2021届高三高考数学复习压轴题43-立体几何三【含答案】

2021届高三高考数学复习压轴题专练43—立体几何(3)【含

答案】

一、单选题

1.已知AABC中，AB=2BC=4,AC=26，点M在线段AC上除A,C的位置运动，

现沿8M进行翻折，使得线段村上存在一点N,满足CN_L平面AW；若恒成立,

则实数2的最大值为()

n

A.1B.y/3C.2D.—

2

解：因为AB=28C=4,AC=26,

且点M在线段A3上除A、C的位置运动，

要使4?上存在一点N,满足CN_L平面A8M,使恒成立，

则当M恰好为C点时，为临界条件(M不可为C点，但可用来计算)，

即CNJ.A3,且A®=/1,

因为AB=4,

可得CN?=4-无，cM=(2G)2-(4-/l)2,

所以4-万=12一(4-团2,

解得4=1,

所以2的最大值为1.

故选：A.

2.已知四面体A—BCQ,AB=O,BC=BD=2,43_L平面BCD,BE工AC于E,

8尸，4)于尸，贝lj()

E

D

A.AC可能与EF垂直，ABE尸的面积有最大值

B.AC不可能与垂直，A5E厂的面积有最大值

C.AC可能与EF垂直，的面积没有最大值

D.AC不可能与砂垂直，的面积没有最大值

解：不妨假设AC_LEF,BE±AC,

由EF「|BE=E,EF、BEu平面BEF,得AC_L平面5EF,

♦.•8fu平面8EF,.-.AC±BF,

-.BF±AD,ACQAD=A,AC、ADu平面AC£),

.♦.8尸_L平面ACE>,:.BF±CD,

由平面88,得ABLCD,此时8_L平面AB£>,则8_L8/),

而6c=3£)=2,矛盾，故AC不可能与所垂直，故AC错误；

设CZ)=x,由题意得AAEFSAACD,EF=-x,其中xe(0,4),

3

BF-+BE2-EF'>Q,

22

:.NFBE为锐角,SsinZFB£=-sinZFBE,

AHI3

若ABE尸的面积有最大值，即当"最大时，即C£>.4,EF—&时，

3

取最大锐角，此时面积趋向最大，

即3,C,。三点共线出现矛盾，：.M£F没有最大面积，故5错误.

故选：D.

3.如图E,F,G,，分别是菱形458的边43，BC,CD,ZM上的点，且3E=2AE,

DH=2HA,CF=2FB,CG=2GD,现将AABO沿比>折起，得到空间四边形在

折起过程中，下列说法正确的是()

B

A.直线EF,HG有可能平行

B.直线所，“G一定异面

C.直线瓦4G一定相交，且交点一定在直线AC上

D.直线所，//G一定相交，但交点不一定在直线AC上

解：•.BE=2AE,DH=2HA,

—=—=1,则EH//BD,且EH=LBD,

BEDH23

又CF=2FB,CG=2GD,

—=—=2,则FG//BQ,且FG=2B。，

BFGD3

:.EHHFG,且

四边形EFG”为平面四边形，故直线防，“G一定共面，故5错误;

若直线EF与"G平行，则四边形瓦G”为平行四边形，可得与EHrFG矛盾,

故A错误；

12

由EHV/FG,且EH片FG,EH=-BD,FG=-BD,可得直线HG一定相交，设

33

交点为O,

则OwEF,又EFu平面ABC,可得Oe平面ABC,同理，Oe平面ACD,

而平面ABCC平面ACD=AC,.\OeAC,即直线£F,HG一定相交，且交点一定在直

线4c上，故C正确，。错误.

故选：C.

4.三棱锥D—A3C中，ZACD=2ZACB=12Q°,CD=2BC,则异面直线AC与3£）所成的

角可能是（）

A.30°B.45°C.60°D,75°

解：设

CD=2BC=2m

___________________________3___

AC-fiD=AC-(BC+CD)=|AC|-|BC|cos60o+|AC|-|CD|cos60o=-m|AC|.

由于ZACB+ZACD=180°,将侧面ACD沿AC展开到平面ABC,

则三点8、C、O共线，

又此三棱锥可看成将A4CZ）沿直线AC翻折而成的，故不难得&<|BD\<3m.

1

设异面直线AC与9所成的角为。，则cos0=।竺丝=*=e（L立），

\AC\\BD\2\BD\22

即(30°,60°),

故选：B.

5.在三棱锥A—88中，AB=2,ZABC=ZACD=60°,E、尸分别为BC、4）的中点,

且历J_BC,EFLAD,BCYAD,则异面直线3尸与DE所成角的余弦值为（）

A-IB-1cT

解：连结AE,DE,BF,CF,如图所示,

因为BC_LEF,BCYAD,XEFQA£>=F,EF,ADu平面AED,

所以3CJL平面4⑦，又AE,OEu平面型），

所以BC_LAE,BCVDE,

又因为E为8c的中点，

所以4?=AC,DB=DC,

同理可得，AB=BD,AC=CD,

又因为NABC=NACO=60。，

所以AABC和A4DC都是等边三角形，

故AB=3£)=AC=a)=3C=A£>,

则三棱锥A-3CD是正四面体，

取C户的中点G,连结召G,则EG//3/,

所以NGED为直线M与DE所成的角（或其补角），

因为他=2,所以EG=，BF=",££）=73,DG=-JFG2+FD2=—

222

在AEGD中，由余弦定理可得，cosAGED=E2+DEdg21

0~~=——=

2EGDE2至百3

2

所以异面直线所与班所成角的余弦值为2.

3

6.棱长为1的正方体ABCD-ASG。中，点P在线段4）上，（点。异于A、。两点），

线段。。的中点为。，若平面8PQ截该正方体所得的截面为四边形，则线段针长度的取

值范围为（）

A.（0,1]B.（J,1]C.[1,1）D.（0,

解：如图，设平面BPQ与直线Cq交于点E,

因为A88—A4CQ是正方体，所以平面4904//平面8CCI81,

而平面BPQC平面ADD^=PQ,平面BPQC平面BCQB、=BE，

PDRC

所以PQ//BE,则APOQsABCE,所以53=工百

所以9=生。。=」一

CE2CE

要使平面8尸。截该正方体所得的截面为四边形，则需要点E在线段CG上,

当点P在点A处时，E恰好在线段CG的中点处，

因为点P在线段4）上，所以,<CE,,1,所以1<2CE,2,

2

则L」一<1，即L,尸。<1，所以0<AP„!，即AP的范围为（0,

22CE22

7.如图1,直线EF将矩形A8CD分为两个直角梯形ABFE和CDEF,将梯形CDEF沿边EF

翻折，如图2,在翻折过程中（平面45庄和平面CDEF不重合），下列说法正确的是（

A.在翻折过程中，恒有直线AD||平面8c/

B.存在某一位置，使得||平面43庄

C.存在某一位置，使得8尸||CO

D.存在某一位置，使得。平面

解：对于A,由题意得：DEHCF,AE//BF,

AE^\DE=E,BF^CF=F,

平面49E//平面8CF,

••,ADu平面4）E,.•.在翻折过程中，恒有直线A31|平面3CF,故A正确;

对于B,­.•直线£F将矩形ABCD分为两个直角梯形和CDEF,

与砂相交，

二.不存在某一位置，使得C0|平面43FE,故3错误；

对于C,♦.•8C平面班C=尸，B尸u平面8FC,

，不存在某一位置，使得BFIICD,故C错误;

对于。，•.•四边形DEFC是梯形，DEA.CD,

，£织与所不垂直，

，不存在某一位置，使得平面A8左，故。错误.

故选：A.

8.四棱锥产一ABCD中，PD=DA=AB=-CD,AB//CD,ZADC=9Q°,POJL平面ABC£）,

2

M为PC中点，平面4W交P8于Q,则C。与以所成角的余弦值为（）

AV3口币「6D保

372142

解：延长CB,相交于点N,连结MN与PB交于点。，

在APNC中，8为CV的中点，M为PC的中点，故Q为A/WC的重心，

所以PQ=2QB,

在他上取S,使得AS=2S3,则QS//PA,

所以NSQC即为CQ与所成的角（或补角），

作S"_LOC于点”，不妨设A8=l,

74

则HC=2=—,

33

在RIAHSC中，SC=g,SQ=gpA=#

连结3£>,可得又CD=2,

所以NCSD=90。,

又CBLPD,且PD,BDu平面PBD,

所以CB_L平面P8。，

又BPu平面PBD,

所以C8_LP8,故NP8C=90。，

则有CQ2=QB2+CB2=（停尸+（夜『=|.

所以CQ=粤，

221_25

由余弦定理可得，cosZSQC=SO+CQ2-SC2=9+j2=—叵,

2SQCQ'近屈42

2-------------

33

所以CQ与Q4所成角的余弦值为叵.

42

故选：D.

二、多选题

9.已知正方体ABCO-ABCID的棱长为2，M为A4,的中点，平面a过点A且与CM垂

A.CM，BD

B.B£>//平面a

C.平面G8£>//平面a

D.平面a截正方体所得的截面面积为2

2

解：以A为原点，福、AD.丽为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示:

x

因为正方体A3C£>-A8CQ的棱长为2,M为伍的中点,

所以M(0,0,1),8(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),

所以方方=(一2,2,0),CM=(-2,-2,1),

所以加•CA/=4-4+0=0,BD1.CM,即8D_LC/0,选项A正确；

因为B/5CM_L平面a,

所以或BZJucr,

若BDua,则a为平面BDR,

因为西=(0,0,2),且西•西=2工0,所以5E)Ua,

所以8£>//口，选项8正确；

因为0(2,2,2),甲=(0,-2,-2),

所以翦两'=0+4-2=2*0,

又GB在平面G8D上，所以平面C83与平面a不平行，选项C错误；

取/R、4)的中点分别为P、Q,连接用P、PQ、QQ、BR,过。作QN_L用口于点N,

因为尸Q//BD,BD”B\D\,所以尸Q//8Q,

又在RtABB、P、RlAQDD］中，用尸=QQ=x/FIF=百，所以四边形PQ。声是等腰梯形,

又Q£>；=(0,1,2),BR=(-2,2,0),且QD；CM=B4CM=0,

所以平面a即为平面PQD^,所求截面面积即为等腰梯形尸。〃石的面积；

又D\N=B\D\；PQ=与,在•△"NQ中，NQ=《_；=当,

所以“师明‘产经也，乎=?所以选项。正确•

故选：ABD.

10.如图，已知a,匕是相互垂直的两条异面直线，直线4?与a,人均相互垂直，且A3=2,

动点P,。分别位于直线“，b±,若直线PQ与43所成的角。=工，线段PQ的中点为M,

A.P。的长度为20B.PQ的长度不是定值

C.点M的轨迹是圆D.三棱锥A-8PQ的体积为定值

解：过点P作于点方,

连接B'Q,

如图所示：

则NQP3'=-,

4

故PQ=—2—=2正，故A正确；5不正确；

71

COS

4

设£Q的中点为N,易得BB，1BQ,且Q。=2,则有RV=1,

设他的中点为O,连接O,M,N,B,易得四边形。为平行四边形，

故QW=BN=1,MN=1PB',

2

即点M到平面a的距离为定值，

可得点M的轨迹为圆，故C正确；

当点。与3点重合时，三棱锥体A-3PQ转换为三角形，

其体积为0,而当点。与点5不重合时，且点P与点A不重合时，其体积显然不为0,

故。错误，

故选：AC.

11.如图所示，在矩形438中，AB=2,BC=\,E为CD上一动点,现将ABEC沿比

折起至AfiEF,在平面FR4内作尸G_LAB,G为垂足.设CE=s,BG=t,则下列说法正

确的是（）

3

A.若即，平面AEV,贝「=二

2

B.若AF_L平面班/，则5=,

2

C.若平面5M_L平面43ED,且s=l,贝

2

3?

D.若平面AfB_L平面ABED,且s=3,则"*

23

解：如图，对于A,若班'_L平面A£F,则有跳

在RtAAFB中，AB=2,BF=BC=1,

则AF=JAB2-BF2=6所以FG=AFxBF=2,

AB2

在RtABGF中，BG=yjBF2-FG2=-,B|Jr=1,故A错误；

22

对于3,若AF_L平面BEF,则有AF_LBF,AF^FE,

在RtAAFB中，AF=y/3,

在RtAAEF中，AF2+EF2=AE2,SR(^3)2+r=(2-s)2+12,解得s=1,故8正确；

2

对于C,若平面班F_L平面ABED,过点/作FH_LBE,垂足为H,连接HG,

因为平面身方C平面4如=5E,所以EH_L平面43ED,所以PH_LAB,

又A3_LRG,所以他_1_平面/7/6,所以他_L〃G,

因为s=l,所以在等腰RtAFEB中，BH=—,

2

所以在等腰RlABGH中，BG=t=-,故C正确；

2

对于3,若平面4话_L平面/WED,因为平面"BC平面FGA.AB,所以

FG_L平面A3ED,

所以FG_L3E,过点尸作m_LE3,垂足为H,连接G4,

因为FG「］FH=F,所以BE,平面FGH,又HGu平面FGH,所以BE_L〃G,

所以在矩形ABCD中，连接C”,则有C,H,G三点共线，

贝ljNCGB+NGCB=90。，又NGCB+ZEBC=90°,

所以ZCGB=NEBC,又ZGBC=NBCE=90°,

由RtACBGsRtAECB知，—=—,

CBEC

因为CB=19EC=s=—，所以BG=t=—f故O正确.

23

故选：BCD.

12.正方体ABCD-ABCO的棱长为2，E,F,G分别为8C,CC,,8始的中点.则（

A.直线R。与直线AF垂直

B.直线AQ与平面AEf平行

C.平面的截正方体所得的截面面积为2

2

D.点4和点。到平面心的距离相等

解：以。为原点，D4为x轴，£>C为y轴，OQ为z轴，建立空间直角坐标系

则A(2,0,0),£(1,2,0),尸(0,2,1),£)(0,0,0),0,(0.0,2),/\(2,0,2),

G(2,2,1),

对于A,DQ=(0,0,-2),AF=(-2,2,I),

•.•西•通=-2*0,二直线与直线"不垂直，故A错误；

对于8,4^=(0，2,-1),AE=(-1,2,0),AF=(-2,2,1),

设平面/1EF的法向量万=(x,y,z),

则《一，取y=l,得万=(2,1,2),

n•AF=-2x+2y+z=0

•.•而•万=0,AGU平面AEV,

直线AG与平面A即平行，故5正确;

对于C,连接A",FDt,-.E,F分别是BC,的中点，

.•.面4£F截正方体所得的截面为梯形AEFD,,

.•.面A砂截正方体所得的截面面积为：

AD+EF〃+4+/4+4I£9

S=AU'bxAB=--------Z-----x(4+1)-(*f=2,故c正确;

22V22

对于。，由5知平面AEF的法向量仃=(2,1,2),

.•.点A到平面AM的距离为=四*=[=9，

四百3

点。到平面A即的距离4=巫应=二=±,

I万I囱3

点A和点D到平面AEF的距离相等，故。正确.

故选：BCD.

三、填空题

13.在四面体A88中，AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7,则AB、8所成的

角的余弦值为—.

解：作出四面体ABCD的外接长方体A57X7-DC4'8,如图所示，

设长£>'C=a,宽C4'=6,高A'O=c,

a2+b2=l2

则由勾股定理可得，/+。2=62,解得d=6,

b1+C1=52

连结AE交C。于点E,则异面直线AB、C/)所成的角为Z4'£D(或补角),

A'J71D五2_A，）：

在△AE。中，由余弦定理可得，cosN4ED=.——

2ArEDE

所以4?、C。所成的角的余弦值为

25

故答案为：—.

25

14.在三棱锥尸-ABC中，AB=AC=BC=4,PB=PC=3,平面P3C_L平面ABC,D为

线段以上一动点，当8/7+8取最小值时，—=.

PA----

解：取8c的中点O,因为依=PC,所以PO_L3C,

又因为平面PBC_L平面ABC,平面P3CC平面他C=3C,

所以POJL平面ABC,

建立空间直角坐标系如图所示，

则P(0,0,75),A(2V3,0,0),B(0,-2,0),C(0,2,0),

所以而=(26,0,-石)，

T^.PD=APA,因为B户=(0,2,后),。户=(0,-2,不),

故B6=BP+Pb=(2&2非-入后)，

CD=CP+PD=(2百;I,-2,>/5-V52),

所以B£>+CD=|8£i|+|CZ5|

=1】2万+4+5+5储-102x2

=2>/1722-102+9

=2J17(A-—)2+—

V1717

..2、偿,

V17

当且仅当2=9