北师大版初中八年级数学上册专项素养综合练(一)用勾股定理解决最短路径问题课件

用勾股定理解决最短路径问题专项素养综合全练(一)类型一平面上的最短路径问题1.如图,在△ABC中,有一点P在线段AC上移动,若AB=AC=10,

BC=12,则BP的最小值为

(

)

A.10

B.12

C.9.6

D.8

C解析如图,作AD⊥BC,垂足为D,∵AB=AC,BC=12,∴BD=CD=6.在Rt△ABD中,AD2=AB2-BD2=102-62=64,∴AD=8.当BP⊥AC时,BP最短,由S△ABC=

BC·AD=

AC·BP,得BP=

=9.6.故选C.2.如图,要在河边l上修建一个水泵站,分别向A村和B村送水,

已知A村、B村到河边的距离分别为1km和3km,且C、D相

距3km,则铺水管的最短长度是

(

)

A.5kmB.4kmC.3kmD.6kmA解析如图,作点A关于直线l的对称点A',连接BA'与直线l交

于点P,连接AP,此时PA+PB的值最小.作A'E∥l,交BD的延长线于点E,则BE⊥A'E,

在Rt△A'BE中,∵A'E=3km,BE=1+3=4(km),∴A'B2=A'E2+BE2=32+42=25,∴A'B=5km,∵PA+PB=PA'+PB=A'B=5km,∴PA+PB的最小值为5km,即铺水管的最短长度是5km.3.如图,在正方形ABCD中,AB边上有一点E,AE=3,EB=1,在AC

上有一点P,使EP+BP的值最小,求EP+BP的最小值.

解析如图,连接BD交AC于点O,连接ED与AC交于点P,连接

BP,此时EP+BP的值最小.易知B、D关于直线AC对称,∴BP=PD,∴EP+BP=EP+PD=ED.在Rt△ADE中,AE=3,AD=AB=1+3=4,由勾股定理得ED2=32+42=25=52,∴ED=5,∴EP+BP的最小值为5.类型二几何体上的最短路径问题4.(2022河南郑州四中第一次月考)如图,透明的圆柱形玻璃

容器(容器厚度忽略不计)的高为16cm,在容器内壁离容器底

部4cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,

位于离容器上沿4cm的点A处,若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最

短路程为20cm,则该圆柱的底面周长为(

)

A.12cmB.14cmC.20cmD.24cmD解析如图,将容器侧面展开,则EG为上底面圆周长的一半,

作A关于直线EG的对称点A',连接A'B交EG于F,连接AF,则蚂

蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路程为AF+BF的长,即A'F+BF=A'B

=20cm,

过A'作A'D⊥BG交BG的延长线于D,∵AE=A'E=DG=4cm,BG=16-4=12cm,∴BD=16cm,在Rt△A'DB中,由勾股定理得A'D2=A'B2-BD2=202-162=144,∴A'D=12cm,∴该圆柱的底面周长为24cm.5.如图,圆柱高为7cm,底面周长为48cm,在圆柱的侧面上,过

点A和点C嵌有一圈金属丝,则这圈金属丝的长最小为

(

)

A.25cmB.48cmC.50cmD.56cmC解析如图,把圆柱的侧面展开,得到矩形,则这圈金属丝的

长最小为2AC的长度.∵圆柱底面的周长为48cm,圆柱高为7cm,∴AB=7cm,BC=BC'=24cm,∴AC2=AB2+BC2=72+242=625=252,∴AC=25cm,∴这圈金属丝的长最小为2AC=50cm.故选C.6.如图所示的是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分

别是50cm、30cm、10cm,A和B是这个台阶的两个相对的

顶点,A点有一只壁虎,它想到B点去吃可口的食物,则这只壁

虎从A点出发,沿着台阶面爬到B点,至少需爬

(

)

A.13cmB.40cmC.130cmD.169cmC解析将台阶面展开,连接AB,如图,线段AB即为这只壁虎所

爬的最短路线.由题意知BC=30×3+10×3=120(cm),AC=50cm,在Rt△ABC中,根据勾股定理,得AB2=AC2+BC2=16900,所以

AB=130cm.所以这只壁虎至少需爬130cm.7.如图,长方体的底面是边长为1cm的正方形,长方体的高为

3cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达