北师大版初中八年级数学上册第一章勾股定理1探索勾股定理第2课时验证勾股定理及简单应用课件

第一章勾股定理1探索勾股定理第2课时验证勾股定理及简单应用基础过关全练知识点2验证勾股定理1.(新课标例82变式)利用四个全等的直角三角形可以拼成如

图所示的图形,这个图形被称为弦图.通过该图形,可以验证

公式(

)A.(a+b)(a-b)=a2-b2B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.c2=a2+b2D.(a-b)2=a2-2ab+b2C解析大正方形的面积可以表示为c2,也可以表示为

ab×4+(b-a)2,∴c2=

ab×4+(b-a)2,即c2=2ab+b2-2ab+a2,∴c2=a2+b2.知识点3勾股定理的简单应用2.如图,一支铅笔放在圆柱形笔筒中,笔筒内部的底面直径BC

为9cm,内壁高为12cm,则这支铅笔的长度可能是

(

)A.1.9cmB.12cmC.15cmD.18cmD解析在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=122+92=144+81=225=152,∴AC=15cm,由题图可以看出,铅笔的长大于AC的长,故选D.3.如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯

子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米.如果保

持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2

米,则小巷的宽度为

(

)A.0.7米

B.1.5米

C.2.2米

D.2.4米

C解析如图.∵小巷左右两侧是竖直的墙,∴∠ACB=∠A'DB=90°,∴△ACB与△A'BD均为直角三角形,在Rt△ACB中,BC=0.7,AC=2.4,∴AB2=0.72+2.42=6.25.又∵梯子长度是不变的,∴A'B2=AB2=6.25,在Rt△A'BD中,A'D=2米,BD2+A'D2=A'B2,∴BD2+22=6.25,∴BD2=2.25,∵BD>0,∴BD=1.5,∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).故选C.

4.(情境题·社会主义先进文化)(2023山东聊城阳谷期中)河滨

公园有一块长方形的草坪如图所示,有少数的人为了避开拐

角走“捷径”,在草坪内走出了一条“路”,他们仅仅少走了

米,却踩伤了花草!青青绿草地,悠悠关我心,请大家

文明出行,足下留“青”!

6解析在Rt△ABC中,AC=7m,BC=24m,∴AB2=AC2+BC2=72+

242=625=252,∴AB=25(m),∵AC+BC-AB=7+24-25=6(m),∴他们仅仅少走了6米,却踩伤

了花草!能力提升全练5.(新考向·代数推理)(2023山东日照中考,9,★★☆)已知直角

三角形的三边长a,b,c满足c>a>b,分别以a,b,c为边作三个正

方形,把两个较小的正方形放置在最大的正方形内,如图,设

三个正方形无重叠部分的面积为S1,均重叠部分的面积为S2,

则

(

)

A.S1>S2B.S1<S2C.S1=S2D.S1,S2大小无法确定C解析如图,

∵a,b,c为直角三角形的三边长,且c>a>b,∴a2+b2=c2,∴c2-a2=b2,∵S1=(c2-a2)-b(c-a)=b2-b(c-a)=b(a+b-c),S2=b[b-(c-a)]=b(a+b-c),∴S1=S2.故选C.6.(2023山东东营中考,15,★★☆)一艘船由A港沿北偏东60°

方向航行30km至B港,然后沿北偏西30°方向航行40km至C

港,则A,C两港之间的距离为

km.

50解析如图,根据题意,得AN∥BM,∠NAB=60°,∠MBC=30°,

AB=30km,BC=40km,

∵AN∥BM,∴∠MBA=180°-∠NAB=180°-60°=120°,∴∠ABC=∠ABM-∠MBC=120°-30°=90°.在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=302+402=2500=502,∴AC=50km,即A,C两港之间的距离为50km.7.(2023湖北随州中考,14,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D为AC上一点,若BD是∠ABC的平分线,则AD=

.

5解析如图,过点D作AB的垂线,垂足为P,

在Rt△ABC中,∵AC=8,BC=6,∴AB2=AC2+BC2=82+62=100=102,∴AB=10,∵BD是∠ABC的平分线,∴∠CBD=∠PBD,∵∠C=∠BPD=90°,BD=BD,∴△BDC≌△BDP(AAS),∴BC=BP=6,CD=PD,设CD=PD=x,在Rt△ADP中,∵PA=AB-BP=4,AD=8-x,∴x2+42=(8-x)2,∴x=3,∴AD=5.8.(梯子滑动模型)(2024广东深圳福田八校联考期中,22,★★

☆)如图,一架云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO=20米,

云梯AB的长度比OB的长度(云梯底端离墙的距离)大10米,

AO⊥BO,设OB的长度为x米.(1)求OB的长度.(2)若云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处,试问云梯的底

部B是否也外移了5米?请说明理由.解析

(1)∵OB=x米,AB的长度比OB的长度大10米,∴AB=(x+10)米.在Rt△AOB中,AB2=OA2+OB2,∴(x+10)2=202+x2,解得x=15,∴OB的长度为15米.(2)云梯的底部B也外移了5米,理由如下:∵OB的长度为15米,∴AB的长度为25米.当云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处时,OC=OA-AC=20

-5=15(米),在Rt△OCD中,由勾股定理得OD2=CD2-OC2=252-152=400=202,∴OD=20米,∴BD=OD-OB=20-15=5(米),∴云梯的底部B也外移了5米.素养探究全练9.(推理能力)如图1,美丽的弦图包含着四个全等的直角三角

形.

(1)弦图中有一大、一小两个正方形,已知每个直角三角形较

长的直角边长为a,较短的直角边长为b,斜边长为c,结合图1,

试验证勾股定理.(2)如图2,将这四个直角三角形紧密地拼接,形成飞镖状,已知外围轮廓(实线)的周长为24,OC=3,求该飞镖状图案的面积.(3)如图3,将八个全等的直角三角形紧密地拼接,记图中正方

形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3.若S1+S2+S3=16,则S2=

.解析

(1)S小正方形=(a-b)2=a2-2ab+b2,又因为S小正方形=c2-4×

ab=c2-2ab,所以a2-2ab+b2=c2-2ab,则a2+b2=c2.(2)24÷4=6,设AC=x,则AB=6-x,AO=3+x.在Rt△AOB中,由勾股定理,得AO2+BO2=AB2,即(x+3)2+32=(6

-x)2,解得x=1.所以该飞镖状图案的面积=4S△AOB=4×

×(3+1)×3=24.(3)

.详解:设八个全等的直角三角形的面积为m,则S1=S3+8m,S2=S3+4m.∵S1+S2+S3=16,∴3S3+12m=16,∴S3+4m=

,∴S2=

.微专题“勾股树”模型

(勾股树模型)(2023山东潍坊寿光期中)如图所示的是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是

(

)A.10

B.13

C.15

D.26例B解析设正方形M,N的边长分别为x、y,最大正方形E的边长为z,由勾股定理,得x2=3+5=8,y2=2+3=5,z2=x2+y2=13,即

最大正方形E的面积为z2=13.故选B.变式1.(向外作等腰直角三角形)如图所示的为一种“羊头”形图

案,其作法是:从正方形①开始,以它的一边为斜边,向外作等

腰直角三角形,然后再以其直角边为边,分别向外作正方形②

和②,……,依此类推,若正方形①的面积为64,则正方形⑤的

面积为

(

)

A.2

B.4

C.8

D.16

B解析根据勾股定理可知两个正方形②的面积和等于正方

形①的面积,∵正方形①的面积是64,∴正方形②的面积是32,同理可得正方形③的面积是16,……正方形

的面积是

,∴正方形⑤的面积是4.故选B.2.(改变树的形状)(2023湖南长沙浏阳期中)如图,在直线l上依

次摆放着七个正方形,已知斜放置的三个正方形的面积分别

是1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是S1,