新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.2空间向量的数量积运算导学案新人教A版选择性必修第一册

．1空间向量及其运算1.1.2空间向量的数量积运算学问点一空间向量的夹角假如〈a，b〉＝eq\f(π,2)，那么向量a，beq\x(\s\up1(05))相互垂直，记作eq\x(\s\up1(06))a⊥b.学问点二空间向量的数量积(1)定义eq\x(\s\up1(01))已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作eq\x(\s\up1(02))a·b，即eq\x(\s\up1(03))a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉.特殊地，eq\x(\s\up1(04))零向量与随意向量的数量积为0.(2)由数量积定义，可以得到：①a⊥b⇔eq\x(\s\up1(05))a·b＝0.②a·a＝eq\x(\s\up1(06))|a||a|cos〈a，a〉＝eq\x(\s\up1(07))|a|2.(3)运算律①(λa)·b＝eq\x(\s\up1(08))λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝eq\x(\s\up1(09))b·a(交换律)．③a·(b＋c)＝eq\x(\s\up1(10))a·b＋a·c(安排律)．1．空间向量数量积性质的应用(1)a⊥b⇔a·b＝0，此结论可用于证明空间中的垂直关系．(2)|a|2＝a2，此结论可用于求空间中线段的长度．(3)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，此结论可用于求有关空间角的问题．(4)|b|cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|)，此结论可用于求空间中的距离问题．2．利用向量数量积求夹角问题的两种方法(1)结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要留意向量夹角的范围．(2)先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)求cos〈a，b〉，最终确定〈a，b〉．3．求两点间的距离或线段长的方法(1)将此线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模．(2)因为a·a＝|a|2，所以|a|＝eq\r(a·a)，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a±b|＝eq\r(a±b2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2).(3)可用|a·e|＝|a||cosθ|(e为单位向量，θ为a，e的夹角)来解决一个向量在另一个向量所在直线上的投影问题．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于空间随意两个非零向量a，b，a∥b是〈a，b〉＝0的充要条件．()(2)若a2＝b2，则a＝b或a＝－b.()(3)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．()(4)在△ABC中，〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝∠B.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．做一做(1)已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中数量积可能不为零的是()A．eq\o(PC,\s\up6(→))与eq\o(BD,\s\up6(→)) B．eq\o(DA,\s\up6(→))与eq\o(PB,\s\up6(→))C．eq\o(PD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→)) D．eq\o(PA,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))(2)若向量a与b满意|a|＝1，|b|＝2且a与b的夹角为eq\f(π,3)，则a·b＝________.(3)已知|a|＝eq\r(2)，|b|＝eq\f(\r(2),2)，a·b＝－eq\f(\r(2),2)，则a与b的夹角为________.(4)已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝eq\r(7)，则cos〈a，b〉＝________.答案(1)A(2)1(3)135°(4)eq\f(1,8)题型一求向量的数量积例1如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))；(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))；(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))；(4)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→)).[解](1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))||eq\o(BA,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1×cos60°＝eq\f(1,4).(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))||eq\o(BD,\s\up6(→))|cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1×cos0°＝eq\f(1,2).(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))||eq\o(DC,\s\up6(→))|cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1×cos120°＝－eq\f(1,4).(4)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)[eq\o(BD,\s\up6(→))·(－eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·(－eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))]＝eq\f(1,4)[－eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))]＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,2)＋\f(1,2)))＝－eq\f(1,8).1．空间向量运算的两种方法(1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算．(2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形找寻夹角，再代入数量积公式进行运算．2．在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积绽开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．[跟踪训练1]如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，AD＝2，O为AC与BD的交点，E为A1D1的中点，求下列向量的数量积：(1)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))；(2)eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))；(3)eq\o(EO,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)).解设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|c|＝1，|b|＝2，(1)∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，∴eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(b－a)·c＝b·c－a·c.又a，b，c两两相互垂直，∴b·c＝0，a·c＝0，故eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＝0.(2)∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝c＋eq\f(1,2)b，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝a＋b，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,2)b))·(a＋b)＝eq\f(1,2)|b|2＝2.(3)∵eq\o(EO,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(a＋b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a－c，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，∴eq\o(EO,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－c))·(a＋b)＝eq\f(1,2)a2＝eq\f(1,2).题型二利用数量积求夹角例2已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求向量eq\o(OE,\s\up6(→))与eq\o(BF,\s\up6(→))夹角的余弦值．[解]如右图，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，|a|＝|b|＝|c|＝1，易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝eq\f(π,3)，则a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2).因为eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c－b，|eq\o(OE,\s\up6(→))|＝|eq\o(BF,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，所以eq\o(OE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c－b))＝eq\f(1,4)a·c＋eq\f(1,4)b·c－eq\f(1,2)a·b－eq\f(1,2)b2＝－eq\f(1,2)，所以cos〈eq\o(OE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(OE,\s\up6(→))·\o(BF,\s\up6(→)),|\o(OE,\s\up6(→))||\o(BF,\s\up6(→))|)＝－eq\f(2,3).所以向量eq\o(OE,\s\up6(→))与eq\o(BF,\s\up6(→))夹角的余弦值是－eq\f(2,3).由数量积求角的方法策略(1)由两个向量的数量积的定义得cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，求〈a，b〉的大小，转化为求两个向量的数量积及两个向量的模，求出〈a，b〉的余弦值，进而求出〈a，b〉的大小．在求a·b时，留意结合空间图形把a，b用基向量表示出来，进而化简得出a·b的值．(2)利用向量的数量积求出两个向量的夹角，则这个夹角是两异面直线所成的角或其补角(留意异面直线所成角的范围)．[跟踪训练2]三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________.答案eq\f(\r(6),6)解析如图所示，设该三棱柱的底面边长为1，依题意有eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，则|eq\o(AB1,\s\up6(→))|2＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))2＝2＋2cos60°＝3，|eq\o(BC1,\s\up6(→))|2＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))2＝eq\o(AC,\s\up6(→))2＋eq\o(AA1,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋2eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝2，而eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－1＋eq\f(1,2)＋1－eq\f(1,2)＝1，所以cos〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB1,\s\up6(→))·\o(BC1,\s\up6(→)),|\o(AB1,\s\up6(→))||\o(BC1,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,\r(3)×\r(2))＝eq\f(\r(6),6).所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为eq\f(\r(6),6).题型三利用向量数量积求距离例3已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且与α所成的角是30°，假如AB＝a，AC＝BD＝b，求C，D间的距离．[解]如图，由AC⊥α，知AC⊥AB.过点D作DD′⊥α于点D′，连接BD′，则∠DBD′＝30°，〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝120°，所以|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))2＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝b2＋a2＋b2＋2b2cos120°＝a2＋b2，故CD＝eq\r(a2＋b2).(1)线段长度的计算通常有两种方法：一是构造三角形，解三角形；二是向量法，计算相应向量的模，此时常需将待求向量转化为关系明确的向量(一般向几何体的棱上转化)．(2)应牢记并能娴熟地应用公式|a＋b＋c|＝eq\r(a＋b＋c2)＝eq\r(|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·c＋2a·b＋2b·c).[跟踪训练3]在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB＝2AM，CN＝eq\f(1,2)ND，求MN的长．解如下图所示，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝a，把题中所用到的向量都用向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))表示，于是eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).又eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝a·a·cos60°＝eq\f(1,2)a2，∴eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AD,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AC,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AD,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\f(1,9)eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\f(2,9)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,9)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,9)eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→))2＝eq\f(1,9)a2－eq\f(1,9)a2－eq\f(2,9)a2＋eq\f(2,9)a2＋eq\f(1,9)a2＋eq\f(4,9)a2＝eq\f(5,9)a2.故|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(\o(MN,\s\up6(→))·\o(MN,\s\up6(→))))＝eq\f(\r(5),3)a，即MN＝eq\f(\r(5),3)a.题型四推断或证明垂直问题例4如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BC，CD的中点，求证：A1G⊥平面DEF.[证明]设正方体的棱长为a，∵eq\o(A1G,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))＝(eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DG,\s\up6(→)))·(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→)))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DG,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(DG,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(DG,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a2－eq\f(1,2)a2＝0，∴A1G⊥DF，同理可证A1G⊥DE，又DF∩DE＝D，∴A1G⊥平面DEF.利用向量数量积推断或证明线面垂直的思路(1)由数量积的性质a⊥b⇔a·b＝0可知，要证两直线垂直，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可．(2)用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可.[跟踪训练4]如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.证明：PA⊥BD.证明由底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD知，DA⊥BD，则eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.由PD⊥底面ABCD知，PD⊥BD，则eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝0.又eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(PD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，即PA⊥BD.1．下列各命题中，正确命题的个数为()①eq\r(a·a)＝|a|；②m(λa)·b＝(mλ)a·b；③a·(b＋c)＝(b＋c)·a；④a2b＝b2a.A．4 B．3C．2 D．1答案B解析∵a·a＝|a|2，∴eq\r(a·a)＝|a|，故①正确；m(λa)·b＝(mλa)·b＝mλa·b＝(mλ)a·b，故②正确；a·(b＋c)＝a·b＋a·c，(b＋c)·a＝b·a＋c·a＝a·b＋a·c＝a·(b＋c)，故③正确；a2b＝|a|2b，b2a＝|b|2a，故④不肯定正确．故选B.2．已知|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为()A．60° B．30°C．135° D．45°答案D解析∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，∴a·a－a·b＝|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝1－1×eq\r(2)×cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝eq\f(\r(2),2).∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°.3．已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以A为顶点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为()A．6 B．eq\r(6)C．3 D．eq\r(3)答案B解析如图，由题意可知，∵eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))，∴eq\o(AC1,\s\up6(→))2＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\o(AA1,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＝1＋1＋1＋2(cos60°＋cos60°＋cos60°)＝6，∴|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，即AC1的长为eq\r(6).4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则eq\o(B1C,\s\up6(→))与eq\o(A1P,\s\up6(→))所成角的大小为________，eq\o(B1C,\s\up6(→))·eq\o(A1P,\s\up6(→))＝________.答案60°1解析解法一：连接A1D，则∠PA1D就是eq\o(B1C,\s\up6(→))与eq\o(A1P,\s\up6(→))所成的角，连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝eq\r(2)，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即eq\o(B1C,\s\up6(→))与eq\o(A1P,\s\up6(→))所成角的大小为60°.因此eq\o(B1C,\s\up6(→))·eq\o(A1P,\s\up6(→))＝eq\r(2)×eq\r(2)×cos60°＝1.解法二：依据向量的线性运算可得eq\o(B1C,\s\up6(→))·eq\o(A1P,\s\up6(→))＝(eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\o(AD,\s\up6(→))2＝1.由题意可得PA1＝B1C＝eq\r(2)，则eq\r(2)×eq\r(2)×cos〈eq\o(B1C,\s\up6(→))，eq\o(A1P,\s\up6(→))〉＝1，从而〈eq\o(B1C,\s\up6(→))，eq\o(A1P,\s\up6(→))〉＝60°.5．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，求〈a，b〉．解(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，得|b|2＝2a·b＝|a|2，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(1,2)，∴〈a，b〉＝60°.A级：“四基”巩固训练一、选择题1．正方体ABCD－A′B′C′D′中，〈eq\o(A′B,\s\up6(→))，eq\o(B′D′,\s\up6(→))〉＝()A．30° B．60°C．90° D．120°答案D解析连接BD，A′D，因为B′D′∥BD，△A′BD为正三角形，所以∠A′BD＝60°，由向量夹角的定义可知〈eq\o(A′B,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝120°，即〈eq\o(A′B,\s\up6(→))，eq\o(B′D′,\s\up6(→))〉＝120°.2．若O是△ABC所在平面内一点，且满意(eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))·(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝0，则△ABC肯定是()A．直角三角形 B．斜三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形答案A解析∵eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0.∴BC⊥AC.∴△ABC肯定是直角三角形．3.如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么()A.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＜eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))B.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))C.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＞eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))D.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))不能比较大小答案C解析易知AE⊥BC，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BD,\s\up6(→))|cos120°－|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|cos120°＋eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up6(→))||eq\o(CD,\s\up6(→))|·cos120°＜0.∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＞eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→)).4．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是()A．30° B．45°C．60° D．90°答案C解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→)))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))2＋eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0＋12＋0＝1，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝1.∴cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up6(→))||\o(CD,\s\up6(→))|))＝eq\f(1,2×1)＝eq\f(1,2).∵异面直线所成的角是锐角或直角，∴a与b所成的角是60°.5．正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是()A．2 B．eq\r(3)C．eq\r(7) D．eq\r(5)答案D解析如图所示，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c.由题意知|a|＝|b|＝|c|＝2，且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.因为eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1F,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c，所以|eq\o(EF,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,4)a2＋eq\f(1,4)b2＋c2＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a·\f(1,2)b＋\f(1,2)b·c－\f(1,2)a·c))＝eq\f(1,4)×22＋eq\f(1,4)×22＋22＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))×2×2cos60°＝1＋1＋4－1＝5，所以|EF|＝eq\r(5).6．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题正确的有()A．(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))2＝3eq\o(AB,\s\up6(→))2B．eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝0C．eq\o(AD,\s\up6(→))1与eq\o(A1B,\s\up6(→))的夹角为60°D．正方体的体积为|eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))|答案AB解析如图所示，(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))2＝(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→)))2＝eq\o(AC1,\s\up6(→))2＝3eq\o(AB,\s\up6(→))2；eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝eq\o(A1C,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝0；eq\o(AD1,\s\up6(→))与eq\o(A1B,\s\up6(→))的夹角是eq\o(D1C,\s\up6(→))与eq\o(D1A,\s\up6(→))夹角的补角，而eq\o(D1C,\s\up6(→))与eq\o(D1A,\s\up6(→))的夹角为60°，故eq\o(AD1,\s\up6(→))与eq\o(A1B,\s\up6(→))的夹角为120°；正方体的体积为|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AA1,\s\up6(→))||eq\o(AD,\s\up6(→))|.综上可知，A，B正确，C，D不正确．故选AB.二、填空题7．已知空间向量a，b，|a|＝3eq\r(2)，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ的值为________.答案－eq\f(3,10)解析由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，∴a2＋λb2＋(1＋λ)a·b＝0，即18＋25λ＋(1＋λ)×3eq\r(2)×5×cos135°＝0，∴λ＝－eq\f(3,10).8．已知空间向量a，b，c满意a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________.答案－13解析∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－eq\f(32＋12＋42,2)＝－13.9．设a，b，c是随意的非零向量，且互不共线，则下列四个命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(c·b)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中真命题的序号是________.答案②④解析①由向量数乘与数量积的区分，易知不成立；②是三角形不等式，所以成立；③[(c·b)a－(c·a)b]·c＝(c·b)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，故垂直，所以③不成立；④由向量的数量积运算可知成立．三、解答题10．如图所示，在平面角为120°的二面角α－AB－β中，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC＝AB