青岛版初中八年级数学上册专项素养综合练(二)构造全等三角形的四种方法课件

专项素养综合全练(二)构造全等三角形的四种方法类型一利用“倍长中线法”构造全等三角形1.如图,AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,点M为BC的中点.

试说明:DE=2AM.

证明如图,延长AM至点N,使MN=AM,连接BN.因为点M为BC的中点,所以BM=CM.在△AMC和△NMB中,

所以△AMC≌△NMB(SAS),所以AC=NB,∠C=∠NBM,所以∠ABN=∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠

EAD.因为AD=AC,所以AD=BN.在△ABN和△EAD中,

所以△ABN≌△EAD(SAS),所以DE=NA,所以DE=2AM.类型二利用“截长补短法”构造全等三角形2.(一题多解)如图,AC∥BD,AE,BE分别平分∠CAB,∠DBA,

CD经过点E,试判断AC,BD与AB间的数量关系,并说明理由.

解析

AC+BD=AB,理由如下:方法一(截长法):如图1所示,在线段AB上截取AF=AC,连接

EF.

图1因为AE,BE分别平分∠CAB,∠DBA,所以∠1=∠2,∠3=∠4.在△ACE和△AFE中,

所以△ACE≌△AFE(SAS),所以∠C=∠5.因为AC∥BD,所以∠C+∠D=180°,因为∠5+∠6=180°,所以∠D=∠6.在△EFB和△EDB中,

所以△EFB≌△EDB(AAS),所以BF=BD,所以AB=AF+BF=AC+BD,即AC+BD=AB.方法二(补短法):如图2所示,延长AC至点F,使AF=AB,连接EF.图2因为AE,BE分别平分∠CAB,∠DBA,所以∠1=∠2,∠3=∠4,在△AEF和△AEB中,

所以△AEF≌△AEB(SAS),所以EF=EB,∠F=∠3.又因为∠3=∠4,所以∠F=∠4.因为AC∥BD,所以∠FCE=∠D.在△CEF和△DEB中,

所以△CEF≌△DEB(AAS),所以CF=BD.因为AB=AF=AC+CF=AC+BD,所以AC+BD=AB.类型三利用“补形法”构造全等三角形3.如图,在△ABC中,∠BCA=90°,AC=BC,AE平分∠BAC,BE⊥

AE,试说明BE=

AD.

证明如图,延长AC,BE交于点F,因为∠ACB=90°,BE⊥AE,所以∠ACD=∠BCF=90°,∠CAD+∠CDA=90°,∠EDB+∠

EBD=90°.因为∠CDA=∠EDB,所以∠CAD=∠EBD.在△ADC和△BFC中,

所以△ADC≌△BFC(ASA),所以AD=BF.因为BE⊥AE,所以∠AEB=∠AEF=90°,因为AE平分∠BAC,所以∠FAE=∠BAE.在△AEF和△AEB中,

所以△AEF≌△AEB(ASA),所以BE=EF,即BE=

BF.又因为AD=BF,所以BE=

AD.类型四利用“三垂直”构造全等三角形4.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,将△ABC放在平面直角坐

标系中,如图所示.图1图2图3(1)如图1,若A(1,0),B(0,3),则点C的坐标为

;(2)如图2,若A(1,3),B(-1,0),则点C的坐标为

;(3)如图3,若B(-4,0),C(0,-1),则点A的坐标为

.(4,1)(4,1)解析(1)过点C作CD⊥x轴于点D(图略),则∠CAD+∠ACD=90°.∠CDA=∠AOB=90°,因为∠BAC=90°,所以∠BAO+∠CAD=90°,所以∠BAO=∠ACD.在△ABO与△CAD中,

所以△ABO≌△CAD(AAS),所以BO=AD,OA=CD.因为A(1,0),B(0,3),所以OA=1,OB=3,所以AD=3,CD=1,所以OD=OA+AD=4,所以C(4,1).(2)过点A作AD⊥x轴于点D,过点C作CE⊥AD于点E(图略).同

(1)可证△ACE≌△BAD,所以AE=BD,CE=AD.因为A(1,3),B(-1,0),所以BD=2,AD=3,所以CE=3,AE=2,所以DE=AD-AE=1,所以C(4,1).(3)过点A作AD⊥x轴于点D,AE⊥y轴于点E(图略).易得AD=OE,∠EAD=90°.同(1)可证△BAD≌△CAE,所以CE=BD,AE=AD.