苏科版初中八年级数学上册第3章素养综合检测课件

第3章素养综合检测(满分100分限时60分钟)一、选择题(每题3分,共8小题,共24分)1.△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,由下列条件不

能判定△ABC为直角三角形的是

()A.∠A=∠B-∠C

B.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3C.a2=c2-b2

D.a∶b∶c=4∶5∶6

D解析

A.∵∠A=∠B-∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠B=90°,故

△ABC是直角三角形,不符合题意;B.∵∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=90°,故△ABC是直角三角形,不符合题意;C.由a2=c2-b2,得a2+b2=c2,符合勾股定理的逆定理,故△ABC是

直角三角形,不符合题意;D.∵a∶b∶c=4∶5∶6,∴设a=4k,b=5k,c=6k,∵(4k)2+(5k)2≠(6

k)2,∴不符合勾股定理的逆定理,故△ABC不是直角三角形,

符合题意.故选D.2.(2024江苏泰州期中)下列是勾股数的是

()A.2、3、4

B.0.3、0.4、0.5C.6、8、10

D.7、12、15C解析

A.22+32=13≠42,故不是勾股数;B.0.3、0.4、0.5不是整数,故不是勾股数;C.62+82=100=102,且6,8,10为整数,故是勾股数;D.72+122=193≠152,故不是勾股数.故选C.3.(易错题)已知一个直角三角形的两边长分别为12和13,则

第三边长的平方是

()A.25

B.5C.313

D.25或313D解析①当12和13为直角边长时,斜边长的平方=122+132=313;②当13为斜边长时,第三边长的平方=132-122=25.∴第三边

长的平方是25或313.故选D.4.(2023天津中考)如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,

大于

AC的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等),两弧相交于M,N两点,直线MN分别与边BC,AC相交于点D,E,连接

AD.若BD=DC,AE=4,AD=5,则AB的长为

()

A.9

B.8

C.7

D.6D解析根据题意,得MN是AC的垂直平分线,∴AC=2AE=8,DA=DC,∴∠DAC=∠C.∵BD=CD,∴BD=AD,∴∠B=∠BAD.∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC=180°,∴2∠BAD+2∠DAC=180°,∴∠BAD+∠DAC=90°,∴∠BAC=

90°.在Rt△ABC中,∵BD=CD,AD=5,∴BC=2AD=10,∴AB2=BC2-AC2=102-82=36,∴AB=6.故选D.5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,已知BC=5,AB=13,点D是斜

边AB上的动点,则CD的最小值为

()

A.

B.

C.

D.

A解析在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=5,AB=13,∴AC2=AB2-BC2=132-52=144,∴AC=12.当CD⊥AB时,CD的值最小,为

=

=

.故选A.6.(蚂蚁爬行模型)(教材变式·P91T5)下图是一种饮料的包装盒,长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm,现有一长为17cm的吸管插入到盒的底部,则吸管露在盒外部分的长l(cm)的取值范围为

()

A.4<l<5

B.4≤l≤5C.3≤l≤5

D.l=5B解析①当吸管垂直于底面时,吸管露在盒外部分最长,为17

-12=5(cm);②当插入盒内的吸管与底面对角线和高正好组成直角三角

形时,吸管露在盒外部分最短,设底面对角线的长为a,则a2=32+42=25,∴a=5cm.设盒里面吸

管的长为xcm,由勾股定理可得x2=52+122=169,∴x=13,则露在盒外的吸管最短为17-13=4(cm).故吸管露在盒外部分的长l(cm)的取值范围为4≤l≤5.故选B.7.(新独家原创)(勾股树模型)有一个边长为1的正方形,以它的一条边为斜边,向外作一个直角三角形,再分别以直角三角形的两条直角边为边,向外各作一个正方形,称为第一次“生长”(如图1);再分别以这两个正方形的边为斜边,向外作一个直角三角形,然后分别以这两个直角三角形的两条直角边为边,向外各作一个正方形,称为第二次“生长”(如图2).如果继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”,则“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是

()DA.1

B.2023

C.2024

D.2025解析如图,

由题意得SA=1.由勾股定理,得SB+SC=1,∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2.同理可得,“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3,“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的

面积和为4.∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积

和是2025.故选D.8.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,BC=10,BD平分∠ABC,

若P,Q分别是BD,AB上的动点,则PA+PQ的最小值是

()

A.2.4

B.4.8

C.4

D.5B解析如图,

作点Q关于直线BD的对称点Q',∵BD平分∠ABC,∴点Q'在

BC上,连接PQ',则PA+PQ的最小值即为PA+PQ'的最小值,∴

当A、P、Q'三点共线且AQ'⊥BC时,PA+PQ的值最小,过点A

作AM⊥BC于点M,则PA+PQ的最小值即为AM的长.∵AB=6,BC=10,∴由勾股定理得AC2=BC2-AB2=102-62=82,∴

AC=8,∵S△ABC=

AM·BC=

AB·AC,∴AM=

=

=4.8.故选B.9.(2021湖南岳阳中考)《九章算术》是我国古代数学名著,

书中有下列问题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一

丈.问户高、广各几何?”其意思:今有一门,高比宽多6尺8寸,

门对角线的长恰好为1丈.问门高、宽各是多少?如图,设门高

AB为x尺,根据题意,可列方程为

.(1丈=10尺,1

尺=10寸)

x2+(x-6.8)2=102

二、填空题(每题3分,共10小题,共30分)解析门高AB为x尺,则门的宽为(x-6.8)尺,AC=1丈=10尺,由勾股定理,得AB2+BC2=AC2,即x2+(x-6.8)2=102.10.(教材变式·P80T2)小明和小丽正在玩纸片,小明将一块正

方形纸片ABCD放在地面上,小丽将另一块正方形纸片CEFG

也放在地面上,使其一个顶点与纸片ABCD的一个顶点重合,

且∠CGD=90°,如图,现量得DG的长为7cm,设正方形ABCD

的面积为S1,正方形CEFG的面积为S2,则S1-S2=

.49cm2

解析在Rt△CDG中,由勾股定理得CD2-CG2=DG2,∵DG=7cm,∴CD2-CG2=72=49.∵S1=CD2,S2=CG2,∴S1-S2=CD2-CG2=49cm2.11.已知△ABC的三边长分别为3、4、5,则最长边上的中线

长为

.解析∵△ABC的三边长分别为3、4、5,32+42=52,∴△ABC

是直角三角形,∴最长边上的中线长为

.故答案为

.12.(新考向·规律探究试题)观察下列各组勾股数:①3,4,5;②5,

12,13;③7,24,25;④9,40,41;……若a,144,145是其中的一组勾

股数,则a=

.

17解析观察各组勾股数,根据题目中的提示可得,145=

,解得a=17.13.如图所示的网格是正方形网格(每个小正方形的边长为

1),则∠PAB+∠PBA=

°(点A,B,P在小正方形的顶点

上).

45解析如图,延长AP交网格线于D,连接BD,则PD2=BD2=12+22=5,PB2=12+32=10,∴PD2+DB2=PB2,PD=BD,∴∠PDB=90°,∴∠PAB+∠PBA=∠DPB=45°.故答案为45.14.(2023湖北随州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D为AC上一点,若BD是∠ABC的平分线,则AD=

.5解析如图,过点D作DE⊥AB于点E.

∵∠C=90°,∴CD⊥BC.∵BD是∠ABC的平分线,CD⊥BC,DE

⊥AB,∴CD=DE.在Rt△BCD和Rt△BED中,

∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL),∴BC=BE=6.在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=82+62=100,∴AB=10,∴AE=AB-BE=10-6=4.设CD=DE=x,则AD=AC-CD=8-x.在Rt△ADE中,AE2+DE2=AD

2,∴42+x2=(8-x)2,解得x=3,∴AD=8-x=5.故答案为5.15.如图,四边形ABCD是直角梯形,∠C=∠D=90°,分别以点A,B为圆心,大于

AB的长为半径画弧,两弧分别交于点E,F,作直线EF,与CD交于点M,若BC=CD=3,AD=2,则线段CM=

.解析如图,连接AM,BM,设CM=x.

由作图可知EF垂直平分线段AB,∴MA=MB,∴MA2=MB2,∴22

+(3-x)2=32+x2,∴x=

,∴CM=

.16.(2023江苏南京秦淮月考)小明将4个全等的直角三角形拼成如图所示的五边形,添加适当的辅助线后,用等面积法建立等式证明勾股定理.小明在证明中用两种方法表示五边形的面积,分别是①S=

,②S=

,即可证明勾股定理的内容是

.c2+aba2+b2+aba2+b2=c2(前两空顺序可对调)解析如图,延长AB,交CD于点E,①五边形的面积=边长为c

的正方形的面积+2个全等的直角边长分别为a,b的直角三角

形的面积,即S=c2+

ab·2=c2+ab;②五边形的面积=边长为a的正方形的面积+边长为b的正方形的面积+2个全等的直角边

长分别为a,b的直角三角形的面积,即S=a2+b2+

ab·2=a2+b2+ab.由①和②相等知c2+ab=a2+b2+ab,即a2+b2=c2.17.如图,在△ABC中,AB=3,AC=5,AD是边BC上的中线,AD=2,

则△ACB的面积是

.6解析如图,延长AD到E,使DE=AD,连接BE.

由题意知CD=BD.在△ADC与△EDB中,

∴△ADC≌△EDB(SAS),∴BE=AC=5,∠CAD=∠E.又∵AE=

2AD=4,AB=3,∴BE2=AE2+AB2,∴△ABE是直角三角形,∠EAB

=90°.∴S△ACB=2S△ABD=2×

×2×3=6.故答案为6.18.(2024江苏无锡锡山期中)乐乐在学习中遇到了这样的问题:如图所示的三角形纸片ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=6,将△ABC沿某一条直线剪开,使其变成两个三角形,且要求其中的一个三角形是等腰三角形,你有几种方法呢?经过思考,乐乐发现要想沿一条直线把三角形分割成两个三角形,这条直线需要经过三角形的某个顶点,请你帮助乐乐写出当这条直线经过点A时,剪出的等腰三角形的面积是

.8或解析①如图1,PC=AC=4时,△ACP是等腰直角三角形,则S△

ACP=

×4×4=8.

②如图2,AP=BP时,△ABP是等腰三角形,在△ACP中,∠C=90°,则AC2+CP2=AP2,即42+CP2=(6-CP)2,解得CP=

,则S△ABP=S△ABC-S△ACP=

×4×6-

×4×

=

.综上所述,剪出的等腰三角形的面积是8或

.19.(2024江苏南京秦淮期中)(6分)如图,四边形ABCD中,∠ACB=90°,AB=15,BC=9,AD=5,DC=13.求证:△ACD是直角三角形.

三、解答题(共6小题,共46分)证明∵AB=15,BC=9,∠ACB=90°,∴AC2=152-92=144,∴AC=12.∵52+122=132,∴AD2+AC2=CD2,∴△ACD是直角三角形.20.(教材变式·P87习题T2)(6分)如图,星光蔬菜园要修建20个

蔬菜大棚,棚高h=5m,棚宽a=12m,棚的长d为25m,现要在棚

顶上覆盖塑料薄膜,试求需要多少平方米的塑料薄膜.解析∵h=5m,a=12m,∠C=90°,∴AB2=AC2+BC2=169,∴AB=13m,∴要建20个蔬菜大棚需要13×25×20=6500平方米的塑料薄膜.21.(2024江苏泰州期中)(7分)2023年10月15日,泰州半程马拉

松在泰州体育公园鸣枪开跑,比赛赛道穿越泰州主城区,串联

了天德湖公园、人民广场、老街、梅园、凤城河、光孝寺

等城市地标及人文景观.小明家住在补给点C处,他发现补给

点A、B、C组成一个三角形,青年路的一段BD恰好与边AC

垂直,垂足为D.如图,若AD=2千米,BD=4千米,小明用速度为

每分钟1千米的无人机M紧贴地面从C处出发沿着线段CA匀

速飞行,用了10分钟到达终点A处.(1)试判断△ABC的形状,并说明理由.(2)若N是CM的中点,连接BM、BN,设M的运动时间为t(t>0)分

钟.是否存在t值,使得BM=BN?若存在,求出t的值;若不存在,请

说明理由.解析(1)△ABC是直角三角形.理由:由题意得AC=10千米,∵AD=2千米,∴CD=8千米.∵BD⊥AC,∴AB2=AD2+BD2=20,BC2=BD2+CD2=80.又∵AC2=100,∴AB2+BC2=AC2,∴△ABC是直角三角形.(2)不存在.理由:由题意得CM=t千米,CN=

t千米,DN=

千米,DM=(t-8)千米.若BM=BN,则DM=DN,即t-8=8-

t,解得t=

>10,故不存在t值,使得BM=BN.22.(7分)如图,将直角三角形分割成一个正方形和两对全等

的直角三角形,直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,

AB=c,正方形IECF中,IE=EC=CF=FI=x.①小明发明了求正方形边长的方法:由题意可得BD=BE=a-x,AD=AF=b-x.因为AB=BD+AD,所以a-x+b-x=c,解得x=

.②小亮发现了另一种求正方形边长的方法:利用S△ABC=S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系.(1)请根据小亮的思路完成他的求解过程.(2)请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理.

解析(1)因为S△ABC=S△ABI+S△BIC+S△AIC,所以

ab=

cx+

ax+

bx,所以x=

.答:x与a、b、c的关系为x=

.(2)易知x=

=

,即2ab=(a+b+c)(a+b-c),化简得a2+b2=c2.23.(新考向·新定义试题)(2024江苏盐城盐都期中)(10分)我们

规定:三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边

上的高的差.如图1,△ABC中,CD为BA边上的高,边BA的“线

高差”等于BA-CD,记为h(BA).(1)如图2,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,AD=6,BD=4,则

h(BC)=

.(2)若△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,则h(AC)=

.(3)如图3,△ABC中,AB=21,AC=20,BC=13,求h(AB)的值.

解析(1)∵AB=AC,AD⊥BC,∴BC=2BD=8,∴h(BC)=BC-AD=8-6=2.故答案为2.(2)如图,过B作BH⊥AC于H.

∵∠ABC=90°,AB=6,BC=8,∴AC2=62+82=100,∴AC=10,∵

·AC·BH=

·AB·BC,∴BH=

,∴h(AC)=AC-BH=10-

=

.故答案为

.(3)过C作CD⊥AB于D(图略).设BD=x,则AD=21-x.∵CD2=AC2-AD2=BC2-BD2,∴202-(21-x)2=132-x2,解得x=5,∴