高等数学5单元第六章多元函数2

授课单元5教案多元函数微分学(2)偏导数和全微分授课学时5单元教学目标知识目标1、理解偏导数概念，掌握二元函数的一、二阶偏导数的求法；2、了解全微分概念，知道全微分存在的必要条件和充分条件，会求二元函数的全微分；3、掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数；掌握隐函数的一阶偏导数的求法。能力目标理解偏导数的概念（实际上就是一元函数的导数）。主要教学知识点1、偏导数的定义及计算，高阶偏导数的概念及计算2、二元函数全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件3、多元复合函数的求偏导法则，隐函数的求偏导公式教学难点二元函数复合函数偏导数,隐函数偏导数求解教材处理基本概念以教材一致，例题有调整参考资料《高等数学》，侯风波主编，高等教育出版社。《分层数学》，李德才主编，北京交通大学出版社。教学资源1）教材：2）课件3）参考书教学方法与手段讲练结合考核评价点二元函数复合函数偏导数、隐函数偏导数求解、全微分的计算,高阶偏导数求解教学内容第2节多元函数的偏导数一、引入新课1.一元函数的导数定义：，显然有函数在点的某个邻域内有定义。记作：2.二元函数的极限概念：二、新授课一、多元函数的偏导数1、二元函数偏导数的定义设二元函数，，如果在点存在导数，则称f(x,y)在点关于x可导，并称此导数为f(x,y)在点关于x的偏导数，记作图8--5图8--5或，即，其中称为u关于x的偏改变量．同理可定义f(x,y)在点关于y的偏导数，即，其中称为u关于y的偏改变量．几何解释如图．z=f(x,y)是空间一张曲面，如果把中的看成常数，则下式表示曲面与平面相交而成的一条曲线。根据一元函数导数的几何意义可知，就是这条曲线在点处的切线关于X轴的斜率，即其中是切线与X轴正向的夹角。同理有是曲面与平面的交线在点处的切线关于Y轴的斜率，即其中是切线与Y轴正向的夹角2、二元函数的偏导函数：函数关于自变量的偏导函数,记为,或类似地,函数关于的偏导函数记为或或3、多元函数的偏导数多元函数中，当某一自变量在变化，而其他自变量不变化（视为常数）时，函数关于这个自变量的变化率叫做多元函数对这个自变量的偏导数。注意1：在一元函数的导数符号中，和可以分别看作和的微分，而多元函数的偏导数符号，，则都是一个整体符号，不能分开。单独的，和都是没有意义的。注意2：由偏导数的概念可知,在点关于的偏导数就是偏导函数在点的函数值,而就是偏导函数在点的函数值.在不至于引起混淆的情况下,偏导函数也简称为偏导数。例1讨论在(0，0)点的偏导数．解：∵f(x,0)=,不存在；又，∴．例2设，求及．解：∵，∴，∵，∴．例3求在点（1，0）的偏导数.解：为求,把看作常数,对求导,得为求，把看作常数，对求导，得二、高阶偏导数二元函数关于两个变元的偏导数，仍是二元函数，如果它们关于的偏导数也存在，则称二元函数具有二阶偏导数．二元函数的二阶偏导数有如下四种情形．，(先后)，(先后)，类似地可定义二元函数的三阶偏导数，(共有8个)一般地，二元函数的m阶偏导数的偏导数称为的m+1阶偏导数(m阶偏导数共有个)．二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数．例1设求．解：因为所以二阶偏导数称为二阶混合偏导数，一般地但有下面的定理．定理1如果二阶偏导数在点的某邻域内存在，且在该点连续，则．证：略．三、本节小结：偏导数的概念，几何意义；高阶偏导数四、作业：P26.1（1）（4）（5）（6），3（1）（4）课第3节多元函数的全微分一、引入新课一元函数微分的定义二、新授课（一）全微分的概念定义就二元函数u=f(x,y),，，如果在点满足，则称函数u=f(x,y)在点可微，并称为该函数在点的全微分，记作，即或定理若函数u=f(x,y)在点可微，则函数u=f(x,y)在点连续。（二）可微的条件定理1(可微的必要条件)(可微可导)在点可微，则在点的偏导数存在，且．由此．证：因为在点的可微，所以，令，得．同理可得，故结论成立．与一元函数的情况一样，由于自变量的增量等于自变量的微分，即,所以全微分也可表为．若函数在D上的每点都可微，则称在D上可微，且在D上的全微分为．定理的逆不成立，请看下例．例1讨论函数在点的可微性．解：；．若f(x,y)在(0,0)点可微，则．而不存在，所以不可微．定理2(可微的充分条件)若在点的偏导数存在，且的偏导数在点的某邻域内连续，则在点的可微．证：略注意：定理2的逆不成立，即在点的可微不能推出其偏导数连续．例如在(0,0)点可微，但其偏导数在(0,0)点不连续．例2求函数的全微分。解：例3计算在点的全微分。三、课堂小结：掌握全微分的概念；理解可微的充分和必要条件。四、作业：P26.2第4节复合函数和隐函数的求导法一、引入新课复习1二元函数的二阶偏导数；一元复合函数的概念；一元复合函数的求导法则。二、新授课（一）、复合函数求导法前面我们介绍了一元复合函数的求导法则，这一法则在求导中起着重要作用。对于多元函数，情况也是如此。下面我们先以二元函数为例，介绍多元复合函数的微分法。设函数z=f(u，)，而u，都是x，y的函数u=(x，y)，(x，y)，于是z=f[(x，y)，(x，y)]是x，y的函数，称函数z=f[(x，y)，(x，y)]为z=f(u，)与u=(x，y)，(x，y)的复合函数。二元复合函数有如下的求导法则定理1设u=(x，y)，(x，y)在点(x，y)处有偏导数，z=f(u，)在相应点(u，)有连续偏导数，则复合函数z=f[(x，y)，(x，y)]在点(x，y)处有偏导数，且，（1）证明从略。多元复合函数的求导法则，可以叙述为：多元复合函数对某一自变量的偏导数，等于函数对各个中间变量的偏导数与这个中间变量对该自变量的偏导数的乘积之和。这一法则也称为锁链法则或链法则。为了掌握这一法则，可画变量关系图来帮助分析中间变量及自变量，然后按“连线相乘，分线相加”的原则写出所求的复合函数的偏导数，公式（1）的复合关系及求导原则如图7-20所示。zzuvxy图8-4【例1】设，，，求，。解其关系图如图7-20，因为，，，，，，所以==注意，求复合函数偏导数时，最后要将中间变量都换成自变量。有些复杂的或不易直接求解的多元函数求偏导问题，我们可以引进中间变量。【例2】求的偏导数。解令，，则，其关系图如图8-4，因为，，，，，所以根据函数关于x，y的对称性，可相应写出多元复合函数的复合关系是多种多样的，但根据锁链法则，我们可以灵活地掌握复合函数求导法则。下面讨论几种情形。1、只有一个自变量设z=f(u，)，u=(x)，(x)，则复合函数z=f[(x)，(x)]的导数为（2）这里z=f(u，)是u，的二元函数，而u，都是x的一元函数，则z=f[(x)，(x)]是x的一元函数，这时复合函数对x的导数称为全导数。其关系图如图8-5所示。zzuvx图8-5【例3】设，u=sinx，，求全导数。解其关系图如图7-212、中间变量和自变量多于两个的情形若u=(x，y，z)，(x，y，z)，则复合函数的偏导数为（3）若=f(u，，t)，而u=u(x，y)，=(x，y)，t=t(x，y)，则复合函数的偏导数为（4）对于（3）、（4）情况，自己画出其关系图。【例4】设=f(x2，xy，xyz)，求，，解设u=x2，=xy，t=xyz，则3、特殊情形若z=f(u，x，y)，u=(x，y)，则复合函数z=f[(x，y)，x，y]可看作是=x，t=y的特殊情形，此时x，y既是自变量，同时又与u一起形成中间变量u，x，y。因此，，，代入（4）式，得，（5）zyu图zyu图8-6x在（5）式中（或）是表示复合函数z=f[(x，y)，x，y]对自变量x（或y）的偏导数（此时把自变量y（或x）看成常数）；而（或）是表示函数z=f(u，x，y)对中间变量x（或y）的偏导数，此时u，x，y皆为中间变量。求（或）时，把中间变量u，y（或x）看成常数，所以（或）与（或）的意义是不同的，不可混淆。【例5】设z=f(x，xcosy)，求，。解设u=xcosy，则z=f(x，u)，其关系图如图8-7所示。zzuy图8-7x(二)、隐函数的求导法在一元函数中，我们曾学习过隐函数的求导法则，但未给出一般的公式。现由多元复合函数的求导法则推导出隐函数的求导公式。设方程F(x，y)=0确定了隐函数y=f(x)，将其代入方程得F[x，f(x)]=0两端对x求导，得若，则有（6）若方程F(x，y，z)=0确定了隐函数z=f(x，y)，将z=f(x，y)代入方程，得F[x，y，f(x，y)]=0两端对x，y求偏导数，得，若，则有，