【行列式的性质及其应用探究3500字（论文）】

行列式的性质及其应用研究TOC\o"1-2"\h\u摘要 1引言 21.预备知识 32.行列式的相关性质 53.行列式的相关应用 93.1行列式在多项式中的应用 93.2行列式在判断线性变换可逆中的应用 103.3行列式在求向量组子空间交的基和维数中的应用 123.4行列式在微积分中的应用 133.5行列式在高阶无穷小中的应用 143.6行列式在判断正定二次型中的应用 16结束语 18参考文献 19行列式的性质及其应用摘要：本文首先阐述了行列式的相关定义；其次阐述了行列式的相关性质，比如：行列式互换两行，行列式正负发生变化等性质，然后通过性质得到一些推论，并且对于性质加以证明，使得更加容易理解；最后指出了行列式在多项式、判断线性变换可逆、求向量组子空间交的基和维数、微积分、高阶无穷小和判断正定二次型中的应用.关键词：化三角法；多项式；线性变换；微积分引言行列式第一次出现在线性方程组的求解中，它在数学中是非常重要的一门理论，它一开始只是作为一种解题工具，没有人觉得它能抛开线性方程组而独立存在，之后范德蒙的出现使它单独成为一门理论存在.行列式在多项式、线性变换、微积分中有着广泛的作用，运用行列式可以对代数学、数学分析中的问题起到简化的作用.此外行列式还可以构建高阶无穷小，来解决函数极限求解、函数可导性讨论的问题，起到事半功倍的效果.很多学者对行列式的性质和应用做了研究.文献[1]研究了行列式的定义、性质；文献[2]告诉了我们行列式一些计算的方法，比如说化三角法、拆分法、降阶法等等；文献[7]探究了行列式的计算方法；文献[8]告诉了一些用行列计算微积分的方法；文献[12]介绍了范德蒙德行列式的一些应用方法.本文在上述文献的研究基础上，进一步讨论并总结了行列式的基本定义和性质，并重点给出了行列式在多项式中、判断线性变换可逆中、求向量组子空间交的基和维数中、微积分中、高阶无穷小中和判断正定二次型中这些方面的应用.1.预备知识定义1.1阶行列式为的任一个排列.定义1.2设，为数域.，有；，有.当加法与数量乘法能够满足：（1）；（2）；（3），，使得（元素0叫做的零元素）；（4），，使得（称为的负元素）.（5）；（6）.（7）；（8）.称为上的线性空间，且，.定义1.3（1）；（2）；（3）.称（1）（2）（3）为矩阵的初等行变换.定义1.4（1）；（2）；（3）.称（1）（2）（3）为矩阵的初等列变换.定义1.5在行列式中去掉元素所在的第行和第列，余下的个元素按原顺序排成级的行列式称为元素的余子式，记为.定义1.6称为元素的代数余子式.定义1.7行列式称作范德蒙德行列式.定义1.8记称为行列式的转置行列式.定义1.9线性空间的一个变换叫做线性变换，由于对于和，都有.定义1.10若存在，使，则称可逆.定义1.11子式称为矩阵的顺序主子式.引理1.1实二次型正定.2.n阶行列式的相关性质性质2.1.性质2.2行列式和它所对应的转置行列式相等，即.性质2.3，行列式变号.证明.性质2.4.证明，中第行与第行元素相同，即，要使行列式结果为零，我们只用把行列式右边出来的项相互抵消，那么与，同时出现的还有，比较这两项，那么，那么这两项有一样的数值，但是排列和，对比少了一个对换，那么奇偶性就会相反，也就会导致符号相反.那么很容易就可以知道，按照上面的形式，把所有的级排列相互配对，便得出行列式为零.性质2.5.性质2.6.推论2.2.证明.性质2.7.证明设这一行为第行，那么.性质2.8.3.n阶行列式的相关应用3.1阶行列式在多项式中的应用对于多项式求根的题目，可以看出来，利用行列式解多项式，可以使解多项式变得简单.对于解多项式可以通过设立向量组的方法，或者引入不相同的根代入多项式，把系数看成未知数，得出一个系数行列式.从而构造一个新的阶行列式，然后通过解所构造的行列式，得出结果.例1，如果至少有个不同根，则.证明设为的互不相同根.代入得（1）为未知量.由于系数行列式，那么方程组（1）只有零解.则即.例2在数域中，我们令是互不相同的数，其中为中任意一组不全为零的数.求证：中存在唯一多项式，且，使.证明令，根据题得根据题目可知互不相同.可得.因而有唯一解，并且多项式的次数小于，并且.3.2阶行列式在判定线性变换可逆中的应用在高等代数中，判定线性变换是否可逆是难点，当线性空间的基取定后，线性变换和矩阵一一对应.如果线性变可逆，则其与矩阵的逆对应，因此可以通过判断矩阵是否可逆，来得出线性变换是否可逆.例3在中，设线性变换，试判别是否可逆？若可逆，求.解取的一个基，，，则可知可逆可逆.因为.则可逆，故可逆..故.关于基的矩阵为，任意的..3.3阶行列式在求向量组子空间交的基和维数中的应用在求与的交的基和维数时，可先计算由向量所组成的方程组的系数行列式和系数矩阵的秩，来得出其的交的基和维数.例4求向量的子空间与由向量的子空间的交的基和维数.解设所求交向量，则有，即，可计算出，且.从而得出此方程组的解空间维数为1，也就是说交的维数也为1.此时任意取一个非零解，得出来一组基.则交是一维的，是其一组基.3.4阶行列式在微积分中的应用在求解微积分尤其是在阶导数问题中，应用阶行列式结合泰勒展开式来解决问题十分简单.首先运用泰勒公式得出一组线性方程组，然后其系数组成行列式，计算出行列式结果为1.然后写出线性组合，之后证明即可.例5若至少有阶导数，且存在某个实数有，，求证：，其中.证明若求证，则需要把改为和的线性组合形式.由泰勒公式得，上面的式子是和相关的线性方程组，则系数行列式为显然行列式的值等于，所以.根据上式，将改写为与的线性组合.我们只要证明成立.实际上，可设.则，上式中，分别令和，则，命题得证.3.5行列式在高阶无穷小中的应用在函数极限求解、函数可导性讨论等问题中存在高阶无穷小的广泛应用，而通过行列式可以构造一种高阶无穷小并符合展开式阶数的要求.首先通过洛必达法则，得出一个方程组，然后写出系数行列式，得出行列式结果不为零，然后运用克拉姆法则，得到有唯一解，最后构造出一个高阶无穷小.例7设连续，且，，则存在唯一一组不全为0的实数，使得当，互不相等时，是比高阶的无穷小.证明如果是无穷小，即加之，得，是比高阶得无穷小，则由洛必达法则得，同上由连续性可得，连续用次洛必达法则得，过程中相继得到，联系上述等式得，即.又因为互不相同，所以，故由克拉姆法则得上述方程组一定有唯一一组解，记为.显然，将不全为零的解代入中，可进行次洛必达法则，在这个过程里，分子的极限一直为零，而在次洛必达之后分母就变成了常数，于是得出是比高阶的无穷小的结论.3.6行列式在判断正定二次型中的应用我们在对一些题目进行正定的判断时，有些题目的特征值不太容易得出，这时候可以用行列式来对二次型是否正定进行判断.如果二次型的主子式都是大于零的，那么二次型就是正定的.例8判断下列二次型是否正定？（1）；（2）.解（1）记二次型的矩阵为，其中，即，故原二次型为正定二次型.（2）令此二次型的矩阵为，那么我们就得出所对应的阶顺序主子式是，故原二次型为正定二次型.结束语在本文中，先是介绍了行列式的定义，让读者能够清楚的了解行列式的基础知识.然后通过对行列式的相关性质、推论的理解，慢慢引导出了行列式在多项式中、线性变换中、判断线性变换可逆中、微积分中、高阶无穷小中以及判断正定二次型中的应用.此外，通过本文还可以知道这些应用所需要的条件.最后我们可以看出来，当我们去多多了解行列式的应用，并且掌握行列式应用的相关知识时，我们面对一些难以用常规方法解决的问题时，就可以用行列式的方法去解决.阅读过本篇文章后，我们也就对行列式有了初步了解，此时应该就可以简单的利用行列式来解决一些问题，我们不难看出，行列式还有着很多高深的知识等着我们去研究，当我们深入研究行列式后，我们在许多领域的计算和实际应用都会更加高效.当然，除了这篇文章里的关于行列式的一些简单应用，在现实世界中，还有许多的关于行列式的特殊应用等待着我们去发掘.参考文献[1] 北京大学数学系.高等代数[M].4版.北京:高等教育出版社，2013:55-90.[2]陈孟泽.浅谈n阶行列式的计算方法及应用[J].知识经济，2013，5(07):160-161.[3] 朱丹，齐维轩.一类n阶实方阵行列式的应用[J].西安邮电学院学报，2001，（03）:74-77.[4] 徐仲，陆全，张凯院等.高等代数导教·导学·导考[M].3版.西安：西北工业大学出版社，2014:60-70.[5]韩荣梅.范德蒙行列式在多项式和线性变换中的应用[J].科学技术创新，2020，6(36):77-78.[6] 唐丽.行列式解法的探讨[J].绵阳师范学院学报，2020，39(11):18-24.[7] 谭俊艳，邹辉，吕学琴.高阶行列式计算方法解析[J].教育教学论坛，2020，6(09):262-265.[8] 程伟健，贺冬冬.范德蒙德行列式在微积分中的应用[J].数学学习与研究，2004，20(3):127-130.[9]廖丽雯，洪丹凤.行列式的应用研究[J].赤峰学院学报（自然科学版），2019，35（08）:1-4.[10]倪飞，廖玉怀.Vdermonde行列式应用初探[J].文山学院学报，2016，29（06）:111-114.[11]张泽锋，陈秀琴.范德蒙德行列式的2种证明及其应用[J].湖北理工学院学报，2020，36(06):57-71.[12]UgwuGeor,OnahCosmas,O