动量与角动量课件

动量与角动量3.1冲量(impulse)

与动量(momentum)

定理力是物体运动状态发生变化的原因。有力F，作用在质量为m

的质点上，经过时间dt。F牛顿第二定律的微分形式积分：I动量定理的积分形式动量定理的微分形式合外力冲量的方向应与质点动量的增量的方向一致力和力作用时间的乘积，即力的时间积累称为力的冲量恒力分量表达式：表明：质点所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于质点的动量在该方向的分量的增量。冲量：1.

冲量是矢量，其方向是由质点动量增量的方向所决定的。2.

冲量是一个过程量，表示力在某一段时间内的积累效果。所以谈及冲量，必须明确是哪一个力在哪段时间上的冲量。小结动量：1.动量是矢量，动量的方向就是速度的方向。2.动量是一个状态量，具有即时性。对于一个物理量，如果定义时对应的是某一时刻(某一瞬时)，则该物理量是状态量，如位矢、速度、动量、动能等都是状态量。如果定义时对应的是时间间隔，则该物理量是过程量，如位移、路程、冲量、功等都是过程量。讨论题：胸口碎大石“迅速打击”和“沉重的石板”是保护石板下的人不受损伤的关键。重锤猛击思考题：两根完全相同的线，用手拉下面的那根线，1.向下猛一扽；2.用力慢慢拉线，分别是那根线先断？（假设拉力大于线能承受的耐力（极限张力））F下面的线断而球不动上面的线先断例1：绳子一端固定，另一端系一质量为m

的小球，小球以匀角速度ω

绕竖直轴OO’做圆周运动，绳子与竖直轴之间的夹角为θ，已知A、B为圆周直径上的两端点，求小球由A点运动到B点，绳子的拉力的冲量。ωABθOO’vAvBTW分析：应用动量定理。由于做圆周运动，故ωABθOO’vAvByxTW注意：此题用矢量运算比较简单，若用动量定理的分量式则颇为麻烦。碰撞：泛指物体间相互作用时间很短的过程。冲力：在碰撞过程中的相互作用力

特点：力的大小很大且随时间改变动量定理常常用于处理碰撞问题平均冲力，即冲力对碰撞时间的平均值。例如：人从高处跳下、飞机与鸟相撞、打桩等碰撞事件中，作用时间很短，冲力很大。注意

越小，则越大。在一定时，解：建立如图坐标系,由动量定理得例2一质量为0.05kg、速率为10m·s-1

的钢球，以与钢板法线呈45º角的方向撞击在钢板上，并以相同的速率和角度弹回来。设碰撞时间为0.05s.求在此时间内钢板所受到的平均冲力。如直接用动量定理矢量形式，是否会更简洁？。。。沿着x轴的正向例2：一篮球质量0.58kg，从2.0m高度下落，到达地面后，以同样速率反弹，接触时间仅0.019s，求：对地平均冲力？解：篮球到达地面的速率(m/s)故平均冲力为：Vp2p1

pf||f

f’龙骨Vv例3：逆风行船f假设帆面光滑：v1=v2v1

v2思考：能否实现“顶风行船”

m3.2质点系的动量定理质点系：由有相互作用的若干个质点组成的系统。

其中每个质点的运动都遵从牛顿运动定律。质点系的总动量，是质点系内各个质点的动量的矢量和。质点系的运动方程，是质点系内各个质点的运动方程的集合。内力：系统内各质点间的彼此施加的相互作用力；外力：系统以外的其他物体对系统内任意质点的作用力。以两个质点组成的系统为研究对象：根据牛顿第二定律（微分形式）：对于质点m1

和m2

组成的系统：牛顿第三定律推广至任意多个质点所组成的质点系：表明：质点系所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。这就是质点系动量定理的微分形式。质点系的牛顿第二定律的微分形式—系统的总动量随时间的变化率等于该系统所受的合外力。在有限时间内：表明：在t0

到t

这段时间内，作用在质点系上所有外力的冲量的矢量和等于质点系在同一时间内动量的增量。这就是质点系动量定理的积分形式。说明：内力不能改变质点系的动量，只有外力才能改变质点系的动量。分量式：例3-2-1

如下图所示，用传动带A输送煤粉，料斗在A上方高h=0.5m处，煤粉自料斗口自由落在A上。设料斗口连续卸煤的流量为qm=40kg/s，传送带以v=2.0m/s的水平速度匀速向右移动。求装煤的过程中，煤粉对传送带的作用力（不计相对于传送带静止的煤粉重量）。hvAyxv分析：以

时间内落在传送带上的煤粉作为研究对象。初：末：p0pv0解1：煤粉自料斗下落接触传送带前具有竖直向下的速度设传送带对煤粉的平均作用力为f，由动量定理得：由动量定理可知：解2：设t时刻传送带上煤粉的质量为M，在此后

时间内将有的煤粉落在传送带上。取

为研究对象，则t

时刻系统总动量在水平方向的分量为

时刻系总动量在水平方向的分量为：Mvv0例3-2-2

一颗子弹水平的穿过并排放置在光滑水平桌面的木块，以知两个木块的质量分别为m1

和m2，子弹穿过它们的时间分别为Δt1

和Δt2，设子弹在木块中所受的阻力恒为F。求：子弹穿过后，两木块分别以多大速度运动？解：子弹穿过第一块木块时，两木块速度相同，均为v1，子弹穿过第二块木块时，第二块木块速度为v2，注：子弹对木块的推力是木块对子弹的阻力的反作用力。运用动量定理解题时应注意：找准研究对象（质点or质点系）写出研究对象的初，末动量的表达式分清外力和内力，并找到真正起作用的外力。例3-2-3

长为l、质量为m的柔软绳盘在水平面上。用手将绳的一端以恒定速率v0向上提起，求当提起高度为x时手的提力。分析：由于被提起的绳的质量是随提起的高度变化的，在t时刻到t+Δt

时刻系统动量有变化，根据动量定理，可求出手的提力。v0x解：以整个绳索为研究对象，它共受到三个力的作用：重力G、台面支持力N

和手的提力F。在这三个力的共同作用下，系统的动量在不断的变化。在t时刻，当绳索提高x

时系统的动量为：在t+dt

时刻，绳索提起x+dx，系统的动量为：由动量定理：注意：式中第一项是长为x

的绳索的质量，第二项是系统动量增加所需要的附加力。N只与剩在台面上的绳索的质量有关，即dx·mg

忽略不计3.3动量守恒定律即：动量守恒定律：当一个质点系所受的合外力为零时，这一质点系的总动量就保持不变。若系统所受合外力为零，即，则：1.合外力为零，或外力与内力相比小很多；2.动量守恒的分量表述如果质点系沿某坐标轴方向所受合外力为零，则沿该坐标轴方向的总动量的分量守恒。讨论：例如：碰撞、爆炸等（F内

>>F外），内力很大，重力等外力就可以忽略，认为系统的总动量是守恒的。在直角坐标系中：当Fx=0时，当Fy=0时，当Fz=0时，3.只适用于惯性系；4.动量守恒定律比牛顿定律更普遍，是关于自然界的一切物理过程的一条最基本的定律。课堂讨论：质量都是M

的两个冰车，一同静止在光滑的水平冰面上，一质量为m

的人从第一个冰车跳到第二个冰车，再由第二个冰车回到第一个冰车，求两个冰车的末速度之比。12解：把冰车和人均视为质点，由人和两个冰车所组成的系统在水平方向上动量守恒，根据动量守恒定律可知：例3-3-1

一载人小船静止于湖面上，小船的质量为100kg，船头到船尾共长3.6m，人的质量为50kg。试问当人匀速从船尾走到船头时，船将移动多少距离？假定水的阻力不计。解：假定船的质量为M，速度为v，人的质量为m，相对于船的速度为u，其方向应与v的方向相反。选x轴沿v的方向，则水平方向上的动量守恒，有：vu设在t

时间内人从船尾走到船头，即：ut=l，船在相同时间内走过的路程为vt=S，则有：故上式各项乘上时间t，得：课堂练习：质量为M，长为l

的小船静止于河中，小船的两头分别站着质量为m1

和m2(m1>m2)的人，他们同时相对于船以相同的速率u走向开始位于船正中，但固定在河中的木桩。若忽略水对船的阻力作用，试问：(1)谁先走到木桩处？(2)他用了多少时间？•Ox解：

(1)选船及甲、乙两人为研究系统，因为系统水平方向不受外力，故在此方向上动量守恒。m1m2•令船对地速度为v，m1对地的速度为v1，m2对地的速度为v2。由动量守恒：•Oxm1m2•由v人地＝v人船+v船地，得：因为m1>m2

，故v>0，所以船沿x轴的正向运动。可见，故m2先到达木桩(2)第二个人到达木桩所需的时间为：v1v2M分析：在竖直方向对小球运用动量定理，可以得到小球受到的平均冲力，根据牛顿第三定律，再对滑块作受力分析，求出滑块所受的支持力，其反作用力即为滑块对地面的平均作用力；系统在水平方向动量守恒，由此可得滑块速度的增量。v0例3-3-2

如图所示，质量为M的滑块正沿光滑水平面向右滑动，一质量为m的小球水平向右飞行，以速度v1（相对于地面）与滑块斜面相碰，碰后竖直向上弹起，速度为v2（相对于地面）。若碰撞的时间为，试计算此过程中滑块对地面的平均作用力和滑块速度的增量。解：对小球沿竖直方向运用动量定理

为滑块给小球冲力的y方向分力的平均值。.NMg滑块在y方向上是受力平衡的，故选小球和滑块为系统，系统在水平方向上动量守恒，设滑块碰前的速度为v0，碰后的速度为v，则：滑块对地面的平均作用力为1.低速，v<<c▲粘附—

主体的质量增加（如滚雪球）▲

抛射—

主体的质量减少（如火箭发射）2.高速

v

c质量随速度变化m=m(v)，这是相对论情形，不讨论。一.变质量问题可分为两类3.4变质量体力学简介当物体运动时，有一部分质量从物体中分离出去或并入到物体中来，从而使物体的质量发生变化的问题。略去二阶无穷小量：设质点在t时刻：m，v

；在t+dt

时刻：m+dm，v+dv

。外力F，dm(速度u)根据动量定理有：二.讨论低速情况令vr

=u-v

，表示dm与m合并前相对于m的速度，代入上式可得：用dt

除等式两边得：or变质量动力学的基本方程注意：与定质量的运动方程相比，增加了具有力量纲的附加项，它可理解为因质量的变化引起的作用于质点的附加推力。密歇尔斯基方程用于密歇尔斯基方程可以研究许多实际的问题：如陨星对地球质量和运动的影响；冰山运动受冻结和融化的影响；太阳因吸收宇宙尘埃和辐射损失的质量变化；火箭、气球以及彗星的运动等。用变质量体方法求解例3-2-3此例中方法似乎更简便些#系统是：已提升的质量(主体)m和将要提升的质量dmv0x，火箭加速飞行过程中，不断喷出燃气，使火箭的质量不断减小，速度不断增加。vr

=u-v

表示火箭中喷出的燃气相对于火箭本身的速度，通常称为喷气速度。如果忽略外力时，由变质量动力学方程可得：设火箭作直线运动，沿火箭运动方向取坐标轴x，由于喷气速度vr

和火箭本身速度v

的方向相反，则上式可写为：三.火箭飞行问题矢量表达式标量表达式喷射前：Mi，vi燃料全部耗尽时：Mf

，vf喷气速度vr

为常量燃料耗尽时火箭的速度——Mi

/Mf

：火箭的质量比积分结论：要使火箭获得大的速度，或者增大质量比(即增大燃料在总质量中所占的比例)，或者增大喷气速度。表明：火箭的速度取决于质量比及喷气速度。单级火箭所能达到的速度的限制火箭推行的最基本的公式：联想——

乌贼是怎样运动的？讨论：1.

单级火箭：u=4.1km/s

N=Mi

/Mf

=15

vf

=11km/s考虑地球引力和空气阻力，实际末速只有：

7km/s<7.9km/s(第一宇宙速)。2.

多级火箭(一般为三级)：v

=u1lnN1+u2lnN2+u3lnN3航天飞行器都是依靠火箭发射的。然而，作为发射航天飞行器的基础技术——火箭，却是古代中国劳动人民发明创造的。火药是古代中国的四大发明之一。秦汉的炼丹术士们把五金、八石、硝石、三黄等混合共炼，发明了火药。南宋时期，人们利用火药燃烧进行喷气推进的方式制作的爆竹和烟火，已接近火箭制造的原理。而唐末宋初至明朝初期，火箭还只是作为燃烧物，其结构多是在火药筒上捆一根细竹杆，这叫“起火”。如在“起火”前端加一个箭头，尾端装上箭羽，就是“火箭”了。◆中国人最早发明火箭经过配方和工艺的改进，明代成为中国古代火箭技术运用的全盛时期。火箭武器种类繁多，著名的有震天雷，一窝蜂，神火飞鸦，飞空砂筒，火龙出水等。“一窝蜂”：木桶内装32支火箭，用一根总药线连接32支箭的引线，配置在地下，使用时点燃总线，箭如一窝蜂般飞出地面，杀伤敌方人马。“火龙出水”

：火龙出水用于水战，面对敌舰，点燃安装在龙身上的四支火箭，这是第一级火箭，它能推动火龙在水面上飞行近千米；待第一级火箭燃烧完毕，就自动引燃龙腹内的火箭（四个火箭引信与龙腹内火箭引信是相连的），这是第二级火箭。这时，从龙口里飞出数支火箭射向敌人，焚烧敌舰。现代多级火箭的始祖火药：喷气飞行的推进剂和摧毁敌人舰船的爆炸物1981年，在加拿大渥太华市举办的中国古代传统工艺展览会上展出了“火龙出水”模型。许多外国学者观看之后，都惊叹中国古代军事科学家的聪明才智，认为这种以火箭为动力，飞翔于水面上的海战武器，可以说是现代鱼雷的雏型。还应当看到，火龙出水的发射原理跟现代两级火箭发射的原理是相同的，也可以说它是现代多级火箭的始祖。火药在火箭中已有明确分工：喷气飞行的推进剂和摧毁敌人舰船的爆炸物。所以，明代火箭在技术上已有相当大的突破。13世纪以后，中国的火箭制造技术沿着丝绸之路渐渐传入印度，阿拉伯等地，向世界传播，为世界的科技发展作出了巨大的贡献。14世纪末(明朝)，一勇敢者万虎坐在装有47个当时最大的火箭的椅子上，双手各持一大风筝，试图借助火箭的推力和风筝的升力实现飞行的梦想。尽管这次试验是一次失败的悲剧（箭毁人亡），但万虎被公认是尝试利用火箭飞行的世界第一人。1959年，为了纪念万虎，人们以他的名字命名了月球背面的一座环形山，美国的火箭专家赫伯特·基姆也撰文记载他的事迹，在美国的航空和航天博物馆中也标示着：“最早的飞行器是中国的风筝和火箭”。继美国，俄罗斯之后，我国成功的发射了载人航天飞行的“神舟5号”(2003.10.15)，“神舟6号”(2005.10.12)，标志着我国载人飞船技术已经达到国际第三代载人飞船的水平。

◆我国现在的火箭技术已达到世界先进水平。◆最早的火箭载人飞行试验也发生在中国长征二号F型火箭火箭由四个液体助推器、芯一级火箭、芯二级火箭、整流罩和逃逸塔组成，是目前我国所有运载火箭中起飞质量最大、长度最长的火箭。全箭起飞质量460吨全长49.7米3.5质心讨论一个质点系的运动时，引入质量中心的概念。注意：质心相对于质点系内各点的相对位置不会随坐标系的选择而发生变化，即质心是相对于质点系本身的一个特定的位置。xyzmircriO1.考虑由N个质点组成的系统质心坐标的分量表达式：2.对于大的连续物体，可认为是由许多质元所组成积分遍及整个质量分布区域直角坐标分量式为：dm：任一质元的质量，r：位矢对于均匀的直棒、均匀圆环、均匀圆盘、均匀球体、均匀立方体等形体质心就在其几何对称中心上。例3-5-1

设一任意三角形的每个顶点处均有一质量为m的质点，求该三角形的质心。xyO213(x1,y1)(x2,0)(0,0)解：建立如图所示的坐标系，根据质心坐标的分量式可得：例3-5-2

一个细长均匀杆长为L，质量为M1，与另一个半径为a，质量为M2

的均匀圆盘相连(如图所示)。圆盘的中心在杆的一端。求圆盘中心距离该连结体质心的距离。M1M2解：设连结点处为坐标原点，即：x=0。圆盘和杆的质心就是它们的几何中心。用两个质点分别代表圆盘和杆，则由它们组成的连结体的质心：Lx=0x例3-5-3

一半径为R的均质薄圆盘，开了一半径为r的圆孔，两圆中心O，O’相距为d。求其质心。分析：补偿法此黄色开孔圆盘可设想由质量为m1，半径为R的无孔大圆盘和质量为–m2(不妨称为负质量)，半径为r的小圆盘所组成，两者的质量之和m1+(–m2)即为开孔大圆盘的质量。解：设圆盘的质量面密度为σ，则无孔大圆盘的质量为：其质心在原点：x1=0小圆盘的质量为：其质心坐标为：x2=d因此所求黄色开孔圆盘的质心坐标为：负号表示质心在圆盘中心O的左边例3-5-4

已知半圆环质量为M，半径为R。求：它的质心位置？解：如图，半圆环对y轴对称，故质心应在y轴上，即：xc=0。在环上任取一小段圆弧dl，其对应的角度为，并假设环的线密度为，则。又：，y思考：如果是一个半圆盘xyOx=LO课堂练习：一根长为L

的直杆，一端置于坐标原点，另一端的坐标为x=L，如果杆单位长度的质量为Ax，其中A为常数，求质心的位置。则质心坐标为：dmx解：已知杆的线密度为。在杆上距离原点为x处取一段长为dx

的质元，其质量为：3.6质心运动定理由质心公式可得：即表明：质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的运动速度的乘积。质点系的总动量与一个以系统的质心速度运动且其质量等于系统总质量的质点的动量相同。对上式两边求导，得：由质点系的动量定理可得：质心运动定理表明：一个质点系的质心的运动，就如同这样一个质点的运动，该质点质量等于整个质点系的质量并且集中在质心，而此质点所受的力是质点系所受的所有外力之和。质心运动定理告诉我们：系统质心的运动由系统所受的合外力决定，与系统的内力无关。推论：若合外力F=0，则mac=0，可得：vc=const.即：质点系所受的合外力为零时，质心速度不变手榴弹高台跳水运动员炮弹各个质点的运动很复杂质心沿一条抛物线运动例3-6-1

设有一质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，他飞行到最高点时爆炸成质量相等的两个碎片，其中一个碎片垂直自由下落，另一个碎片水平抛出，他们同时落地，试问第二个碎片落地点在何处（忽略空气阻力）？解：xcx1x2yxOT例3-6-2

水平桌面上拉动纸，纸张上有一均匀球，球的质量为M，纸被拉动时与球的摩擦力为F，求：t

秒后球相对桌面移动多少距离？•Oyx解：根据质心运动定理由运动学公式可得：方向：沿拉动纸的方向移动FF例3-6-3

用质心运动定理来求解例3-3-3解：取人和船组成的质点系为研究对象：根据质心运动定理：又整个质点系原来是静止的即在整个过程中，系统的质心位置保持不变。Ox在人走之前，人船系统质心的坐标为：当人走到船尾，人船系统质心的坐标为：因为xc=x’cOxx1x2x’1x’2船相对于湖岸向左移动的距离SSOxx1x2x’1x’2例3-6-4

用质心运动定理来求解例3-2-3。解：仍取台面为原点，取x轴竖直向上。当绳索提起x

长时，体系的质心坐标为：而整个体系共受三个力的作用：提力F，重力G(G=mg)，台面支持力N()。由质心运动定理得：思考将一根直尺竖立在光滑的冰面上，如果它倒下来的话，其质心将划过怎样一条轨道。答：由于水平方向不受外力，故其质心在水平方向应保持不变，质心将竖直向下运动。◆

质心参考系：即质心在其中静止的平动参考系。选取质心为质心参考系的坐标原点，则根据质心的定义：求导：零动量参考系z'r'ix'y'xyzmircriOSS’另一方面，位矢满足：故：求导可得质心系中的速度：在自然界中经常会遇到质点围绕着一定的中心运转的情况。例如，行星绕太阳的公转，人造卫星绕地球转动，电子绕原子核转动以及刚体的转动等等。动量定理及其守恒定律未必适用，我们采用角动量的概念就比较方便。角动量与动量一样，是一个重要概念。3.7质点的角动量★角动量概念

一个动量为p的质点，对惯性参考系中某一固定点O

的角动量L用矢积定义：如果质点作圆周运动角动量大小角动量方向满足右手螺旋法则单位：kg·m2/s质点的角动量v和p的方向一致，故矢积为零力矩单位：N·m★质点的角动量随时间的变化率：大小：方向：满足右手螺旋法则O角动量定理表明：质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。讨论：判断下列有关角动量的说法的正误。一质点作直线运动，质点的角动量一定为零。一质点作直线运动，质点的角动量一定不变。(1)不一定为零。因质点的角动量与参考点有关。••vrr’OO’(2)不一定不变。2.作变速率直线运动的质点对任一固定点的角动量的大小是变化的。••vrr’OO’d1.作匀速直线运动的质点对任一固定点的角动量是一个常矢量;角动量方向不变，垂直于板面向里注意：的情况，可能是

r=0，也可能是F=0或者是

F//r(同向或反向)，质点在有心力中运动就是这种情况。3.8角动量守恒定律角动量守恒定律：如果对某一点，质点所受的合外力矩为零，则此质点对该固定点的角动量矢量保持不变角动量守恒定律也是自然界普遍适用的一条基本规律Aqualitativedemonstrationoftherelationshipofm,vsquared,andr.Theballisswunginacircularmotiononthesmoothstand.Pullingontheringshortenstheradiusoftheballpathandincreasesthevelocity.在光滑的水平桌面上，对固定参考点（桌面小孔）而言，小球受到的合力矩为零，小球的角动量守恒。因此，运动半径减小，运动速率增大。F◆用角动量守恒定律解释物理现象Theballissettoswinging,andasmallmassishookedtothering,exertingadownwardforceonthestring.Theradiusofthestringfromthepivottotheballshrinks,andtheball’svelocityincreases.讨论1：作匀速直线运动的质点const.定义：r在单位时间内扫过的面积，称为掠面速度质点的角动量守恒：质点的角动量守恒：结论：在这两种情况下，质点相对于某点(O)的角动量守恒与质点相对于该点位矢的掠面速度相等是等价的讨论2：作匀速率圆周运动的质点(有心力场)位矢r的掠面速度在圆周上各点均相等开普勒第二定律：行星对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。开普勒发现行星绕太阳的轨道是椭圆形的，提出了开普勒三定律*，开普勒为此欣喜若狂。把二十余年观测的几千个数据归纳成这样简洁的几条规律，开普勒应该为此感到自豪。只是开普勒尚不理解，他所发现的三大定律已传达了重大的“天机”。由于角动量正比于位矢的掠面速度，因此开普勒第二定律意味着角动量守恒。*：见附录证明：太阳对行星的引力是有心力，故行星对太阳的角动量保持不变。(1)角动量的方向不变，表明位矢和速度所决定的平面的方位不变，行星就在这个平面内运动，即行星的轨道是一个平面。运用角动量守恒定律来证明开普勒第二定律。(2)角动量的大小为：另一方面，由几何关系可得：行星运动的角动量守恒意味着这一掠面速度保持不变。由此证明了开普勒第二定律。掠面速度例3-8-1

质量为m的物体拴在穿过小孔的轻绳的一端，在光滑的水平面上以角速度ω0

作半径为r0

的圆周运动。自t=0时刻起，手拉绳的另一端以匀速v向下运动，使半径逐渐减小。试求角速度与时间的关系ω(t)。。vrm分析：质点在水平方向上仅受通过小孔的绳的拉力作用，为有心力，故角动量守恒。解：质点对小孔的角动量守恒。当质点与小孔的距离为r

时，其角速度为ω，则有：即(1)联立(1)、(2)两式可得：根据题意可知，质点m

与小孔距离的变化规律为：(2)。vrmrO3.9*

质点系的角动量定理一个质点系对某一点的角动量定义为其中各质点对该点的角动量的矢量和，即：········ijFiPifijfjiOrjri·对于任一质点i，运用角动量定理：Fi

为第i个质点所受的外力；fij

为该质点所受系内第j

个质点对它施加的内力。其中：ri

-rj对系统内所有的质点求和：求和其中合外力矩合内力矩其中，一对内力矩为之和为：由牛顿第三定律可知：若无外力矩，即M=0，则L=const.

，表明质点系总角动量将不随时间改变——质点系的角动量守恒定律质点系的角动量定理：一个质点系所受的合外力矩等于该质点系的角动量对时间的变化率。由于内力总是成对出现的，而每一对内力矩之和为零，所以可推得所有内力矩之和为零，即：讨论：质点系的总动量为零，总角动量一定为零？不正确。仅由不能导出•m1v1m2v2r1r2O但，对O点的角动量均是垂直于板面向内的，故总角动量不等于零。例：两个质量均为m

的质点，用一根长为2a

的质量可忽略不计的轻杆相连，构成一个简单的质点系。两质点绕固定轴O’Z以匀角速度转动，轴线通过杆的中点O并与杆的夹角为，求质点系对O点的角动量。分析：由图可知。两