2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国I卷)理科数学及答案解析

年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）理科数学答案1.答案：C解答：由题意可知,,又因为,则，故选.2.答案：C解答：∵复数在复平面内对应的点为，∴∴∴3.答案：B解答：由对数函数的图像可知：；再有指数函数的图像可知：，，于是可得到：.4.答案：B解答：方法一：设头顶处为点，咽喉处为点，脖子下端处为点，肚脐处为点，腿根处为点，足底处为，，，根据题意可知,故；又，，故；所以身高，将代入可得.根据腿长为，头顶至脖子下端的长度为可得，；即，，将代入可得所以，故选B.方法二：由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是（称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为；将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是可计算出肚脐至足底的长度约为；将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为，与答案更为接近，故选B.5.答案：D解答：∵，∴为奇函数，排除A，又，排除C，，排除B，故选D.6.答案：A解答：每爻有阴阳两种情况，所以总的事件共有种，在个位置上恰有个是阳爻的情况有种，所以.答案：7.答案B解答：设与的夹角为，∵∴∴∴.8.答案：A解答：把选项代入模拟运行很容易得出结论选项A代入运算可得，满足条件，选项B代入运算可得,不符合条件，选项C代入运算可得,不符合条件，选项D代入运算可得,不符合条件.9.答案：A解析：依题意有，可得，，.10.答案：B解答：由椭圆的焦点为，可知，又，，可设，则，，根据椭圆的定义可知，得，所以，，可知，根据相似可得代入椭圆的标准方程，得，，椭圆的方程为.11.答案：C解答：因为，所以是偶函数，①正确，因为，而，所以②错误，画出函数在上的图像，很容易知道有零点，所以③错误，结合函数图像，可知的最大值为，④正确，故答案选C.12.答案：D解答：设，则∴∵，∴,即，解得，∴又易知两两相互垂直，故三棱锥的外接球的半径为，∴三棱锥的外接球的体积为，故选D.13.答案：解答：∵，∴结合导数的几何意义曲线可知在点处的切线方程的斜率为，∴切线方程为.14.答案：解答：∵，设等比数列公比为∴∴∴15.答案：解答：甲队要以，则甲队在前4场比赛中输一场，第5场甲获胜，由于在前4场比赛中甲有2个主场2个客场，于是分两种情况：.16.答案：解答：由知是的中点，，又是的中点，所以为中位线且，所以，因此，又根据两渐近线对称，，所以，.17.答案：略解答：由得结合正弦定理得∴又，∴.由得,∴∴,∴∴又∴又∴∴，∴.18.答案：见解析；.解答：连结和，∵分别是和的中点，∴且，又是，∴，且，∴四边形是平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面.以为原点建立如图坐标系，由题，，，，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，由得，令得，由得，令得，∴，∴二面角的正弦值为.19.答案：（1）；（2）.解答：设直线的方程为，设，，（1）联立直线与抛物线的方程：消去化简整理得，，，，依题意可知，即，故，得，满足，故直线的方程为，即.（2）联立方程组消去化简整理得，，，，，，可知，则，得，，故可知满足，.20.答案：略解答：(1)对进行求导可得，，取，则,在内为单调递减函数，且，所以在内存在一个，使得，所以在内，为增函数；在内，为减函数，所以在在区间存在唯一极大值点；（2）由（1）可知当时，单调增，且，可得则在此区间单调减；当时，单调增，且，则在此区间单调增；又则在上有唯一零点.当时，单调减，且，则存在唯一的，使得，在时，，单调增；当时，单调减，且，所以在上无零点；当时，单调减，单调减，则在上单调减,,所以在上存在一个零点.当时，恒成立，则在上无零点.综上可得，有且仅有个零点.21.答案：（1）略；（2）略解答：（1）一轮实验中甲药的得分有三种情况：、、．得分时是施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则；得分时是施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则；得分时是都治愈或都未治愈，则．则的分布列为：（2）（i）因为，，则，，．可得，则，则，则，所以为等比数列．（ii）的首项为，那么可得：，，………………，以上7个式子相加，得到，则，则，再把后面三个式子相加，得，则．表示“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4”，因为，，，则实验结果中“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4”这种情况的概率是非常小的，而的确非常小，说明这种实验方案是合理的．22.答案：略解答：(