北师大版必修第二册1 .1 构成空间几何体的基本元素-1作业练习

1.1构成空间几何体的基本元素-1作业练习

一.填空题

1.已知某圆锥体的底面半径为r=3,沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心

2%

为3的扇形，则该圆锥体的母线长是.

2.在棱长为3的正方体中，点M,N分别是棱4G,的

中点，过A,M,N三点作正方体的截面，将截面多边形向平面A作投影，

则投影图形的面积为.

3.边长为1的正方体AB。。一44aA中，p在线段BG上，Q在线段8c上，则

2尸+尸。的最小值为.

4.已知圆锥底面半径为1,母线长为3,某质点从圆锥底面圆周上一点A出发，绕

圆锥侧面一周，再次回到A点，则该质点经过的最短路程为.

5.如图，一矩形48缪的一边四在x轴上，另两个顶点C.2在函数f(x)一,，

x>0的图象上，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是.

OA：1B工

6.在正三棱锥S-ABC中，SA=SB=SC=2,ZASB=ZASC=ZBSC=30°,

一只蚂蚁从点A出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬过的最短路

程为.

7.在校长为1的正方体—中，2\在面ABCO中取一个

点F,使用+IF最小，则这个最小值为.

8.半径为R的两个球，其中一个球的球心在另一个球的球面上，则两球的交线长为

9.已知四面体ABCD的各棱长都为%点E是线段BO的中点，若球。是四面体

ABCO的外接球，过点E作球。的截面，则所得截面圆的面积取值范围是.

10.一圆锥底面半径为2,母线长为6,将此圆锥沿一条母线展开，得到的扇形的面

积为.

11.若4=｛四棱柱｝,8=｛平行六面体｝,C=｛直平行六面体｝,。=｛正方体｝,

E=｛正四棱柱｝,/=｛长方体｝,则它们之间的包含关系为.

12.已知地球半径为火，处于同一经度上的甲乙两地，甲地纬度为北纬75°,乙地

纬度为北纬15°,则甲乙两地的球面距离是

13.棱长为6的正方体内有一个棱长为x的正四面体，且该四面体可以在正方体内任意

转动，则x的最大值为.

14.直三棱柱ABC-AUG的棱长均为26，”为A3的中点，过点M的平面截三棱

柱ABC-AAG的外接球，则所得的截面面积的取值范围为.

15.我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长三丈五尺，围之4尺.葛生其

下，缠木三周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为：圆木长3丈5尺，圆周为4尺，

葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木三周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长

尺.（注：1丈等于1°尺）

参考答案与试题解析

1.【答案】9

【解析】设圆锥体的母线长为R，根据底面圆周长等于展开图扇形的弧长，列方程求出

R的值.

【详解】

2万

解：某圆锥体的底面半径为「=3,沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心为彳的

2=—.—.27iR

扇形，设圆锥体的母线长为R,则7J:r32兀,解得R=3r=9,

•••圆锥体的母线长为9.

故答案为：9.

【点睛】

本题考查了圆锥体的底面圆周长与侧面展开图的应用问题，是基础题.

2.【答案】?

4

【解析】由题可知，可得投影为五边形,利用三角形相似性质得到

2221

DG=2D,G=-BH=2B、H=—AH.=2A.H.=-AM,=D.M.=-

3,3,进而求得'3.2,则可得

4G=1--^ADG

详解：解：直线MN分别与直线AA,4耳交于E,F两点,

连接AE,AF,分别与棱D%BB|交于G,H两点，连接GN,MH,

得到截面五边形AGNWH,

向平面'ORA作投影，得到五边形AHMRG,

由点M,N分别是棱用G,G"的中点，

MIHGNM=ND、NE=45

则，

3

所以在，△股N中，D,E=D'N=a

3

D.ED.G2_D\G\

由△REGs/SOAG,则而一而，即：OG=2,

而。G+RG=3,可得OG=2RG=2

同理BH=24"=2,

3

则Ad=2Aq=2,AM=〃M=5

^AHyM^G=^AA^l\D—=3x3--xlx--lx3x2=—

则2224

21

故答案为：1.

【点睛】

本题考查正方体截面投影面积的求法，以及利用三角形相似求出线段长，考查数形结合

思想，属于中档题.

3.【答案】1+—

2

【解析】把ACBG沿8G上转90°,与平面BCq共面，当D,Q1BC时，

*+PQ=g最小

详解：把AC8G沿BCj上转90。，与平面8CQ共面，当°卫,BC时，

*+P2=W最小,

pn5PQ=（应-l）x旦1-立

此时，PR=J2,<）22,

1+受

所以AP+PQ的最小值为2,

故答案为:

【点睛】

多面体和旋转体表面上的最短距离问题的解法：求多面体表面上两点间的最短距离，一

般将表面展开为平面图形，从而把它转化为平面图形内两点连线的最短长度问题.

4.【答案】3A/3

【解析】如图，根据题意的最短路程为侧面展开图中的弦A4'的长度，再根据几何关系

计算即可得答案.

详解：解：如图，根据题意得该质点经过的最短路程为侧面展开图中弦A4'的长度.

因为底面圆的周长为2〃，母线长为3,

2乃ZASA'=2"

所以侧面展开图的扇形的圆心角为：3,即3

冗

ZASD=-,AS=3

所以在RMASO中，3

AD=AS-sinZASD=-

所以2

所以44'=3百

故答案为：3百

A'

本题考查圆锥的侧面展开图，考查空间思维能力,是中档题.

5.【答案】

1

-

【解析】由y=f(x)=??l+??2-2

当且仅当x=l时取等号,

+1=1

得xX7;

又矩形绕X轴旋转得到的旋转体是圆柱，

设［点的坐标为（X”y）,6点的坐标为（用，y）,

则圆柱的底面圆半径为y,高为力=也-矛”

1H/，¥(生)

且f（汨）

所以1+町2-

即（至-Xi）（尼？Xi-1）=0,

所以生？汨=1,

所以#=(X2+Xt)2-4x2?X\—(X|

所以为

J4五ITy2)

所以K0ft=Jty?h=Tty

1与飞—力_1■

2"?(2)4”,当且仅当y4时取等号,

口

故此矩形绕X轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为*.

6.【答案】2&

【解析】沿棱必将正三棱锥展开，作出展开图，由题中条件，结合展开图，即可得出结

果.

详解：将正三棱锥S-ABC沿棱SA展开，得到如下图形，

由展开图可得，沿A4爬行时，路程最短；

因为&4=2,ZASB=ZASC=ZBSC=30°t

所以NA%=90。，

22

@jhLM=V2+2=2V2

故答案为：2夜.

【点睛】

本题主要考查棱锥侧面展开图的相关计算，熟记棱锥的结构特征即可，属于基础题型.

7.【答案】叵

2

【解析】将正方体44GA补全成长方体，点G关于面A6CO的对称点为G,

连接EG交平面ABC。于点F,使用+1对最小，其最小值就是怛G|,再连接,

BG,然后在中计算陷I即可.

将正方体ABC0-A4GD补全成长方体,点G关于面ABCD的对称点为G,

连接石。2交平面ABCD于一点,即为所求点F,使WMF最小，其最小值就是陷I,

连接AG,计算可得|AG|=6"4G|=后,144=血，

所以△A^G为直角三角形，

又2,所以22,

|EC1=+等=^~

2yl\AEf+\AC2f=J(A/3)

所以VIJ-

叵

故答案为：2.

【点睛】

本题考查多面体表面上的最短距离问题，考查空间想象能力和逻辑思维能力，考查计算

能力，属于常考题.

8.【答案】&R

【解析】将两球的相交情形,转化为考虑球的两个大圆的相交情形，容易求得8的长为

8R.从而求得其周长即可.

【详解】

将两球的相交情形，

转化为考虑球的两个大圆的相交情形,如图所示：

c

由题意得,

AB=R,AC=R9

CD=2

故

r=—R

所以两球交线所在圆面的半径为2

I—In-R-

所以所求的交线长为2

故答案为：

【点睛】

本题考查球与球的位置关系和圆的周长公式;重点考查学生的空间想象能力；把空间立

体几何中球的问题转化为平面几何中圆的问题是求解本题的关键;属于难度大型试题.

9.【答案】［4乃,6句

【解析】先求得外接球的半径，然后根据球的截面计算出最小的截面圆和最大的截面圆

的面积，由此求得截面圆的面积取值范围.

【详解】

设等边三角形BCO的外心为a,正四面体ABC。外接球的球心为°,高为QA.设球

的半径为R,由西=。6+时得R、OF+QAB2-OF-R）

R=.4-=^==戊

2河-a夕216_16

V3.过E和。作出球的截面图，MN是球的直径,

ED=-BD=22

BD1MN,最小的截面圆圆心为E,半径为2,面积为兀x2-=4兀最

大的截面圆圆心为°,半径为火="，面积为无“（迷）=6兀.故截面圆的面积取值范

围是［4阳6句.

故填：［4万,6"

【点睛】

本小题主要考查正四面体外接球半径的计算，考查过球内一点球的截面面积的取值范围

的求法，考查空间想象能力，考查运算求解能力，属于中档题.

10.【答案】12兀

【解析】根据圆的周长公式可得扇形的弧长，根据扇形的面积公式可得结果.

【详解】

因为圆锥的底面半径为2,所以底面圆的周长为4万，

，x4»x6=12%

故将此圆锥沿一条母线展开，所得扇形的面积为2

故答案为：12万

【点睛】

本题考查了圆锥的侧面展开图，考查了扇形的面积公式，属于基础题.

H.【答案】DuEuFuCuBuA

【解析】利用各种柱体的特征进行判断

详解：A=｛四棱柱｝:四棱柱：底面是四边形的柱体是四棱柱

3=｛平行六面体｝:平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体

C=｛直平行六面体｝:直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体是直平行六面体

尸=｛长方体｝:长方体：底面是长方形的直平行六面体是长方体

石=｛正四棱柱｝:正四棱柱：底面是正方形的长方体是正四棱柱

D=｛正方体｝:正方体：各个面都是正方形的正四棱柱

,L…/,OuEubuCuBuA

根据以上概念，可得：***方*

Dcz£czFc:CczBczA

故答案为:*****

【点睛】

本题考查各种柱体的不同特征，明确之间的包含关系，属于基础题.

71

12.【答案】一R

3

【解析】同一纬度的两地之间与球心共在一个大圆上,根据纬度差即可求得圆心角，进而

求得两地间距离.

【详解】

由题意可知，同一纬度的两地之间与球心共在一个大圆上

当甲地纬度为北纬75°,乙地纬度为北纬15°,则两地间所在的大圆圆心角为60°

,607rR

I=----------=—

所以两地的球面距离为1803

兀R

故答案为3

【点睛】

本题考查了球的截面性质，大圆及球面距离的求法,属于基础题.

13.【答案】2瓜

【解析】正方体的内切球半径为3.正四面体可以在正方体内任意转动，只需该正四面体

为球的内接正四面体，也就是说，棱长为x的正四面体的外接球半径为3.设正四面体为

AO^—x

P-ABC,过点作用垂直于平面ABC,垂足为0,则。为三角形4c的中心,从而3