广东省中考真题数学

目录

中考真题数学........................................................2

广东中考数学第23题集..............................................15

⑴求m的值；...................................................15

(2)求函数y=ax?+b(aWO)的解析式；..............................15

(2)当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；......................16

(3)在(2)的条件下，求sin/OCB的值.............................16

(1)求yi的解析式；...............................................20

(2)若y2随着x的增大而增大，且yi与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解

析式...............................................................20

12.已知抛物线y=x2+mx-2m-4(m>0).............................21

广东中考数学第23题集..............................................23

参考答案与试题解析.................................................23

一.解答题(共12小题)............................................23

中考真题数学

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个

是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.

1.四个实数0、p-3.14,2中，最小的数是（）

A.0

1

B.-

3

C.-3.14

D.2

解析：正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的

反而小，据此判断即可.

答案：C.

2.据有关部门统计,2018年“五一小长假”期间，广东各大景点共接待游客约14420000人次，

将数14420000用科学记数法表示为（）

A.1.442x107

B.0.1442X107

C.1.442x108

D.0.1442x108

解析：根据科学记数法的表示方法可以将题目中的数据用科学记数法表

示.14420000=1.442*107.

答案：A.

3.如图，由5个相同正方体组合而成的几何体，它的主视图是（）

解析：根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可.

答案：B.

4.数据1、5、7、4、8的中位数是（）

A.4

B.5

C.6

D.7

解析：将数据重新排列为1、4、5、7、8,

则这组数据的中位数为5.

答案：B.

5.下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A.圆

B.菱形

C.平行四边形

D.等腰三角形

解析：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确.

答案：D.

6.不等式3x-Gx+3的解集是（）

A.x<4

B.x>4

C.x<2

D.x>2

解析：移项，得：3x-x>3+l,

合并同类项，得：2x%,

系数化为1,得：x>2.

答案：D.

7.在UABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则一ADE与」ABC的面积之比为（）

1

B.-

3

1

C.一

4

解析：由点D、E分别为边AB、AC的中点，可得出DE为1ABC的中位线，进而可得出

DEBC及LADELILABC,再利用相似三角形的性质即可求出LADE与LABC的面积之比.

答案：c.

8.如图，ABOCD,贝ljEIDEC=100。，ZlC=40。，则E1B的大小是（）

B.40°

C.50°

D.60°

解析：□□DEC=100°,nc=400,

□□D=40°,

XOABDCD,

□□B=DD=40°.

答案：B.

9.关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是（）

9

A.m<—

4

9

B.m<—

4

9

C.m>—

4

9

D.m>—

4

解析：根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可.

答案：A.

10.如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A—B-C—D路径匀速运

动到点D,设PAD的面积为y,P点的运动时间为x,则y关于x的函数图象大致为（）

解析：设菱形的高为h,即是一个定值，再分点P在AB上，在BC上和在CD上三种情况,

利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可.

答案：B.

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

11.同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100。，则弧AB所对的圆周角是.

解析：直接利用圆周角定理求解.

答案：50。.

12.分解因式：x2-2x+l=.

解析：直接利用完全平方公式分解因式即可.

答案：x2-2x+l=（x-l）2.

13.一个正数的平方根分别是x+1和x-5,则x=.

解析：根据题意知x+l+x-5=0,

解得：x=2.

答案：2.

14.已知y/a—b+|b-l|=0,则a+1=.

解析：ci—h+|b-11=0,

□b-l=0,a-b=0,

解得：b=l,a=l,

故a+l=2.

答案：2.

15.如图，矩形ABCD中，BC=4,CD=2,以AD为直径的半圆O与BC相切于点E,连接

BD,则阴影部分的面积为.（结果保留时

o

D

解析：连接OE,如图，利用切线的性质得OD=2,OEUBC,易得四边形OECD为正方形,

先利用扇形面积公式，利用S正方形OECD-S扇形EOD计算由弧DE、线段EC、CD所围

成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积.

16.如图，已知等边LOA1B1,顶点A1在双曲线尸、一（x>0）上，点B1的坐标为（2,（））.过

x

B1作B1A2匚OA1交双曲线于点A2,过A2作A2B2UA1B1交x轴于点B2,得到第二个等

边UB1A2B2；过B2作B2A3UB1A2交双曲线于点A3,过A3作A3B3A2B2交x轴于点

B3,得到第三个等边IB2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为.

解析：根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出B2、B3、B4

的坐标，得出规律，进而求出点B6的坐标.

答案：（2"，0）.

三、解答题（一）

17.计算：卜2卜20180+（；）-1.

解析：直接利用负指数事的性质以及零指数塞的性质、绝对值的性质进而化简得出答案.

答案：原式=2-1+2=3.

18.先化简，再求值：至.生竺.，其中a=73.

+4a"-4a2

解析：原式先因式分解，再约分即可化简，继而将a的值代入计算.

答案：原式=-----1_/八、，=2a,

a+4—4）

业百叶

当a=——时'，

2

原式=2x——=\/3.

2

19.如图，BD是菱形ABCD的对角线，E1CBD=75。,

(1)请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF,垂足为E,交AD于F；(不要求写作法，保

留作图痕迹)

(2)在(1)条件下，连接BF,求LJDBF的度数.

解析：(1)分别以A、B为圆心，大于，AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；

2

(2)根据口DBF=1ABD-匚ABF计算即可.

答案：(1)如图所示，直线EF即为所求；

(2)U四边形ABCD是菱形，

1

□匚ABD=UDBC=-UABC=75°,DCUAB,OA=UC.

2

□□ABC=150°,EABC+DC=180°,

□□C=UA=30°,

口EF垂直平分线线段AB,

□AF=FB,

□□A=nFBA=30°,

□□DBF=UABD-UFBE=45°.

20.某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知

该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等.

(1)求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？

(2)若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？

解析：(1)设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为(x-9)元/条，根据数量=总价+

单价结合用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等，即可得出

关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

(2)设购买a条A型芯片，则购买(200-a)条B型芯片，根据总价=单价x数量，即可得出关于

a的一元一次方程，解之即可得出结论.

答案：(1)设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为(x-9)元/条,

3120_4200

根据题意得:

x-9x

解得：x=35>

经检验，x=35是原方程的解,

□x-9=26.

答：A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条.

(2)设购买a条A型芯片，则购买(200-a)条B型芯片，

根据题意得：26a+35(200-a)=6280,

解得：a=80.

答：购买了80条A型芯片.

21.某企业工会开展“一周工作量完成情况”调查活动，随机调查了部分员工一周的工作量剩

余情况，并将调查结果统计后绘制成如图1和图2所示的不完整统计图.

(1)被调查员工人数为人.

(2)把条形统计图补充完整.

(3)若该企业有员工10000人，请估计该企业某周的工作量完成情况为“剩少量”的员工有多

少人？

解析：⑴由“不剩”的人数及其所占百分比可得答案；

(2)用总人数减去其它类型人数求得“剩少量”的人数，据此补全图形即可；

(3)用总人数乘以样本中“剩少量”人数所占百分比可得.

答案：(1)被调查员工人数为400+50%=800人；

(2)“剩少量”的人数为800-(400+80+20)=300人,

补全条形图如下：

(3)估计该企业某周的工作量完成情况为“剩少量”的员工有10000X1^=3500人.

22.如图，矩形ABCD中，AB>AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E

处，AE交CD于点F,连接DE.

(1)求证：ADECED；

(2)求证：1DEF是等腰三角形.

解析:⑴根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD,结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD,

进而即可证出Z1ADELIC]CED(SSS)；

(2)根据全等三角形的性质可得出LDEF=UEDF,利用等边对等角可得出EF=DF,由此即可

证出DDEF是等腰三角形.

答案：(1)口四边形ABCD是矩形，

□AD=BC,AB=CD.

由折叠的性质可得：BC=CE,AB=AE,

□AD=CE,AE=CD.

AD=CE

在匚ADE和DCED中，AE=CD,

DE=ED

□CADEUDCED(SSS).

(2)由(1)得1ADE匚匚CED,

JUDEA=EDC,EPUDEF=UEDF,

□EF=DF,

□□DEF是等腰三角形.

23.如图,已知顶点为C(0,-3)的抛物线y=ax2+b(a和)与x轴交于A,B两点，直线y=x+m

过顶点C和点B.

(2)求函数y=ax2+b(a#0)的解析式；

(3)抛物线上是否存在点M,使得MCB=150?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说

明理由.

解析：(1)把C(0,-3)代入直线厂x+m中解答即可；

(2)把y=0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可;

(3)分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可.

答案：⑴将(0,-3)代入y=x+m,

可得：m=-3；

⑵将y=0代入y=x-3得：x=3,

所以点B的坐标为(3,0),

将(0,-3)、(3,0)代入y=ax2+b中，

可得：《b=—3，

9a+b-0

解得：-3>

b=-3

所以二次函数的解析式为：y=-x2-3；

3

(3)存在，分以下两种情况：

\k

□若M在B上方，设MC交x轴于点D,则口(^=45°+15°=60°,

UOD=OCtan30°=^,

设DC为尸kx-3,代入(3,0),可得：k=5

y=gx-3

联立两个方程可得：\1,，

2

1y=-3x-3

解得:Hg

出=-3[%=6

所以6)；

口若M在B下方，设MC交x轴于点E,则□OEC=45O-15<)=30。,

□OE=OCtan60°=3>/3,

设£(3为丫=10;-3,代入(36，0)可得：k=?g,

联立两个方程可得:

玉=0x2=G

解得:M=-3,[%=-2

所以M2(、6，-2),

综上所述M的坐标为(36，6)或(6,-2).

24.如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD,以AB为直径的UO经过点C,连接AC,OD交

于点E.

(1)证明：ODLBC；

⑵若tanDABC=2,证明：DA与口。相切；

(3)在(2)条件下，连接BD交于」O于点F,连接EF,若BC=1,求EF的长.

解析：(1)连接OC,iiEDOADEDOCD得匚ADOL1CDO,由AD=CD知DEEJAC,再由AB

为直径知BCAC,从而得ODUBC；

(2)根据tanDABC=2可设BC=a、则AC=2a、AD=AB=VAC2+BC2=y[5a,证OE为中位

线知OE='a、AE=CE=-AC=a,进一步求得DE=J^B^7^=2a,再L1AOD中利用勾

22

股定理逆定理证10AD=90。即可得；

(3)先证一AFDJDBAD得DFBD=AD2口，再证UAEDOAD得ODDE=AD2LI,由「「得

DPDEEFDE

DFBD=ODDE,即——=——，结合UEDF=UBDO知LJEDF；BDO,据此可得一=——，

ODBDOBBD

结合(2)可得相关线段的长，代入计算可得.

答案：⑴连接OC,

在匚OAD和匚OCD中，

OA=OC

□"AD=CD,

OD=OD

□□OAD]UOCD(SSS),

□□ADO=LZCDO,

又AD=CD,

□DEOAC,

□AB为UO的直径，

□□ACB=90°,

□□ACB=90°,E|1BCUAC,

□ODCBC；

AC

(2)□tan□ABC==2,

BC

□设BC=a、则AC=2a,

□AD=AB=>/AC2*44-BC2=亚61,

□OE^BC,且AO=BO,

111

□OE=—BC=—a,AE=CE=—AC=a,

222

在EIAED中，DE=7^5^^=2a,

2252125

在DAOD中，AO2+AD2==一a-,OD2=(OF+DF)2=(一a+2a)2=—a2,

424

□AO2+AD2=OD2,

□□OAD=90°,

则DA与口0相切;

(3)连接AF,

□AB是匚O的直径，

□□AFD=IJBAD=90°,

□□ADF=DBDA,

□□AFDDDBAD,

DFAD

□——=——,nn即DFBD=AD2□,

ADBD

又□□AED=ZlOAD=90。，DADETODA,

□□AED1iDOAD,

ADDE

U——=——，nHnPODDE=AD2U,

ODAD

由□□可得DF-BD=OD-DE,嚼嚼

XQnEDF=OBDO,

□□EDFUBDO,

□BC=1,

5

□AB=AD=x/5、OD=—、ED=2、BD=Vio,OB=—,

22

EFDE即千余

’---=----

OBBD

2

解得：EF=—.

2

25.已知RtLJOAB,UOAB=90°,ABO=30°,斜边0B=4,将RtUOAB绕点0顺时针旋转

60°,如题图1,连接BC.

(1)填空：UOBC=；

(2)如图1,连接AC,作OPDAC,垂足为P,求OP的长度；

(3)如图2,点M,N同时从点O出发，在UOCB边上运动，M沿O-C->B路径匀速运动，

N沿O-B-C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/

秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，」OMN的面积为y,求当x为何值

时y取得最大值？最大值为多少？

解析：(1)只要证明UOBC是等边三角形即可；

(2)求出1AOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；

Q

(3)分三种情形讨论求解即可解决问题：□当0<xW彳时，M在OC上运动，N在OB上运动，

Q

此时过点N作NEQOC且交OC于点E.□当一<x"时，M在BC上运动，N在OB上运动.

3

□当4<xW4.8时，M、N都在BC上运动，作OGE1BC于G.

答案：⑴由旋转性质可知：OB=OC,JBOC=60°,

□□OBC是等边三角形，

□□OBC=60°.

图1

□0B=4,匚ABO=30°,

□OA=goB=2,AB=G0A=2&,

□SQAOC=-OA-AB=-x2x2=273,

22

□□BOC是等边三角形，

□□OBC=60°,DABC=CABO+DOBC=90o,

□AC=^AB2+BC2=277，

4>/3_2>/21

□OP=2AOB

AC访.7

8

(3)U当0<xW］时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NEUOC且交OC于

点E.

图2

11

SOMN=-OMNE=-xl.5xx-----x,

222

3出，

□y=-^x2.

8

口x=3寸，y有最大值，最大值=述.

33

O

□当一Vxa时，M在BC上运动，N在0B上运动.

3

BC

作MHOB于H.则BM=8-1.5x,MH=BMsin60°=-21(8-1.5x),

□y=—xQNxMH=-x2+2\[3x.

28

当x=g时，y取最大值，y＜色?,

N都在BC上运动，作OGEIBC于G.

图4

MN=12-2.5x,OG=AB=2>J3,

□y=yMNOG=12^-^y^x,

当x=4时，y有最大值，最大值=2百，

综上所述，y有最大值，最大值为竽.

广东中考数学第23题集

1.(2018广东)如图，已知顶点为C(0,-3)的抛物线丫=a*2+6(a#0)与x轴

交于A,B两点，直线y=x+m过顶点C和点B.

(1)求m的值；

(2)求函数y=ax2+b(aWO)的解析式；

(3)抛物线上是否存在点M,使得NMCB=15。？若存在，求出点M的坐标；

若不存在，请说明理由.

2.(2017广东)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x?+ax+b交x轴于A(1,

0),B(3,0)两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴

相交于点C.

(1)求抛物线y=-x2+ax+b的解析式；

(2)当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，求sinNOCB的值.

3.(2016广东)如图，在直角坐标系中，直线y=kx+l(kWO)与双曲线y=2(x

X

>0)相交于点P(1,m).

(1)求k的值;

(2)若点Q与点P关于直线y=x成轴对称，则点Q的坐标是Q()；

(3)若过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N(0,5),

3

解析式，并求出抛物线的对称轴方程.

4.(2015广东)如图，反比例函数y=k(k#0,x>0)的图象与直线y=3x相交

X

于点C,过直线上点A(1,3)作AB_Lx轴于点B,交反比例函数图象于点

D,月.AB=3BD.

(1)求k的值；

(2)求点C的坐标；

(3)在y轴上确定一点M,使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，

求点M的坐标.

5.(2015广州)如图1,关于x的二次函数y=-x2+bx+c经过点A(-3,0),点

C(0,3),点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上.

(1)求抛物线的解析式；

(2)DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P,

若不存在请说明理由；

6(2016深圳).已知O为坐标原点，抛物线yi=ax?+bx+c(aWO)与x轴相交于点

A(xi,0),B(X2,0),与y轴交于点C,且O,C两点间的距离为3,xi・X2

<0,|XI|+|X21=4,点A,C在直线y2=-3x+t上.

(1)求点C的坐标；

(2)当yi随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；

(3)将抛物线yi向左平移n(n>0)个单位，记平移后y随着x的增大而增大

的部分为P,直线yz向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，

求2n2-5n的最小值.

7.（2018广州）如图，抛物线y=ax?+2x-3与x轴交于A、B两点，且B（1,0）

（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；

（2）如图1,点P是直线y=x上的动点,当直线y=x平分NAPB时，求点P的坐

标；

（3）如图2,已知直线y=2x-a分别与x轴、y轴交于C、F两点，点Q是直

39

线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点

D,点E在线段CD的延长线上，连接QE.问：以QD为腰的等腰aaDE的

面积是否存在最大值？若存在，

请求出这个最大值；若不存在,

请说明理由.

8.（2017深圳）已知抛物线y=mx2+（1-2m）x+1-3m与x轴相交于不同的两点

A、B

（1）求m的取值范围；

（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,并求出点P的坐标；

（3）当工VmW8时，由（2）求出的点P和点A,B构成的AABP的面积是否

4

有最值？若有，求出该最值及相对应的m值.

9.（2017广州）如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（-1,0）,B（4,0）,交y

轴于点C；

（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；

（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使SAABC=2SMBD?若存在

3

请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；

（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45。，与抛物线交于另一点E,求BE的长.

10.（2018深圳）已知抛物线yi=-x2+mx+n,直线y2=kx+b,yi的对称轴与y2交于

点A（-l,5）,点A与yi的顶点B的距离是4.

（1）求yi的解析式；

（2）若y2随着x的增大而增大，且yi与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解

析式.

11.(2018广州)已知顶点为A抛物线尸a(x-^)2-2经过点仅得，2)，点

C(y.2).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,直线AB与x轴相交于点M,y轴相交于点E,抛物线与y轴相交

于点F,在直线AB上有一点P,若NOPM=NMAF,求aPOE的面积；

(3)如图2,点Q是折线A-B-C上一点，过点Q作QN〃y轴，过点E作

EN〃x轴，直线QN与直线EN

相交于点N,连接QE,将4QEN

沿QE翻折得到△QENi,若点

Ni落在x轴上，请直接写出Q

点的坐标.

12.已知抛物线y=x2+mx-2m-4(m>0).

(1)证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；

(2)设该抛物线与x轴的两个交点分别为A,B(点A在点B的右侧)，与y

轴交于点C,A,B,C三点都在(DP上.

①试判断：不论m取任何正数，OP是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定

点的坐标；若不是，说明理由；

②若点C关于直线*=-皿的对称点为点E,点D(0,1),连接BE,BD,DE,

2

△BDE的周长记为1,OP的半径记为r,求工的值.

广东中考数学第23题集

参考答案与试题解析

一.解答题(共12小题)

1.如图，已知顶点为C(0,-3)的抛物线丫=a*2+1)(aWO)与x轴交于A,B

两点，直线y=x+m过顶点C和点B.

(1)求m的值；

(2)求函数y=ax2+b(a#0)的解析式；

(3)抛物线上是否存在点M,使得NMCB=15。？若存在，求出点M的坐标；

若不存在，请说明理由.

【分析】(1)把C(0,-3)代入直线y=x+m中解答即可；

(2)把y=0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系

式即可；

(3)分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可.

【解答】解：(1)将(0,-3)代入y=x+m,

可得：m=-3；

(2)将y=0代入y=x-3得:x=3,

所以点B的坐标为(3,0),

将(0,-3)、(3,0)代入y=ax2+b中，

可得：产-3,

I9a+b=0

，_1_

解得：a-3,

b=-3

所以二次函数的解析式为：y=lx2-3；

3

（3）存在，分以下两种情况:

①若M在B上方，设MC交x轴于点D,则NODC=45o+15o=60。,

.,.OD=OC«tan30°=V3»

设口（2为丫=1«-3,代入（虫，0）,可得：k=正，

，yzV3x-3

联立两个方程可得：

|干12-3

X1=0x2二

解得：，

丫尸3丫2=6

所以Mi(3如,6)；

②若M在B下方，设MC交x轴于点E,则NOEC=45o+15o=60。,

.•.OE=OC・tan600=3«,

设EC^y=kx-3,代入（3遮，0）可得：k=返,

3

f^X-3

联立两个方程可得：

y=4-x2-3

o

X[=0^2=73

解得：，

y尸3y2=-2

所以M2(«,-2),

综上所述M的坐标为（3遂，6）或（«，-2）.

【点评】此题主要考查了二次函数的综合题，需要掌握待定系数法求二次函数解

析式，待定系数法求一次函数解析式等知识是解题关键.

2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x?+ax+b交x轴于A（1,0）,B（3,

0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C.

(1)求抛物线y=-x2+ax+b的解析式；

(2)当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标;

(3)在(2)的条件下，求sinNOCB的值.

【分析】(1)将点A、B代入抛物线y=-x2+ax+b,解得a,b可得解析式；

(2)由C点横坐标为0可得P点横坐标，将P点横坐标代入(1)中抛物线解

析式，易得P点坐标；

(3)由P点的坐标可得C点坐标，由B、C的坐标，利用勾股定理可得BC长，

利用sinNOCB=95_可得结果.

BC

【解答】解:(1)将点A、B代入抛物线y=-x2+ax+b可得,

0=-l2+a+b

,0=-32+3a+b

解得，a=4,b=-3,

，抛物线的解析式为:y=-x2+4x-3；

(2)•.•点C在y轴上，

所以C点横坐标x=0,

•.•点P是线段BC的中点，

点P横坐标xp=-^-=—,

22

•••点P在抛物线y=-X2+4X-3上,

,',yp=-(y)+4*微-3=卷，

...点P的坐标为(圆,且)；

24

(3)•.•点P的坐标为(?，之)，点P是线段BC的中点，

24

二点C的纵坐标为2x3-O=w,

42

.•.点C的坐标为(0,W),

2

•e,BC=^(y)+32=^Y''

/.sinZOCB=—=.

BC因55

2

【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和解直角三角形，利用中

点求得点P的坐标是解答此题的关键.

3.如图，在直角坐标系中，直线y=kx+l(k#0)与双曲线y=Z(x>0)相交于

X

点P(Lm).

(1)求k的值；

(2)若点Q与点P关于直线y=x成轴对称，则点Q的坐标是Q(2,1)；

(3)若过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N(0,")，求该抛物线的函数

3

解析式，并求出抛物线的对称轴方程.

【分析】(1)直接利用图象上点的坐标性质进而代入求出即可；

(2)连接PO,QO,PQ,作PA，y轴于A,QB_Lx轴于B,于是得到PA=1,

OA=2,根据点Q与点P关于直线y=x成轴对称，得到直线y=x垂直平分PQ,

根据线段垂直平分线的性质得到OP=OQ,根据全等三角形的性质得到

QB=PA=1,0B=0A=2,于是得到结论；

(3)设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c,把P、Q、N(0,反)代入y=ax2+bx+c,

3

解方程组即可得到结论.

【解答】解：(1)•.•直线产kx+1与双曲线y=2(x>0)交于点A(1,m),

X

m=2,

把A(1,2)代入y=kx+l得：k+l=2,

解得：k=l；

(2)连接PO,QO,PQ,作PA_Ly轴于A,QB，x轴于B,则PA=1,0A=2,

,点Q与点P关于直线y=x成轴对称，

二直线y=x垂直平分PQ,

；.OP=OQ,

，NPOA=NQOB,

在AOPA与aCQB中，

，ZPA0=Z0BQ

<ZP0A=ZQ0B,

OP=OQ

/.△POA^AQOB,

.*.QB=PA=1,OB=OA=2,

AQ(2,1)；

故答案为：2,1；

(3)设抛物线的函数解析式为产ax2+bx+c,

•.•过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N(0,9)，

2=a+b+c

.l=4a+2b+c

5

c=^7

2

解得：b=l,

5

...抛物线的函数解析式为产-Zx2+x+”,

33

【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，全等三角形的判定和性

质，解题需把点的坐标代入函数解析式，灵活利用方程组求出所需字母的值，

从而求出函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键.

4.如图，反比例函数y=K（kWO,x>0）的图象与直线y=3x相交于点C,过

x

直线上点A（l,3）作AB_Lx轴于点B,交反比例函数图象于点D,且AB=3BD.

（1）求k的值；

（2）求点C的坐标；

（3）在y轴上确定一点M,使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，

求点M的坐标.

【分析】（1）根据A坐标，以及AB=3BD求出D坐标，代入反比例解析式求出

k的值；

（2）直线y=3x与反比例解析式联立方程组即可求出点C坐标；

（3）作C关于y轴的对称点C,连接CD交y轴于M,则d=MC+MD最小，

得到CY-退，如）,求得直线CD的解析式为y=-遂x+1+«，直线与y

3

轴的交点即为所求.

【解答】解：(1)VA(1,3),

，AB=3,OB=1,

VAB=3BD,

.*.BD=1,

AD(1,1)

将D坐标代入反比例解析式得：k=l；

(2)由(1)知，k=l,

反比例函数的解析式为;

'y=3x

解：,1，

kv

r^/3rj/3

解得：X/-或x--y,

y=V3y=W3

Vx>0,

••.C(返，V3)；

3

(3)如图，作C关于y轴的对称点C，，连接CD交y轴于M,则d=MC+MD

最小，

：.C(-返，收，

3

设直线CD的解析式为：y=kx+b,

・(.fk=3-2V3

l=k+b]b=-2+2V3

/.y=(3-2^3)x+2V3-2,

当x=0时,y=2«-2,

AM(0,273一2).

【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与

图形性质，待定系数法确定函数解析式，以及直线与反比例的交点求法，熟

练掌握待定系数法是解本题的关键.

5.如图1,关于x的二次函数y=-x2+bx+c经过点A(-3,0),点C(0,3),

点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上.

(1)求抛物线的解析式；

(2)DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P,

若不存在请说明理由；

(3)如图2,DE的左侧抛物线上是否存在点F,使2SAFBC=3SAEBC?若存在求

(2)当点P在NDAB的平分线上时，过P作PM_LAD,设出P点坐标，可表

示出PM、PE,由角平分线的性质可得到PM=PE,可求得P点坐标；当点P

在NDAB外角平分线上时，同理可求得P点坐标；

(3)可先求得△FBC的面积，过F作FQJ_x轴，交BC的延长线于Q,可求得

FQ的长，可设出F点坐标，表示出B点坐标，从而可表示出FQ的长，可求

得F点坐标.

【解答】解：

(1),二次函数y=-x?+bx+c经过点A(-3,0),点C(0,3),

,解得产-2,

l-9-3b+c=01c=3

.•.抛物线的解析式y=-x2-2x+3,

(2)存在，

当P在NDAB的平分线上时，如图1,作PMLAD,

设P(-1,m),则PM=PD・sinNADE=逅(4-m),PE=m,

5

VPM=PE,

:这(4-m)=m,m=V5-1,

5

.\P点坐标为(-LV5-1);

当P在NDAB的外角平分线上时，如图2,作PNLAD,

设P(-1,n),则PN=PD・sinNADE=^(4-n),PE=-n,

5

VPN=PE,

(4-n)=-n,n=-泥-1,

5

二・P点坐标为(-1,-Vs-1);

综上可知存在满足条件的p点，其坐标为(-1,Vs-1)或(-1,-Vs-1)；

(3)•・•抛物线的解析式y=-x2-2x+3,

，B(1,0),

ASAEBC=1EB>OC=3,

2

V2SAFBC=3SAEBC,

••SAFBC="--，

2

过F作FQ，x轴于点H,交BC的延长线于Q,过F作FM，y轴于点M,如图

3,

,/SAFBC=SABQH-SABFH-SACFQ=^HB«HQ-1BH«HF-1QF«FM=1BH(HQ-HF)

2222

-1QF*FM=1BH«QF-1QF«FM=1QF*(BH-FM)=LFQ・OB」FQ=2,

2222222

・・・FQ=9,

VBC的解析式为y=-3x+3,

设F(xo,-xo2-2xo+3),

-3XO+3+XO2+2XO-3=9,

解得：xo=上返或上百(舍去)，

22_

...点F的坐标是(土亘，3面T5),

22

SABC=6>—,

A2

•••点F不可能在A点下方，

综上可知F点的坐标为(上巨，3折一%.

22

【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、角平分线的性质、

三角函数、三角形面积等知识点.在(1)中注意待定系数法的应用步骤，在

(2)中注意分点P在NDAB的角平分线上和在外角的平分线上两种情况，

在(3)中求得FQ的长是解题的关键.本题所考查知识点较多，综合性很强，

难度适中.

6.已知0为坐标原点，抛物线yi=ax2+bx+c(aWO)与x轴相交于点A(xi,0),

B(X2,O),与y轴交于点C,且O,C两点间的距离为3,XI・X2<0,|xi|+1x21=4,

点A,C在直线y2=-3x+t上.

(1)求点C的坐标；

(2)当yi随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；

(3)将抛物线yi向左平移n(n>0)个单位，记平移后y随着x的增大而增大

的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，

求2n2-5n的最小值.

【分析】(1)利用y轴上点的坐标性质表示出C点坐标，再利用O,C两点间的

距离为3求出即可；

(2)分别利用①若C(0,3),即c=3,以及②若C(0,-3),即c=-3,得出

A,B点坐标，进而求出函数解析式，进而得出答案；

(3)利用①若c=3,贝ijyi=-X?-2x+3=-(x+1)2+4,y2=-3x+3,得出yi向左

平移n个单位后，则解析式为：y3=-(x+l+n)2+4,进而求出平移后的直线

与P有公共点时得出n的取值范围，②若c=-3,则yi=x2-2x-3=(x-1)

2-4,y2=-3x-3,yi向左平移n个单位后，则解析式为：y3=(x-1+n)2-

4,进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围，进而利用配方

法求出函数最值.

【解答】解：(1)令x=0,贝!Jy=c,

故C(0,c),

VOC的距离为3,

IcI=3»即c=±3,

AC(0,3)或(0,-3)；

(2)Vxix2<0,

.'.Xi,X2异号,

①若C(0,3),即c=3,

把C(0,3)代入y2=-3x+t,则0+t=3,即t=3,

/.y2=-3x+3,

把A(xi,0)代入y2=-3x+3,贝卜3xi+3=0,

即xi=l,

AA(1,0),

Vxi,X2异号，Xl=l>0,X2<0,

V|xi|+|X21=4,

/.1-X2=4,

解得：X2=-3,则B(-3,0),

代入y『x2+bx+3得，Ia+b+3=0，

l9a-3b+3=0

解得：卜二T,

lb=-2

/.yi=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

则当xW-1时，y随x增大而增大.

②若C(0,-3),即c=-3,

把C(0,-3)代入y2=-3x+t,则0+t=-3,即t=-3,

/.y2=-3x-3,

把A(xi,0),代入y2=-3x-3,

则-3xi-3=0,

即xi=-1,

/.A(-1,0),

Vxi,X2异号，X|=-l<0,/.X2>0

VIxi|+氏|=4,

1+X2=4,

解得：X2=3,则B(3,0),

代入yi=ax2+bx-3得，卜廿3二0,

l9a+3b-3=0

解得：产1,

lb=-2

.*.yi=x2-2x-3=(x-1)2-4,

则当x》l时，y随x增大而增大，

综上所述，若c=3,当y随x增大而增大时，xW-1；

若c=-3,当y随x增大而增大时，x》l；

(3)①若c=3,则yi=-x?-2x+3=-(x+1)2+4,y2=-3x+3,

yi向左平移n个单位后，则解析式为：y3=-(x+1+n)2+4,

贝U当xW-1-n时，y随x增大而增大，

y2向下平移n个单位后，则解析式为：y4=-3x+3-n,

要使平移后直线与P有公共点，则当x=-1-n,y32y4,

即-(-1-n+l+n)2+42-3(-1-n)+3-n,

解得：nW-1,

Vn>0,-1不符合条件，应舍去；

②若c=-3,则yi=x2-2x-3=(x-1)2-4,y2=-3x-3,

yi向左平移n个单位后，则解析式