2025年高考数学一轮复习-第六章-第五节-第1课时-余弦定理、正弦定理-专项训练【含答案】

第六章-第五节-第1课时-余弦定理、正弦定理-专项训练一、单项选择题1．在下列关于△ABC的四个条件中选择一个，能够使角A被唯一确定的是()①sinA＝12；②cosA＝－13；③cosB＝－14，b＝3a；④C＝π4，b＝2，A．①② B．②③C．②④ D．②③④2．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝()A．5π6 B．C．π3 D．3．在△ABC中，(a＋c)(sinA－sinC)＝b(sinA－sinB)，则∠C＝()A．π6 B．πC．2π3 4．在△ABC中，若AB·BC＝－2，且B＝60°，则△A．23 B．3C．32 D．5．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且bcosC＋acosB＝a，则△ABC是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰或直角三角形6．已知锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为()A．(2，3) B．(1，C．(2，2) D．(0，2)二、多项选择题7．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA＝(3b－c)sinB，且cosA＝13A．a＋c＝3bB．tanA＝22C．△ABC的周长为4cD．△ABC的面积为2298．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝23，c＝3，A＋3C＝π，则下列结论正确的是()A．cosC＝33 B．sinB＝C．a＝3 D．S△ABC＝2三、填空题9．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－14，则b10．我国南宋著名数学家秦九韶，发现了由三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S＝14c2a2−c2+a2−b222，其中a，b，c四、解答题11．在△ABC中，bsinA－acosB2＝(1)求角B；(2)若b＝3，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求a及△ABC的面积．条件①：sinA＋sinC＝2sinB；条件②：c＝3；条件③：ac＝10.12．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝π2，∠ACD＝π3，AD＝3，S为△ABC的面积，且2S＝－(1)求角B；(2)若cosD＝12，求四边形ABCD13．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC.(1)证明：BD＝b；(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.参考答案1．B[对于①：sinA＝12，因为A∈(0，π)，所以A＝π6或5π对于②：cosA＝－13，因为y＝cosx在(0，π)上单调，所以角A被唯一确定，故②对于③：cosB＝－14，b＝3a，因为cosB＝－14＜0，B∈(0，π)，所以B∈π2，π，所以所以sinB＝1−cos2B又b＝3a，由正弦定理得sinB＝3sinA，所以sinA＝sinB3＝所以角A被唯一确定，故③正确；对于④：C＝π4，b＝2，c＝3因为bsinC＝2×sinπ4＝2所以bsinC＜c＜b，如图，△ABC不唯一，故④错误.故选B.]2．D[∵sinC＝23sinB，∴c＝23b，结合a2－b2＝3bc得a＝7b.由余弦定理的推论可得cosA＝b2+c2−又∵A∈(0，π)，∴A＝π63．B[由(a＋c)(sinA－sinC)＝b(sinA－sinB)得(a＋c)(a－c)＝b(a－b)，即a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝a2+b2−又C∈(0，π)，∴C＝π34．B[因为AB·BC＝－2且所以a·c·cos(180°－60°)＝accos120°＝－2，所以ac＝4，所以S△ABC＝12acsinB＝12×4×325．D[由bcosC＋acosB＝a及正弦定理，得sinBcosC＋sinAcosB＝sinA，所以sinBcosC＋sinAcosB＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，即cosB(sinA－sinC)＝0，当cosB＝0时，因为0＜B＜π，所以B＝π2当cosB≠0时，所以sinA－sinC＝0，即sinA＝sinC，因为0＜A＜π，0＜C＜π，所以A＝C，所以△ABC为等腰或直角三角形．故选D.]6．A[∵B＝2A，∴sinB＝sin2A＝2sinAcosA.∵a＝1，∴b＝2acosA＝2cosA.又△ABC为锐角三角形，∴0＜2A＜π2，0＜A＜π2，0即2＜b＝2cosA＜3.故选A.]7．ABD[由正弦定理及题意得ba＝(3b－c)b，整理得a＝3b－c，即a＋c＝3b，A正确；由cosA＝13可得sinA＝1−13则tanA＝sinAcosA由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，又a＝3b－c，可得(3b－c)2＝b2＋c2－2bc×13整理得3b＝2c，△ABC的周长为a＋b＋c＝4b＝83c由上知：a＝3b－c，3b＝2c，可得a＝c，b＝23a，则S△ABC＝12bcsinA＝12·23a·a·8．AD[因为A＋3C＝π，故B＝2C，根据正弦定理bsinB＝csinC，得23sinC＝3×2sin由于sinC≠0，故cosC＝33，sinC＝63，所以sinB＝sin2C＝2sinCcosC＝223.又由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，化简得到a2－4a＋3＝0，解得a＝3或a＝1．若a＝3，则A＝C＝π4，故B＝π2，不合题意，因此a＝1.故S△ABC＝12absinC＝129．4[在△ABC中，由b2＝a2＋c2－2accosB及b＋c＝7知，b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×−14，整理得15b－60＝0，所以b＝410．234[法一：S＝142×4−4+法二：cosA＝3+4−223×2＝543＝5312，sinA＝6912，11．解：(1)由正弦定理得bsinA＝asinB，得asinB－acosB22asinB2cosB2－acos因为0＜B2＜π2，所以acosB则sinB2＝1所以B2＝π6，所以B＝(2)选条件①：sinA＋sinC＝2sinB.因为b＝3，B＝π3，sinA＋sinC＝2sinB由正弦定理得a＋c＝2b＝6，由余弦定理得9＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，解得ac＝9，则ac=9所以△ABC存在且唯一确定，则S△ABC＝12acsinB＝9选条件②：c＝3.已知B＝π3，b＝3，c＝3由正弦定理得sinC＝cbsinB＝1因为c＜b，所以C＝π6，A＝π2，a＝b2所以△ABC存在且唯一确定，则S△ABC＝12bc＝3选条件③：ac＝10.由余弦定理得9＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，即a＋c＝39，所以a(39－a)＝10，即a2－39a＋10＝0，因为(39)2－4×10＝－1＜0，所以不存在a使得△ABC存在．12．解：(1)由2S＝－3BA在△ABC中，得2×12AB×BCsinB＝－3AB×BCcosB即sinB＝－3cosB，可得tanB＝－3，因为B∈(0，π)，所以B＝2π(2)因为cosD＝12，D∈(0，π)，所以D＝π所以△ACD为等边三角形，AC＝3，∠CAD＝π3所以∠BAC＝π6，∠ACB＝π由正弦定理知ACsinB＝AB＝AC·sin∠ACBsinB故四边形ABCD的周长为2＋23.13．解：(1)证明：设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理，得sin∠ABC＝b2R，sinC＝c因为BDsin∠ABC＝asinC，所以BD·b2R＝a·c即BD·b＝ac.又因为b2＝ac，所以BD＝b.(2)法一：(两次应用余弦定理)因为AD＝2DC，如图，在△ABC中，cosC＝a2+在△BCD中，cosC＝a2+由①②得a2＋b2－c2＝3a2+b32−b2，整理得2a2又因为b2＝ac，所以6a2－11ac＋3c2＝0，解得a＝c3或a＝3c当a＝c3，b2＝ac＝c23时，a＋b＝c当a＝3c2，b2＝ac＝3cos∠ABC＝3c22+所以cos∠ABC＝712法二：(向量法)因为AD＝2DC，所以AD＝2DC，即BD＝23所以BD2＝49即b2＝49a2＋49acco