2023-2024学年山东省济南市莱芜区教研共同体八年级（下）期末数学模拟试卷（五四学制）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年山东省济南市莱芜区教研共同体八年级（下）期末数学模拟试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若二次根式2x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是(

)A.x>12 B.x≥12 C.2.计算(17+4)A.17−4 B.4 C.−4 3.在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是(

)

A.③有一组邻边相等 B.②对角线互相垂直

C.④有一个角是直角 D.①一条对角线与其中一边相等4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC分∠BAD得到的两个角的度数之比是2：3(∠BAC<∠CAD)，延长BC至点E，连接AE交CD于点G，若AE上有一点F，使得AC=CF=EF，且CG=3，则AG的长为(

)A.2.5 B.23 C.105.如图，在矩形OABC中，点B的坐标是(1,3)，则AC的长是(

)A.3

B.22

C.106.若关于x的方程mx2−3x+1=0有实数根，则m的取值范围是A.m≤94且m≠0 B.m<94且m≠0 C.7.若a≠b，且a2−4a+1=0，b2−4b+1=0，则1A.14 B.1 C..4 D.8.x为实数，4x2+3x−(xA.1 B.−4或1 C.−4 D.4或−19.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，分别以点A，C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q，作直线PQ交BC于点D，连接AD.以下结论不正确的是(

)A.∠BAD=72° B.BD=AC

C.S△ABDS△ACD10.若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形.有下列结论：

①已知△ABC是比例三角形，AB=4，BC=5，那么AC=25；

②在△ABC中，点D在AC上，且AD=BC，∠ABD=∠C，那么△ABC是比例三角形；

③如图，在四边形ABCD中，已知AD//BC，BD平分∠ABC，AB⊥AC，AD⊥CD，那么△ABC是比例三角形；

④已知直线y=3x+33与x轴、y轴交于点A、B，点C(3,0)，那么△ABCA.4 B.3 C.2 D.1二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.已知最简二次根式x−1与二次根式22是同类二次根式，则x=12.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是______．

13.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F，若AB=4，BC=6，则CF的长为______．

14.如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B′处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3：5，那么线段FC的长为______．

15.将边长分别为1，1+3，1+23，1+33⋯；的正方形的面积分别记为S1，S2，S3，S4⋯令t1=S16.如图，边长为3的菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是对角线BD上任意一点(P不与B、D重合)，以AP和PD为边作平行四边形APDQ，则PQ的最小值为______．

三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)

计算：|−23|+(4−π18.(本小题6分)

解方程：2x219.(本小题6分)

如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F.求证：AE=CF．20.(本小题8分)

秦九韶(1208年−1268年)，南宋著名数学家.与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家.他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学.他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”.它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是a、b、c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积s=p(p−a)(p−b)(p−c)．

(1)在三角形ABC中，BC=7，AC=8，AB=9，用上面的公式计算三角形ABC的面积；

(2)一个三角形的三边长分别为a、b、c，s=p=15，a=1021.(本小题8分)

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D，E分别为边AB，BC的中点，点F在CA延长线上，且∠F=∠C．

(1)求证：AF=DE；

(2)若AC=5cm，AB=12cm，求四边形AEDF的周长．22.(本小题8分)

如图，在△ABC中，AB=AC=5，点P为BC边上一动点(不与点B，C重合)，过点P作射线PM交AC于点M，∠APM=∠B，BC=8．

(1)求证：△ABP∽△PCM；

(2)当BP=2时，求CM的值．23.(本小题10分)

2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红．

(1)据统计某莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是5万件，8月份的销售量是7.2万件，问月平均增长率是多少？

(2)市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售莲莲玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元？24.(本小题10分)

阅读下列材料：

(3+3)(3−3)=32−(3)2=6，像(3+3)和(3−3)这样两个含有根式的代数式，它们的积不含根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．

请运用上面的知识解决下列问题：

(1)指出(5−2)的有理化因式，并将15−25.(本小题12分)

如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．

(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；

(2)延长ED交直线BC于点F．

①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为______；

②如图3，当点F为线段BC中点，且ED=EC时，猜想∠BAD的度数并说明理由．

26.(本小题12分)

如图1，点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC于E，GF⊥CD于F．

(1)证明与推断：

①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：AGBE=______；

(2)探究与证明：

将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°)，如图2，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；

(3)拓展与运用：

正方形CEGF在旋转过程中，当B、E、F三点在一条直线上时，如图3，延长CG交AD于点H，若AG=3，GH=2，求BC的长．

参考答案1.B

2.D

3.D

4.D

5.C

6.D

7.B

8.A

9.C

10.B

11.3

12.15213.9414.3815.7500+10016.3217.解：|−23|+(4−π)0−1218.解：2x2+4x−30=0，

化简得：x2+2x−15=0，

因式分解得：(x+5)(x−3)=0，

∴x+5=0或x−3=0，

解得：19.证明：四边形ABCD是矩形，

∴AD/​/BC，AD=BC，

∴∠EDO=∠FBO，

∵点O为BD的中点，

∴OB=OD，

在△EDO和△FBO中，

∠EDO=∠FDOOD=OB∠EOD=∠FOB，

∴△EDO≌△FBO(ASA)，

∴DE=BF，

∴AD−DE=BC−BF，

∴AE=CF20.解：(1)∵三角形ABC中，BC=7，AC=8，AB=9，

∴“海伦一秦九韶公式”中的p=7+8+92=12，a=7，b=8，c=9，

∴S△ABC=p(p−a)(p−b)(p−c)，

=12×(12−7)×(12−8)×(12−9)

=720

=125；

(2)∵s=p=15，a=10，S△ABC=p(p−a)(p−b)(p−c)，

∴15=15×(15−10)×(15−b)×(15−c)，

∴225=15×(15−10)×(15−b)×(15−c)，

∴3=(15−b)×(15−c)，

21.(1)证明：∵点D，E分别为边AB，BC的中点，

∴DE/​/AC，BD=AD，

又∵∠BAC=90°，

∴∠BED=∠C，∠BDE=∠BAC=∠BAF=90°，

又∵∠F=∠C，

∴∠BED=∠F，

在△BDE和△DAF中，

∠BED=∠F∠BDE=∠BAFBD=AD，

∴△BDE≌△DAF(AAS)，

∴AF=DE；

(2)解：∵AF=DE，DE/​/AC，

∴四边形AEDF是平行四边形，

∴AE=DF

∵∠BAC=90°，点D，E分别为边AB，BC的中点，

∴ED=12AC，AE=12BC，AB2+AC2=BC2，

又∵AC=5cm，AB=12cm22.(1)证明：∵AB=AC，

∴∠B=∠C．

∵∠APM=∠B，

∴∠BAP=180°−∠B−∠APB=180°−∠APM−∠APB=∠CPM，

∴△ABP∽△PCM．

(2)解：∵AB=AC=5，BC=8，BP=2，

∴CP=6．

∵△ABP∽△PCM，

∴ABPC=BPCM，

∴23.解：(1)设月平均增长率是x，

根据题意得：5(1+x)2=7.2，

解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不符合题意，舍去)，

∴月平均增长率是20%；

(2)设售价应降低y元，则每件的销售利润为(100−60−y)元，每天的销售量为(20+2y)件，

依据题意得：(100−60−y)(20+2y)=1200，

即y2−30y+200=0，

解得：y1=10，y2=2024.解：(1)∵(5−2)(5+2)=(5)2−(2)2=3，

∴(5−2)的有理化因式是5+2，

15−2

=5+2(5−2)(5+2)

=5+23；

(2)125.解：(1)BD=CE，理由如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°，AB=AC，

∵AE是由AD绕点A逆时针旋转60°得到的，

∴∠DAE=60°，AD=AE，

∴∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC−DAC=∠DAE−∠DAC，

即：∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE,

∴△BAD≌△CAE(SAS)，

∴BD=CE；

(2)①AE=BE−CE；

②如图，

∠BAD=45°，理由如下：

连接AF，作AG⊥DE于G，

∴∠AGD=90°，

∵F是BC的中点，△ABC是等边三角形，△ADE是等边三角形，

∴AF⊥BC，∠ABF=∠ADG=60°，∠BAF=30°，

∴∠AFB=∠AGD，

∴△ABF∽△ADG，

∴ABAF=ADAG，∠BAF=∠DAG，

∴∠BAF+∠DAF=∠DAG+∠DAF，

∴∠BAD=∠FAG，

∴△ABD∽△AFG(两对应边成比例及夹角相等的两个三角形相似)，

∴∠ADB=∠AGF=90°，

由(1)得：BD=CE，

∵CE=DE=AD，26.(1)①证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，

∵GE⊥BC、GF⊥CD，

∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，

∴四边形CEGF是矩形，

∵∠BCA=45°，

∴△CEG是等腰直角三角形，

∴EG=EC，

∴四边形CEGF是正方形；

②2；

(2)解：线段AG与BE之间的数量关系为：AG=2BE，理由如下：