2.y=a(x—h)z+k的图象和性质

⑴合情推理：由二次函数y=2x?的图象，你能得到y=2x=/y=2(x+3):y=2(x

+3/一g的图象吗？你是怎么样得到的？

(2)画图验证后寻找规律，说一说：图象的变化将引起表达式如何变化，以及表达式的

变化将引起图象如何变化？

(3)议一议：二次函数y=a(x-h)2+k的图象与y=ax?有什么关系？

(4)总结规律，填写表格：

错误!____________

开口方向

a>0a<0

,对称轴,顶点坐标

y^ax

y=a(x—犷

y^a[x~H)2+k(5)总结：目前为止，二次函数的图象我们共研究了哪些类型？

从表达式来看，它们之间的关系是什么？从图象来看，它们有什么关系？

学生交流后得出结论：

2当方>0时，向右平移|加个单位长度/

尸a"当方<o时，向左平森|同个单位长度厅a(x—h)

(八2当A>0时，向上平移除|个单位长度_(,,

尸a(x—h)当在<()时，向下平移|小个单位长度厅a(x-h)+k

三、举例分析

例一条抛物线的形状与y=2寸的形状和开口方向相同，且顶点坐标为(4,-2),试

写出它的表达式.

处理方式：给学生5min左右的时间独立完成，1分钟左右的时间小组内成员互对答案，

期间，老师巡视、询问并指导.最后在黑板上以板演的形式或实物投影的形式展示，师生共

同完善做题步骤.

解：设抛物线的表达式为尸a(x—A)2+k•.•顶点坐标为(4,一2),.."=4,衣=-2.

又••.抛物线的形状与y=2f的形状和开口方向相同，a=2..•.抛物线的表达式为y=2(不

-4)2-2.

四、练习巩固

1.指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，必要时画草图进行验证：

(1)7=2(%—3)2—5；(2)y=0.5(^+1)2；

3

(3)y=--%—1；(4)尸2(x—2尸+5.

2.对于二次函数尸一3(x—今2,它的图象与二次函数尸一3寸的图象有什么关系？

它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？

3.怎样由尸的图象得到函数y=2(x—l)2+3的图象？当x取哪些值时，y的值随

x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？

五、课堂小结

通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？

六、课外作业

1.教材38页“随堂练习”.

2.教材第39页习题2.4第1〜4题.

教与反思＜

本节课，我合理、充分利用了多媒体教学的手段制作了课件，特别是《几何画板》软件

的应用，画出了标准、动画形式的二次函数的图象，让抽象思维较差的学生，更加形象地结

合图形，分析说出二次函数的有关性质，充分体现了“数形结合”的数学思想.为了突出重

点，攻破难点，我要求学生“先观察后思考”、“先做后说”、“先讨论后总结”、“师生

共做”，充分体现了教学过程中以学生为主体，老师起主导作用的教学原则.本节课，让学

生观察、思考、讨论、练习，充分调动了学生的学习兴趣，从而为高效率、高质量地上好这

一堂课作好了充分的准备.

第4课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质

教与目标＜：«<

1.能够熟练运用配方法确定二次函数y=ax?+bx+c图象的对称轴和顶点坐标.

2.掌握二次函数y=ax"+bx+c的图象及性质.

3.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题.

重Q难Q＜：«<

重点

能用配方法确定二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标.

难点

利用二次函数y=ax2+bx+c的图象及性质解决实际问题.

教与设计＜：«<

一、复习导入

1.说出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标：

(l)y=—(x—5尸+3；(2)y=3(x+7)2—4；

(3)y=-2(x—3＞一6;(4)y=5(x+9”+10.

2.我们发现，根据二次函数的顶点式很容易确定二次函数图象的开口方向、对称轴和

顶点坐标.如果给你一个一般形式的二次函数y=2x?—8x+7,你还能确定其图象的开口方

向、对称轴和顶点坐标吗？如何确定？

二、探究新知

1.用配方法确定二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标

(1)课件出示教材第39页例1：

求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.

处理方式：学生对比一般式和顶点式的形式特点，将一般式通过配方化成顶点式，从而

确定二次函数图象的对称轴、顶点坐标.指名学生板演后，师生共同规范解题过程.当然，

还有部分同学对配方的过程有些淡忘，可以引导学生小组交流、合作，完成对配方法过程的

理解.

解：y=2x2-8x+7

=2(x?-4x)+7(提取二次项系数)

=2(X2-4X+4-4)+7

(配方：括号内加上再减去一次项系数一半的平方)

=2(X-2)2-8+7

=2(x—2)z—1(整理)

因此，二次函数y=2x'—8x+7图象的对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,-1).

(2)课件出示教材第40页“做一做”：

确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：

y—3x2—6x+7;y—2x2—12x+8.

处理方式：学生板演解题过程，师生共同评价，并对配方过程进行强化.

2.用配方法确定二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标公式

课件出示教材第40页例2：

求二次函数y-ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标.

处理方式：学生对比以上数字系数的配方过程，完成此例，教师用多媒体进一步强化.

h—

教师强调：二次函数y=ax2+bx+c通过配方可化为丫=a(*+钎)2+-^—，其图象的

2a4a

hh4Ac—h"

对称轴是直线x=一文，顶点坐标是(一五，——).

2a2a4a

3.用配方法解决与二次函数有关的实际问题

课件出示教材第40页“做一做”：

如图所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系，左面的一

QQ

条抛物线可以用y=旃x?+而x+10表示，而且左、右两条抛物线关于y轴对称.

(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少？

(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少？

v/m

处理方式：先给学生力时间审题，让学生将实际问题转化为数学问题，即求抛物线

的顶点纵坐标和顶点横坐标绝对值的2倍.然后让学生板书解题过程，并说明自己的思考过

程.由于本题的系数是分数，学生在配方的过程中可能会产生困难，教师应给学生足够的思

考和交流的时间.

师:你能利用二次函数的顶点坐标公式再次确定上面“钢缆的最低点”问题的答案吗？

处理方式：引导学生依据二次函数图象顶点坐标公式的特点，尝试用公式法进行计算,

并口述解题思路.

99

解：这里@=布，b=—,c=10.

9

9,9、2

..4X--X10—(yr)-

4ac—b~240010

・・・对称轴是直线x=-20,顶点坐标为(-20,1).

.••钢缆的最低点到桥面的距离是1III,

两条钢缆最低点之间的距离是2X20=40m.

三、举例分析

例1确定下列函数图象的对称轴和顶点坐标：

(l)y=2x2—12x+3；

(2)y=2(x—；)(x—2)；

(3)y=2(x—；)(x—2)；

(4)y=3(2x+l)(2-x).

处理方式:学生选择能够理解的方法(配方法或公式法)确定函数图象的对称轴和顶点坐

标，指两名学生板演，5万〃力后学生共同纠错，教师强化.

例2当火箭被竖直向上发射时，它的高度h(血与时间t(s)的关系可以用公式h=-5t?

+150t+10表示.经过多长时间，火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？

处理方式：学生自主审题，并将实际问题转化为数学问题后，选择自己理解的方法书写

解题过程，一学生板演并说明自己的思考过程，教师再强化解决与函数有关的实际问题的一

般思路.

解：h=-5t2+150t+10

——5(t2-301—2)

=-5(t2-30t+152-152-2)

=-5(t-15)2+l135

.•.当t=15时，h最大，最大值是1135.

经过15s,火箭到达它的最高点.最高点的高度是1135m.

四、练习巩固

1.二次函数y=-2x2—x+1图象的顶点在第象限.

2.若二次函数y=-2x2-x+l的图象中，y随x的增大而增大，则x的取值范围是

3.如图，一小球从斜坡。点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=4x一/?刻画,

则小球到达的最高点的坐标是.

五、课堂小结

1.通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分

享给大家.

2.确定二次函数图象的对称轴及顶点坐标的方法有哪些？

3.二次函数y=ax；'+bx+c图象的顶点坐标是什么？

b4ac—b2,

(F•)

4a

六、课外作业

教材第41页习题2.5第1、2、4题.

教与反思＜:«<

本节的学习内容是在前面学过二次函数的概念和二次函数y=ax2,y=ax2+h,y=a(x

-hy的图象和性质的基础上，运用图象变换的观点把二次函数y=ax?的图象经过一定的平

移变换，而得到二次函数y=a(x—h)2+k(hW0,kHO)的图象.二次函数是初中阶段所学的

最后一类最重要、图象性质最复杂、应用难度最大的函数，是学业达标考试中的重要考查内

容之一.教材中主要运用数形结合的方法从学生熟悉的知识入手进行知识探究的.这是教学

发现与学习的常用方法.另外，在本节内容学习中学生还要注意“类比”前几节的内容学习，

在对比中加强联系和区别.在学习过程中加强利用配方法将二次函数一般式化顶点式、判断

抛物线对称轴、借图象分析函数增减性等的训练.

3确定二次函数的表达式

教学目标＜：«<

1.能够根据二次函数的图象和性质建立合适的直角坐标系，确定函数的表达式.

2.会根据题意选择二次函数表达式的合适形式，利用待定系数法求二次函数的表达式.

重Q难后＜：«<

重点

用待定系数法确定二次函数的表达式.

难点

根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数的表达式.

教学设计：«<

一、复习导入

1.二次函数表达式的一般形式是什么？

y=ax?+bx+c(a,b,c为常数，aWO)

2.二次函数表达式的顶点式是什么？

y=a(x—h)'+k(aWO)

3.若二次函数y=ax2+bx+c(a#0)与x轴两交点为(xi,0),(x”0),则其函数表达

式可以表示成什么形式？

y—a(x—Xi)(x—x2)(aWO)

4.我们在用待定系数法确定一次函数y=kx+b(k,b为常数，kWO)的表达式时，通常

k

需要_______个独立的条件；确定反比例函数y=-(k#0)的关系式时，通常只需要

X

________个条件.

5.如果要确定二次函数y=ax?+bx+c(a,b,c为常数，aW0)的表达式，通常又需

要几个条件？(学生思考讨论后，回答)

二、探究新知

1.已知图象上两点确定二次函数的表达式

(1)课件出示教材第42页图2—7,提出问题：

如图是一名学生推铅球时，铅球行进高度y(血与水平距离x(向之间的关系，你能求出

y与x之间的关系式吗？

分析：要求y与x之间的表达式，首先应观察图象，确定函数的类型，然后根据函数的

类型设它对应的表达式，再把已知点的坐标代入表达式求出待定系数即可.

解：根据图象是一抛物线且顶点坐标为(4,3),因此设它的表达式为y=a(x-4)2+3,

又•.•图象过点(10，0),

/.(10—4)4+3=0,解得a=一七，

...图象的表达式为y=-七(x—4)z+3.

想一想：确定二次函数的表达式需要几个条件？

确定二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，aW0)的表达式，通常需要3个条件.当

知道顶点坐标(h,k)和图象上的另一点坐标时，用顶点式y=a(x—h)?+k可以确定二次函

数的表达式.

(2)课件出示教材第42页例1：

已知二次函数y=ax'+c的图象经过点(2,3)和(-1,-3),求这个二次函数的表达式.

分析：二次函数y=ax?+c中只需确定a,c两个系数，需要知道两个点的坐标，因此

此题只要把已知两点代入即可.

解：将点(2,3)和(一1,一3)分别代入二次函数y=ax?+c中，得

3=4a+c,a—2

■

-3=a+c,{二.

.•.所求二次函数表达式为y=2d—5.

想一想：在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？

①用顶点式y=a(x—h)?+k确定二次函数的表达式，当知道顶点(h,k)时，那么再知

道图象上的另一点坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.

②用一般式y=ax?+bx+c确定二次函数的表达式时，如果系数a,b,c中有两个是未

知的，知道图象上两个点的坐标，也可以确定二次函数的表达式.

2.已知图象上三点确定二次函数的表达式

课件出示教材第44页例2：

已知二次函数的图象经过(一1,10),(1,4),(2,7)三点，求这个二次函数的表达式,

并写出它的对称轴和顶点坐标.

分析：(1)本题可以怎样设函数的表达式？

(2)题目中有几个待定系数？

(3)需要代入几个点的坐标？

(4)用一般式求二次函数的表达式的一般步骤是什么？

解：设所求的二次函数的表达式的y=ax?+bx+c.

将三点(一1,10),(1,4),(2,7)分别代入表达式，得

10—a—b+c,'a=2,

<4=a+b+c,解这个方程组，得<b=-3,

、7=4a+2b+c,,c=5.

・•・所求二次函数表达式为y=2x2—3x+5.

331

/.y=2x2—3x+5=2(x—T)2+—

4o

二次函数的对称轴为直线x=*顶点坐标为白V).

44o

三、举例分析

例已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1,且经过点(2,5)和(-2,13),求

这个二次函数的表达式.

处理方式：学生可能会根据条件，设二次函数的表达式y=ax2+bx+c,把点(0,1),

(2,5),(一2,13)代入，用三元一次方程组解决，这对一些学生可能有一定的困难，可通

过小组合作交流、个别辅导等形式解决.

解：•••抛物线与y轴交点的纵坐标为1,

二设抛物线的表达式为y-ax2+bx+l.

♦.•图象经过点(2,5)和(一2,13),

4a+2b+l=5,(a—2,

解得

4a—2b+l=13.[b=-2.

这个二次函数的表达式为y=2x2-2x+l.

四、练习巩固

1.设抛物线y=ax2+bx+c(a六0)过A(0,2),B(4,3),C三点，其中点C在直线x=

2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1,则抛物线的函数表达式为.

2.已知二次函数的图象顶点是(一1,1),且经过点(1,-3),求这个二次函数的表达

式.

3.已知二次函数y=x?+bx+c的图象经过点(1,1)与(2,3)两点.求这个二次函数的

表达式.

4.二次函数的图象经过点A(0,-3),B(2,-3),C(-l,0).

(1)求此二次函数的关系式；

(2)求此二次函数的顶点坐标；

(3)填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移个单位，使得该图象的顶

点在原点.

五、课堂小结

1.在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？

(1)用顶点式y=a(x—h)z+k确定二次函数表达式，当知道顶点坐标时，再知道图象上

的另一点坐标，就可以确定这个二次函数的表达式；

(2)用一般式丫=@/+6*+(:确定二次函数时，如果系数a,b,c中有两个是未知的，

知道图象上两个点的坐标，也可以确定二次函数的表达式.

2.用待定系数法确定二次函数表达式的步骤：

知道顶点设顶点式,知道X轴的两交点设交点式,都不知就设一般式

解

列

设