中考数学二轮培优 模型 方法 技巧突破专题2-7 二次函数中的最值问题（原卷版）

专题2－7二次函数中的最值问题TOC\o"1-3"\n\h\z\u一题可破万题山——二次函数最值常见模型小结，一题20问题型一【铅垂高系列】2023·四川凉山·中考真题2022·天津·中考真题2022·湖北襄阳·统考中考真题2023·湖南娄底·中考真题2023·湖南中考真题2023·青海西宁·中考真题2023·四川广安·中考真题2023·湖南永州·中考真题2022·四川广元·中考真题题型二【线段和差最值篇】2023·湖南张家界中考真题2022·山东淄博·统考中考真题2022·四川遂宁中考真题题型三【构造二次函数模型求最值】2023·山东东营·中考真题2023·四川巴中·中考真题2023·湖南张家界中考真题2023·山东聊城·中考真题2022·湖北襄阳中考真题2023·湖北荆州中考真题2022·江苏连云港中考真题2022·湖南岳阳·中考真题2023·宁夏·中考真题2023·湖北襄阳中考真题题型四【加权线段最值】2023·四川内江·中考真题2023·黑龙江绥化·中考真题题型五【几何构造最值篇】2022·天津·统考中考真题一题可破万题山——二次函数最值常见模型小结，一题20问母题：如图，已知抛物线过A（4，0）、B（0，4）、C（－2，0）三点，P是抛物线上一点求抛物线解析式【答案】SKIPIF1<0【铅垂高系列】本来这个属于构造二次函数型最值问题，但是比较特殊所以单独拿出来（☆）若P在直线AB上方，求四边形PBCA面积最大值，【答案】16补充二级结论SKIPIF1<0【思路分析】先分离出面积为定值的△ABC，△ABC面积为12设PSKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0(上面的点减去下面的点)当SKIPIF1<0时，PH取最大值2，此时△APB面积为：SKIPIF1<0(AO是△PBH，△PAH两个三角形高之和)（☆）若P在直线AB上方，作PF⊥AB，F在线段AB上，求PF最大值【答案】SKIPIF1<0【思路分析】过P作PH平行y轴，H在AB上导角可知△PFH~△AOB为等腰直角三角形，PH取最大时，PF也取到最大（★）若P在直线AB上方，作PF⊥AB，交线段AB于F，作PE∥y轴交AB于E，求△PEF周长和面积的最大值【答案】2＋2SKIPIF1<0和1【思路分析】△PEF形状固定，SKIPIF1<0若P在直线AB上方，连接OP，交AB于D，求SKIPIF1<0的最大值【答案】【思路分析】化斜为直，平行线，构造8字相似转换SKIPIF1<0（★☆）若P在直线AB上方，连接CP，交AB于D，△PDA面积为S1，△CDA面积为S2，求SKIPIF1<0的最小值【答案】SKIPIF1<0【思路分析】化斜为自第一步：面积比转换为共线的边之比SKIPIF1<0第二步：构造，共线的边之比转换成平行边之比SKIPIF1<0（★☆）点D是点B关于关于x轴的对称点，连接CD，点P是第一象限上一点，求△PCD面积最大值 【答案】12【思路分析】过动点P作y轴平行线交对边(延长)于点HSKIPIF1<0推导过程如下：以PH为底，设△PHC的高为h1，△PDH的高为SKIPIF1<0SKIPIF1<0【几何构造最值篇】（☆）点E是对称轴与x轴交点，过E作一条任意直线l，（点B、C分别在直线l的异侧），设C、B两点到直线l的距离分别为m、n，求m＋n的最大值 【答案】2SKIPIF1<0【思路分析】SKIPIF1<0特殊位置时有最小值，大多数题目都是共线时有最值，所以要重点去分析共线时的情况（☆）已知线段BC上有两点E(1，3)，F(3，1)，试在x，y轴上有两动点M和N，使得四边形FMNE周长最小。【答案】SKIPIF1<0【思路分析】作两次对称即可，普通将军饮马问题，SKIPIF1<0（★）若y轴上有两点M（0，a）和N（0，a＋2），求△CMN周长的最小值 【答案】SKIPIF1<0【思路分析】造桥选址问题，C点向上平移2个单位，得到平行四边形SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，接下来就是常规的将军饮马了（★☆）点D为抛物线顶点，直线AD上有一点Q，连接BQ，将△BDQ沿BQ折叠得△BD’Q，求OD’的最小值连接OD’，M是线段OD’的中点，求AM的最小值【答案】①4－SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0【思路分析】(1)D’轨迹为圆（2）把A点变为中点，则AM是中位线，点圆最值问题（★★☆）（隐圆）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DE⊥x轴于点E，设△ADE的内心为I，试求BI的最小值．【答案】SKIPIF1<0【思路分析】易知△ADI≌△AOI(SAS)，∠AID＝∠AIO＝135°，而OA为定线段则点I在以OA为弦，所含的圆周角等于135°的圆弧上，设该圆的圆心为F，连接FO，FA，∠OFA＝90°，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【构造二次函数模型求最值】（☆）P在第一象限，作PQ∥x轴交抛物线于Q，过P、Q作x轴垂线交x轴于H、G两点，求矩形PQGH周长的最大值【答案】SKIPIF1<0【思路分析】设点坐标，用字母表示长和宽设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而P和Q点到对称轴的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，PQGH的周长为：SKIPIF1<0（★）在线段AC上有一点D，AB上有一点E，且DE∥BC，求△BDE面积的最大值【答案】3【思路分析】易知△ADE∽△ACB，利用相似比得出高之比设AD＝3m，则E点到x轴的距离为2m，△BDE的面积为：SKIPIF1<0（★★☆）P是第一象限上一点，线段PC交BC于点D，交y轴于点E，△ADP和△BDE的面积分别为S1、S2，求S1－S2的最大值【答案】SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（★★☆）抛物线对称交抛物线于点D，交x轴于点E，M是线段DE上的动点，N(n，0)为x轴上一点，且BM⊥NM．求n的变化范围当n取最大值时，将直线BN向上平移t个单位，使线段BN与抛物线有两个交点，求t的取值范围．【答案】（1）SKIPIF1<0，（2）SKIPIF1<0【思路分析】①由勾股定理构造出关于n的函数模型，【详解】①设M坐标为(1，m)∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0②SKIPIF1<0⇒设平移后：SKIPIF1<0分析：向上平移当N点落在抛物线上时，恰好有2个交点，此时N点坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0继续向上平移，当△＝0，此时只有一个交点SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0综上SKIPIF1<0

【加权线段最值】（★）若y轴上有一动点M，求AM＋SKIPIF1<0BM的最小值及M点坐标【答案】SKIPIF1<0，M（0，2）【思路分析】胡不归问题，作垂直代换加权线段即可作MH⊥BC于H，则SKIPIF1<0，AG即所求【法一：等面积】SKIPIF1<0，再由相似求出M点坐标法二：SKIPIF1<0，再由三角函数求M点坐标法三：求出AG解析式（★）若动点D从点A出发先以V1的速度朝x轴负方向运动到G，再以V2的速度向B点运动，且V1＝2V2，当运动时间最短时，求点G的坐标（V1为定值）【答案】SKIPIF1<0【思路分析】还是胡不归问题，只不过需要翻译成加权线段和【简析】设运动总时间为t，SKIPIF1<0以A为顶点，在x轴下方构造一个30°的角，作垂线即可进行代换，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时取到最小值．

（☆☆）将线段CO绕O点进行旋转，得线段C’O，在旋转过程中，求SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0的最小值．【答案】SKIPIF1<0【思路分析】通过构造子母型相似代换SKIPIF1<0，阿氏圆模型取点SKIPIF1<0，通过SAS可知SKIPIF1<0，相似比为2，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0（★☆）点D（3，4），G是x轴上一动点，求GD－SKIPIF1<0AG的最小值【答案】SKIPIF1<0【思路分析】相减型胡不归，反方向构造相关角如图，作SKIPIF1<0于E，易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当G，D，E三点共线时取到最小值，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0题型一【铅垂高系列】2023·四川凉山·中考真题如图，已知抛物线与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两点，与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0．直线SKIPIF1<0过抛物线的顶点SKIPIF1<0．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线SKIPIF1<0与抛物线交于点SKIPIF1<0，与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0取得最大值时，求SKIPIF1<0的值和SKIPIF1<0的最大值2022·广东·统考中考真题如图，抛物线SKIPIF1<0（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点P为线段SKIPIF1<0上的动点，过P作SKIPIF1<0//SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点Q．(1)求该抛物线的解析式；(2)求SKIPIF1<0面积的最大值，并求此时P点坐标．2022·天津·中考真题已知抛物线SKIPIF1<0（a，b，c是常数，SKIPIF1<0）的顶点为P，与x轴相交于点SKIPIF1<0和点B．(1)若SKIPIF1<0，①求点P的坐标；②直线SKIPIF1<0（m是常数，SKIPIF1<0）与抛物线相交于点M，与SKIPIF1<0相交于点G，当SKIPIF1<0取得最大值时，求点M，G的坐标2022·湖北襄阳·统考中考真题在平面直角坐标系中，直线y＝mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C．(1)如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．①求A，B，C，D四点的坐标；②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；2023·湖南娄底·中考真题如图，抛物线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0、点SKIPIF1<0，交y轴于点C．

(1)求b，c的值．(2)点SKIPIF1<0是抛物线上的动点,当SKIPIF1<0取何值时，SKIPIF1<0的面积最大？并求出SKIPIF1<0面积的最大值.2023·湖南中考真题如图，在平面直角坐标系中，抛物线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0，且与直线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点（点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的右侧），点SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上的一动点，设点SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0．

(1)求抛物线的解析式．(2)过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线，与拋物线交于点SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的最大值．2023·青海西宁·中考真题如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点SKIPIF1<0，与y轴交于点SKIPIF1<0，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线SKIPIF1<0．

(1)求直线l的解析式；(2)求抛物线的解析式；(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作SKIPIF1<0轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作SKIPIF1<0，垂足为M．求SKIPIF1<0的最大值及此时P点的坐标．2023·四川广安·中考真题如图，二次函数SKIPIF1<0的图象交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，对称轴是直线SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0轴上一动点，SKIPIF1<0轴，交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交抛物线于点SKIPIF1<0．

(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上运动（点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0、点SKIPIF1<0不重合），求四边形SKIPIF1<0面积的最大值，并求出此时点SKIPIF1<0的坐标．2023·湖南永州·中考真题如图，抛物线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数）经过点SKIPIF1<0，顶点坐标为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为抛物线上的动点，SKIPIF1<0轴于H，且SKIPIF1<0．

(1)求抛物线的表达式；(2)如图，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值；2022·四川广元·中考真题在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．(1)求a，b满足的关系式及c的值；(2)当a＝SKIPIF1<0时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值；(3)当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．已知抛物线与x轴交于A、B两点，顶点为C，连接，点P在线段下方的抛物线上运动．

(1)如图1，连接，，若，求点P的坐标．(2)如图2，过点P作轴交于点Q，交于点H，求周长的最大值．题型二【线段和差最值篇】2023·湖南张家界中考真题如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数SKIPIF1<0的图象与x轴交于点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0两点，与y轴交于点SKIPIF1<0．点D为线段SKIPIF1<0上的一动点．

(1)求二次函数的表达式；(2)如图，求SKIPIF1<0周长的最小值；2022·四川遂宁中考真题如图，在平面直角坐标系中，抛物线SKIPIF1<0与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为SKIPIF1<0，点C的坐标为SKIPIF1<0．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，E为SKIPIF1<0边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0周长的最小值2022·山东淄博·统考中考真题如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y＝SKIPIF1<0x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．

(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值题型三【构造二次函数模型求最值】2023·山东东营·中考真题如图，抛物线过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，矩形SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．

(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t为何值时，矩形SKIPIF1<0的周长有最大值？最大值是多少？2023·四川巴中·中考真题在平面直角坐标系中，抛物线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，其顶点的横坐标为SKIPIF1<0．

(1)求抛物线的表达式．(2)若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，在第一象限内与抛物线交于点SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0取何值时，使得SKIPIF1<0有最大值，并求出最大值．2023·湖南张家界中考真题如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数SKIPIF1<0的图象与x轴交于点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0两点，与y轴交于点SKIPIF1<0．点D为线段SKIPIF1<0上的一动点．

如图，过动点D作SKIPIF1<0交抛物线第一象限部分于点P，连接SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．2023·山东聊城·中考真题如图①，抛物线SKIPIF1<0与x轴交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．(1)求抛物线的表达式；(2)如图②，当点SKIPIF1<0从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作SKIPIF1<0，交AC于点E，作SKIPIF1<0，垂足为点D．当m为何值时，SKIPIF1<0面积最大，并求出最大值．2022·湖北襄阳中考真题在平面直角坐标系中，直线y＝mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C．在y轴上有一点M（0，SKIPIF1<0m），当点C在线段MB上时，①求m的取值范围；②求线段BC长度的最大值．2023·湖北荆州中考真题已知：SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0．

(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是___________；(2)如图，若函数的图象为抛物线，与SKIPIF1<0轴有两个公共点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，并与动直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．①当点SKIPIF1<0为抛物线顶点时，求SKIPIF1<0的面积；②探究直线SKIPIF1<0在运动过程中，SKIPIF1<0是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．2022·江苏连云港中考真题已知二次函数，其中．(1)当该函数的图像经过原点，求此时函数图像的顶点的坐标；(2)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图像与轴的负半轴的交点为，求面积的最大值．2022·湖南岳阳·中考真题如图1，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0．(1)求抛物线SKIPIF1<0的解析式；(2)如图2，作抛物线SKIPIF1<0，使它与抛物线SKIPIF1<0关于原点SKIPIF1<0成中心对称，请直接写出抛物线SKIPIF1<0的解析式；(3)如图3，将（2）中抛物线SKIPIF1<0向上平移2个单位，得到抛物线SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点（点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的左侧）．①求点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0的坐标；②若点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为抛物线SKIPIF1<0和抛物线SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的动点（点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不重合），试求四边形SKIPIF1<0面积的最大值．2023·宁夏·中考真题如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．

(1)直接写出点的坐标；(2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值；(3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．(1)当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；(2)在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．2023·湖北襄阳中考真题在平面直角坐标系中，直线SKIPIF1<0经过抛物线SKIPIF1<0的顶点．

(1)如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为SKIPIF1<0．①求抛物线的解析式并直接写出点SKIPIF1<0的坐标；②SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为2，求SKIPIF1<0的值；③当SKIPIF1<0时.动点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0下方的抛物线上，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．(2)当抛物线不经过原点时，其顶点记为SKIPIF1<0.当直线SKIPIF1<0同时经过点SKIPIF1<0和（1）