高中数学必修一人教A版2019课后习题答案解析

第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念例1用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程的所有实数根组成的集合.解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么.（2）设方程所有实数根组成的集合为B，那么.由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此一个集合可以有不同的列举方法.例如，例1（1）的集合还可以写成等.例2试分别用描述法和列举法表示下列集合：（1）方程的所有实数根组成的集合A；（2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.解：（1）设，则x是一个实数，且.因此，用描述法表示为.方程有两个实数根，，因此，用列举法表示为.（2）设，则x一个整数，即，且.因此，用描述法表示为.大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为.练习1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1）与定点A，B等距离的点；（2）高中学生中的游泳能手.【答案】（1）是，理由见解析；（2）不是，理由见解析.【解析】【分析】（1）与定点A，B等距离的这些点是确定的，根据集合的确定性判断；（2）游泳能手没有一个固定的标准，即不满足集合的确定性.【详解】（1）与定点A，B等距离的点可以组成集合，因为这些点是确定的.（2）高中学生中的游泳能手不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的.【点睛】本题主要考查了判断是否构成集合，一般从集合的确定性进行判断，属于基础题.2.用符号“”或“”填空：0______N；______N；0.5______Z；______Z；______Q；______R.【答案】①.②.③.④.⑤.⑥.【解析】【分析】根据自然数，整数，有理数，实数的定义即可判断.【详解】是自然数，则；不是自然数，则；不是整数，则；是有理数，则；是无理数，则故答案为：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)【点睛】本题主要考查了元素与集合间的关系，属于基础题.3.用适当的方法表示下列集合：（1）由方程的所有实数根组成的集合；（2）一次函数与图象的交点组成的集合；（3）不等式的解集.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）求出方程的根，用列举法表示即可；（2）求出交点，用列举法表示即可；（3）化简不等式，用描述法表示即可.【详解】（1），则该方程所有实数根组成的集合为；（2）由解得：，则图象的交点组成的集合为；（3）不等式可化为，则该集合为【点睛】本题主要考查了用列举法以及描述法表示集合，属于基础题.习题1.1复习巩固4.用符号“”或“”填空：（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国______________A，美国__________A，印度____________A，英国_____________A；（2）若，则-1_____________A；（3）若，则3________________B；（4）若，则8_______________C，9.1____________C.【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）根据国家的地理位置直接得到答案.（2）计算得到，再判断关系.（3）计算得到，再判断关系.（4）计算得到，再判断关系.【详解】（1）根据国家的地理位置直接得到答案：中国，美国，印度，英国；（2），故；（3），故；（4），故；故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）【点睛】本题考查了元素和集合的关系，属于简单题.5.用列举法表示下列集合：（1）大于1且小于6的整数；（2）；（3）．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据描述直接列举出集合中的元素即可；（2）求出一元二次方程的解，即可得出结果；（3）解一元一次不等式组，进而结合整数集的概念即可得出结果.【小问1详解】大于1且小于6的整数组成的集合为；【小问2详解】【小问3详解】综合运用6.把下列集合用另一种方法表示出来：（1）；（2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数；（3）；（4）中国古代四大发明【答案】（1）{且}（2）（3）（4）{造纸术，印刷术，指南针，火药}【解析】【分析】（1）用描述法写出集合得到答案.（2）用列举法写出集合得到答案.（3）用列举法写出集合得到答案.（4）用列举法写出集合得到答案.【详解】（1）{且}.（2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数：.（3）.（4）中国古代四大发明：{造纸术，印刷术，指南针，火药}【点睛】本题考查了集合的表示方法，意在考查学生对于集合表示方法的理解和掌握.7.用适当的方法表示下列集合：（1）二次函数的函数值组成的集合；（2）反比例函数的自变量组成的集合；（3）不等式的解集【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）求二次函数的值域得到答案.（2）求反比例函数的定义域得到答案.（3）解不等式得到答案.【详解】（1）二次函数的函数值为y，∴二次函数的函数值y组成的集合为.（2）反比例函数的自变量为x∴反比例函数的自变量组成的集合为.（3）由，得，∴不等式的解集为.【点睛】本题考查了集合的表示方法，意在考查学生对于集合表示方法的应用.拓广探索8．集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的．当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念．关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”．请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识．康托尔（GeorgCantor，1845—191第一章集合与常用逻辑用语1.2集合间的基本关系例题1.写出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集.【答案】子集为，，，.真子集为，，.【解析】【分析】根据子集与真子集的定义枚举判断即可.【详解】集合的所有子集为,,,.真子集为,,.【点睛】本题主要考查了子集与真子集的辨析,属于基础题型.2.判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由.（1），是8的约数}；（2）是长方形），是两条对角线相等的平行四边形}.【答案】（1）不是，理由见解析；（2）是，理由见解析.【解析】【分析】(1)根据8的约数判断即可.(2)根据平行四边形的特殊性质判断即可.【详解】（1）因为3不是8的约数,所以集合A不是集合B的子集.（2）因为若x是长方形,则x一定是两条对角线相等的平行四边形,所以集合A是集合B的子集.【点睛】本题主要考查了子集的辨析与约数和特殊平行四边形的性质,属于基础题型.练习3.写出集合的所有子集.【答案】，，，，，，，.【解析】【分析】根据子集的定义枚举列出即可.【详解】集合的所有子集有：,,,,,,,.【点睛】本题主要考查了子集的定义与辨析,属于基础题型.4.用适当的符号填空：（1）a_____；（2）0____；（3）____；（4）____N；（5）____；（6）____.【答案】①.②.③.=④.⑤.⑥.=【解析】【分析】根据元素与集合,集合与集合的关系填空即可.【详解】(1)元素属于集合,故.(2)元素满足,故.(3)因为在时无解,故(4)因为0,1均属于自然数,故集合(5)因为,故.(6)因为的根为.故.故答案为：(1).(2).(3).=(4).(5).(6).=【点睛】本题主要考查了元素与集合和集合与集合间的基本关系,属于基础题型.5.判断下列两个集合之间的关系：（1），；（2），；（3）是4与10的公倍数}，.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)根据数轴上的范围判断即可.(2)根据集合表示的数分析即可.(3)根据集合表示的数分析即可.【详解】(1)根据数轴可知,表示左边的数的集合,表示左边的数的集合,故.(2)表示3的整数倍,表示6的整数倍.故.(3)是4与10的公倍数}即20的正整数倍,也表示20的正整数倍.故【点睛】本题主要考查了对集合的范围的理解,属于基础题型.习题1．2复习巩固6.选用适当的符号填空：（1）若集合，，则______，______，______，______（2）若集合，则______，______，______，______；（3）是菱形______是平行四边形；是等边三角形}______是等腰三角形【答案】①.②.③.④.⑤.⑥.⑦.⑧.⑨.⑩.【解析】【分析】（1）求出集合，，由此能求出结果．（2）求出集合，由此能求出结果．（3）利用菱形与平行四边形的关系和等腰三角形与等边三角形的关系进行求解．【详解】（1）∵集合，∴．故答案为：．（2）∵集合，∴，故答案为：．（3）是菱形是平行四边形；是等边三角形是等腰三角形}．故答案为：．7.指出下列各集合之间的关系，并用Venn图表示：A={是四边形}，B={是平行四边形}，C={是矩形}，D={是正方形}.【答案】DCBA，Venn图见解析.【解析】【分析】根据四边形，平行四边形，矩形，正方形的范围关系得到答案.【详解】各集合之间的关系为DCBA用Venn图表示如图所示：【点睛】本题考查了集合的包含关系，韦恩图，意在考查学生对于集合的理解和掌握.综合运用8.举出下列各集合的一个子集：（1）A={是立德中学的学生}；（2）B={是三角形}；（3）；（4）.【答案】（1）{是立德中学的女生}（2）{是直角三角形}（3）（4）【解析】【分析】根据子集的定义写出一个子集即可.【详解】（1）{是立德中学的女生}（2）{是直角三角形}（3）（4）【点睛】本题考查了集合的子集，属于简单题.9.在平面直角坐标系中，集合表示直线，从这个角度看，集合表示什么？集合C，D之间有什么关系？【答案】DC【解析】【分析】集合表示两条直线的交点，解得交点得到集合关系.【详解】集合表示直线与直线交点的集合，即.DC【点睛】本题考查了集合表示的意义，集合的包含关系，意在考查学生对于集合的理解和掌握.拓广探索10.请解决下列问题：（1）设，若，求的值；（2）已知集合，若，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接根据集合相等得到答案.（2）根据集合的包含关系得到得到答案.【详解】（1）由于，所以，且，.（2），且，如图所示.【点睛】本题考查了根据集合相等和集合的包含关系求参数，意在考查学生的理解能力.第一章集合与常用逻辑用语1.3集合的基本运算例1设，，求解：.例2设集合，集合，求.解：.如图1.3-2，还可以利用数轴直观表示例2中求并集的过程.例3立德中学开运动会，设是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学，是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学，求.解：就是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合.所以，是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学.例4设平面内直线上点集合为，直线上点的集合为，试用集合的运算表示，的位置关系.解：平面内直线，可能有三种位置关系，即相交于一点､平行或重合.（1）直线，相交于一点P可表示为；（2）直线，平行可表示为；（3）直线，重合可表示为.例5设是小于9的正整数，，，求，.解：根据题意可知，，所以，.例6设全集是三角形，是锐角三角形，是钝角三角形，求，.解：根据三角形的分类可知，是锐角三角形或钝角三角形，是直角三角形.练习1.设，，求，.【答案】，【解析】【分析】根据交集和并集定义直接求解即可.【详解】由交集定义知：；由并集定义知：【点睛】本题考查集合运算中的交集和并集运算，属于基础题.2.设，，求，.【答案】，.【解析】【分析】根据一元二次方程的解法分别求得集合，由并集和交集的定义直接得到结果.【详解】，，【点睛】本题考查集合运算中的交集和并集运算，涉及到一元二次方程的求解问题，属于基础题.3.设是等腰三角形}，是直角三角形}，求，.【答案】是等腰直角三角形，是等腰三角形或直角三角形【解析】【分析】根据交集和并集定义直接求解即可.【详解】由交集定义知：是等腰直角三角形由并集定义知：是等腰三角形或直角三角形【点睛】本题考查集合运算中的交集和并集运算，属于基础题.4.设是幸福农场的汽车}，是幸福农场的拖拉机}，求.【答案】是幸福农场的汽车或拖拉机}【解析】【分析】根据并集的定义可直接得到结果.【详解】由并集定义知：是幸福农场的汽车或拖拉机【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.练习5.已知，，，求，.【答案】，.【解析】【分析】根据补集定义首先求得和，由交集定义可求得结果.【详解】，，【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算，属于基础题.6.设是平行四边形或梯形}，是平行四边形}，是菱形}，是矩形}，求，，.【答案】是正方形}，是邻边不相等的平行四边形或梯形}，是梯形}.【解析】【分析】根据平面几何中平行四边形的分类以及梯形的概念，结合交集与补集的定义即可得到结果.【详解】由交集定义得：既是菱形又是矩形是正方形由补集定义得：是邻边不相等的平行四边形或梯形；是梯形【点睛】本题考查集合运算中的交集和补集运算，涉及到平面几何中平行四边形的分类以及梯形的概念，属于基础题.7.图中U是全集，A，B是U的两个子集，用阴影表示：（1）；（2）.【答案】（1）图象见解析；（2）图象见解析.【解析】【分析】根据补集、交集和并集的定义，利用图表示出来即可.【详解】如下图阴影部分所示.【点睛】本题考查图表示集合，涉及到集合的交集、并集和补集运算，属于基础题.习题1.3复习巩固8.已知集合，，求A∩B，A∪B.【答案】,【解析】【分析】先对集合进行化简，然后与集合分别取交集和并集即可．【详解】由题得：集合，而集合，所以，.【点睛】本题考查了集合的交集与并集，以及不等式的求解运算，属于基础题．9.设是小于的正整数，.求.【答案】，，，.【解析】【分析】先计算集合，再利用集合运算法则计算得到答案.【详解】，，，，，，.【点睛】本题考查了集合的运算，意在考查学生对于集合运算的掌握情况.10.学校开运动会，设A={是参加100m跑的同学}，B={是参加200m跑的同学}，C={是参加400m跑的同学}，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：（1）；（2）.【答案】；（1）表示参加100m跑或参加200m跑的同学；（2）表示既参加100m跑又参加400m跑的同学【解析】【分析】（1）根据并集的定义得到答案.（2）根据交集的定义得到答案.【详解】这项规定用集合表示：（1）表示参加100m跑或参加200m跑的同学；（2）表示既参加100m跑又参加400m跑的同学.【点睛】本题考查了交集和并集的定义的理解，属于简单题.综合运用11.已知集合，，求，，，.【答案】答案见解析.【解析】【分析】直接利用集合的交、并、补运算即可求解【详解】因为，，所以,所以；因为，，所以,所以；因为，，所以，所以；因为，，所以，所以.12.设集合，，求，．【答案】答案见解析【解析】【分析】首先化简集合B，然后根据集合、分类讨论a的取值，再根据交集和并集的定义求得答案．【详解】解：因为所以又因为，当时，所以，当时，所以，当时，所以，当且且时，所以，拓广探索13.已知全集，试求集合B.【答案】【解析】【分析】计算，根据计算得到答案.【详解】，，.故.【点睛】本题考查了交集，全集，补集，意在考查学生的计算能第一章集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件例1下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；（3）若四边形为菱形，则这个四边形对角线互相垂直；（4）若，则；（5）若，则；（6）若x，y为无理数，则为无理数.解：（1）这是一条平行四边形的判定定理，，所以p是q的充分条件.（2）这是一条相似三角形的判定定理，，所以p是q的充分条件.（3）这是一条菱形的性质定理，，所以p是q的充分条件.（4）由于，但，，所以p不是q的充分条件.（5）由等式的性质知，，所以p是q的充分条件（6）为无理数，但为有理数，，所以p不是q的充分条件.例2下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；（4）若，则；（5）若，则；（6）若为无理数，则x，y为无理数.解：（1）这是平行四边形的一条性质定理，，所以，q是p的必要条件.（2）这是三角形相似的一条性质定理，，所以，q是p的必要条件.（3）如图1.4-1，四边形的对角线互相垂直，但它不是菱形，，所以，q不是p的必要条件.（4）显然，，所以，q是p必要条件.（5）由于，但，，所以，q不是p的必要条件.（6）由于为无理数，但1，不全是无理数，，所以，q不是p的必要条件.例3下列各题中，哪些p是q的充要条件？（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；（3）p：，q：，；（4）p：是一元二次方程的一个根，q：（）.解：（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形（为什么），所以，所以p不是q的充要条件.（2）因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即，所以p是q的充要条件.（3）因为时，，不一定成立（为什么），所以，所以p不是q的充要条件.（4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即，所以p是q的充要条件.例4已知：的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证：是直线l与相切的充要条件.分析：设p：，q：直线l与相切.要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性（）和必要性（）即可.证明：设p：，q：直线l与相切.（1）充分性（）：如图1.4-2，作于点P，则.若，则点P在上.在直线l上任取一点Q（异于点P），连接.在中，.所以，除点P外直线l上的点都在的外部，即直线l与仅有一个公共点P.所以直线l与相切.（2）必要性（）：若直线l与相切，不妨设切点为P，则.因此，.由（1）（2）可得，是直线l与相切的充要条件.1.4.1充分条件与必要条件练习1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（1）若平面内点P在线段的垂直平分线上，则；（2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；（3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.【答案】（1）p是q的充分条件；（2）p不是q的充分条件；（3）p是q的充分条件【解析】【分析】根据所给命题，判断出能否得到，从而得到p是否是q的充分条件，得到答案.【详解】（1）线段垂直平分线的性质，，p是q的充分条件；（2）三角形的两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等，，p不是q的充分条件；（3）相似三角形的性质，，p是q的充分条件.【点睛】本题考查判断是否为充分条件，属于简单题.2.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？（1）若直线l与有且仅有一个交点，则l为的一条切线；（2）若x是无理数，则也是无理数.【答案】（1）q是p的必要条件；（2）q不是p的必要条件【解析】【分析】根据所给命题，判断出能否得到，从而得到q是否是p的必要条件，得到答案.【详解】（1）这是圆的切线定义，，所以q是p的必要条件；（2）由于是无理数，但不是无理数，，所以q不是p的必要条件.【点睛】本题考查判断是否为必要条件，属于简单题.3.如图，直线a与b被直线1所截，分别得到了，，和.请根据这些信息，写出几个“”的充分条件和必要条件.【答案】充分条件和必要条件见解析【解析】【分析】根据可以得到内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，根据内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，得到.【详解】因为内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，得到，所以“”的充分条件：，，；因为可以得到内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，所以“”的必要条件：，，.【点睛】本题考查充分条件和必要条件，属于简单题.1.4.2充要条件练习4.下列各题中，哪些p是q的充要条件？（1）p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；（2）内两条弦相等，内两条弦所对的圆周角相等；（3）为空集，与B之一为空集.【答案】（1）p是q的充要条件；（2）p不是g的充要条件；（3）p不是q的充要条件【解析】【分析】根据所给命题，判断出能否得到，从而得到p是否是q的充要条件，得到答案.【详解】在（1）中，三角形中等边对等角，等角对等边，所以，所以p是q的充要条件；在（2）中，内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补，因此，，所以p不是q的充要条件；在（3）中，取，，显然，，但与均不为空集，因此，，所以p不是q的充要条件.【点睛】本题考查充要条件的判断，属于简单题.5.分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件.【答案】见解析【解析】【分析】根据三角形全等的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，得到答案.【详解】“两个三角形全等”的充要条件如下：①三边对应相等；②两边及其夹角对应相等；③两角及其夹边对应相等；④两角及一角的对边对应相等.“两个三角形相似”的充要条件如下：①三个内角对应相等（或两个内角对应相等）；②三边对应成比例；③两边对应成比例且夹角相等.【点睛】本题考查写命题的充要条件，属于简单题.6.证明：如图，梯形为等腰梯形的充要条件是.【答案】证明见解析【解析】【分析】先由梯形为等腰梯形，证明，验证必要性；再由证明梯形为等腰梯形，验证充分性，即可得出结论成立.【详解】证明：（1）必要性.在等腰梯形中，，，又∵，∴，∴.（2）充分性.如图，过点作，交的延长线于点E.∵，，∴四边形是平行四边形.∴.∵，∴，∴.又∵，∴，∴.在和中，∴.∴.∴梯形为等腰梯形.由（1）（2）可得，梯形为等腰梯形的充要条件是.【点睛】本题主要考查充要条件的证明，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.习题1.4复习巩固7.举例说明:(1)p是q的充分不必要条件;(2)p是q的必要不充分条件;(3)p是q的充要条件.【答案】(1)“”是“”的充分不必要条件;(2)“”是“”的必要不充分条件;(3)“内错角相等”是“两直线平行”的充要条件【解析】【分析】根据充分与必要条件的概念举例即可.【详解】(1)可根据数轴上的关系举例：“”是“”的充分不必要条件;(2)可根据方程的根的解举例：“”是“”的必要不充分条件;(3)可根据定理举例：“内错角相等”是“两直线平行”的充要条件【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的理解,属于基础题型.8.在下列各题中,判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答):(1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形;(2)在一元二次方程中，有实数根，;(3);(4);(5).【答案】(1)必要不充分条件;(2)充要条件;(3)充分不必要条件;(4)必要不充分条件;(5)既不充分又不必要条件.【解析】【分析】(1)根据等腰三角形与等边三角形的关系分析.(2)根据二次方程的根分析(3)根据集合的基本关系分析(4)根据集合的基本关系分析(5)举例说明分析【详解】(1)因为等腰三角形是特殊的等边三角形,故p是q的必要不充分条件.(2)一元二次方程有实数根则判别式.故p是q的充要条件.(3)因为,故且；当时不一定成立.故p是q的充分不必要条件.(4)因为,故或,所以不一定成立；当时一定成立.故p是q的必要不充分条件.(5)当时,满足但不成立.当时,满足但不成立.故p是q的既不充分又不必要条件.【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,属于基础题型.9.判断下列命题的真假:(1)点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在外的充要条件;(2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件;(3)是的必要不充分条件;(4)x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件.【答案】(1)真命题;(2)假命题;(3)假命题;(4)真命题.【解析】【分析】(1)根据点与圆的位置关系判断.(2)举例说明即可.(3)根据集合的关系直接判断(4)举例说明即可.【详解】(1)根据点与圆的位置关系知点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在外的充要条件.故(1)为真命题.(2)两个三角形面积相等也可能同底等高,全等三角形面积一定相等.故两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件.故(2)为假命题.(3)是的充要条件.故(3)为假命题.(4)当时,满足“x或y为有理数”但“xy为有理数”不成立.当时满足“xy为有理数”但“x或y为有理数”不成立.故(4)为真命题.【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的辨析,属于基础题型.综合运用10.已知A={满足条件p},B={满足条件q},(1)如果,那么p是q的什么条件?(2)如果,那么p是q的什么条件?(3)如果,那么p是q的什么条件?【答案】(1)充分条件;(2)必要条件;(3)充要条件.【解析】【分析】(1)根据集合间的基本关系判断和的包含关系再即可.(2)根据集合间的基本关系判断和的包含关系再即可.(3)根据集合间的基本关系判断和的包含关系再即可.【详解】(1)如果,则满足条件p也满足条件q.故p是q的充分条件.(2)如果,则满足条件q也满足条件p.故p是q的必要条件.(3)如果,则满足条件p满足条件q,且满足条件q也满足条件p.故p是q的充要条件.【点睛】本题主要考查了集合的关系与充分必要条件的关系,属于基础题型.11.设证明:的充要条件是.【答案】见解析【解析】【分析】分别证明充分性与必要性即可.【详解】证明:(1)充分性:如果,那么,.(2)必要性:如果,那么,,.由(1)(2)知,的充要条件是.【点睛】本题主要考查了充分必要条件的证明,需要分别证明充分性与必要性,属于中等题型.拓广探索12.设a,b,c分别是的三条边,且.我们知道,如果为直角三角形,那么(勾股定理).反过来,如果,那么为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,为直角三角形的充要条件是.请利用边长a,b,c分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明.【答案】为锐角三角形的充要条件是.为钝角三角形的充要条件是.证明见解析【解析】【分析】根据勾股定理易得为锐角三角形的充要条件是.为钝角三角形的充要条件是.再分别证明充分与必要性即可.【详解】解:(1)设a,b,c分别是的三条边,且,为锐角三角形的充要条件是.证明如下:必要性:在中,是锐角,作,D为垂足,如图(1).显然,即.充分性:在中,,不是直角.假设为钝角,如图(2).作,交BC延长线于点D.则.即,与“”矛盾.故为锐角,即为锐角三角形.(2)设a,b,c分别是的三条边,且,为钝角三角形的充要条件是.证明如下:必要性:在中,为钝角,如图(2),显然:.即.充分性:在中,,不是直角,假设为锐角,如图(1),则.即,这与“”矛盾,从而必为钝角,即为钝角三角形.【点睛】本题主要考查了锐角与钝角三角形的充分必要条件证明,证明时注意用反证法,属于中等题第一章集合与常用逻辑用语1.5全称量词与存在量词例1判断下列全称量词命题的真假：（1）所有的素数①都是奇数；（2），；（3）对任意一个无理数x，也是无理数.分析：要判定全称量词命题“，”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明成立；如果在集合M中找到一个元素，使不成立，那么这个全称量词命题就是假命题.②①如果一个大于1的整数，除1和自身外无其他正因数，则称这个正整数为素数.②这个方法就是“举反例”.解：（1）2是素数，但2不是奇数.所以，全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题.（2），总有，因而.所以，全称量词命题“，”是真命题.（3）是无理数，但是有理数.所以，全称量词命题“对每一个无理数x，也是无理数”是假命题.例2判断下列存在量词命题的真假：（1）有一个实数x，使；（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；（3）有些平行四边形是菱形.分析：要判定存在量词命题“，”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使成立即可；如果在集合M中，使成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题是假命题.解：（1）由于，因此一元二次方程无实根.所以，存在量词命题“有一个实数x，使”是假命题（2）由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线.所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题.（3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题.例3写出下列全称量词命题的否定：（1）所有能被3整除的整数都是奇数；（2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；（3）对任意，的个位数字不等于3.解：（1）该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数.（2）该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上.（3）该命题的否定：，的个位数字等于3.例4写出下列存在量词命题的否定：（1），；（2）有的三角形是等边三角形；（3）有一个偶数是素数解：（1）该命题的否定：，.（2）该命题否定：所有的三角形都不是等边三角形.（3）该命题的否定：任意一个偶数都不是素数.例5写出下列命题的否定，并判断真假：（1）任意两个等边三角形都相似；（2），解：（1）该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似.因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似.因此这是一个假命题.（2）该命题的否定：，.因为对任意，，所以这是一个真命题.1.5.1全称量词与存在量词练习1.判断下列全称量词命题的真假：（1）每个四边形的内角和都是360°；（2）任何实数都有算术平方根；（3）是无理数}，是无理数.【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题【解析】【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）真命题.连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形，而一个三角形的内角和180°，所以四边形的内角和都是360°是真命题；（2）假命题.因为负数没有算术平方根，所以任何实数都有算术平方根是假命题；（3）假命题，因为是无理数，是有理数，所以是无理数}，是无理数是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.2.判断下列存在量词命题的真假：（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；（2）至少有一个整数n，使得为奇数；（3）是无理数}，是无理数.【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题【解析】【分析】对每个存在量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）真命题，因为正方形的两条对角线互相垂直；（2）假命题，因为若为整数，则必为偶数；（3）真命题，因为是无理数，是无理数.【点睛】本题考查判断存在量词命题的真假，属于简单题.1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定练习3.写出下列命题的否定：（1），；（2）任意奇数的平方还是奇数；（3）每个平行四边形都是中心对称图形.【答案】（1），；（2）存在一个奇款的平方不是奇数；（3）存在一个平行四边形不是中心对称图形.【解析】【分析】根据含有一个量词命题的否定，分别写出每个命题的否定，得到答案.【详解】（1）该命题的否定：，；（2）该命题的否定：存在一个奇款的平方不是奇数；（3）该命题的否定：存在一个平行四边形不是中心对称图形.【点睛】本题考查含有一个量词命题的否定，属于简单题.4.写出下列命题的否定：（1）有些三角形是直角三角形；（2）有些梯形是等腰梯形；（3）存在一个实数，它的绝对值不是正数.【答案】（1）任意三角形都不是直角三角形；（2）所有的梯形都不是等腰梯形；（3）任意一个实数，它的绝对值都是正数.【解析】【分析】根据含有一个量词命题的否定，分别写出每个命题的否定，得到答案.【详解】（1）该命题的否定：任意三角形都不是直角三角形；（2）该命题的否定：所有的梯形都不是等腰梯形；（3）该命题的否定：任意一个实数，它的绝对值都是正数.【点睛】本题考查含有一个量词命题的否定，属于简单题.习题1.5复习巩固5.判断下列全称量词命题的真假:(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;(3)对任意负数的平方是正数;(4)梯形的对角线相等【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【解析】【分析】(1)根据整数的知识判断即可.(2)根据平面几何的知识判断即可.(3)根据平方的性质判断即可.(4)举出反例判断即可.【详解】(1)根据整数的性质,末位是0的整数都是5的倍数成立.故为真命题.(2)根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故为真命题.(3)对任意负数,不等式两边同时乘以负数有.故为真命题(4)举反例如直角梯形对角线显然不相等.故为假命题.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.6.判断下列存在量词命题的真假:(1)有些实数是无限不循环小数;(2)存在一个三角形不是等腰三角形;(3)有些菱形是正方形;(4)至少有一个整数是4的倍数.【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【解析】【分析】(1)根据实数的定义分析即可.(2)根据等腰三角形的定义分析即可.(3)根据菱形与正方形的关系分析即可.(4)利用反证法证明是假命题即可.【详解】(1)实数包括有理数与无理数,其中无理数包括无限不循环小数如等.故为真命题.(2)等腰三角形有两条长度相等的边,但并不是每个三角形都有两条长度相等的边,故为真命题.(3)四边长度相等的四边形为菱形,此时若相邻边互相垂直则为正方形,故为真命题.(4)假设有一个整数是4的倍数,则因为能被4整除,故为偶数,故为奇数,故为奇数.设,则,故除以4的余数为2与题设矛盾.故不存在整数使得是4的倍数.故为假命题.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.7.写出下列命题的否定:(1);(2)所有可以被5整除的整数,末位数字都是0;(3);(4)存在一个四边形,它的对角线互相垂直.【答案】(1);(2)存在一个可以被5整除的整数,末位数字不是0;(3);(4)任意一个四边形,它的对角线都不互相垂直.【解析】【分析】(1)根据全称命题的否定写出即可.(2)根据全称命题的否定写出即可.(3)根据特称命题的否定写出即可.(4)根据特称命题的否定写出即可.【详解】(1)“”为全称命题,故否定为：“”;(2)“所有可以被5整除的整数,末位数字都是0”为全称命题,故否定为：“存在一个可以被5整除的整数,末位数字不是0”(3)“”为特称命题,故否定为：“”;(4)“存在一个四边形,它的对角线互相垂直”为特称命题,故否定为：“任意一个四边形,它的对角线都不互相垂直.”【点睛】本题主要考查了全称命题与特称命题的否定,属于基础题型.综合运用8.判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:(1)平面直角坐标系下每条直线都与x轴相交;(2)每个二次函数的图象都是轴对称图形;(3)存在一个三角形,它的内角和小于180°;(4)存在一个四边形,它的四个顶点不在同一个圆上.【答案】(1)假命题;命题的否定:平面直角坐标系下,存在一条直线不与x轴相交;(2)真命题;命题的否定:存在一个二次函数的图象不是轴对称图形;(3)假命题;命题的否定:任意一个三角形,它的内角和不小于180°;(4)真命题;命题的否定:任意一个四边形,它的四个顶点都在同一个圆上,【解析】【分析】(1)举出反例即可判定.且原命题为全称命题,故其否定为特称命题.(2)根据二次函数图像性质可以判定.且原命题为全称命题,故其否定为特称命题.(3)根据三角形性质判定.且原命题为特称命题,故其否定为全称命题.(4)举出对应的反例即可.且原命题为特称命题,故其否定为全称命题.【详解】(1)举出反例：函数与x轴不相交.故原命题为假命题.命题的否定:平面直角坐标系下,存在一条直线不与x轴相交;(2)因为二次函数均有对称轴,故原命题为真命题.命题的否定:存在一个二次函数的图象不是轴对称图形;(3)因为三角形内角和为180°.故原命题为假命题.命题的否定:任意一个三角形,它的内角和不小于180°;(4)举出例子说明：有一个角为60°的菱形满足四个顶点不在同一个圆上.故原命题为真命题.命题的否定:任意一个四边形,它的四个顶点都在同一个圆上.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定以及全称命题与特称命题的否定,属于基础题型.9.将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式,并写出它们的否定:(1)平行四边形的对角线互相平分;(2)三个连续整数的乘积是6的倍数;(3)三角形不都是中心对称图形;(4)一元二次方程不总有实数根.【答案】(1)任意一个平行四边形,它的对角线互相平分;它的否定:存在一个平行四边形,它的对角线不互相平分;(2)任意三个连续整数的乘积是6的倍数;它的否定:存在三个连续整数的乘积不是6的倍数;(3)存在一个三角形不是中心对称图形;它的否定:所有的三角形都是中心对称图形;(4)存在一个一元二次方程没有实数根;它的否定:任意一元二次方程都有实数根.【解析】【分析】(1)原命题为全称命题,否定为特称命题.(2)原命题为全称命题,否定为特称命题.(3)原命题为特称命题,否定为全称命题.(4)原命题为特称命题,否定为全称命题.【详解】(1)任意一个平行四边形,它的对角线互相平分;它的否定:存在一个平行四边形,它的对角线不互相平分;(2)任意三个连续整数的乘积是6的倍数;它的否定:存在三个连续整数的乘积不是6的倍数;(3)存在一个三角形不是中心对称图形;它的否定:所有的三角形都是中心对称图形;(4)存在一个一元二次方程没有实数根;它的否定:任意一元二次方程都有实数根.【点睛】本题主要考查了含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题及其否定,属于基础题型.拓广探索10.在本节,我们介绍了命题的否定的概念,知道一个命题的否定仍是一个命题,它和原先的命题只能一真一假,不能同真或同假.在数学中,有很多“若p,则q”形式的命题,有的是真命题,有的是假命题,例如:①若,则;(假命题)②若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线相等.(真命题)这里,命题①②都是省略了量词的全称量词命题.(1)有人认为,①的否定是“若,则”,②的否定是“若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线不相等”.你认为对吗?如果不对,请你正确地写出命题①②的否定.(2)请你列举几个“若p,则q”形式的省略了量词的全称量词命题,分别写出它们的否定,并判断真假.【答案】(1)不对,见解析(2)见解析【解析】【分析】(1)因为省略了量词的全称量词命题,故补全全称量词再判定即可.(2)根据初中小学学过的数与形的知识点举例即可.【详解】解:(1)不对.①的否定:存在;②的否定:存在一个四边形为等腰梯形,它的对角线不相等.(2)命题1:矩形的对角线相等,是真命题;它的否定是:存在一个矩形,它的对角线不相等,是假命题.命题2:实数的平方是正数,是假命题;它的否定:存在一个实数,它的平方不是正数,是真命题.【点睛】本题主要考查了“若p,则q”形式的全称量词命题及其否定的辨析,属于基础题第二章一元二次函数､方程和不等式2.1等式性质与不等式性质例1比较和的大小.分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系.解：因为.所以.例2已知，，求证分析：要证明，因为.所以可以先证明.利用已知和性质3，即可证明.证明：因为.所以，.于是，即由，得.练习1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系:(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位:m)从地面算起不能超过4m;(2)a与b的和是非负实数;(3)如图,在一个面积小于的矩形地基的中心位置上建造一个仓库,仓库的四周建成绿地,仓库的长L(单位m)大于宽W(单位:m)的4倍.【答案】(1);(2);(3)【解析】【分析】由题意转化为不等关系即可【详解】（1）；（2）；（3）由题,则矩形地基的长为,宽为,则【点睛】本题考查不等关系在实际中的应用,属于基础题2.比较和的大小.【答案】.【解析】【分析】将两式作差即可比较大小.【详解】解：-==-3<0所以【点睛】本题考查了作差法比较大小，考查了基本运算求解能力，属于基础题.3.已知,证明.【答案】证明见解析【解析】【分析】由,通过分别考查与的差、与的差与0的大小关系,即可证明【详解】证明:因为,所以,,所以,所以,因为,所以,综上,时,.【点睛】本题考查利用作差法证明不等式,属于基础题练习4.证明不等式性质1,3,4,6.【答案】证明见解析【解析】【分析】作差后利用差与0的关系及“同号得正，异号得负”即可判断两式大小,进而证明即可【详解】证明:①证明不等式性质1:(1),,,,；(2),,,,.②证明不等式性质3:,,,③证明不等式性质4:(1),,,,；(2),,,,④证明不等式性质6:,,,,；,,,,；,即【点睛】本题考查作差法证明不等式性质,考查“同号得正,异号得负”的应用5.用不等号“>”或“<”填空:(1)如果,,那么______;(2)如果,,那么____;(3)如果,那么____;(4)如果,那么____.【答案】①.>②.<③.<④.<【解析】【分析】根据不等式的性质依次填写即可【详解】解析:(1),.,.(2),.,,.(3),,,,,,即.(4),所以,.于是,即,即.,.故答案为:(1)>；(2)<；(3)<；(4)<【点睛】本题考查利用不等式性质判断不等关系,熟练掌握不等式性质是解题关键习题2.1复习巩固6.举出几个现实生活中与不等式有关的例子【答案】见解析【解析】【分析】举生活中的儿童乘车票价和桥洞通道限高，答案不唯一.【详解】解：（1）身高的儿童随同成年人乘坐火车，享受半价优惠，则享受半价优惠儿童的身高的范围.（2）限高5m的桥洞通道.【点睛】本题主要考查了生活中的不等关系，属于基础题.7.某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A为一次性投资500万元；方案B为第一年投资100万元，以后每年投资10万元，列出不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”.【答案】【解析】【分析】根据题意得出经过年之后，方案的总投入的表达式，解不等式，即可得出结论.【详解】方案A：一次性投资500万元；方案B：第一年投资100万元两年后总投资为万元三年后总投资为万元……n年后总投资为万元由于n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入，所以，即.【点睛】本题主要考查了利用不等式表示不等关系，属于基础题.8.比较下列各组中两个代数式的大小：（1）与；（2）与；（3）当时，与；（4）与.【答案】（1）.（2）.（3）.（4）.【解析】【分析】利用作差法比较大小即可.【详解】解：（1）因为，所以.（2）因为，所以.（3）因为，所以当时，.（4）因为，所以.【点睛】本题主要考查了利用作差法比较大小，属于基础题.9.一个大于50小于60的两位数，其个位数字比十位数字大2，试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数（用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）.【答案】57【解析】【分析】根据不等关系得出不等式组，求解即可得出结论.【详解】解：由题意知，解得.又，∴所求的两位数为57.【点睛】本题主要考查了利用不等式表示不等关系，属于基础题.10.已知，，求的范围.【答案】【解析】【分析】根据不等式的性质可得出答案.【详解】解：，，又，.11.证明：，.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据同向不等式的可加性证明即可.【详解】证明：.故得证.综合运用12.已知，，，求证：．【答案】【解析】【分析】通过可知，从而，求倒数可知，两边同时乘以负数即得结论．【详解】，，又，，，又，．【点睛】本题考查不等式的证明，利用不等式的性质是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．13.下列不等式中成立的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】B【解析】【分析】A，如时，，所以该选项错误；BCD，利用作差法比较大小分析得解.【详解】A.若，则错误，如时，，所以该选项错误；B.若，则，所以该选项正确；C.若，则，所以该选项错误；D.若，则，所以该选项错误.故选：B14.证明：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积，并据此说明，人们通常把自来水管的横截面制成圆形，而不是正方形的原因.【答案】见解析【解析】【分析】设圆的周长与正方形的周长均为x，由圆的面积以及正方形的面积公式求出圆和正方形的面积，利用作差法证明圆的面积大于正方形的面积，即可得出相同周长的圆和正方形的截面，圆的截面面积大.【详解】证明，设圆的周长与正方形的周长均为x，则圆的面积，正方形的面积，，.∴相同材料制成的自来水管，截面为圆的截面面积大，因而出水快.【点睛】本题主要考查了利用作差法比较大小，属于中档题.15.已知b克糖水中含有a克糖，再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.【答案】，证明见解析【解析】【分析】根据添加后的浓度大于之前的浓度，得出，利用作差法证明不等式成立即可.【详解】解：时，.证明如下：，.【点睛】本题主要考查了利用不等式表示不等关系以及作差法证明不等式，属于中档题.拓广探索16.已知，求证.【答案】见解析【解析】【分析】利用作差法证明不等式即可.【详解】证明：，.【点睛】本题主要考查了利用作差法证明不等式，属于基础题.17.火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物，现计划用A，B两种型号的货厢共50节运送这批货物，已知35t甲种货物和15乙种货物可装满一节A型货厢，25t甲种货物和35乙种货物可装满一节B型货厢，据此安排A，B两种货厢的节数，共有几种方案？若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货用的运费是0.8万元，哪种方案的运费较少？【答案】见解析【解析】【分析】根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出型货厢的节数，可分为三种方案，根据相应货厢的运费，得出方案三运费较少.【详解】解：设安排A型货厢x节，B型货厢y节，总运费为z所以，所以又因为，所以或或.所以共有三种方案，方案一安排A型货厢28节，B型货厢22节；方案二安排A型货厢29节，B型货厢21节；方案三安排A型货厢30节，B型货厢20节.当时，总运费（万元）此时运费较少.【点睛】本题主要考查了线性规划的实际应用，属于中档第二章一元二次函数､方程和不等式2.2基本不等式例1已知，求的最小值.分析：求最小值，就是要求一个，使，都有.观察，发现.联系基本不等式，可以利用正数x和的算术平均数与几何平均数的关系得到.解：因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，因此所求的最小值为2.例2已知x，y都是正数，求证：（1）如果积等于定值P，那么当时，和有最小值；（2）如果和等于定值S，那么当时，积有最大值证明：因为x，y都是正数，所以.（1）当积等于定值P时，，所以，当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，和有最小值.（2）当和等于定值S时，，所以，当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，积有最大值.例3（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为m，m，篱笆的长度为.（1）由已知得.由，可得，所以，当且仅当时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m.（2）由已知得，矩形菜园的面积为.由，可得，当且仅当时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81.例4某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定.如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低.解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为m，m，水池的总造价为z元.根据题意，有.由容积为4800，可得，因此.所以，当时，上式等号成立，此时.所以，将贮水池的池底设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.练习1.已知、，求证：.【答案】证明见解析【解析】【分析】利用作差法可证明出所证不等式成立.【详解】，，即.【点睛】本题考查利用作差法证明基本不等式的变形，考查推理能力，属于基础题.2.已知都是正数，且.求证：（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由已知得，运用基本不等式得，可得证；（2）由基本不等式得，可得证.【详解】（1），，，由于当且仅当，即时取等号，但，因此不能取等号，；（2），，，当且仅当时取等号，但，因此不能取等号，.【点睛】本题考查基本不等式的应用于不等式的证明，在运用时注意满足基本不等式所需的条件：“一正二定三相等”，属于基础题.3.当取什么值时，取得最小值？最小值是多少？【答案】或时，取得最小值，最小值为.【解析】【分析】利用基本不等式可求出的最小值，利用等号成立的条件求出对应的的值，从而可得出结论.【详解】，当且仅当，即时等号成立.所以，当或时，取得最小值，最小值为.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，在应用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”三个条件的成立，考查计算能力，属于基础题.4.已知，求的最大值.【答案】【解析】【分析】分和两种情况讨论，在时，将代数式变形为，利用基本不等式的变形可求出的最大值，综合可得出结论.【详解】当时，.当时，，，，当且仅当，即时取等号.的最大值为，此时.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，在应用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”三个条件的成立，考查计算能力，属于基础题.5.已知直角三角形的面积等于，当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？【答案】20【解析】【分析】设两条直角边分别为，，然后表示三角形的面积，最后根据基本不等式，求两条直角边的和.【详解】解：设三角形两直角边分别为，，则面积，所以，故，当且仅当时，取等号.所以，当直角三角形直角边都为10时，两条直角边的和最小为20.练习6.用长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？【答案】矩形的一边长为时，面积最大.【解析】【分析】设该矩形的长､宽分别为，，由题中条件，得到，利用基本不等式，即可求出面积的最大值.【详解】设该矩形的长､宽分别为，，则，故该矩形的面积为，当且仅当时，等号成立；即矩形的一边长为时，面积最大为25.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7.用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长.当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？【答案】当矩形菜园平行于墙的一边的长为，与之相邻的边的长为时，菜园的面积最大，最大面积是.【解析】【分析】设矩形菜园平行于墙的一边的长为，与之相邻的边的长为，由题意得出，利用基本不等式可求出菜园面积的最大值，利用等号成立的条件可求出矩形的边长，进而可得出结论.【详解】设矩形菜园平行于墙的一边的长为，与之相邻的边的长为，菜园的面积为，则，.由基本不等式得.当，即，时，菜园的面积最大，最大面积是.因此，当矩形菜园平行于墙的一边的长为，与之相邻的边的长为时，菜园的面积最大，最大面积是.【点睛】本题考查基本不等式的应用，在利用基本不等式时，要结合定值条件对所求代数式进行合理配凑，同时也要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题.8.做一个体积为,高为2的长方形纸盒,底面的长与宽分别取什么值时用纸最少？【答案】底面的长与宽都为4时用纸最少.【解析】【分析】设底面的长为，则宽为，然后要使用纸最少，只需表示出表面积，利用基本不等式求出最值即可．【详解】设底面的长为x，宽为，当且仅当时，用纸最少为64.底面的长与宽都为4时用纸最少．【点睛】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，属于基础题．9.已知一个矩形的周长为36cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？【答案】矩形的长、宽均为9cm时，旋转形成的圆柱侧面积最大.【解析】【分析】首先设矩形的长为，宽为，根据矩形的周长可以得到，再写出旋转形成的圆柱的侧面积表达式，利用基本不等式即可求得侧面积的最大值，由此可得结果.【详解】设矩形的长为，宽为，∵矩形的周长为36，∴，∴，而旋转形成的圆柱的侧面积为，当且仅当，即时等号成立.∴当矩形的长、宽均为9时，旋转形成的圆柱侧面积最大.答：矩形的长、宽均为9cm时，旋转形成的圆柱侧面积最大.习题2.2复习巩固10.（1）已知，求的最小值；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先变形为，再利用基本不等式求最值；（2）首先求函数的定义域，再利用基本不等式求最大值.【详解】（1），，，当且仅当时，即当时等号成立，的最小值为；（2）由知.当或时，；当时，，由基本不等式可得.当且仅当，即当时等号成立.综上，的最大值为.【点睛】本题考查基本不等式求最值，重点考查转化与化归的思想，属于基础题型，基本不等式求最值的方法需记住“一正，二定，三相等的原则”.11.（1）把写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？【答案】（1）a=b=6时，它们的和最小，为12；（2）a=b=9时，它们的积最大，为81【解析】【分析】（1）两个正数的积为定值，则和有最小值，由基本不等式可得；（2）两个正数的和为定值，则积有最大值，由基本不等式可得．【详解】设两个正数为a，b（1），则，当且仅当等号成立，即a=b=6时，它们的和最小，为12.（2），则当且仅当等号成立即a=b=9时，它们的积最大，为81.【点睛】本题考查基本不等式求最值．即两个正数，积为定值时和有最小值，和为定值时积有最大值，都是当且仅当这两个数相等时取得最值．12.某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为元，房屋侧面每平方米的造价为元，屋顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？【答案】当房屋的正面边长为，侧面边长为时，房屋总造价最低，为元.【解析】【分析】设房屋的正面边长为，侧面边长为，总造价为元，由题意得出，然后根据题意得出关于的函数表达式，利用基本不等式可求出的最小值，利用等号求出对应的值，综合可得出结论.【详解】设房屋的正面边长为，侧面边长为，总造价为元，则，即，.当时，即当时，有最小值，最低总造价为元.答：当房屋的正面边长为，侧面边长为时，房屋总造价最低，为元.【点睛】本题考查基本不等式的应用，在利用基本不等式时，要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题.综合运用13.已知、、都是正数，求证：.【答案】见解析【解析】【分析】由基本不等式可得出，，，然后利用不等式的性质可得出结论.【详解】，，，由基本不等式可得，，，由不等式的性质可得，当且仅当时等号成立.【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式，涉及不等式性质的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题.14.已知，求证：的最大值是.【答案】见解析【解析】【分析】利用基本不等式与不等式的性质可证明出结论.【详解】，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最大值是.【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，在应用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”条件的成立，考查计算能力，属于基础题.15.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为万元和万元，这家公司应该把仓建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？【答案】【解析】【分析】设，，根据题中信息求出和的值，进而可得出两项费用之和关于的表达式，利用基本不等式可求出的最小值，由等号成立求出对应的值，进而可得出结论.【详解】设，，当时，，，，，，，两项费用之和为.当且仅当时，即当时等号成立.即应将这家仓库建在距离车站处，才能使两项费用之和最小，且最小费用为万元.【点睛】本题考查基本不等式的应用，在运用基本不等式求最值时，充分利用“积定和最小，和定积最大”的思想求解，同时也要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题.拓广探索16.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金是小于，等于，还是大于？为什么？【答案】大于，理由见解析【解析】【分析】设天平的左臂长为，右臂长，则，售货员现将的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论.【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则，再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，，，，当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即.因此，顾客购得的黄金大于.【点睛】本题考查了利用基本不等式的性质解决实际问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，求的最大面积及相应的值.【答案】最大面积是，.【解析】【分析】由题意可得出，设，则，证明出，可得出，在中应用勾股定理得出，由此可得出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求出面积的最大值，利用等号成立的条件求出值，由此可得出结论.【详解】如图，设，由矩形的周长为，可知.设，则，，，，，.在中，由勾股定理得，即，解得，所以.所以的面积为.由基本不等式与不等式的性质，得，当且仅当时，即当时，的面积最大，面积的最大值为.【点睛】本题考查函数最值的求法，注意根据题意求出面积函数的解析式，运用基本不等式，属于中档第二章一元二次函数､方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程､不等式例1求不等式的解集.分析：因为方程的根是函数的零点，所以先求出的根，再根据函数图象得到的解集.解：对于方程，因为，所以它有两个实数根.解得，.画出二次函数的图象（图2.3-2），结合图象得不等式的解集为.例2求不等式的解集.解：对于方程，因为，所以它有两个相等的实数根，解得.画出二次函数的图象（图2.3-3），结合图象得不等式的解集为.例3求不等式的解集.解：不等式可化为.因为，所以方程无实数根.画出二次函数的图象（图2.3-4）.结合图象得不等式解集为.因此，原不等式的解集为.例4一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y（单位：元）之间有如下的关系：.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车，根据题意，得.移项整理，得.对于方程，，方程有两个实数根，画出二次函数的图象（图2.3-6），结合图象得不等式的解集为，从而原不等式的解集为.因为x只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产摩托车数量在51~59辆时，这家工厂能够获得6000元以上的收益例5某种汽车在水泥路面上的刹车距离s（单位：m）和汽车刹车前的车速v（单位：）之间有如下关系：.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少（精确到1）？解：根据题意，得.移项整理，得.对于方程，，方程有两个实数根，.画出二次函数的图象（图2.3-7），结合图象得不等式的解集为，从而原不等式的解集为.因为车速，所以.而，所以这辆汽车刹车前的车速至少为80.练习1.求下列不等式的解集：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【答案】（1）或；（2）（3）（4）无解（5）或；（6）R【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法求解.【小问1详解】解：，解得或，所以不等式的解集是或；【小问2详解】由，得，即，解得，所以原不等式的解集为：；【小问3详解】不等式的相应方程的两个根为，，则不等式的解集为；【小问4详解】不等式，即为，所以原不等式无解；【小问5详解】不等式即为，则，解得或，所以原不等式的解集为或；【小问6详解】其相应方程的判别式为，所以不等式的解集为R；2.当自变量x在什么范围取值时,下列函数的值等于0?大于0?小于0?(1);(2);(3);(4).【答案】(1)等于0,;大于0,或;小于0,.(2)等于0,;大于0,;小于0,或.(3)等于0,;大于0,R;小于0,.(4)等于0,;小于0,;大于0,.【解析】【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系,结合二次函数的图像与性质即可求解.【详解】（1）二次函数令由一元二次方程的求根公式可知所以结合二次函数的图像与性质可知,开口向上,与轴有两个交点,所以当时,函数值等于0;当或时,函数值大于0;当时,函数值小于0.（2）二次函数令解一元二次方程可知所以结合二次函数的图像与性质可知:当时,函数值等于0;当或时,函数值大于0;当时,函数值小于0.（3）二次函数则结合二次函数的图像与性质可知:当函数值等于0时为;当时,函数值大于0;当函数值小于0时为;（4）二次函数则结合二次函数的图像与性质可知,开口向下,与轴有一个交点,所以:当时函数值等于0;当时,函数值大于0;当函数值小于0时为;【点睛】本题考查了二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的关系,二次函数图像与性质的应用,属于基础题.练习3.x是什么实数时,有意义?【答案】或【解析】【分析】根据二次根式有意义条件可知根据二次不等式解法即可求得的取值范围.【详解】由知,解得或.因此,当或时,有意义.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件,一元二次不等式的解法,属于基础题.4.如图,在长为8m,宽为6m的矩形地面的四周种植花卉,中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同,且草坪的面积不超过总面积的一半,那么花卉带的宽度应为多少米?【答案】大于等于1m,且小于3m.【解析】【分析】设花卉带的宽度应为,根据题意可得关于的一元二次不等式,解不等式即可求解.【详解】设花卉带的宽度应为,则,即,化简得而答:花卉带的宽度应大于等于1m,且小于3m.【点睛】本题考查了一元二次不等式在实际问题中的应用,属于基础题.5.某网店销售一批新款削笔器,每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售,每天能卖出30个;若一个削笔器的售价每提高1元,日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入,应怎样制定这批削笔器的销售价格?【答案】销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元)【解析】【分析】设削笔器的销售价格定为,根据题意可得关于的一元二次不等式,解不等式即可求得削笔器的销售价格范围.【详解】设这批削笔器的销售价格定为元/个由题意得,即∵方程的两个实数根为,解集为又故应将这