初中数学综合复习之相似性及应用7

初中数学综合复习之相似性及应用7

解答题

14.AO是△ABC的中线，将8C边所在直线绕点。顺时针旋转a角，交边

于点M,交射线AC于点N,设=AN-yAC(x,y#O).

(1)如图1,当△ABC为等边三角形且a=30°时证明：XAMNs”

DMA；

(2)如图2,证明：-+-=2；

%y

(3)如图3,当G是AO上任意一点时(点G不与A重合)，过点G的直线

交边A3于交射线AC于点N',设AG=nAZ),AM'=x'AB,

112

AN'^y'AC(x',y'^Q),猜想：二+==4是否成立？并说明理由.

xyn

【答案】解：(1)证明：在△40。中，ZMAD=30°,ZADM=60°

：.ZAMD=90°

在△AMN中，ZAMN=90°,AMAN=60°

/.^AMNs△£)M4.....................(3分)

(2)证明：如图甲，作CF〃A3交MN于点尸，则

△CFNs4AMN

.NCCF

又MFDmABMD

：.BM=CF

.AN—AC_BMAB-AM

「AN~~~\M~-AM

.yAC-AC_AB-xAB

yACxAB

即，+，=2(3分)

%y

(3)①如图乙，过。作交A3于M,交AC的延长线

②如图丙，当过点。作交AB的延长线于,交

]1?

AC1于N1,则同理可得

xyn

(3分)

15.如图，18是。。的直径，过点/作。。的切线并在其上取一点C,连结"交

。。于点〃，放的延长线交a1于6,连结力〃

(1)求证：△侬s△。以(5分)

(2)若/庆2,4>2近，求力£的长.(4分)

【答案】解：(1)因为是。。的直径，所以//应=90°,所以N/8次/用”=90°.

又/。是。。的切线，则力即N物090°,

所以N。次/胡氏90°,所以/力妙N。。.

因为/ABD=/BD8/CDE,所以/d〃=ACDE,又/作NG所以ACDEs乙CAD；

(2)在Rt△/〃中，/的小90°,所以O#+A〃=OU,即「+(271)2=0巴所以0(=3,

则上2.又由得出=8,即2=逑，所以上&,所以

CECDCE2

AE=ALCE=2垃-殍丘.

16「如图，PQ为圆0的直径，点B在线段PQ的延长线上，0Q=QB=l,动点A在圆0的

上车圆运动(含P、Q两点)，以线段AB为边向上作等边三角形ABC.

(1)当线段AB所在的直线与圆0相切时，求AABC的面积(图1)；

（2）设NAOB=a,当线段AB与圆0只有一个公共点（即A点）时，求a的范围

（图2,直接写出答案）；

（3）当线段AB与圆0有两个公共点A、M时，如果AOLPM于点N.

求CM的长度（图3）.

【答案】解：（1）当AB与圆0相切时，连结A0,过点C作CDJLAB于D（图4）

VOQ=QB=1

.*.OA=OQ=1;OB=2

.*.AB=V3

•••△ABC是等边三角形

.\AD=—;CD=-

22

I□/o

/.S.ABC=—xABxCD=\

(2)0°<a<60°

(3)连结MQ(图5)

••,PQ是圆0直径

ZPMQ=90°

又TAOLPM

工ZANM=90°

NANM=NPMQ

；.AO〃MQ

.BQBMMQ

VBQ=QO=1

为AB中点；A0=l；MQ=O.5；N0=0.25

.\AN=O.75；PM=叵;

2

AAM=^

2

VAABC是等边三角形

.,.CM1AB

•••CM专

17.如图1,点。在线段AB上，AO=2,OB=1,OC为射线，且

ZBOC=60。，动点P以每秒2个单位长度的速度从点。出发，沿射线0c做匀

速运动，设运动时间为/秒.

(1)当t秒时，则。2=,S“BP=;

(2)当AABP是直角三角形时，求f的值；

(3)如图2,当=时，过点A作AQ//8P,并使得NQOP=N8.

求证：AQBP=3.

图1备用图图2

【答案】解:

(1)当，=；秒时，则。P=1,Sfp=¥

(2)当是直角三角形时,

①：ZA<ZBOC=60°,

••.N4不可能是直角.

②若ZABP=90。，如图

在以△。阳中，ZBOC=60°,OB=1

Vcos60°=—

OP

：.OP=―—=2

cos60°

•..t=OP=—2=[.

22

③若ZAPB=90。，如图，作外，仍于点〃

由题意知：OP=2t

在RtXPOD中,4POD=60°,

..“、。ODOD

.cos60=----=-----

OP2t

：.OD=t,则=

〜一

••tan6g0_=P-D---=--P--D-

ODt

PD=t-tan60°=百f

在R3AP中,

■:PD1AB

:.XAPD^XPBD

—：.PDr=ADBD

PDBD

...(而)2=(2+f).(l-f)解得：f=T±屈

8

Vr>0

-1+V33

t=-------------

8

.•.当人钻尸是直角三角形时，r的值为1或二1y

(3)解法一:

'：AP^AB,

，4APB=/B.

作.OEHAP,交融于点反

：.AOEB=AAPB=AB.

'：AQ//BP,

.•.//屏/层180。.

又•.•N3+N施法180°,

：.43=NQAB.

又•:N/OdN2+N层N1+N0华，

已知N层N0OR

，N1=N2.

:ZAO^XOEP.

：AQ=AO9gpAQ.EP=E().AOt

EOEP

*.*OE//AP,

：ZBES/\ABP.

・OEBEBOI

・・而一而一瓦一屋

13

：.O^-AP=\,BP=-EP.

32

333

JAQBP=AQ-EP=-AOOE=-x2x1=3.

解法二：连接倒，设"与。。相交于点£

'：AQ//BP,

:./QAP^/APB.

'：AP=AB,

：.AQAP=AB.

又,：乙QO%4B,

:、/QAP=/QOP.

Y4QFh/PF0,

，△烟s△所〃

..型上，即包上

"FP~FO'FA~FO'

又*：4PFg/0FA,

：./XPFQ^/\OFA.

.•.N3=N1.

,/4AOC=/2+4B=/1+4QOP,

已知N层N。0,

.•.Z1=Z2.

，N2=N3.

△仍"△皮R

•AQAP

:.AQBP=APBO=3x1=3.

18.已知，如图，正方形4?徵，BM,ZW分别平分正方形的两个外角，且满足心A'

=45°,连结ME

(1)若正方形的边长为“，求BM-例’的值；

(2)若BM,ZW,助V为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的

结论.

【答案】解：(1)•.•四边形侬^是正方形，BM平令NPBC,DN平分4CDQ,

.•./也出=/血麻=135°.

：.ZBMA+^BAM=^a.

'：ZMAN=45°,ZBAD=9Q°,

：.ABAM+^NAD=A5°.

:./BMA=NNAD.

：.t\AB的XNDA.

.BM_AB

''~DA'ND'

又"；AB=AD=a,

:.BM・ND=AD*AB=a2.

(2)欢BM、MN、为三边围成的三角形是直角三角形.

证明：如图，将△胸绕点力逆时针旋转90。到44出的位置，则/£=幽

BM=DE,DAE=/BAM,NADE=NABh135°.

：.Z.NAE=ZNAD+ADAE=Z7W4ZH-Z£AJfi=90°-ZMAJV=9Q°-45°=45°.

^NAE=^MAN.

又,：AM=AE,AN=AN,

:.XAM^XAEN.

:.NE=MN.

VZ«=360°一/物一/曲=360°-135°-135°=90°,

：.N0^DS=NS.

.,.初+加=麻.

:,以BM、MN.ZW为三边围成的三角形是直角三角形.

19.如图，四边形/颇内接于。。，是。。直径，47和劭相交于点E,且

DC2=CECA.

(1)求证：BC=CD；

⑵分别延长AaDC交于点、尸，过/点作AFL切交切的延长线于点F.若PB=OB,

CD=2夜，求必的长.

【答案】解：⑴

.DCCE

''~AC~~CD'

又,：4DCE=4ACD,

：.XDCEsMACD,

：./CDE=/CAD,

：.BC=CD.

(2)连接和，作仇;_LC〃于点G,

•：OGLCD,AFLCD,

：.OG//AF,

•FGOA

"'~PG~~OP'

'：BC=CD,

：.OCLBD.

•.36是。。直径，

：.ZADB=90°,

J.ADLBD.

：.0C//AD,

.DCOA

••而一而

又,：PB=OB=OA,CD=2yf2,

.2A/2_OA

"~CP~20A.

:.dC.

.DF+42OA1

"V2+4V2-2(M-2

：.DF=-y/2.

2

20.提出问题：(1)如图1,在正方形465中，点〃分别在6GAB1..若

AE_LDH于点、0,求证：AE=DH.

类比探究：

(2)如图2,在正方形力腼中，点"E,G,少分别在48,BC,CD,加上.若

EFLHG于点、0,探究线段跖与〃G的数量关系，并说明理由.

综合运用：

(3)在⑵问条件下，HF//GE,如图3所示.已知应'。右2,0^2OF,求图中阴

影部分的面积.

图1图2图3

【答案】解:

(1)证明：如图，在正方形4次刀中，AD=AB,Z5=90°.,.Zl+Z3=90°

,：AELDH,/.Zl+Z2=90°

Z2=Z3

:AAD厘△BAE“g

(2)作ZW'//GH,AE'〃"分别交46,勿于〃、E'.

,：AF//EE',四边形4?/厮是平行四边形，:.E氏AE'

同理，HG=DF.四边形0做7为平行四边形

又‘：EF1HG,；.四边形ORST为矩形，...N7?SZ9O°

由(1)可知，DH'=AE'

：.EF=GH

(3)延长加，CB交于■点、P

'：AD//BC,:.乙AF件乙P

'：HF//GE

：.AGEC=AP

又•:N2=N△90°

：./\AFH^/\CEG

.AFHFOFOF1

CEEGOE2OF2

'：BE=E(=2,

.•.仍1,

'.BQ=AF=\,QB^\

设幅x

'：HF//GE

.OHOF1.

..-----=-----=-，v乂.HG=EF

OGOE2

/.OH=OF=x,0G=0后2x

在RtZXEFQ中,

QF2+QE2=EF2

42+l2=(3x)2

解得，方=姮

3

S阴影=gf+；(2x)-85

Ti

21.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,AC与BD交于点E,ZADB=ZACB.

十汽ABAC

(1)求证：——=——

AEAD

(2)若AB_LAC,AE：EC=1：2,F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形。

【答案】解:(1)iiE^：VAB=AD

/.ZADB=ZABE

又；ZADB=ZACB

/.ZABE=ZACB

又•.♦/BAE=NCAB

/.△ABE^AACB

.ABAC

AEAB

XVAB=AD,

•ABAC

''~AE~~AD

(2)证明：设AE=x

VAE:EC=1:2

，EC=2x

由(1)得AB2=AE・AC

.•.AB=gx

XVBA±AC

.•.BC=26x

ZACB=30°

又TF是BC的中点

...BF=gx

，BF=AB=AD

XVZADB=ZACB=ZABD

...ZADB=ZCBD=30°

；.AD〃BF

四边形ABFD是平行四边形

又AD=AB

...四边形ABDF是菱形

22一如图11,已知AABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直经的。0交BC于

点D,过D作MNLAC于点M,交AB的延长线于点N,过点B作BG1.MN于G.

(1)求证：△BGDSADMA；(5分)

(2)求证：直线MN是。。的切线.(5分)

A

图11

【答案】解：（1）•.•MN_LAC于点M,BG_LMN于G.

二ZBGD=ZAMD=90°

,ZDAM+ZADM=90°

•..AB为。0的直经

...ZADB=90°

/.ZBDG+ZADM=90o

.*.ZBDG=ZDAM

.,.△BGD^ADMA

⑵连接OD

YAD是BC边上的中线,且NADB=90°

/.Z1=Z3

又•.•OA=OD

/.Z1=Z2

...OD〃AC

/.Z0DN=ZAMD=90°

AODIMN

直线MN是。0的切线.

A

\2M

B,DC

N-G

23.如图14,在N/8C中，〃是a'边上的点（不与点反C重合），连结/〃

问题引人：

⑴如图14①，当点〃是宽边上的中点时，S&幽：S△般=；当点

〃是比'边上任意一点时，S△侬:S4Mc=（用图中已有线段表示）.

探索研究：

⑵如图14②，在△力阿中，。是线段/〃上一点（不与点力、〃重合），连结80、

CO,试猜想丛府与必械之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由.

拓展应用：

（3）如图14③.。是线段49上一点（不与点4、〃重合），连接6。并延长交

于点E连接。。并延长交46于点日试猜想空+更+”的值，并说明理由.

①②③

图14

【答案】解：⑴1：2；BO-.BC

⑵猜想五府与见松之比应该等于切：AD

证明：分别过。、/做6。的垂线在；力/垂足为乐F.

：.OE//AF

所以0D-.AD=OE'.AF

••S^eoc~—BC-OES^ABC~~—BC,AF

22

=

**•S^BOC•S4ABC=—,BC•OE•—•BC・AF=OE.AFOD.AD

22

(3)猜想型+丝+竺的值是1.

ADCEBF

从⑵可知.°D+°E+°F_S4B0c+S&BOA+S&OC_S4BOC+S2BOA+0c_1

ADCEBFS^ABC$&阪^^ABCS«BC^AABC

24.某数学兴趣小组对线段上的动点进行探究，已知AB=8.

问题思考

如图1.点尸为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC,

BPEF

(1)当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是求出，若不是,

求出这两个面积之和的最小值.

(2)分别连接被DF、AF,"'交"与点《当点尸运动时，在△2年