决胜2020中考数学压轴题全揭秘下16二次函数的存在性问题试题

专题16二次函数的存在性问题

【典例分析】

【考点11二次函数与相似三角形问题

【例1】抛物线广加+加+3与x轴分别交于4—3,0),8(1,0)两点，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；

(2)点F是线段AD上一个动点.

Ap\

①如图1,设攵=——，当k为何值时，CF=-AD.

AD2

②如图2,以A,F,O为顶点的三角形是否与AABC相似？假设相似，求出点F的坐标；假设不相似，请

说明理由.

【答案】(1)y=—2x+3,D的坐标为(一1,4)；(2)①％=,；②以A,F,O为顶点的三角形与AABC

2

相似，F点的坐标为或(一2,2).

【解析】(1)将A、B两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可

求得顶点D(—1,4)；

(2)①由A、C、D三点的坐标求出AC=3及，DC=V2-AD=2>/5，可得AACD为直角三角形，假

设CF=』AD,那么点F为AD的中点，可求出k的值；

2

②由条件可判断NDAC=/OBC,那么NOAF=/ACB,假设以A,F,O为顶点的三角形与AABC

相似，可分两种情况考虑：当NAOF=/ABC或/AOF=/CAB=45°时，可分别求出点F的坐标.

【详解】(】).••抛物线丫=2*2+6*+3过点A(-3,0),B(l,0),

9。-3/?+3=0a=-l

,Cc，解得：

a+/?+3=0b=-2'

•••抛物线解析式为y=-x2-2x+3；

,/y=—x2—2x+3=—(x+1)-+4.

顶点D的坐标为（-1,4）；

⑵①•.•在RtAAOC中，OA=3,OC=3,

,•,AC2=OA2+OC2=18.

.•D(-l,4),C(0,3),A(-3,0),

CD2=12+12=2，

AD2=22+42=20.

.-.AC2+CD2=AD2.

；.AACD为直角三角形，且NACD=9O0，

vCF=-AD,

2

・•.F为AD的中点，

•_A__F__1

,AD-2'

.•・k=L

2

DC15i

②在RtAACD中，tan/ACD=—=^-==-,

AC3>/23

OB1

(I：RtAOBC111(tan/OCB-=—,

OC3

../ACD=/OCB，

•.OA=OC,

NOAC=/OCA=45°，

.•.4AO=/ACB，

假设以A,F,。为顶点的三角形与AABC相似，那么可分两种情况考虑:

当NAOF=/ABC时，AAOFSACBA,

OF||BC,

设直线BC的解析式为y=kx+b,

k+b-0k=-3

,。，解得：

b-5b=3'

直线BC的解析式为y=-3x+3,

直线OF的解析式为y=-3x,

设直线AD的解析式为y=mx+n,

—k+b=4k=2

,解得:

-3k+b=Qb=6

直线AD的解析式为y=2x+6,

6

x=——

y=2x+65

解得：＜

y=-3x

国一士外

I55）

当NAOF=/CAB=45"时，AAOF^ACAB,

/CAB=45°，

.-.OF1AC，

直线OF的解析式为y=-x,

y=—xfx=-2

••J•c/，解得：1c，

y=2x+6[y=2

.-.F（-2,2）,

综合以上可得F点的坐标为或（-2,2）.

【点睛】此题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性

质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质：会运用分类讨论的思想

解决数学问题.

【变式J-1】如图，抛物线丫=0?+2》+。经过4（一1,0）,3两点，且与丁轴交于点C（0,3）,抛物线与

直线丁=一九一1交于A，E两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）坐标轴上是否存在一点Q,使得A4QE是以AE为底边的等腰三角形？假设存在，请直接写出点。的

坐标；假设不存在，说明理由.

（3）P点在x轴上且位于点3的左侧，假设以P,B,。为顶点的三角形与AABE相似，求点P的坐标.

【答案】⑴y=*+2x+3：⑵存在，0（4,0）或（0,—4）,理由见解析；⑶或P[—T'°）-

【解析】（1）将A、C的坐标代入y="2+2x+c求出a、c即可得到解析式;

(2)先求出E点坐标，然后作AE的垂直平分线，与x轴交于Q,与y轴交于Q',根据垂直平分线的性质

可知Q、与A、E,Q,与A、E组成的三角形是以AE为底边的等腰三角形，设Q点坐标(0,x),Q'坐标(0,y),

根据距离公式建立方程求解即可；

(3)根据A、E坐标，求出AE长度，然后推出NBAE=NABC=45。，设p(加,0),由相似得到空=空或

''BCAE

PB4/7

——=—,建立方程求解即可.

BCAB

【详解】(1)将4(-1,0),C(0,3)代入丫=以2+2*+，得:

[a-2+c=Qa=­l

.，解得《

c-3c-3

•••抛物线解析式为y=-x2+2x+3

(2)存在，理由如下：

联立y——X-I和y=—X2+2x+3,

y=—x—1fx=-lf%=4

f2c-，解得c或｛「

y=-x+2x+3[y=°[y--5

，E点坐标为(4,-5),

如图，作AE的垂直平分线，与x轴交于Q,与y轴交于Q',

此时Q点与Q'点的坐标即为所求，

设Q点坐标(0,x),Q'坐标(0,y),

由QA=QE,Q'A=Q'E得：

|x-(T)|=J(x-4)2+(0+5)2,J(O+l)2+(y—。)2=J(O—4)2+(y+5)2

解得x=4,y=4

故Q点坐标为(40)或(0,-4)

(3)V71(-1,0),£(4,-5)

AE=卜]-4)2+52=5啦.

当一x?+2x+3=0时，解得尤=-1或3

•••B点坐标为(3,0),

/.OB=OC=3

/.ZABC=45°,AB=4，8c=30，

由直线y=-X—1可得AE与y轴的交点为(0,-1),而A点坐标为(-1,0)

/./BAE=45。

设p(m,0)那么BP=3-m,

；APBC和A4BE相似

.PBAB,PBAEnn3-/n_43-m50

BCAEBCAB3,25/23近4

39

解得根=一或=——，

52

・•.P加或P卜iq

【点睛】此题考查二次函数的综合问题，是中考常见的压轴题型，熟练掌握待定系数法求函数解析式，等

腰三角形的性质，以及相似三角形的性质是解题的关键.

【变为1-2】如图，抛物线y=^(x+2)(x-/w)(m>0)与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C,且点

m

A在点B的左侧.

(1)假设抛物线过点(2,2),求抛物线的解析式；

(2)在(1)的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点H,使AH+CH的值最小，假设存在，求出点H

的坐标；假设不存在，请说明理由：

(3)在第四象限内，抛物线上是否存在点M,使得以点A,B,M为顶点的三角形与AACB相似？假设

存在，求出m的值；假设不存在，请说明理由.

]13

【答案】⑴)，=一1/+/1+2；⑵点H的坐标为(1,-]■(3)当m=2+20时，在第四象限内

抛物线上存在点M,使得以点A,B,M为顶点的三角形与△ACB相似.

【解析】

分析：

(1)把点(2,2)代入y=-'(x+2)(x—机)?机>中，解出m的值即可得到抛物线的解析式；

m

(2)由(1)中所得解析式求出点A、B、C的坐标，由题意可知，点A、B关于抛物线的对称轴对称，这

样连接BC与对称轴的交点即为所求的点H,根据B、C的坐标求出直线BC的解析式即可求得点H的坐标;

⑶由解析式y=-'(x+2)(x—m)?m>可得点A、B、C的坐标分别为(-2,0]、(m,0)和(0,2),

m

如以下图，由图可知NACB和/ABM是钝角，因此存在两种可能性：①当△ACBS/^ABM,

②△ACBS^MBA,分这两种情况结合题中条件进行分析解答即可.

详解：

(1)把点(2,2)代入抛物线，

^2=-—(2+2)(2-m).

解得m=4.

.••抛物线的解析式为y=—；(x+2)(x—4)=—；x2+gx+2.

2

(2)令丫=---x+—x+2=0,解得X|=-2,x2=4.

42

那么A(-2,0),B(4,0).

1

对称轴x=-—六N=L

2xhJ

1i

y=x'9H—x+2中当x=0时，y=2,

42

二点C的坐标为(0,2).

•••点A和点B关于抛物线的对称轴对称，

二连接BC与对称轴的交点即为点H,此时AH+CH的值最小，

设直线BC的解析式为y=kx+b,

4k+b=0

把B(4,0),C(0,2)代入得：＜，解得：,

o=2

b=2

二直线BC的解析式为y=-1x+2.

13

.当x=1时，y=x1+2=—.

22

3

，点H的坐标为(1,-).

2

(3)假设存在点M,使得以点A,B,M为顶点的三角形与AACB相似.

如以下图，连接AC,BC,AM,BM,过点M作MNJ_x轴于点N,

由图易知，NACB和/ABM为钝角，

ACAB

①当△ACBs/^ABM时，有一=——，即AB2=AC?\M.

ABAM

VA(-2,0),C(0,2),即OA=OC=2,

.\ZCAB=ZBAM=45°.

・.・MNJ_x轴，.'.ZBAM=ZAMN=45°,

JAN二MN.

，可设M的坐标为：(x,-x-2)(x>0),

把点M的坐标代入抛物线的解析式，得：-x-2=—'(x+2)(x—m).

m

化简整理得：x=2m,

，点M的坐标为：(2m,-2m-2).

•••AM=J(2m+2f+(—2m-2)2=+1).

AB2=AC2^M.AC=2&AB=m+2,

/.(m+2)2=272x272(m+1).

解得：m=2±20・

Vm>0,

.,.m=2+2x/2-

②当△ACBSAMBA时，有一=—,即AB2=CB*MA.

MABA

；NCBA=/BAM,ZANM=ZBOC=90°.

.MNCO

••△AANM0°ZA\BOC,>•------=------.

ANBO

VBO=m,设ON=x,

.MN22

>•-------=—即MN=—(x+2).

2+xmm

2z、

vM(x,-----(x+2))(x>0),

m

把M点的坐标代入抛物线的解析式,

21

得---(x+2)=------(x+2)(x-m).

mm

2、

解得x=m+2.即M(m+2,-----(zm+4)).

m

______2

,•*AB2=CB?MA，CB=Jm?+4,AN=m+4,MN=—(m+4),

(m+2)2=Vm2+4^(+前+幺血：4).

化简整理，得16=0,显然不成立.

综上所述，当m=2+2x/2时，在第四象限内抛物线上存在点M,使得以点A,B,M为顶点的三角形与△ACB

相似.

点睛：此题是一道二次函数和几何图形综合的题目，解题的要点有以下两点：（1）“知道点A、B是关于抛

物线的对称轴时称的，连接BC与对称轴的交点即为所求的点H"是解答第2小题的关键：（2）“能根据题

意画出符合要求的图形，知道/ACB和/ABM为钝角，结合题意得到存在：①当AACBs^ABM,

②△ACBS^MBA这两种可能情况"是解答第3小题的关键.

【考点2】二次函数与直角三角形问题

【例2】如图，抛物线>=公2+陵+。（。。0）的顶点坐标为（2,-1）,图象与.丫轴交于点C（0,3）,与x轴

交于A、3两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线对称轴与直线BC交于点。，连接AC、AD,求AAC。的面积；

（3）点E为直线BC上的任意一点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点尸，问是否存在点E使△7）石厂为

直角三角形？假设存在，求出点E坐标，假设不存在，请说明理由.

【答案】（l）y=（x—2产_1=%2—4X+3;（2）2;（3）见解析.

【解析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，把C点坐标代入可求得抛物线解析式；

（2）由抛物线解析式可求得A、B坐标，利用待定系数法可求得直线BC解析式，利用对•称轴可求得D点

坐标，那么可求得AD?、AC?和CD?,利用勾股定理的逆定理可判定AACD为直角三角形，那么可求得其

面积；

（3）根据题意可分NDFE=90。和NEDF=90。两种情况，当NDFE=90。时，可知DF〃x轴，那么可求得E点

纵坐标，代入抛物线解析式可求得E点坐标；当NEDF=90。时，可求得直线AD解析式，联立直线AC和抛

物线解析式可求得点E的横坐标，代入直线BC可求得点E的坐标.

【详解】解：（1）：抛物线的顶点坐标为（2,-1）,

...可设抛物线解析式为y=a（x-2）2—l（a。0）,

把C（0,3）代入可得a（0-2）2-1=3,解得a=1,

•••抛物线解析式为y=（x—2>—1=/一4x+3；

（2）在y=/-4x+3中，令y=0可得％2-4x+3=0,解得x=l或x=3，

A（1,O）,B（3,0）,

设立线8C解析式为丁=丘+3,把8（3,0）代入得：3左+3=0,解得我=—1,

；•直线5c解析式为y=-x+3,

由（1）可知抛物线的对称轴为x=2,此时y=-2+3=1,

二0（2,1）,

•••AT）'?,AC2=10-CD2=8.

■:AD2+CD2=AC2，

AACD是以AC为斜边的直角三角形，

.，♦S——AD-CD=—xV2x2V2—2；

“A8Cn22

（3）由题意知EF//y轴，那么/FED=ZOCB主90°，

△£）石尸为直角三角形，分NOEE=90°和NEOF=900两种情况，

①当NOFE=90时，即。F//x轴，那么。、尸的纵坐标相同，

二尸点纵坐标为1，

•••点/在抛物线上，

二f_4x+3=l，解得x=2±0，即点£的横坐标为2±血，

•••点E在直线8C匕

二当x=2+0时，y=-x+3=l-V2.当x=2—0时，y=-x+3=l+V2.

£点坐标为（2+J5,1—J5）或（2—；

②当NE£>F=90W，

VA（l,0）,0（2,1）,

二直线A。解析式为丁=%-1,

•.•直线BC解析式为y=-X+3,

...AD1BC,

二直线AO与抛物线的交点即为E点,

联立直线AD与抛物线解析式有X2-4X+3=X—1，解得X=1或X=4,

当x=］时，y=+3=2,当％=4时，y=_x+3=_l,

・・・£点坐标为（1,2）或（4,—1）,

综上可知存在满足条件的点E，其坐标为（2+也,1一夜）或（2-及,1+应）或（1,2）或（4,一1）.

【点睛】考查了待定系数法求函数解析式，利用的顶点坐标，列出方程组，可以求出函数解析式.

【变式2-1】如图，经过x轴上A（—1,O）,8（3,0）两点的抛物线.丫=皿尤—1）2—4加（m<0）交）’轴于点

C,设抛物线的顶点为O,假设以DB为直径的。G经过点C,求解以下问题：

（1）用含加的代数式表示出C,。的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）能否在抛物线上找到一点。，使为直角三角形？如能，求出。点的坐标，假设不能，请说明

理由。

2

【答案】（1）点C的坐标为C（0,-3m）点D的坐标为（L-4m）；⑵抛物线的解析式为y=-x+2x+3-.

（3）满足题意的。点有三个：（0,3）、（一和

【解析】

【试题分析】

⑴y=m（%-l）2—4机是顶点式，那么顶点D的坐标为C（0,-3帆），当x=0,那么y=3m,即点C的坐标为

C（0,-3m）；

（2）连接CD、BC,过点。作轴于E，如图①所示:根据直径所对的圆周角是直角，得

/DCB=90。，出现“一线三等角模型"，得ADECSACOB根据相似三角形的性质得：

—=—即——=—,解得根=—1,那么抛物线的解析式为丁=一/+2》+3.

COOB-3m3

（3）分三种情况分类讨论：ZBQD=90°（图①）显然。与C点重合，点。坐标为。（0,3）；NDBQ=90。

（图②）作QF，y轴于尸，OH轴于H,根据两角对应相等，两三角形相似，得RtADHBsRLBFQ,

,=黑，那么DH・FQ=BF・HB,由于点。坐标（匕-公+2&+3）,那么

4（左2—2左一3）=2（3—左），解得：％=—g

3（39]

由&=一士得。坐标：Q\；NBOQ=90。1图③）延长。。交》轴于M，作轴于E，

2<24j

nFEM1EM1

轴于“，同理可证：ADEMSADHB，那么——=——，即一=——，得EM=一,点M的坐

DHHB422

标为（0，（），设。M所在的直线解析式为y=kx+b,用待定系数法，把M（0,g）和D[1,4）代入得：

,7

b——17

{2解得：k=—,b=—

22

[k+b=4乙乙

\717

那么直线DM的解析式为丁二万彳+万，把丁二万工+万代入y=—V+2x+3得：2/—3x+l=0，解得,

x=-,最后把x=L代入y=，x+N得丁="，点。的坐标为

22224124J

\

391

--|和-

综上述，。点有三个：（0,3）,24724

【试题解析】

⑴,.,丫=加(％-1)--4〃2是顶点式

•••点。的坐标为(1,一4〃)

当x=0时，y=-3m

点。的坐标为C(0,—3〃?)

(2)连接CD、BC,过点。作轴于E,如图①所示：

•••BD是0G的直径

/.ZDCB=90°

/.ZECD+ZBCO-90"

,?ZECD+ZEDC=90°

/.ZBCO=ZEDC

DEEC1-n

NDEC=/BOC=9004COB-----=------..............-

COOB-3m3

:.nr=1m=±lm<0m=-\

.••抛物线的解析式为y=-/+2x+3

（3）能在抛物线上找到一点Q,使4BDQ为直角三角形

很明显，点C即在抛物线上，又在。G上，ZBGD=90°,这时。与C点重合

点。坐标为。（0,3）

如图②，假设NOBQ为90。，作轴于F，

£>”_Lx轴于”

同理可证：RtADHBsRsBFQ

•_D__H___H_B_

''~BF~~FQ

：.DH•FQ=BF•HB

•••点。坐标（匕一公+2左+3）

.•.4俨_24_3）=2（3_&）

3

化简得：2/—3左一9=0,解得：k=3〔不合题意，舍去），k=——

2

由々=_《得Q坐标：

假设N8OQ为90。,如图③，延长。。交y轴于加，

作。轴于E，DHJ_X轴于〃.同理可证：ADEMSQHB

.DEEM

那么:=学，得点〃的坐标为（0，g）

设。M所在的直线解析式为y=kx+b,把M（0,g］和D（1,4）代入得：

,7

b=—17

\2解得：k=—,b=—

22

,+〃=4乙乙

1717

二直线DM的解析式为^二万工+万，把丁二万工+万代入y=—f+2x+3得：2x2-3x+l=O

解为：x=l（不合题意，舍去），x=-,

2

1八、17得尸*点。的坐标为J_15

把x=一代入y=—%+一(

2222T

综合上述，满足题意的。点有三个：(。,3)、鸟，皆和(；，同

【方法点睛】此题目是一道二次函数的综合题，涉及到顶点坐标，与坐标轴的交点，一线三等角证相似，

并且屡次运用相似三角形的对应边成比例，直角三角形确实定(3种情况分类讨论)，难度较大.

【变式2-2】抛物线y=/-2x+根-1与X轴只有一个交点，且与〉轴交于A点，如图，设它的顶点为

B.

(1)求的值；

(2)过A作x轴的平行线，交抛物线于点C,求证：AABC是等腰直角三角形；

(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线y',且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，

如图.请在抛物线)，'上求点P,使得△EEP是以EF为直角边的直角三角形？

【答案】⑴m=2；⑵证明见解析；⑶满足条件的P点的坐标为=)或(彳，一一).

3939

【解析】

试题分析：(1)根据抛物线与X轴只有一个交点可知△的值为0,由此得到一个关于m的一元一次方程，

解此方程可得m的值：

(2)根据抛物线的解析式求出顶点坐标，根据A点在y轴上求出A点坐标，再求C点坐标，根据三个点

的坐标得出△ABC为等腰直角三角形；

(3)根据抛物线解析式求出E、F的坐标，然后分别讨论以E为直角顶点和以F为直角顶点P的坐标.

试题解析：［1)二抛物线y=x2-2x+m-l与x轴只有一个交点,

△=(-2)2-4X1x(m-1)=0,

解得，m=2；

(2)由(D知抛物线的解析式为y=x2-2x+l=(x-1)2,易得顶点B(1,0),

当x=0时，y=l,得A(0,1).

由1=X2-2X+1,解得，x=0(舍)或x=2,所以C点坐标为：(2,1).

过C作x轴的垂线,垂足为D,那么CD=I,BD=XD-XB=1.

...在RSCDB中，NCBD=45。，BC=0.

同理，在RSAOB中，AO=OB=1,于是NABO=45。，AB=0.

/.ZABC=1800-ZCBD-ZABO=90°,AB=BC,

因此△ABC是等腰直角三角形；

⑶由题知，抛物线C，的解析式为y=x2-2x-3,

当x=0时，y=-3；

当y=0时，x=-l或x=3,

：.E[-1,0),F(0,-3),g|JOE=1,OF=3.

第一种情况：假设以E点为直角顶点，设此时满足条件的点为Pi(Xi,y。，作RM_Lx轴于M.

ZP।EM+ZOEF=ZEFO+ZOEF=90°,

，ZPiEM=ZEFO,得RtAEFO^RtAP)EM,

P.MOE

那么即EM=3PiM.

3

VEM=xi+l,P|M=yi,

；.xi+l=3yi①

由于Pi(xi,y,)在抛物线C上,

那么有3(xi2-2x)-3)=xi+l,

整理得，3xi2-7xi-10=0,解得,

制=?,或X2=-l(舍去)

3

把内=与代入①中可解得，

13

y'"V'

・•.3,U).

39

第二种情况：假设以F点为直角顶点，设此时满足条件的点为P2(x2,y2),作P2Nd_y轴于N.

同第一种情况，易知RsEFOsRsFPzN,

FN0E1

褥------——

即P2N=3FN.

P2NOF3

P?N=X2,FN=3+y2,

；.X2=3(3+y2)②

由于P2(X2,y2)在抛物线c，上,

那么有X2=3(3+X22-2X2-3)，

7

整理得3X22-7X2=0,解得X2=0(舍)或X2=—.

3

把及=与代入②中可解得，

20

瓦•

.,720

••P?I—,---).

39

综上所述，满足条件的P点的坐标为：(当10，13或(7一，-2三0).

3939

【考点3】二次函数与等腰三角形问题

【例3】如图，：二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点，其中A点坐标为(-3,0),与y

轴交于点C,点D(-2,-3)在抛物线上.

(1)求抛物线的表达式；

(2)抛物线的对称轴上有一动点P,求出PA+PD的最小值；

(3)假设抛物线上有一动点M,使△ABM的面积等于△ABC的面积，求M点坐标.

(4)抛物线的对称轴上是否存在动点Q,使得△BCQ为等腰三角形？假设存在，求出点Q的坐标；假设

不存在，说明理由.

【答案】⑴y=x2+2x-3；(2)3亚；⑶点M的坐标为(-1-6,3),(-1+近，3),(-2,-3)；

(4)存在；点Q的坐标为(-1,-^6],(-1»--^6(-1,0),(-1,-6),(-1,-1).

【解析】由点A,D的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

(2〕利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，连接BD,交抛物线的对称轴于点P,山抛物

线的对称性及两点之间线段最短可得出此时PA+PD取最小值，最小值为线段BD的长度，再由点B,D的

坐标，利用两点间的距离公式可求出PA+PD的最小值；

(3)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点M的坐标为(x,x2+2x-3),由△ABM的

面积等于^ABC的面积可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出点M的坐标；

(4)设点Q的坐标为(-1,m),结合点B,C的坐标可得出CQ2,BQ2,BC2,分BQ=BC,CQ=CB及QB=QC

三种情况，找出关于m的一元二次〔或一元一次)方程，解之即可得出点Q的坐标.

【详解】解：⑴将A(-3,0),D(-2,-3)代入y=x?+bx+c,得：

，9—3b+c*—0>=2

4C,…解得：1

4一2/?+。=-3c=-3

，抛物线的表达式为y=x2+2x-3.

(2)当y=0时，x2+2x-3=0,

解得：Xi=-3,X2=l,

.••点B的坐标为(1,0).

连接BD,交抛物线的对称轴于点P,如图1所示.

VPA=PB,

/.此时PA+PD取最小值，最小值为线段BD的长度.

•••点B的坐标为(1,0),点D的坐标为(-2,-3),

二BD=^/(-2-1)2+(-3-0)2=3亚，

APA+PD的最小值为30.

(3)当x=0时，y=x2+2x-3=-3,

.••点C的坐标为(0,-3).

设点M的坐标为(x,x2+2x-3).

•SAABM=SAABC>

|x2+2x-3|=3,即x2+2x-6=0或x2+2x=0,

解得：X]=-1-5/7，X2=-1+»X3=-2,X4=0(舍去)，

.♦.点M的坐标为(-1-V7.3),(-1+V7-3),(-2,-3).

⑷设点Q的坐标为(-1,m).

•••点B的坐标为(1,0),点C的坐标为(0,-3),

,*.CQ2=(-1-0)2+[m-[-3)]2=m2+6m+10,BQ2=(-1-1)2+(m-0)2=m2+4,BC2=(0-1)

2+(-3-0)2=10.

分三种情况考虑(如图2所示)：

①当BQ=BC时，m2+4=10,

解得：mi="，m2=-76，

.••点Qi的坐标为(-1,#),点Q?的坐标为(-1,-V6)；

②当CQ=CB时，m2+6m+10=10,

解得：013=0,rru=-6,

・••点Q3的坐标为(-1,0),点Q4的坐标为[-1,-6)；

③当QB=QC时，m2+4=m2+6m+10,

解得：015=-I.

.♦•点Q5的坐标为（-1,-I）.

综上所述：抛物线的对称轴上存在动点Q,使得△BCQ为等腰三角形，点Q的坐标为(-1,5/6).(-1,

-y[6)>(-1,0),(-1,-6),(-I,-1).

【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、两

点间的距离公式、三角形的面积、等腰三角形的性质以及解一元二次(或一元一次)方程，解题的关键是:

(1)由点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；(2)利用两点之间线段最短，找出点P的位置；

⑶利用两三角形面积相等，找出关于x的一元二次方程；⑷分BQ=BC,CQ=CB及QB=QC三种情况,

找出关于m的方程.

【变式3-1】如图，抛物线y=o?+"+3与x轴交于点A(1,0)和B(3,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)假设抛物线的对称轴交x轴于点E,点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC〃x轴，与对称轴右侧的

抛物线交于点C,且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；

(3)在(2)的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P,使AOCP是等腰三角形？假设存在，请直接写

出点P的坐标；假设不存在，请说明理由.

【答案】⑴y=——4x+3；(2)C(4,3)；(3)P(2,后)或(2,-旧〕或(2,3+万)或12,3-历).

【解析】

试题分析：(1)把点A、B的坐标代入函数解析式，解方程组求出a、b的值，即可得解；

(2)根据抛物线解析式求出对称轴，再根据平行四边形的对角线互相平分求出点C的横坐标，然后代入函

数解析式计算求出纵坐标，即可得解；

(3)设AC、EF的交点为D,根据点C的坐标写出点D的坐标，然后分①。是顶角，②C是顶角，③P是

顶角三种情况讨论.

试题解析：(1)把点A(1,0)和B(3,0)代入y=ar?+0x+3得，

。+3=0。=1

解得J_y'所以，抛物线的解析式为y=x0—4x+3；

9。+3Z?+3=0

(2)抛物线的对称轴为直线x=2,

四边形OECF是平行四边形.•.点C的横坐标是4,

•.•点C在抛物线上，y=42—4x4+3=3,

二点C的坐标为（4,3）；

（3）•.•点C的坐标为（4,3）,，OC的长为5,

①点0是顶角顶点时，OP=OC=5,

OP?=OE2+EP2,OE=2.\EP=』5。-2?=V21,

所以，点P的坐标为（2,血！）或（2,-M）；

②点C是顶角顶点时，CP=OC=5,同理求出PF=J^T,所以，PE=x/21±3,

所以，点P的坐标为（2,3+庖〕或［2,3-J万）；

③点P是顶角顶点时，点P在OC上，不存在.

综上所述，抛物线的对称轴上存在点P（2,而）或（2,-V21）或（2,3+V21）或（2,3-历），

使AOCP是等腰三角形.

考点：二次函数综合题.

【变式3-2】如图，抛物线y=£+b+c（awO）与直线y=x+l相交于d（-L0）,3（4,m）两点，且抛

物线经过点。（5,0）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点尸是抛物线上的一个动点（不与点4、点5重合），过点F作直线轴于点。，交直线Z5

于点E.

①当？E=2即时，求尸点坐标；

②是否存在点尸使AB&7为等腰三角形，假设存在请直接写出点尸的坐标，假设不存在，请说明理由.

Q11q

【答案】（1）y=-x2+4x+5；（2）①P点坐标为（2,9）或（6,-7）；②（：，制）或（4+屈，-4而

-8）或（4-4祖5-8）或（0,5）.

【解析】

试题分析：（D由直线解析式可求得B点坐标，由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解

析式；

（2）①可设出P点坐标，那么可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由条件可知到关于P

点坐标的方程，那么可求得P点坐标；

②由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得到关于E点坐标的方程，

可求得E点坐标，那么可求得P点坐标.

试题解析：（1）•••点B（4,m）在直线y=x+l上，

，m=4+l=5,

AB(4,5),

a—2)4-c=0a=—1

把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得+劭=5,解得#=4,

25a+52)+c=0c=5

二抛物线解析式为y=-x2+4x+5；

(2)①设P(x,-x2+4x+5),那么E(x,x+1),D(x,0),

那么PE=|-x2+4x+5-(x+1)|=|-x2+3x+4|,DE=|x+l|,

VPE=2ED,

：.\-x2+3x+4|=2|x+l|,

当-x?+3x+4=2(x+1)时，解得x=-1或x=2,但当x=-I时，P与A重合不合题意，舍去，

AP(2,9)；

当-x?+3x+4=-2(x+1)时，解得x=-l或x=6,但当x=-l时，P与A重合不合题意，舍去，

：.P[6,-7)；

综上可知P点坐标为(2,9)或(6,-7)；

②设P(X,-x2+4x+5),那么E(X,x+1),且B(4,5),C(5,0),

•••BE=VCx-^+^+l-B)8=血lx-4|,CE=J(x—5>+(x+l>=<2xa-+26-

BC=Jg一曲(5-。尸二标.

当^BEC为等腰三角形时，那么有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种情况，

___________________QQ11q

当BE=CE时，那么向lx-4|=而+26,解得x=2,此时P点坐标为—)；

4416

当BE=BC时，那么也|x-4|二,解得x=4+^3或x=4-,此时P点坐标为（4+抗5,-4-

8）或（4-屈，4^3-8）;

当CE=BC时，那么《2d一8x+26'解得x=0或x=4,当x=4时E点与B点重合，不合题意，

舍去，此时P点坐标为(0,5)；

R110

综上可知存在满足条件的点P,其坐标为(士，已)或(4+屈，-4底-8)或(4-屈，4底-

416

8)或(0,5).

考点：二次函数综合题.

【考点4］二次函数与平行四边形问题

3

【例4】如图，抛物线y=ax?+bx+c与x轴相交于点A(-3,0),B(1,0),与y轴相交于(0,一；)，

顶点为P.

(1)求抛物线解析式；

(2)在抛物线是否存在点E,使△ABP的面积等于△ABE的面积？假设存在，求出符合条件的点E的坐

标；假设不存在，请说明理由；

(3)坐标平面内是否存在点F,使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条

件的点F的坐标，并求出平行四边形的面积.

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【答案】(1)y=yx2+x--(2)存在，(-1-2及，2)或(-1+2a,2)(3)点F的坐标为(-1,2)、

(3,-2)、(-5,-2),且平行四边形的面积为8

3

【解析】⑴设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,把(-3,0),(1,0),(0,-)代入求出a、b、c的值即可;

(2)根据抛物线解析式可知顶点P的坐标，由两个三角形的底相同可得耍使两个三角形面积相等那么高相

等，根据P点坐标可知E点纵坐标，代入解析式求出x的值即可；(3〕分别讨论AB为边、AB为对角线两

种情况求出F点坐标并求出面积即可；

0=9a-3b+c

3

【详解】(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,将(-3,0),(1,0),(0,一)代入抛物线解析式得彳0=a+b+c,

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