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2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则()A.B.C.D.2.已知是虚数单位,若,则()A.B.C.D.3.已知某几何体的三视图(单位:)如图所示,则该几何体的体积是()A.B.C.D.4.已知实数满足,则的最大值为()A.B.C.D.5.已知是空间五个不同的点,若点在直线上,则“与是异面直线”是“与是异面直线”的()A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.在中,内角所对的边分别是,若,则角的值为()A.B.C.D.7.已知函数的导函数的图象如图所示,则函数()A.有极大值,没有极大值B.没有极大值,没有最大值C.有极大值,有最大值D.没有极大值,有最大值8.已知过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆交于两点.若椭圆上存在一点,满足(其中点为坐标原点),则椭圆的离心率为()A.B.C.D.9.在直角梯形中,,同一平面内的两个动点满足,则的取值范围为()A.B.C.D.10.已知是由具有公共直角边的两块直角三角板(与)组成的三角形,如左下图所示.其中,.现将沿斜边进行翻折成(不在平面上).若分别为和的中点,则在翻折过程中,下列命题不正确的是()A.在线段上存在一定点,使得的长度是定值B.点在某个球面上运动C.存在某个位置,使得直线与所成角为D.对于任意位置,二面角始终大于二面角第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)11.双曲线的离心率为,渐近线方程为.12.已知的展开式中的系数为,则,此多项式的展开式中含的奇数次幂项的系数之和为.13.我国古代数学名著《九章算术》里有问题:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:日相逢?14.已知两个离散型随机变量,满足的分布列如下:当时,,.15.已知向量满足,若的最大值为,则向量的夹角的最小值为,的取值范围为.16.北京两会期间,有甲、乙、丙、丁、戊位国家部委领导人要去个分会场发言(每个分会场至少人),其中甲和乙要求不再同一分会场,甲和丙必须在同一分会场,则不同的安排方案共有种(用数字作答).17.已知函数,函数.若对任意的,都存在,使得成立,则的取值范围是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)18.已知函数.(1)求的值;(2)当时,求函数的取值范围.19.如图,三棱柱的各棱长都相等,且,、分别为、的中点.(1)证明:平面;(2)求直线与平面所成角的余弦值.20.已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)若,对任意的恒成立,求实数的取值范围.21.如图,直线与抛物线相交于两点,是抛物线的焦点,若抛物线上存在点,使点恰为的重心.(1)求的取值范围;(2)求面积的最大值.22.已知数列满足.(1)证明:;(2)设,证明:.试卷答案一、选择题15:BDCCB610:CAABC二、填空题11.12.13.14.15.16.17.三、解答题18.解:(1),则.(2)由(1)得,当时,,则,即的取值范围为.19.解:(1)取的中点,连接,因为点分别为的中点,所以,又,所以平面平面,因为平面,所以平面.(2)解法一:由(1)连接,由各棱长都相等,得,又,所以,可得点在平面上的射影必在上,为的外心.则平面,过点作的垂线交其延长线于点即为直线与平面所成角.设,则,从而可得.由得.此时,在中,,此时,则,即直线与平面所成角的余弦值为.解法二:由(1)连接,由各棱长都相等,得,又,可得点在平面上的射影必在上,故以为原点,过点且平行于的直线为轴,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系如图,设,此时,则,设平面的法向量为,由,令,解得.设直线与平面的所成角为,则,故,即直线与平面所成角的余弦值为.20.解:(1)由题意得,令得或,①当时,,则的单调递增区间为,单调递减区间为.②当时,恒成立,则的单调递增区间为.=3\*GB3③当时,,则的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)因为,则.且由(1)知,当时,函数在上单调递增,在单调递减,所以函数的极大值与极小值分别为.若要对任意的恒成立,结合图象可知只需满足即可,解得.21.解:(1)设,由,得,由,得=1\*GB3①,则,所以,由点为的重心可
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