2025数学步步高大一轮复习讲义人教A版第八章　§8.8　抛物线含答案

2025数学步步高大一轮复习讲义人教A版第八章§8.8抛物线 §8.8抛物线课标要求1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用．知识梳理1．抛物线的概念把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．注意：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．2．抛物线的标准方程和简单几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1常用结论1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，也称为抛物线的焦半径．3．设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，准线x＝－eq\f(p,2)与x轴相交于点P，过焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为原点，α为AB与对称轴正向所成的角，则有如下的焦点弦长公式：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|，|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|，|AB|＝x1＋x2＋p，|AB|＝eq\f(2p,sin2α).自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．(×)(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．(×)(3)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．(√)(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的．(√)2．(选择性必修第一册P133T2改编)抛物线x2＝eq\f(1,4)y的准线方程为()A．y＝－eq\f(1,16) B．x＝－eq\f(1,16)C．y＝eq\f(1,16) D．x＝eq\f(1,16)答案A解析由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于y轴正半轴上，焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16)))，准线方程为y＝－eq\f(1,16).3．(选择性必修第一册P133T3改编)抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为()A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝x答案B解析由题意可得|MF|＝xM＋eq\f(p,2)，则3＋eq\f(p,2)＝4，即p＝2，故抛物线方程为y2＝4x.4．若抛物线y2＝2px(p>0)上的点到焦点的最短距离为1，则p的值为()A．0B．1C．2D．3答案C解析由抛物线的定义可知，抛物线y2＝2px(p>0)上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，则最短距离为eq\f(p,2)＝1，所以p＝2.题型一抛物线的定义及应用例1(1)(2024·南昌模拟)设圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的上方)，过点B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为()A．x2＝8y B．x2＝16yC．y2＝8x D．y2＝16x答案A解析因为圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的上方)，所以A(0,2)，B(0，－2)，又因为过点B作圆O的切线l，所以切线l的方程为y＝－2，因为动点P到A的距离等于P到l的距离，所以动点P的轨迹为抛物线，且其焦点为(0,2)，准线为y＝－2，所以P的轨迹方程为x2＝8y.(2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．答案42或22解析当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得20＋eq\f(p,2)＝41，解得p＝42；当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得eq\r(402＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－\f(p,2)))2)＝41，解得p＝22或p＝58.当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去．综上，p＝42或p＝22.①②思维升华“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．跟踪训练1(1)已知抛物线y＝mx2(m>0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点F的距离为eq\f(11,4)，则m等于()A．4B．3C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,3)答案D解析由题意知，抛物线y＝mx2(m>0)的准线方程为y＝－eq\f(1,4m)，根据抛物线的定义，可得点(x0,2)到焦点F的距离等于到准线y＝－eq\f(1,4m)的距离，可得2＋eq\f(1,4m)＝eq\f(11,4)，解得m＝eq\f(1,3).(2)已知点P为抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到l：x＝1的距离为d1，到直线x＋y－4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是()A.eq\f(5,2)B.eq\f(5\r(2),2)C．2D.eq\r(2)答案B解析直线l：x＝1为抛物线y2＝－4x的准线，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x＋y－4＝0的垂线，如图所示，当点P为所作直线与抛物线的交点时，d1＋d2的值最小，为点F到直线x＋y－4＝0的距离．∵F(－1,0)，∴(d1＋d2)min＝eq\f(|－1＋0－4|,\r(2))＝eq\f(5\r(2),2).题型二抛物线的标准方程例2(1)抛物线过点(3，－4)，则抛物线的标准方程为________．答案y2＝eq\f(16,3)x或x2＝－eq\f(9,4)y解析∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，则2p＝eq\f(16,3)，2p1＝eq\f(9,4).∴所求抛物线的标准方程为y2＝eq\f(16,3)x或x2＝－eq\f(9,4)y.(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，点A，B在抛物线上，且直线AB过点Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|＝6，则抛物线C的标准方程为________．答案y2＝8x解析如图，过点A，B分别作抛物线C的准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，由抛物线的定义可知，|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，∵2|FB|＝|FA|，∴2|BB1|＝|AA1|，则易知B为AD的中点．连接OB，则OB为△DFA的中位线，∴2|OB|＝|FA|，∴|OB|＝|FB|，∴点B在线段OF的垂直平分线上，∴点B的横坐标为eq\f(p,4)，∴|FB|＝eq\f(p,2)＋eq\f(p,4)＝3，∴p＝4，∴抛物线C的标准方程为y2＝8x.思维升华求抛物线的标准方程的方法(1)定义法．(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．跟踪训练2(1)(2023·临汾统考)抛物线C的焦点F关于其准线对称的点为(0，－9)，则抛物线C的方程为()A．x2＝6y B．x2＝12yC．x2＝18y D．x2＝36y答案B解析由题可知，抛物线开口向上，设方程为x2＝2py(p>0)，设抛物线的焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，则准线为y＝－eq\f(p,2)，所以eq\f(\f(p,2)＋－9,2)＝－eq\f(p,2)，解得p＝6，所以抛物线C的方程为x2＝12y.(2)设抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，点P在抛物线C上，|PF|＝eq\f(5,2)，若以线段PF为直径的圆过坐标轴上距离原点为1的点，则该抛物线C的方程为________．答案x2＝2y或x2＝8y解析由题意设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，P(x0，y0)，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，圆的半径为eq\f(5,4)，由焦半径公式可知y0＋eq\f(p,2)＝eq\f(5,2)，得y0＝eq\f(5－p,2)，并且线段PF中点的纵坐标是eq\f(y0＋\f(p,2),2)＝eq\f(5,4)，所以以线段PF为直径的圆与x轴相切，切点坐标为(－1,0)或(1,0)，所以x0＝±2，即点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±2，\f(5－p,2)))，代入抛物线方程x2＝2py(p>0)，得4＝2p·eq\f(5－p,2)，解得p＝1或p＝4，即当点F在y轴正半轴时，抛物线方程是x2＝2y或x2＝8y.题型三抛物线的几何性质例3(1)(2023·兰州一中模拟)已知圆x2＋y2＝1与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则p等于()A.eq\f(\r(5),2)B.eq\f(\r(2),5)C.eq\f(5\r(2),2)D.eq\f(2\r(5),5)答案D解析因为四边形ABCD是矩形，所以由抛物线与圆的对称性知，弦AB为抛物线y2＝2px(p>0)的通径，因为圆的半径为1，抛物线的通径为2p，所以有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)))2＋p2＝1，解得p＝eq\f(2\r(5),5).(2)(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为eq\r(3)且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是()A．p＝4 B.eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4答案ABC解析如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p.因为直线l的斜率为eq\r(3)，所以其倾斜角为60°.因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，故A正确；因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE，所以F为AD的中点，则eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))，故B正确；因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正确；因为|BD|＝2|BF|，所以|BF|＝eq\f(1,3)|DF|＝eq\f(1,3)|AF|＝eq\f(8,3)，故D错误．思维升华应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．跟踪训练3(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为______．答案x＝－eq\f(3,2)解析方法一(解直角三角形法)由题易得|OF|＝eq\f(p,2)，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以eq\f(|OF|,|PF|)＝eq\f(|PF|,|FQ|)，即eq\f(\f(p,2),p)＝eq\f(p,6)，解得p＝3(p＝0舍去)，所以C的准线方程为x＝－eq\f(3,2).方法二(应用射影定理法)由题易得|OF|＝eq\f(p,2)，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝eq\f(p,2)×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－eq\f(3,2).(2)已知F是抛物线y2＝16x的焦点，M是抛物线上一点，FM的延长线交y轴于点N，若3eq\o(FM,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))，则|NF|＝________.答案16解析易知焦点F的坐标为(4,0)，准线l的方程为x＝－4，如图，抛物线准线与x轴的交点为A，作MB⊥l于点B，NC⊥l于点C，AF∥MB∥NC，则eq\f(|MN|,|NF|)＝eq\f(|BM|－|CN|,|OF|)，由3eq\o(FM,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))，得eq\f(|MN|,|NF|)＝eq\f(3,5)，又|CN|＝4，|OF|＝4，所以eq\f(|BM|－4,4)＝eq\f(3,5)，|BM|＝eq\f(32,5)，|MF|＝|BM|＝eq\f(32,5)，eq\f(|MF|,|NF|)＝eq\f(2,5)，所以|NF|＝16.课时精练一、单项选择题1．在平面内，已知定点A及定直线l，记动点P到l的距离为d，则“|PA|＝d”是“点P的轨迹是以点A为焦点，直线l为准线的抛物线”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案C解析“点P的轨迹是以点A为焦点，直线l为准线的抛物线”⇒“|PA|＝d”，反之不成立，当直线经过定点A时，轨迹不是抛物线．因此“|PA|＝d”是“点P的轨迹是以点A为焦点，直线l为准线的抛物线”的必要不充分条件．2．(2023·榆林模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)上的一点M(x0,1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为()A．6B．4C．3D．2答案D解析由题可知，抛物线准线为y＝－eq\f(p,2)，可得1＋eq\f(p,2)＝2，解得p＝2，所以该抛物线的焦点到其准线的距离为p＝2.3．(2023·福州质检)在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2,0)的距离小1，则P的轨迹方程为()A．y2＝2x B．y2＝4xC．y2＝－4x D．y2＝－8x答案D解析由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与到定点(－2,0)的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2,0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.4．(2023·北京模拟)设M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若∠OFM＝120°，则|FM|等于()A．3B．4C.eq\f(4,3)D.eq\f(7,3)答案B解析过点M作抛物线的准线l的垂线，垂足为点N，连接FN，如图所示，因为∠OFM＝120°，MN∥x轴，则∠FMN＝60°，由抛物线的定义可得|MN|＝|FM|，所以△FNM为等边三角形，则∠FNM＝60°，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，设直线x＝－1交x轴于点E，则∠ENF＝30°，易知|EF|＝2，∠FEN＝90°，则|FM|＝|FN|＝2|EF|＝4.5．已知抛物线y2＝16x的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：(x－6)2＋(y－2)2＝4上，则|PQ|＋|PF|的最小值为()A．4B．6C．8D．10答案C解析如图，过点P向准线作垂线，垂足为A，则|PF|＝|PA|，当CP垂直于抛物线的准线时，|CP|＋|PA|最小，此时线段CP与圆C的交点为Q，因为准线方程为x＝－4，C(6,2)，半径为2，所以|PQ|＋|PF|的最小值为|AQ|＝|CA|－2＝10－2＝8.6．(2024·许昌模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P是C上异于原点O的任意一点，线段PF的中点为M，则以F为圆心且与直线OM相切的圆的面积最大值为()A．πB.eq\f(π,2)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,4)答案B解析由题意，作图如图所示，设P(t2,2t)(不妨令t>0)，由已知可得F(1,0)，则Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t2＋1,2)，t))，所以直线OM的方程为y＝eq\f(2t,t2＋1)x，设k＝eq\f(2t,t2＋1)，则k＝eq\f(2,t＋\f(1,t))≤1，当且仅当t＝1时取等号，所以点F到直线OM的距离为eq\f(|k|,\r(k2＋1))＝eq\f(1,\r(1＋\f(1,k2)))≤eq\f(\r(2),2)，即圆F的半径最大值为eq\f(\r(2),2)，面积最大值为eq\f(π,2).二、多项选择题7．(2023·南京模拟)在平面直角坐标系Oxy中，点F是抛物线C：y2＝ax(a>0)的焦点，点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1))，B(a，b)(b>0)在抛物线C上，则下列结论正确的是()A．C的准线方程为x＝eq\f(\r(2),4)B．b＝eq\r(2)C.eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2D.eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(16\r(2),15)答案BD解析点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1))(a>0)，B(a，b)(b>0)在抛物线C上，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12＝\f(a2,2)，,b2＝a2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\r(2)，,b＝\r(2)，))则抛物线C：y2＝eq\r(2)x，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))，B(eq\r(2)，eq\r(2))，抛物线C的准线方程为x＝－eq\f(\r(2),4)，故A错误，B正确；eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(\r(2),2)×eq\r(2)＋1×eq\r(2)＝1＋eq\r(2)，故C错误；抛物线C的焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，0))，则|AF|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)－\f(\r(2),2)))2＋0－12)＝eq\f(3\r(2),4)，|BF|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)－\r(2)))2＋0－\r(2)2)＝eq\f(5\r(2),4)，则eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2\r(2),3)＋eq\f(2\r(2),5)＝eq\f(16\r(2),15)，故D正确．8．(2024·大庆模拟)已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上的两点，下列结论正确的是()A．|MF|的最小值为2B．若|MF|＋|NF|＝12，则线段MN的中点P到x轴的距离为6C．若直线MN过点F，则x1x2＝4D．若eq\o(MF,\s\up6(→))＝λeq\o(NF,\s\up6(→))，则|MN|的最小值为8答案AD解析对于A，x2＝8y，则p＝4，焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2，∴|MF|＝y1＋2，∵y1≥0，∴|MF|≥2，当且仅当y1＝0时等号成立，故A正确；对于B，∵|MF|＋|NF|＝12，根据抛物线定义得y1＋2＋y2＋2＝12，则y1＋y2＝8，而由中点坐标公式得点P的纵坐标yP＝eq\f(y1＋y2,2)＝4，即点P到x轴的距离为4，故B错误；对于C，由题意可知直线MN斜率存在，∵直线MN过点F，设直线MN的方程为y＝kx＋2，代入抛物线方程整理得x2－8kx－16＝0，∴x1＋x2＝8k，x1x2＝－16，故C错误；对于D，若eq\o(MF,\s\up6(→))＝λeq\o(NF,\s\up6(→))，则M，F，N三点共线，由题得|MF|＋|NF|＝y1＋2＋y2＋2＝y1＋y2＋4＝eq\f(x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2),8)＋4＝eq\f(x1＋x22－2x1x2,8)＋4＝eq\f(64k2＋32,8)＋4，当k＝0时，|MN|的最小值即为抛物线的通径长，此时最小值为8，故D正确．三、填空题9．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点A在抛物线C上，若点A到x轴的距离是|AF|－2，则p＝________.答案4解析由抛物线的方程可得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，设A(x0，y0)，则y0≥0，则|AF|＝y0＋eq\f(p,2)，又点A到x轴的距离是|AF|－2，故y0＝y0＋eq\f(p,2)－2，故p＝4.10．(2023·洛阳模拟)清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部轴截面均近似为抛物线形状，碗盖深为3cm，碗盖口直径为8cm，碗体口直径为10cm，碗体深6.25cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为(碗体和碗盖的厚度忽略不计)________．答案7cm解析以碗体的最低点为原点，向上的方向为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设碗体的抛物线方程为x2＝2py(p>0)，将点(5,6.25)代入，得52＝2p×6.25，解得p＝2，则x2＝4y，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为hcm，则两抛物线在第一象限的交点为(4，h－3)，代入到x2＝4y，得42＝4(h－3)，解得h＝7.11．A，B是抛物线x2＝2y上的两点，O为坐标原点．若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为12eq\r(3)，则∠AOB＝________.答案60°解析如图，∵|OA|＝|OB|，∴A，B两点关于y轴对称，设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，\f(a2,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a2,2)))，∴S△AOB＝eq\f(1,2)×2a×eq\f(a2,2)＝12eq\r(3)，解得a＝2eq\r(3)，∴B(2eq\r(3)，6)，∴tanθ＝eq\f(2\r(3),6)＝eq\f(\r(3),3)，∴θ＝30°，∴∠AOB＝2θ＝60°.12．已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2＝2px(p>0)上，若|AF|＋|BF|＝4，线段AB的中点到直线x＝eq\f(p,2)的距离为1，则p的值为________．答案1或3解析分别过点A，B作准线l：x＝－eq\f(p,2)的垂线，垂足分别为C，D，设AB的中点M在准线上的射影为点N，连接MN，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，根据抛物线的定义，得|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝4，所以在梯形ACDB中，中位线|MN|＝eq\f(1,2)(|AC|＋|BD|)＝2，可得x0＝2－eq\f(p,2)，因为线段AB的中点到直线x＝eq\f(p,2)的距离为1，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x0－\f(p,2)))＝1，所以|2－p|＝1，解得p＝1或p＝3.四、解答题13．已知动点M与点F(2,0)的距离与其到直线x＝－2的距离相等．(1)求动点M的轨迹方程；(2)求点M与点A(6,0)的距离的最小值，并指出此时M的坐标．解(1)由题意知动点M到F(2,0)的距离与它到直线x＝－2的距离相等，所以动点M的轨迹为以F(2,0)为焦点，以直线x＝－2为准线的抛物线，因此动点M的轨迹方程为y2＝8x.(2)设Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m2,8)，m))，由两点间的距离公式得|MA|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m2,8)－6))2＋m2)＝eq\r(\f(m4,64)－\f(m2,2)＋36)＝eq\r(\f(1,64)m2－162＋32)，当m2＝16，即m＝±4时，|MA|min＝4eq\r(2)，即当M(2,4)或M(2，－4)时，点M与点A的距离最小，最小值为4eq\r(2).14．已知动圆过定点(4,0)，且在y轴上截得的弦长为8.(1)求动圆圆心C的轨迹方程；(2)已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线y＝x＋4和y轴的距离之和的最小值．解(1)设圆心C的坐标为(x，y)，则半径r＝eq\r(x－42＋y2)，又动圆在y轴上截得的弦长为8，所以42＋x2＝(x－4)2＋y2，化简得y2＝8x，即动圆圆心C的轨迹方程为y2＝8x.(2)如图，设轨迹C的焦点为F，点P到直线y＝x＋4的距离为|PP1|，到y轴的距离为|PP2|，点F到直线y＝x＋4的距离为|FF1|，由抛物线的定义，可知|PP2|＝|PF|－2，所以|PP1|＋|PP2|＝|PP1|＋|PF|－2，由图可知|PP1|＋|PF|的最小值为点F到直线y＝x＋4的距离，所以(|PP1|＋|PF|)min＝|FF1|＝eq\f(6,\r(1＋1))＝3eq\r(2)，所以|PP1|＋|PP2|的最小值为3eq\r(2)－2.15.小明同学在一个宽口半径为1，高度为1的抛物面杯子中做小球放入实验，如图所示，要求小球能与杯底接触，则他能放入小球的最大半径是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D．1答案B解析作杯子的截面得一抛物线，如图，建立平面直角坐标系，则点(1,1)在抛物线上，设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，则1＝2p，p＝eq\f(1,2)，抛物线方程为x2＝y，设球心为A(0，a)(a>0)，球半径为r，P(x，y)是抛物线上任一点，|AP|＝eq\r(x2＋y－a2)＝eq\r(y2＋1－2ay＋a2)，则r＝|AP|min，小球与杯底接触，则上式在y＝0时取得最小值，|AP|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(2a－1,2)))2＋\f(4a－1,4))，此时eq\f(2a－1,2)≤0，即0<a≤eq\f(1,2)，r＝|AP|min＝a，所以rmax＝amax＝eq\f(1,2).16．(2024·宣城模拟)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与C相交于A，B两点，且A，B两点在准线上的射影分别为M，N，eq\f(S△MNF,S△MAF)＝λ，eq\f(S△NBF,S△MNF)＝μ，则eq\f(λ,μ)＝____________.答案4解析如图，设∠MAF＝θ，|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线定义可得|AM|＝a，|BN|＝b，∠MFO＋∠NFO＝∠MFA＋∠NFB＝eq\f(π,2)，在△MAF中，由余弦定理可得|MF|2＝2a2(1－cosθ)，同理|NF|2＝2b2(1＋cosθ)，故S△MAF＝eq\f(1,2)a2sinθ，S△NBF＝eq\f(1,2)b2sinθ，(S△MNF)2＝eq\f(1,4)|MF|2·|NF|2＝a2b2sin2θ，故eq\f(λ,μ)＝eq\f(S△MNF2,S△MAF·S△NBF)＝4.§8.9直线与圆锥曲线的位置关系课标要求1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题．知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ>0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ＝0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ<0.特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点．②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点．2．弦长公式已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，则|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)，或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(y1＋y22－4y1y2).常用结论1．已知M，N是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的两点，点O为坐标原点，且P是M，N的中点，则kMN·kOP＝－eq\f(b2,a2).2．若曲线为双曲线，其余条件不变，则kMN·kOP＝eq\f(b2,a2).3．若曲线为抛物线，P(x0，y0)为弦MN的中点：kMN＝eq\f(p,y0)(开口向右)，kMN＝－eq\f(p,y0)(开口向左)，kMN＝eq\f(x0,p)(开口向上)，kMN＝－eq\f(x0,p)(开口向下)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))的直线一定与椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1相交．(√)(2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切．(×)(3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点．(√)(4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦．(√)2．(选择性必修第一册P114例7改编)直线y＝kx＋2与椭圆eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1有且只有一个交点，则k的值是()A.eq\f(\r(6),3) B．－eq\f(\r(6),3)C．±eq\f(\r(6),3) D．±eq\f(\r(3),3)答案C解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,\f(x2,3)＋\f(y2,2)＝1，))得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0，解得k＝±eq\f(\r(6),3).3．(选择性必修第一册P136T3改编)已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是()A．2B．4C．8D．16答案C解析联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y2＝4x，))消去y并整理得x2－6x＋1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，所以|AB|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋1)×eq\r(36－4)＝8.4．已知点A，B是双曲线C：eq\f(x2,2)－eq\f(y2,3)＝1上的两点，线段AB的中点是M(3,2)，则直线AB的斜率为()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,2)C.eq\f(4,9)D.eq\f(9,4)答案D解析方法一设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵点A，B是双曲线C上的两点，∴eq\f(x\o\al(2,1),2)－eq\f(y\o\al(2,1),3)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),2)－eq\f(y\o\al(2,2),3)＝1，两式相减得eq\f(x1＋x2x1－x2,2)＝eq\f(y1＋y2y1－y2,3)，∵M(3,2)是线段AB的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，∴eq\f(6x1－x2,2)＝eq\f(4y1－y2,3)，∴kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(9,4).方法二由kAB·kOM＝eq\f(b2,a2)＝eq\f(3,2)，得kAB＝eq\f(3,2)·eq\f(1,kOM)＝eq\f(3,2)×eq\f(3,2)＝eq\f(9,4).题型一直线与圆锥曲线的位置关系例1(1)(多选)直线y＝kx－eq\r(2)k＋eq\f(\r(6),2)与椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的位置关系可能为()A．相交 B．相切C．相离 D．有3个公共点答案AB解析直线y＝kx－eq\r(2)k＋eq\f(\r(6),2)＝k(x－eq\r(2))＋eq\f(\r(6),2)恒过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(\r(6),2)))，又点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(\r(6),2)))在椭圆上，故直线与椭圆可能相交也可能相切．(2)已知直线y＝2x＋2与双曲线C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(0<a<2，b>0)有且仅有1个交点，则双曲线C的离心率为()A．5B.eq\r(5)C.eq\f(5,2)D.eq\f(\r(5),2)答案D解析因为直线y＝2x＋2与双曲线C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(0<a<2，b>0)有且仅有1个交点，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y2,a2)－\f(x2,b2)＝1，,y＝2x＋2，))可得(4b2－a2)x2＋8b2x＋4b2－a2b2＝0.所以①直线y＝2x＋2与双曲线C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(0<a<2，b>0)的渐近线平行，则可知4b2－a2＝0⇒eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，则双曲线C的离心率e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(\r(5),2).②直线y＝2x＋2与双曲线C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(0<a<2，b>0)相切，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4b2－a2≠0，,Δ＝64b4－44b2－a24b2－a2b2＝0，))化简得a2＝4b2＋4≥4，则a≥2，不符合题意．所以双曲线C的离心率为eq\f(\r(5),2).思维升华(1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合)．跟踪训练1(1)(2023·北京海淀模拟)已知抛物线C：y2＝4x，经过点P的任意一条直线与C均有公共点，则点P的坐标可以为()A．(0,1) B．(1，－3)C．(3,4) D．(2，－2)答案D解析点(0,1)在y轴上，所以点(0,1)在抛物线外部，将x＝1代入抛物线C：y2＝4x中，则|y|＝2<3，所以点(1，－3)在抛物线外部，将x＝3代入抛物线C：y2＝4x中，则|y|＝2eq\r(3)<4，所以点(3,4)在抛物线外部，将x＝2代入抛物线C：y2＝4x中，则|y|＝2eq\r(2)>2，所以点(2，－2)在抛物线内部，将选项中的点分别在平面直角坐标系中画出来，只有点(2，－2)在抛物线内部，故当点P的坐标为(2，－2)时，经过点P的任意一条直线与C均相交，均有公共点．(2)已知双曲线C：eq\f(x2,4)－y2＝1，过点P(2,1)与双曲线C有且只有一个公共点的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条答案B解析由双曲线方程知，右顶点坐标为(2,0)，渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，显然P(2,1)在y＝eq\f(1,2)x上，如图所示，所以过点P的直线x＝2以及与y＝－eq\f(1,2)x平行且过点P的直线与双曲线都只有一个交点．故共有两条直线满足要求．题型二弦长问题例2(2021·新高考全国Ⅱ)已知椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，右焦点为F(eq\r(2)，0)，且离心率为eq\f(\r(6),3).(1)求椭圆C的方程；(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝eq\r(3).(1)解由题意得，椭圆半焦距c＝eq\r(2)且e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，所以a＝eq\r(3)，又b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1.(2)证明由(1)得，曲线为x2＋y2＝1(x>0)，当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不符合题意；当直线MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，必要性：若M，N，F三点共线，可设直线MN：y＝k(x－eq\r(2))，即kx－y－eq\r(2)k＝0，由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得eq\f(|\r(2)k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝±1，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝±x－\r(2)，,\f(x2,3)＋y2＝1，))可得4x2－6eq\r(2)x＋3＝0，所以x1＋x2＝eq\f(3\r(2),2)，x1x2＝eq\f(3,4)，所以|MN|＝eq\r(1＋1)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(3)，所以必要性成立；充分性：设直线MN：y＝kx＋m(km<0)，即kx－y＋m＝0，由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得eq\f(|m|,\r(k2＋1))＝1，所以m2＝k2＋1，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,3)＋y2＝1，))可得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，所以x1＋x2＝－eq\f(6km,1＋3k2)，x1x2＝eq\f(3m2－3,1＋3k2)，所以|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6km,1＋3k2)))2－4·\f(3m2－3,1＋3k2))＝eq\r(1＋k2)·eq\f(\r(24k2),1＋3k2)＝eq\r(3)，化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,m＝－\r(2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,m＝\r(2)，))所以直线MN：y＝x－eq\r(2)或y＝－x＋eq\r(2)，所以直线MN过点F(eq\r(2)，0)，M，N，F三点共线，充分性成立，所以M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝eq\r(3).思维升华(1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用弦长公式求．(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|＝x1＋x2＋p.(3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率．跟踪训练2已知焦点在x轴上的椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，短轴长为2eq\r(3)，椭圆左顶点A到左焦点F1的距离为1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆的右顶点为B，过F1的直线l与椭圆C交于点M，N，且S△BMN＝eq\f(18\r(2),7)，求直线l的方程．解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝2\r(3)，,a－c＝1，,a2－c2＝b2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\r(3)，,a＝2，,c＝1，))所以椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由题意知，直线的斜率存在且不为0，F1(－1,0)，B(2,0)，设直线l的方程为x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,x＝my－1，))得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，即y1＋y2＝eq\f(6m,3m2＋4)，y1y2＝eq\f(－9,3m2＋4).又S△BMN＝eq\f(1,2)|BF1|·|y1|＋eq\f(1,2)|BF1|·|y2|＝eq\f(1,2)|BF1|·|y1－y2|＝eq\f(1,2)|BF1|·eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\f(18\r(m2＋1),3m2＋4)＝eq\f(18\r(2),7)，解得m＝±1，所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.题型三中点弦问题例3(2024·衡水模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq\f(\r(2),2)，短轴顶点分别为M，N，四边形MF1NF2的面积为32.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2,1)，求直线l的方程．解(1)因为离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以a＝eq\r(2)c，因为a2＝b2＋c2，所以b＝c.因为四边形MF1NF2的面积为32，所以2bc＝32，所以b＝c＝4，a＝4eq\r(2)，故椭圆C的标准方程为eq\f(x2,32)＋eq\f(y2,16)＝1.(2)由题意得，直线l的斜率存在．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),32)＋\f(y\o\al(2,1),16)＝1，,\f(x\o\al(2,2),32)＋\f(y\o\al(2,2),16)＝1，))两式相减得eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2),32)＋eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),16)＝0，所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2).因为AB的中点坐标为(－2,1)，所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝1，所以直线l的斜率为1，故直线l的方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0.思维升华解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路(1)根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解．(2)点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子，可以大大减少计算量．跟踪训练3(1)已知双曲线方程为x2－eq\f(y2,3)＝1，则以A(2,1)为中点的弦所在直线l的方程是()A．6x＋y－11＝0 B．6x－y－11＝0C．x－6y－11＝0 D．x＋6y＋11＝0答案B解析设直线l交双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1于点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝4，,y1＋y2＝2，))由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)－\f(y\o\al(2,1),3)＝1，,x\o\al(2,2)－\f(y\o\al(2,2),3)＝1，))两式作差得xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),3)，所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(3x1＋x2,y1＋y2)＝6，即直线l的斜率为6，故直线l的方程为y－1＝6(x－2)，即6x－y－11＝0.经检验满足题意．(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为()A．(1，－1) B．(2,0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,2))) D．(1,1)答案A解析∵焦点到准线的距离为p，则p＝1，∴y2＝2x.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝2x1，,y\o\al(2,2)＝2x2，))则(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2)，∴kPQ＝eq\f(2,y1＋y2)，又∵P，Q关于直线l对称，∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2，∴PQ中点的纵坐标为eq\f(y1＋y2,2)＝－1，又∵PQ的中点在直线l上，∴PQ中点的横坐标为eq\f(x1＋x2,2)＝(－1)＋2＝1.∴线段PQ的中点坐标为(1，－1)．课时精练一、单项选择题1．已知直线kx－y＋2＝0与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,m)＝1恒有公共点，则实数m的取值范围为()A．(4,9] B．[4，＋∞)C．[4,9)∪(9，＋∞) D．(9，＋∞)答案C解析直线kx－y＋2＝0过定点(0,2)，所以eq\f(0,9)＋eq\f(22,m)≤1，解得m≥4.①由于方程eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,m)＝1表示椭圆，所以m>0且m≠9.②由①②得m的取值范围是[4,9)∪(9，＋∞)．2．(2023·长春模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，若使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则p等于()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．2答案C解析由抛物线的对称性知，要使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则AB必须垂直于x轴，故A，B两点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，±1))，代入抛物线方程解得p＝1.3．直线x＋4y＋m＝0交椭圆eq\f(x2,16)＋y2＝1于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m等于()A．－2B．－1C．1D．2答案A解析∵x＋4y＋m＝0，∴y＝－eq\f(1,4)x－eq\f(m,4)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),16)＋y\o\al(2,1)＝1，,\f(x\o\al(2,2),16)＋y\o\al(2,2)＝1，))两式相减得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(x1＋x2,16y1＋y2)＝－eq\f(1,4)，∵AB中点的横坐标为1，则纵坐标为eq\f(1,4)，将eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,4)))代入直线y＝－eq\f(1,4)x－eq\f(m,4)，解得m＝－2.4．已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，直线l：y＝x＋2.若以F1，F2为焦点的椭圆C与直线l有公共点，则椭圆C的离心率的最大值为()A.eq\f(\r(10),5)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(\r(2),2)答案A解析设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由题意知其左、右焦点分别是F1(－1,0)，F2(1,0)，可得c＝1，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,y＝x＋2，))得(a2＋b2)x2＋4a2x＋4a2－a2b2＝0，Δ＝16a4－4(a2＋b2)(4a2－a2b2)≥0，可得4a2－(2a2－1)(5－a2)≥0，解得a≥eq\f(\r(10),2)，e＝eq\f(c,a)≤eq\f(1,\f(\r(10),2))＝eq\f(\r(10),5).5．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq\r(2)x，左、右焦点分别为F1，F2，过点F2且斜率为eq\r(3)的直线l交双曲线的右支于M，N两点，若△MNF1的周长为36，则双曲线C的方程为()A.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1 B.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,10)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1 D．x2－eq\f(y2,2)＝1答案D解析因为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq\r(2)x，所以b＝eq\r(2)a，则双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,2a2)＝1(a>0)，F1(－eq\r(3)a,0)，F2(eq\r(3)a,0)，所以直线l为y＝eq\r(3)(x－eq\r(3)a)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－\f(y2,2a2)＝1，,y＝\r(3)x－\r(3)a，))得x2－6eq\r(3)ax＋11a2＝0，则x1＋x2＝6eq\r(3)a，x1x2＝11a2，所以|MN|＝eq\r(1＋3)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝2eq\r(108a2－44a2)＝16a，因为|MF1|＝|MF2|＋2a，|NF1|＝|NF2|＋2a，所以|MF1|＋|NF1|＝|MF2|＋|NF2|＋4a＝|MN|＋4a＝20a，因为△MNF1的周长为36，所以|MF1|＋|NF1|＋|MN|＝36，所以20a＋16a＝36，解得a＝1，所以双曲线C的方程为x2－eq\f(y2,2)＝1.6．(2023·沈阳模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,2)＝1(a>eq\r(2))的离心率为eq\f(\r(6),3)，过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)))的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足|PA|＝|PB|，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则|OM|的最小值为()A．1B.eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)答案B解析由题设，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，即eq\f(c2,a2)＝1－eq\f(b2,a2)＝1－eq\f(2,a2)＝eq\f(2,3)，可得a2＝6>2，过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)))的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足|PA|＝|PB|，则P为线段AB的中点，所以xA＋xB＝3，yA＋yB＝1，又eq\f(x\o\al(2,A),6)＋eq\f(y\o\al(2,A),2)＝1，eq\f(x\o\al(2,B),6)＋eq\f(y\o\al(2,B),2)＝1，则eq\f(x\o\al(2,A)－x\o\al(2,B),6)＋eq\f(y\o\al(2,A)－y\o\al(2,B),2)＝0，即eq\f(xA＋xBxA－xB,6)＝－eq\f(yA＋yByA－yB,2)，所以eq\f(yA－yB,xA－xB)＝－eq\f(xA＋xB,3yA＋yB)＝－1，故直线AB的方程为y－eq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，即x＋y－2＝0，所以|OM|的最小值为eq\f(|－2|,\r(2))＝eq\r(2).二、多项选择题7．关于双曲线C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1，下列说法正确的是()A．该双曲线与双曲线eq\f(y2,5)－eq\f(x2,4)＝1有相同的渐近线B．过点F(3,0)作直线l与双曲线C交于A，B，若|AB|＝5，则满足条件的直线只有一条C．若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),2)，\f(\r(5),2)))D．过点P(1,2)能作4条直线与双曲线C仅有一个交点答案ACD解析双曲线C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1的渐近线方程可表示为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝0，双曲线eq\f(y2,5)－eq\f(x2,4)＝1的渐近线方程可表示为eq\f(y2,5)－eq\f(x2,4)＝0，整理后都是y＝±eq\f(\r(5),2)x，故A正确；由于双曲线的实轴长为2a＝4，所以过焦点F与左右两支都相交的直线被双曲线截得的弦长的取值范围是[4，＋∞)，存在关于x轴对称的两种情况，使其弦长为5，另外当直线垂直于x轴时，经计算可得弦长正好是5，故满足条件的直线有三条，故B错误；由于双曲线的渐近线的斜率为±eq\f(\r(5),2)，焦点在x轴上，所以若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),2)，\f(\r(5),2)))，故C正确；由于点P(1,2)在双曲线的两条渐近线的上方，如图所示，故过点P能作4条直线与双曲线C仅有一个交点，其中两条与渐近线平行，另外两条与双曲线相切，故D正确．8．(2022·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则()A．C的准线为y＝－1B．直线AB与C相切C．|OP|·|OQ|>|OA|2D．|BP|·|BQ|>|BA|2答案BCD解析如图，因为抛物线C过点A(1,1)，所以1＝2p，解得p＝eq\f(1,2)，所以C：x2＝y的准线为y＝－eq\f(1,4)，所以A错误；因为x2＝y，所以y′＝2x，所以y′|x＝1＝2，所以C在点A处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，又点B(0，－1)在直线y＝2x－1上，所以直线AB与C相切，所以B正确；设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为y＝kx－1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,x2＝y))得x2－kx＋1＝0，所以x1＋x2＝k，x1x2＝1，且Δ＝k2－4>0，得k>2或k<－2，所以|OP|·|OQ|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))＝eq\r(x\o\al(2,1)＋x\o\al(4,1)x\o\al(2,2)＋x\o\al(4,2))＝eq\r(1＋x\o\al(2,1)1＋x\o\al(2,2))·x1x2＝eq\r(1＋x1＋x22－2x1x2＋x\o\al(2,1)x\o\al(2,2))＝eq\r(k2)>2＝|OA|2，所以C正确；|BP|·|BQ|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y1＋12)·eq\r(x\o\al(2,2)＋y2＋12)＝eq\r(x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,1)＋12)·eq\r(x\o\al(2,2)＋x\o\al(2,2)＋12)＝eq\r(x\o\al(4,1)＋3x\o\al(2,1)＋1x\o\al(4,2)＋3x\o\al(2,2)＋1)＝eq\r(x\o\al(4,1)x\o\al(4,2)＋3x\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋3x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2)＋x\o\al(4,1)＋x\o\al(4,2)＋9x\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋1)＝eq\r(6x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2)＋x\o\al(4,1)＋x\o\al(4,2)＋11)＝eq\r(6x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2)＋x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2)2＋9)＝eq\r(6k2－2＋k2－22＋9)＝eq\r(k2＋12)＝k2＋1>5＝|BA|2，所以D正确．三、填空题9．已知m为实数，直线mx＋y－1＝0与椭圆eq\f(x2,m2)＋y2＝1的交点个数为________．答案2解析因为直线方程为mx＋y－1＝0，所以直线过定点(0,1)，定点在椭圆上，又因为m≠0，所以直线与x轴不平行，所以直线和椭圆相交，所以交点个数为2.10．已知椭圆T：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，过左焦点F作倾斜角为45°的直线交T于A，B两点，若|AB|＝eq\f(8\r(2),5)，则椭圆T的方程为________．答案eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1解析∵a＝2b，则c＝eq\r(3)b，∴椭圆T：eq\f(x2,4b2)＋eq\f(y2,b2)＝1，左焦点F(－eq\r(3)b,0)，直线AB：y＝x＋eq\r(3)b，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋\r(3)b，,\f(x2,4b2)＋\f(y2,b2)＝1，))消去y得5x2＋8eq\r(3)bx＋8b2＝0，∴x1＋x2＝－eq\f(8\r(3),5)b，x1x2＝eq\f(8b2,5)，|AB|＝eq\r(2)eq\r(\b\lc\