2025数学步步高大一轮复习讲义人教A版第八章　§8.1　直线的方程含答案

2025数学步步高大一轮复习讲义人教A版第八章§8.1直线的方程§8.1直线的方程课标要求1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．知识梳理1．直线的方向向量设A，B为直线上的两点，则eq\o(AB,\s\up6(→))就是这条直线的方向向量．2．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.3．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.(α≠90°)(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).4．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用常用结论1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．3．斜率为k的直线的一个方向向量为(1，k)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角．(√)(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大．(×)(3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tanα.(×)(4)经过P0(x0，y0)的任意直线方程可表示为y－y0＝k(x－x0)．(×)2．(选择性必修第一册P55T4改编)已知点A(2,0)，B(3，eq\r(3))，则直线AB的倾斜角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案B解析由题意得直线AB的斜率k＝eq\f(\r(3)－0,3－2)＝eq\r(3)，设直线AB的倾斜角为α，则tanα＝eq\r(3)，∵0°≤α<180°，∴α＝60°.3．(选择性必修第一册P67T7)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_____．答案3x－2y＝0或x＋y－5＝0解析当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，则eq\f(2,a)＋eq\f(3,a)＝1，解得a＝5，直线方程为x＋y－5＝0.所以直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.4．(选择性必修第一册P80T16改编)直线x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)所过的定点坐标为________．答案(1，－1)解析直线x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)可以化为m(y＋1)＋y＋x＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＋1＝0，,y＋x＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1，))故所过的定点坐标为(1，－1).题型一直线的倾斜角与斜率例1(1)若直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，eq\r(3))为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A．[－eq\r(3)，1]B．(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，1))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪[1，＋∞)答案B解析如图，当直线l过点B时，设直线l的斜率为k1，则k1＝eq\f(\r(3)－0,0－1)＝－eq\r(3)；当直线l过点A时，设直线l的斜率为k2，则k2＝eq\f(1－0,2－1)＝1，所以要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)．延伸探究本例(1)条件不变，则直线l的倾斜角的取值范围是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(2π,3)))(2)(2023·绵阳模拟)已知直线l的方程为xsinα＋eq\r(3)y－1＝0，α∈R，则直线l倾斜角的范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))答案B解析xsinα＋eq\r(3)y－1＝0，则k＝－eq\f(\r(3),3)sinα∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，设直线l的倾斜角为θ(0≤θ<π)，故k＝tanθ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，所以当k∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))时，直线l的倾斜角θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))；当k∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，0))时，直线l的倾斜角θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))，综上所述，直线l的倾斜角θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π)).思维升华直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))两种情况讨论．跟踪训练1(1)(2023·重庆南开中学模拟)已知直线l的一个方向向量为p＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)，cos\f(π,3)))，则直线l的倾斜角为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)答案A解析由题意可得，直线l的斜率k＝eq\f(cos\f(π,3),sin\f(π,3))＝eq\f(\r(3),3)，又倾斜角的范围是[0，π)，所以k＝eq\f(\r(3),3)＝taneq\f(π,6)，即直线l的倾斜角为eq\f(π,6).(2)(2024·广州模拟)在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的边AB所在直线斜率为2eq\r(3)，则边AC所在直线斜率的一个可能值为________．答案－eq\f(3\r(3),5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(\r(3),7)))解析设直线AB的倾斜角为α，由已知得kAB＝tanα＝2eq\r(3)，设直线AC的倾斜角为θ，则kAC＝tanθ，因为在等边三角形ABC中，∠BAC＝60°，所以θ＝α±60°，当θ＝α＋60°时，tanθ＝tan(α＋60°)＝eq\f(tanα＋tan60°,1－tanαtan60°)＝eq\f(2\r(3)＋\r(3),1－2\r(3)×\r(3))＝－eq\f(3\r(3),5)，所以kAC＝－eq\f(3\r(3),5)；当θ＝α－60°时，tanθ＝tan(α－60°)＝eq\f(tanα－tan60°,1＋tanαtan60°)＝eq\f(2\r(3)－\r(3),1＋2\r(3)×\r(3))＝eq\f(\r(3),7)，所以kAC＝eq\f(\r(3),7)，综上，kAC＝－eq\f(3\r(3),5)或kAC＝eq\f(\r(3),7).题型二求直线的方程例2求符合下列条件的直线方程：(1)直线过点A(－1，－3)，且斜率为－eq\f(1,4)；(2)斜率为eq\f(3,4)，且与两坐标轴围成的面积为6；(3)直线过点(2,1)，且横截距为纵截距的两倍．解(1)∵所求直线过点A(－1，－3)，且斜率为－eq\f(1,4)，∴y＋3＝－eq\f(1,4)(x＋1)，即x＋4y＋13＝0.(2)设直线方程为y＝eq\f(3,4)x＋b，令x＝0，得y＝b，令y＝0，得x＝－eq\f(4,3)b，∴eq\f(1,2)|b|·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)b))＝6，解得b＝±3，∴直线方程为y＝eq\f(3,4)x±3，即3x－4y±12＝0.(3)当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y＝kx，又直线过点(2,1)，∴1＝2k，解得k＝eq\f(1,2)，∴直线方程为y＝eq\f(1,2)x，即x－2y＝0；当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)＝1，,a＝2b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝2，))∴直线方程为eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0；综上，所求直线方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0.思维升华求直线方程的两种方法(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．跟踪训练2(1)过点P(1,4)在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条答案C解析当截距为0时，设直线方程为y＝kx，将P(1,4)代入y＝kx，求得k＝4，故方程为y＝4x；当截距不为0时，①若截距相等，设方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，将P(1,4)代入，即eq\f(1,a)＋eq\f(4,a)＝1，解得a＝5，故方程为x＋y＝5.②若截距互为相反数，设直线方程为eq\f(x,a)－eq\f(y,a)＝1，将P(1,4)代入，即eq\f(1,a)－eq\f(4,a)＝1，解得a＝－3，故方程为x－y＋3＝0.一条是截距为0，一条是截距相等(不为0)，一条是截距互为相反数(不为0)，共3条．(2)在△ABC中，若A(2,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则∠BAC的角平分线所在直线l的方程是()A．2x－y＋1＝0 B．2x－y－1＝0C．2x－3y－2＝0 D．3x－y－1＝0答案B解析如图所示，设∠BAC的角平分线所在直线l与横轴的交点为D(a,0)，由角平分线的性质可知eq\f(|AB|,|AC|)＝eq\f(|BD|,|DC|)⇒eq\f(\r(2＋22＋32),3)＝eq\f(a＋2,2－a)⇒a＝eq\f(1,2)，所以∠BAC的角平分线所在直线l的方程是eq\f(y－3,0－3)＝eq\f(x－2,\f(1,2)－2)⇒2x－y－1＝0.题型三直线方程的综合应用例3已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．解方法一设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)，0))，B(0,1－2k)，S△AOB＝eq\f(1,2)(1－2k)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋－4k＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)))))≥eq\f(1,2)×(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－eq\f(1,k)，即k＝－eq\f(1,2)时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－eq\f(1,2)(x－2)，即x＋2y－4＝0.方法二设直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，且a>0，b>0，因为直线l过点M(2,1)，所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1，则1＝eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(2,ab))，故ab≥8，故S△AOB的最小值为eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,2)×8＝4，当且仅当eq\f(2,a)＝eq\f(1,b)，即a＝4，b＝2时，等号成立，故直线l的方程为eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0.延伸探究1．在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．解由本例方法二知，eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1，a>0，b>0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))＝3＋eq\f(a,b)＋eq\f(2b,a)≥3＋2eq\r(2)，当且仅当eq\f(a,b)＝eq\f(2b,a)，即a＝2＋eq\r(2)，b＝1＋eq\r(2)时，等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋eq\r(2)y－2－eq\r(2)＝0.2．在本例条件下，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．解由本例方法一知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)，0))，B(0,1－2k)(k<0)．所以|MA|·|MB|＝eq\r(\f(1,k2)＋1)·eq\r(4＋4k2)＝2×eq\f(1＋k2,|k|)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－k＋\f(1,－k)))≥4.当且仅当－k＝－eq\f(1,k)，即k＝－1时等号成立．此时直线l的方程为x＋y－3＝0.思维升华直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决．跟踪训练3(1)(2023·贵州联考)若直线l：(a－2)x＋ay＋2a－3＝0经过第四象限，则a的取值范围为()A．(－∞，0)∪(2，＋∞)B．(－∞，0)∪[2，＋∞)C．(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))D．(－∞，0)∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))答案C解析若a＝0，则l的方程为x＝－eq\f(3,2)，不经过第四象限；若a≠0，将l的方程转化为y＝－eq\f(a－2,a)x－eq\f(2a－3,a)，因为l经过第四象限，所以－eq\f(a－2,a)<0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a－2,a)≥0，,－\f(2a－3,a)<0，))解得a<0或a>eq\f(3,2).综上，a的取值范围为(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)).(2)已知直线kx－y＋2k－2＝0恒过定点A，点A在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m，n均为正数，则eq\f(2,m)＋eq\f(2,n)的最小值为()A．4 B．4＋4eq\r(2)C．8 D．4－4eq\r(2)答案C解析由kx－y＋2k－2＝0，得y＝k(x＋2)－2.∴直线kx－y＋2k－2＝0恒过定点(－2，－2)，即A(－2，－2)，∵点A在直线mx＋ny＋2＝0上，∴m＋n＝1，∴eq\f(2,m)＋eq\f(2,n)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(1,n)))(m＋n)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(n,m)＋\f(m,n)))≥2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2\r(\f(n,m)·\f(m,n))))＝8，当且仅当eq\f(n,m)＝eq\f(m,n)，即m＝n＝eq\f(1,2)时取等号．∴eq\f(2,m)＋eq\f(2,n)的最小值为8.课时精练一、单项选择题1．(2023·阜阳模拟)在x轴与y轴上截距分别为－2,2的直线的倾斜角为()A．45°B．135°C．90°D．180°答案A解析由题意知直线过点(－2,0)，(0,2)，设直线斜率为k，倾斜角为α，则k＝tanα＝eq\f(2－0,0－－2)＝1，故倾斜角α＝45°.2．已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c不过()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案B解析直线方程为y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(c,b)，其斜率－eq\f(a,b)>0，直线在y轴的截距eq\f(c,b)<0，据此可知直线不经过第二象限．3．已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为()A．y－3＝－eq\f(3,2)(x＋4)B．y＋3＝eq\f(3,2)(x－4)C．y－3＝eq\f(3,2)(x＋4)D．y＋3＝－eq\f(3,2)(x－4)答案C解析因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，所以直线l的斜率k＝eq\f(3,2)，故直线l的方程为y－3＝eq\f(3,2)(x＋4)．4．直线l的倾斜角是直线eq\r(3)x－y－1＝0的倾斜角的2倍，且过点(eq\r(3)，－1)，则直线l的方程为()A.eq\r(3)x－y－4＝0 B．2eq\r(3)x－y－7＝0C.eq\r(3)x＋y－2＝0 D.eq\r(3)x＋y－4＝0答案C解析直线eq\r(3)x－y－1＝0可化为y＝eq\r(3)x－1，其斜率为eq\r(3)，∴其倾斜角为60°，∴直线l的倾斜角为120°，∴kl＝tan120°＝－eq\r(3)，∴直线l的方程为y＋1＝－eq\r(3)(x－eq\r(3))，即eq\r(3)x＋y－2＝0.5．(2023·南通联考)已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(4,3)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程为()A．4x－3y＋1＝0 B．3x－4y－1＝0C．4x＋3y＋1＝0 D．3x＋4y－1＝0答案C解析因为直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(4,3)，所以4a1＋3b1＋1＝0,4a2＋3b2＋1＝0.由上式可得点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)都在直线4x＋3y＋1＝0上，即过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程为4x＋3y＋1＝0.6．(2024·淮南联考)已知直线l：y＝eq\f(1,2)x＋1与y轴交于点P，将l绕点P逆时针旋转45°后与x轴交于点Q，要使直线l平移后经过点Q，则应将直线l()A．向左平移eq\f(1,6)个单位长度B．向右平移eq\f(1,6)个单位长度C．向左平移eq\f(5,3)个单位长度D．向右平移eq\f(5,3)个单位长度答案D解析设直线l的倾斜角为α，则tanα＝eq\f(1,2)，旋转后的直线斜率为tan(α＋45°)＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝3，又点P坐标为(0,1)，所以旋转后的直线方程为y＝3x＋1，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))，因为直线l过点(－2,0)，所以把直线l向右平移eq\f(5,3)个单位长度后经过点Q.二、多项选择题7．已知直线l的方程为ax＋by－2＝0，则下列判断正确的是()A．若ab>0，则直线l的斜率小于0B．若b＝0，a≠0，则直线l的倾斜角为90°C．直线l可能经过坐标原点D．若a＝0，b≠0，则直线l的倾斜角为0°答案ABD解析若ab>0，则直线l的斜率－eq\f(a,b)<0，故A正确；若b＝0，a≠0，则直线l的方程为x＝eq\f(2,a)，其倾斜角为90°，故B正确；将(0,0)代入ax＋by－2＝0中，显然不成立，故C错误；若a＝0，b≠0，则直线l的方程为y＝eq\f(2,b)，其倾斜角为0°，故D正确．8．(2023·盐城模拟)下列说法正确的是()A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大B．倾斜角相等的两直线的斜率一定相等C．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为－eq\f(2,3)答案CD解析对于A，如倾斜角为eq\f(2π,3)的直线的斜率为－eq\r(3)，而倾斜角为eq\f(π,3)的直线的斜率为eq\r(3)，故A错误；对于B，当两直线的倾斜角为eq\f(π,2)时，直线的斜率不存在，故B错误；对于C，当x1＝x2时，经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为x＝x1，此时适合(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)；当y1＝y2时，经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为y＝y1，此时适合(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)；当x1≠x2，y1≠y2时，经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为eq\f(x－x1,x2－x1)＝eq\f(y－y1,y2－y1)，也即(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，故经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程可以表示为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，故C正确；对于D，设直线l为y＝kx＋b，由题意得y＝k(x＋3)＋b＋2＝kx＋3k＋b＋2，则3k＋b＋2＝b，即k＝－eq\f(2,3)，故D正确．三、填空题9．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))解析由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6≤0，,3－2k≤0，))得k≥eq\f(3,2).10．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_______________．答案y＝－eq\f(5,3)x或x－y＋8＝0解析过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数，当截距为0时，所求直线斜率为－eq\f(5,3)，方程为y＝－eq\f(5,3)x，即5x＋3y＝0；当截距不为0时，设所求直线方程为x－y＝a，代入M的坐标，可得a＝－3－5＝－8，即直线方程为x－y＋8＝0.综上可得所求直线方程为y＝－eq\f(5,3)x或x－y＋8＝0.11．已知点A(2,4)，B(4,2)，直线l：y＝kx－2，则直线l经过定点________，若直线l与线段AB有公共点，则k的取值范围是________．答案(0，－2)[1,3]解析由题意得直线l：y＝kx－2过定点C(0，－2)，又点A(2,4)，B(4,2)，kCA＝eq\f(4－－2,2－0)＝3，kCB＝eq\f(2－－2,4－0)＝1，要使直线l与线段AB有公共点，由图可知k∈[1,3]．12．若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________．答案16解析根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，又因为C(－2，－2)在该直线上，故eq\f(－2,a)＋eq\f(－2,b)＝1，所以－2(a＋b)＝ab.又因为ab>0，故a<0，b<0.根据基本不等式ab＝－2(a＋b)＝2(－a－b)≥4eq\r(ab)，从而eq\r(ab)≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时取等号，即ab的最小值为16.四、解答题13．根据所给条件求直线方程．(1)直线过点A(1,2)，倾斜角α的正弦值为eq\f(3,5)；(2)直线过点A(1,3)，且在两坐标轴上的截距之和为8；(3)直线过点A(2,4)，B(－2,8)．解(1)因为sinα＝eq\f(3,5)，所以k＝tanα＝±eq\f(3,4)，则所求直线方程为y－2＝±eq\f(3,4)(x－1)，即3x－4y＋5＝0或3x＋4y－11＝0.(2)依题意得，直线的横截距、纵截距均不为0，可设直线方程为eq\f(x,m)＋eq\f(y,8－m)＝1，代入点A(1,3)，可得eq\f(1,m)＋eq\f(3,8－m)＝1，解得m＝2或m＝4，所以所求直线方程为eq\f(x,2)＋eq\f(y,6)＝1或eq\f(x,4)＋eq\f(y,4)＝1，即所求直线方程为3x＋y－6＝0或x＋y－4＝0.(3)直线斜率k＝eq\f(4－8,2－－2)＝－1，则所求直线方程为y－4＝－(x－2)，即x＋y－6＝0.14．已知直线l：x－ky＋2＋k＝0(k∈R)．(1)若直线l不经过第一象限，求k的取值范围；(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值和此时直线l的方程．解(1)当k＝0时，方程x－ky＋2＋k＝0可化为x＝－2，不经过第一象限；当k≠0时，方程x－ky＋2＋k＝0可化为y＝eq\f(1,k)x＋eq\f(2,k)＋1，要使直线不经过第一象限，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)≤0，,\f(2,k)＋1≤0，))解得－2≤k<0.综上，k的取值范围为[－2,0]．(2)由题意可得k>0，由x－ky＋2＋k＝0，令y＝0，得x＝－2－k，令x＝0得y＝eq\f(2＋k,k)，所以S＝eq\f(1,2)|OA||OB|＝eq\f(1,2)·eq\f(2＋k,k)·(2＋k)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(4,k)＋4))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(k·\f(4,k))＋4))＝4，当且仅当k＝eq\f(4,k)，即k＝2时取等号，此时Smin＝4，直线l的方程为x－2y＋4＝0.15.如图，8个半径为1的圆摆在坐标平面的第一象限(每个圆与相邻的圆或坐标轴外切)，设L为八个圆形区域的并集，斜率为3的直线l将L划分为面积相等的两个区域，则直线l的方程为________．答案3x－y－5＝0(答案不唯一)解析当过A(2,1)的直线将圆1与圆2平分，过B(3,4)的直线将圆3与圆4平分时，L划分为面积相等的两个区域且kAB＝eq\f(4－1,3－2)＝3，∴直线AB的方程为y－1＝3(x－2)，即直线l：3x－y－5＝0(答案不唯一)．16．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＋1＝0和过定点B的动直线mx－y－2m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的最大值为________．答案6解析由题意知，动直线x＋my＋1＝0过定点A(－1,0)，动直线mx－y－2m＋3＝0可化为(x－2)m＋3－y＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝0，,3－y＝0，))可得B(2,3)，又1×m＋m×(－1)＝0，所以两动直线互相垂直，且交点为P，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18，因为eq\f(|PA|2＋|PB|2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PA|＋|PB|,2)))2，所以|PA|＋|PB|≤eq\r(2|PA|2＋|PB|2)＝eq\r(2×18)＝6，当且仅当|PA|＝|PB|＝3时取等号，即|PA|＋|PB|的最大值为6.§8.2两条直线的位置关系课标要求1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．知识梳理1．两条直线的位置关系直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表：位置关系l1，l2满足的条件l3，l4满足的条件平行k1＝k2且b1≠b2A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)垂直k1·k2＝－1A1A2＋B1B2＝0相交k1≠k2A1B2－A2B1≠02.三种距离公式(1)两点间的距离公式①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．②结论：|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)点到直线的距离点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)两条平行直线间的距离两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).常用结论六种常用对称关系(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．(6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(×)(2)若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(×)(3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√)(4)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－eq\f(1,k)，且线段AB的中点在直线l上．(√)2．(选择性必修第一册P102T2改编)若直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，则m等于()A．4B．－4C．1D．－1答案A解析因为直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，所以eq\f(2,3)＝eq\f(m,6)≠eq\f(1,－1)，解得m＝4.3．(选择性必修第一册P79练习T1改编)两平行直线x－2y＋1＝0与直线2x－4y－3＝0的距离为()A.eq\f(\r(5),2)B.eq\r(5)C.eq\r(10)D.eq\f(\r(10),2)答案A解析由直线2x－4y－3＝0可得，x－2y－eq\f(3,2)＝0，根据两条平行线间的距离公式知d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)－1)),\r(12＋－22))＝eq\f(\r(5),2).4．直线x－2y－3＝0关于定点M(－2,1)对称的直线方程是________．答案x－2y＋11＝0解析在直线上取点P(3,0)，点P关于M(－2,1)的对称点为P′(－7,2)，过点P′与原直线平行的直线方程为x－2y＋11＝0，即为对称后的直线方程.题型一两条直线的平行与垂直例1(1)(2023·桂林模拟)已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，若l1⊥l2，则实数a的值是()A．0或－1 B．－1或1C．－1 D．1答案A解析由题意可知l1⊥l2，故2a＋a(a－1)＝0，解得a＝0或a＝－1，经验证，符合题意．(2)(2024·青岛模拟)瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，C(3,3)，若直线l：ax＋(a2－3)y－9＝0与△ABC的欧拉线平行，则实数a的值为()A．－2 B．－1C．－1或3 D．3答案B解析由△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，C(3,3)知，△ABC的重心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－3＋3＋3,3)，\f(0＋0＋3,3)))，即(1,1)，又三角形为直角三角形，所以外心为斜边中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－3＋3,2)，\f(0＋3,2)))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))，所以可得△ABC的欧拉线方程为eq\f(y－1,x－1)＝eq\f(1－\f(3,2),1－0)，即x＋2y－3＝0，因为ax＋(a2－3)y－9＝0与x＋2y－3＝0平行，所以eq\f(a,1)＝eq\f(a2－3,2)≠eq\f(－9,－3)，解得a＝－1.思维升华判断两条直线位置关系的注意点(1)斜率不存在的特殊情况．(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．跟踪训练1(1)(2023·襄阳模拟)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是()A．相交但不垂直 B．垂直C．平行 D．重合答案B解析由题意可知，直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的斜率分别为－eq\f(sinA,a)，eq\f(b,sinB)，又在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，所以－eq\f(sinA,a)·eq\f(b,sinB)＝－1，所以两条直线垂直．(2)已知两直线l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，则m＝________；若l1∥l2，则m＝________.答案3或－2eq\f(1,7)解析因为l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，所以，若l1⊥l2，则m(m－1)－6＝0，解得m＝3或m＝－2，若l1∥l2，则m－1＋6m＝0，解得m＝eq\f(1,7)，经检验符合题意．题型二两直线的交点与距离问题例2(1)经过两直线l1：2x－y＋3＝0与l2：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是()A．2x－3y＋5＝0 B．2x＋3y－1＝0C．3x＋2y－2＝0 D．3x＋2y＋1＝0答案D解析方法一由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋3＝0，,x＋2y－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝1，))所以直线l1与l2的交点为(－1,1)，设与直线3x＋2y＋7＝0平行的直线为3x＋2y＋m＝0(m≠7)，所以3×(－1)＋2×1＋m＝0，解得m＝1，所以所求直线方程为3x＋2y＋1＝0.方法二设所求直线方程为2x－y＋3＋λ(x＋2y－1)＝0，即(λ＋2)x＋(2λ－1)y＋3－λ＝0，又该直线与3x＋2y＋7＝0平行，故(λ＋2)·2－3·(2λ－1)＝0，解得λ＝eq\f(7,4)，故所求直线方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,4)＋2))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)－1))y＋3－eq\f(7,4)＝0，即3x＋2y＋1＝0.直线系方程过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，λ∈R，但不包括直线l2.典例过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为()A．3x－19y＝0 B．19x－3y＝0C．19x＋3y＝0 D．3x＋19y＝0答案D解析设过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，得4＋5λ＝0，解得λ＝－eq\f(4,5)，故所求直线方程为x－3y＋4－eq\f(4,5)(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.(2)(2023·上饶统考)正方形ABCD的两个顶点A，B在直线x＋y－4＝0上，另两个顶点C，D分别在直线2x－y－1＝0,4x＋y－23＝0上，那么正方形ABCD的边长为________．答案2eq\r(2)或14eq\r(2)解析设直线CD的方程为x＋y＋m＝0，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－1＝0，,x＋y＋m＝0，))得Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－m,3)，\f(－1－2m,3)))，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋y－23＝0，,x＋y＋m＝0，))得Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋23,3)，\f(－23－4m,3)))，∴由两点间的距离公式可得|CD|＝eq\f(2\r(2),3)|m＋11|，又直线AB与CD的距离为d＝eq\f(|m＋4|,\r(2))，∴eq\f(2\r(2),3)|m＋11|＝eq\f(|m＋4|,\r(2))，解得m＝－8或m＝－32，即|CD|＝2eq\r(2)或14eq\r(2).即正方形的边长为2eq\r(2)或14eq\r(2).思维升华利用距离公式应注意的点(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等．跟踪训练2(1)若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为()A．3B．4C．2D．6答案B解析由(m－1)2＋n2的几何意义为点(m，n)到点(1,0)距离的平方，得其最小值为点(1,0)到直线l：3x＋4y－13＝0的距离的平方，即d2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|3＋0－13|,\r(32＋42))))2＝4.(2)已知两条平行直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，平行线之间的距离的最大值为________，此时两平行直线方程分别为____________________．答案3eq\r(10)3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0解析两条平行直线分别过点A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，当AB与两平行直线垂直时，两平行线之间的距离最大，|AB|＝eq\r(6＋32＋2＋12)＝3eq\r(10)，这两条平行直线之间的距离有最大值，最大值为3eq\r(10)，∵直线AB的斜率kAB＝eq\f(2＋1,6＋3)＝eq\f(1,3)，故这两条平行直线的斜率为－3，则两平行直线方程分别为y－2＝－3(x－6)，y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.题型三对称问题命题点1点(或直线)关于点对称例3直线3x－2y＝0关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))对称的直线方程为()A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0答案B解析方法一设所求直线上任一点为(x，y)，则其关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))对称的点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－x，－y))，因为点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－x，－y))在直线3x－2y＝0上，所以3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－x))－2(－y)＝0，化简得3x－2y－2＝0，所以所求直线方程为3x－2y－2＝0.方法二在直线3x－2y＝0上任取两点O(0,0)，M(2,3)，设点O，M关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))的对称点分别为O′，M′，则O′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，0))，M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，－3))，所以所求直线方程为eq\f(y－－3,0－－3)＝eq\f(x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3))),\f(2,3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3))))，即3x－2y－2＝0.命题点2点关于直线对称例4已知实数x，y满足x＋y＋1＝0，则eq\r(x－12＋y－12)＋eq\r(x－22＋y2)的最小值为()A.eq\r(5)B．2eq\r(2)C.eq\r(10)D．2eq\r(5)答案D解析eq\r(x－12＋y－12)＋eq\r(x－22＋y2)表示直线x＋y＋1＝0上一动点P(x，y)到定点A(1,1)，B(2,0)的距离之和，如图所示，设点A(1,1)关于直线x＋y＋1＝0的对称点为A′(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0－1,x0－1)＝1，,\f(x0＋1,2)＋\f(y0＋1,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－2，,y0＝－2，))所以对称点为A′(－2，－2)，则|A′B|＝eq\r(－2－22＋－2－02)＝2eq\r(5)，由图知eq\r(x－12＋y－12)＋eq\r(x－22＋y2)的最小值为2eq\r(5).命题点3直线关于直线的对称问题例5两直线方程为l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为()A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0答案C解析设所求直线上任意一点M(x，y)，M关于直线x－y－2＝0的对称点为M′(x1，y1)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－y1,x－x1)＝－1，,\f(x＋x1,2)－\f(y＋y1,2)－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝y＋2，,y1＝x－2，))①∵点M′在直线3x－2y－6＝0上，∴将①式代入，得3(y＋2)－2(x－2)－6＝0，化简得2x－3y－4＝0，即为l1关于l2对称的直线方程．思维升华对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．跟踪训练3已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m′的方程；(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．解(1)设A′(x，y)，由已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13).))所以A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点为M′(a，b)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2×\f(a＋2,2)－3×\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))得M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).设直线m与直线l的交点为N，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4,3)．又m′经过点N(4,3)，所以直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.(3)方法一在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1,1)，Q(4,3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P′，Q′均在直线l′上，易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，所以l′的方程为2x－3y－9＝0.方法二因为l∥l′，所以设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)．因为点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等，所以由点到直线的距离公式，得eq\f(|－2＋6＋C|,\r(22＋32))＝eq\f(|－2＋6＋1|,\r(22＋32))，解得C＝－9，所以l′的方程为2x－3y－9＝0.课时精练一、单项选择题1．已知直线l1经过点A(2，a－1)，B(a,4)，且与直线l2：2x＋y－3＝0平行，则a等于()A．－2B．2C．－1D．1答案C解析直线l1的斜率k1＝eq\f(a－1－4,2－a)＝eq\f(a－5,2－a)，直线l2的斜率k2＝－2，所以eq\f(a－5,2－a)＝－2，解得a＝－1，经检验，符合题意．2．若直线ax－4y＋2＝0与直线2x＋5y＋c＝0垂直，垂足为(1，b)，则a＋b＋c等于()A．－6B．4C．－10D．－4答案D解析因为ax－4y＋2＝0与直线2x＋5y＋c＝0垂直，故2a－20＝0，解得a＝10，因为垂足为(1，b)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10×1－4b＋2＝0，,2×1＋5b＋c＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝3，,c＝－17，))故a＋b＋c＝－4.3．四边形ABCD的四个顶点是A(3,0)，B(0,4)，C(4,7)，D(11,6)，则四边形ABCD为()A．矩形 B．菱形C．等腰梯形 D．直角梯形答案D解析由kBC＝eq\f(7－4,4－0)＝eq\f(3,4)，kAD＝eq\f(6－0,11－3)＝eq\f(3,4)，kAB＝eq\f(0－4,3－0)＝－eq\f(4,3)，kCD＝eq\f(6－7,11－4)＝－eq\f(1,7)，∵kBC＝kAD，kAB≠kCD，∴BC∥AD，AB与CD不平行，∴四边形ABCD为梯形，又∵kAD·kAB＝－1，∴AD⊥AB，∴四边形ABCD为直角梯形．4．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，则|c1－c2|等于()A．2eq\r(3)B．2eq\r(5)C．2D．4答案B解析因为菱形四条边都相等，所以每条边上的高也相等，且菱形对边平行，直线x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0之间的距离为eq\f(|1－3|,\r(12＋－22))＝eq\f(2,\r(5))，直线3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0之间的距离为eq\f(|c1－c2|,\r(32＋42))＝eq\f(|c1－c2|,5)，于是有eq\f(|c1－c2|,5)＝eq\f(2,\r(5))⇒|c1－c2|＝2eq\r(5).5．(2024·牡丹江模拟)直线y＝eq\f(\r(3),3)x关于直线x＝1的对称直线为l，则直线l的方程是()A.eq\r(3)x＋y－2＝0 B.eq\r(3)x＋y＋2＝0C．x＋eq\r(3)y－2＝0 D．x＋eq\r(3)y＋2＝0答案C解析直线y＝eq\f(\r(3),3)x与直线x＝1交于点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))，所以直线l的斜率为－eq\f(\r(3),3)且过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))，所以直线l的方程为y－eq\f(\r(3),3)＝－eq\f(\r(3),3)(x－1)，即x＋eq\r(3)y－2＝0.6．使三条直线4x＋y－4＝0，mx＋y＝0,2x－3my－4＝0不能围成三角形的实数m的值最多有()A．3个B．4个C．5个D．6个答案B解析要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点，若4x＋y－4＝0，mx＋y＝0平行，则eq\f(4,m)＝eq\f(1,1)，解得m＝4；若mx＋y＝0,2x－3my－4＝0平行，则eq\f(m,2)＝eq\f(1,－3m)，无解；若4x＋y－4＝0,2x－3my－4＝0平行，则eq\f(4,2)＝eq\f(1,－3m)，解得m＝－eq\f(1,6)；若三条直线交于一点，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋y－4＝0，,mx＋y＝0，,2x－3my－4＝0，))可得m＝eq\f(2,3)或m＝－1，经检验，当m∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,6)，\f(2,3)，4))时，均满足三条直线不能围成三角形，故m的值最多有4个．二、多项选择题7．已知直线l过点P(1,2)，且点A(2,3)，B(4，－5)到直线l的距离相等，则l的方程可能是()A．4x＋y－6＝0 B．x＋4y－6＝0C．3x＋2y－7＝0 D．2x＋3y－7＝0答案AC解析由条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点，当直线l∥AB时，因为直线AB的斜率为eq\f(3－－5,2－4)＝－4，所以直线l的方程是y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0；当直线l经过线段AB的中点(3，－1)时，l的斜率为eq\f(2－－1,1－3)＝－eq\f(3,2)，此时直线l的方程是y－2＝－eq\f(3,2)(x－1)，即3x＋2y－7＝0.8．已知在以C(2,3)为直角顶点的等腰直角三角形ABC中，顶点A，B都在直线x－y＝1上，下列判断中正确的是()A．斜边AB的中点坐标是(3,2)B．|AB|＝2eq\r(2)C．△ABC的面积等于4D．点C关于直线AB的对称点的坐标是(4,1)答案ABD解析如图，取AB的中点为P(x，y)，因为△ABC为以C为直角顶点的等腰直角三角形，所以CP⊥AB，即CP垂直于直线x－y＝1，则kCP＝eq\f(y－3,x－2)＝－1，且x－y＝1，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，))则AB的中点P的坐标为(3,2)，故A正确；|CP|＝eq\r(3－22＋2－32)＝eq\r(2)，|AB|＝2|CP|＝2eq\r(2)，故B正确；所以S△ABC＝eq\f(1,2)|AB||CP|＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(2)＝2，故C错误；设点C关于直线AB的对称点为点C1，则CC1的中点为点P，即xP＝＝3，所以＝4，所以＝－1，解得＝1，即点C关于直线AB的对称点的坐标是(4,1)，故D正确．三、填空题9．已知直线l1：2x＋y＋1＝0和直线l2：x＋ay＋3＝0，若l1⊥l2，则实数a的值为________；若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为________．答案－2eq\r(5)解析已知直线l1：2x＋y＋1＝0和直线l2：x＋ay＋3＝0，若l1⊥l2，则2＋a＝0，解得a＝－2；若l1∥l2，则2a＝1，解得a＝eq\f(1,2)，此时直线l2：2x＋y＋6＝0，显然两直线不重合，故此时l1与l2间的距离d＝eq\f(|1－6|,\r(4＋1))＝eq\r(5).10．△ABC的顶点A(0，－2)，B(3,1)，C(－2,2)．若AD⊥BC，垂足为点D，则点D的坐标为________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,13)，\f(19,13)))解析kBC＝eq\f(1－2,3－－2)＝－eq\f(1,5)，∴直线BC方程为y－2＝－eq\f(1,5)(x＋2)，即x＋5y－8＝0，又AD⊥BC，∴kAD＝5，∴直线AD方程为y＝5x－2，即5x－y－2＝0，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋5y－8＝0，,5x－y－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(9,13)，,y＝\f(19,13)，))故Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,13)，\f(19,13))).11．(2023·菏泽模拟)点A(5,2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的取值范围是________．答案[0,2eq\r(13)]解析直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5可化为(x＋2y－1)m－x－y＋5＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋