2023-2024学年重庆市西南大学附中高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年重庆市西南大学附中高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合S={x|−4<x⩽1}，T={x|−1<x<3}，则S∩T=(

)A.{0,1,2} B.{x|−1<x⩽1} C.{x|−4<x<3} D.{x|−1<x<4}2.函数y=3ex+1的图象在点A.π6 B.π4 C.π33.设随机变量X∼B(4,14)，则D(4X+1)=A.3 B.4 C.12 D.134.如图所示，太极图是由黑白两个鱼纹组成的图形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，则下列说法错误的是(

)A.对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个

B.函数f(x)=tanx可以是某个圆的“太极函数”

C.函数f(x)=x13可以是某个圆的“太极函数”

D.y=f(x)5.过点P(−1,1)的直线l与圆C：x2+y2+4x−2=0交于A，B两点，则A.23 B.6 C.46.已知甲同学从学校的4个科技类社团，3个艺术类社团，2个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在仅有一个是科技类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率(

)A.35 B.25 C.347.已知a=32,3A.c<a<b B.a<c<b C.a<b<c D.b<c<a8.若对任意的x1,x2∈[−1,0),xA.−1e2 B.−1e 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.函数f(x)=ax2+4x+1与g(x)=xA. B.

C. D.10.某科技企业为了对一种新研制的专利产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如表数据：单价x(元)405060708090销量y(件)504443m3528由表中数据，求得线性回归方程为y=−0.4x+66，则下列说法正确的是A.产品的销量与单价成负相关

B.为了获得最大的销售额(销售额=单价×销量)，单价应定为70元或80元

C.m=40

D.若在这些样本点中任取一点，则它在线性回归直线左下方的概率为111.已知各项均不为0的数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1,SnA.a2=3 B.数列{an}的通项公式为an=4n−1

C.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知g(x)=x3f(x)，f(x)，g(x)的导函数分别为f′(x)，g′(x)，且f(1)=f′(1)=2，则g′(1)=13.已知a，b均为实数且a>0，b>0，a+b=3，则1a+1+114.如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色(其中一种为黄色)对图中四个区域A，B，C，E进行染色，每个区域只能用一种染色.若必须使用黄色，则四个区域中有且只有一组相邻区域同色的染色方法有______种；若不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同色的染色方法有______种.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

设数列{an}是各项均为正实数的等比数列，且a3−a2=4，a1=2．

(1)求数列{an}16.(本小题15分)

已知函数f(x)=x+1，g(x)=x2−1．

(1)若a∈R，求不等式af(x)+g(x)<0的解集；

(2)若b∈R，对∀x1∈[1,2]，∃17.(本小题15分)

已知函数f(x)=xex．

(1)若关于x的方程f(x)=k有且只有一个实数根，求实数k的取值范围；

(2)若关于x的不等式f(x)+f(1−x)⩾a对∀x∈[12,2]18.(本小题17分)

学校举行数学知识竞赛，分为个人赛和团体赛．

个人赛规则：每位参赛选手只有一次挑战机会.电脑同时给出2道判断题A1，A2(判断对错)和4道连线题(由电脑随机打乱给出的四个数学定理B1，B2，B3，B4和与其相关的数学家b1，b2，b3，b4，要求参赛者将它们连线配对，配对正确一对数学定理和与其相关的数学家记为答对一道连线题)，要求参赛者全都作答，若有4道或4道以上答对，则该选手挑战成功．

团体赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于20人，且参赛人数为偶数，参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛：

方式一：将班级选派的2n个人平均分成n组，每组2人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功.若这n个小组都闯关成功，则该班级挑战成功．

方式二：将班级选派的2n个人平均分成2组，每组n人，电脑随机分配给同组n个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这n个人都回答正确，则该小组闯关成功.若这两个小组至少有一个小组闯关成功则该班级挑战成功．

(1)在个人赛中若一名参赛选手全部随机作答，求这名选手恰好答对一道判断题并且配对正确两道连线题的概率．

(2)甲同学参加个人赛，他能够答对判断题A119.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点H(1,−32)，离心率e=12．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设过点P(4,3)倾斜角为135°的直线l与x轴，y轴分别交于点M，N，点R为椭圆C上任意一点，求三角形RMN面积的最小值．

(3)如图，过点P(4,3)作两条直线AB，CD分别与椭圆C相交于点A，B

参考答案1.B

2.C

3.C

4.D

5.C

6.B

7.A

8.D

9.ABC

10.ACD

11.ACD

12.8

13.1

14.144

84

15.解：(1)设等比数列{an}的公比为q,a1q2−a1q−4=0,q2−q−2=0，

解得，16.解：(1)令F(x)=af(x)+g(x)=x2+ax+a−1=(x+1)(x+a−1)=0，解得x=−1或1−a，

①当a<2时，则有−1<1−a，

∴不等式的解集为{x|−1<x<1−a}；

②当a=2时，则有−1=1−a，

∴不等式的解集为⌀；

③当a>2时，则有−1>1−a，

∴不等式的解集为{x|1−a<x<−1}．

综上所述：a<2时，不等式的解集为{x|−1<x<1−a}；

a=2时，不等式的解集为⌀；

a>2时，不等式的解集为{x|1−a<x<−1}；

(2)由bf(x1)+f(x2)=g(x1)+b+8，

代入整理得：x2=x12−bx1+6，

令G(x)=x2−bx+6=(x−b2)2+6−b24，

①当b2≤1，即b≤2时，对任意x1∈[1,2]，G(x1)∈[7−b,10−2b]⊆[4,5]．

∴b≤2,7−b≥4,10−2b≤5,，即b≤2b≤3b≥52，

∴此时不等式组无解；

②当1<b2≤32，即2<b≤3时，对任意x17.解：(1)f(x)的定义域为R，f′(x)=(1+x)ex，

又因为ex>0，所以当x<−1时，f′(x)<0，则f(x)单调递减；

当x>−1时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，

即f(x)的单调减区间为(−∞,−1)，单调增区间为(−1,+∞)；

又f(0)=0，x<0时，f(x)<0，f(x)的最小值为f(−1)=−1e，

若关于x的方程f(x)=k有且只有一个实数根，则k∈{−1e}∪[0,+∞)；

(2)设g(x)=f(x)+f(1−x)，

g′(x)=f′(x)−f′(1−x)=(1+x)ex−(2−x)e1−x，g″(x)=(2+x)ex−(x−3)e1−x，

因为12⩽x⩽2，所以g″(x)>018.解：(1)记事件S为恰好答对一道判断题并且配对正确两道连线题，

则所求概率为：P(S)=12×C42A44=18；

(2)记事件A：甲同学挑战成功，

由题所求概率为：P(A)=12×C31×1A33+12×1A33+12×1A33=512；

(3)设选择方式一、二的班级团队挑战成功的概率分别为P1，P2，

①当选择方式一时，因为两人都回答错误的概率为(1−p)2，

则两人中至少有一人回答正确的概率为1−(1−p)2，

所以P1=[1−(1−p)2]n=pn(2−p)n，

②当选择方式二时，因为一个小组闯关成功的概率为pn，则一个小组闯关不成功的概率为1−pn，

19.解：(1)因为点H(1,−32)在椭圆C上，

所以1a2+94b2=1，①

因为椭圆C的离心率e=12，

所以ca=12，②

又c2=a2−b2，③

联立①②③，

解得a2=4，b2=3，

则椭圆C的标准方程为x24+y23=1；

(2)易知点P(4,3)倾斜角为135°的直线l的方程为y=−x+7，

因为直线l与x轴，y轴分别交于点M，N，

所以MN=72，

设直线l′的方程为y=