假设检验课件

假设检验

上一章介绍了如何根据样本来估计总体分布中的未知参数,而在实际工作中,常会遇到另外一类问题,例如,已知样本来自正态总体,如何判断该样本是否来自均值E(X)为某个已知常量a0的正态总体?

或者说怎样根据样本,推断总体均值E(X)与已知常量a0是否存在显著差异?因为样本出自总体,自然想到利用样本均值

来对总体均值E(X)作出推断,但出于抽样的随机性,即使

恰好等于a0,也不能肯定E(X)=a0;反之,如果

与

相差甚远,也不能否定E(X)=a0的可能性。a0

再例如,设是分别来自两个相互独立的正态总体的样本,怎样利用样本判断这两个正态总体的均值相等与否?或者说两总体的均值是否有显著差异?人们也会想到利用样本均值进行分析,但是,与上述同样的理由,由于抽样的随机性,即使与相等,也不能肯定两个总体的均值相等。如果与不相等,也不能排除两总体均值相等的可能。那么,该如何分析,才能作出合理的推理呢?这属于假设检验中参数的假设检验所研究的内容。假设检验还包含另外一类内容,非参数的假设检验。例如,已知某个样本,能否说明该样本来自某个已知分布的总体等等,讨论的对象不是参数,而是分布等。

假设检验

§8－1基本概念

§8－2正态总体均值的假设检验§8－3正态总体方差的假设检验§8－4零相关检验§8－5非参数假设检验§8－1基本概念

基本思想

假设检验的一般步骤两类错误

小概率事件（实际推断原理）将概率很小、接近于0的事件（小概率事件）在一次试验中看成实际上的不可能事件；将概率较大、接近1的事件（大概率事件）在一次试验中看成实际上的必然事件。这就是概率论中的一个重要原理，即实际推断原则。例如，交通事故时有发生，但对每个人来讲，遇到车祸的概率是很小的，可看成实际上的不可能事件；又例如，若某种彩票中头奖的概率为1/500万，则买一张彩票就中头奖是一个小概率事件，也可看成实际上的不可能事件。假设检验的基本方法

假设检验的基本方法是所谓的概率反证法。即：假定某种假设H0是正确的。在此前提下构造一个小概率事件A，作一次实验，如果事件A没有发生，就接受H0

；反之，就有理由拒绝H0。

例：某车间用一台自动包装机包装奶粉，额定标准假设检验的一般步骤下面通过例子来说明假设检验的一般步骤为每袋净重0.5公斤，设包装机称得的奶粉重量服从正态分布，且根据长期的经验知其标准差是0.015（公斤），某天开工后，为检验包装机的工作是否正常，随机抽取它所包装的奶粉9袋，称得净重为：0.497，0.506，0.518，0.524，0.488，0.511，0.510，0.515，0.512。问这天包装机的工作是否正常？

解：设这天包装机所包装的奶粉重量为X，已知X~N

(a,0.0152)。首先，假设a=0.5，记作H0:

a=0.5。如果H0成立，

取一临界值，使之在H0

成立的条件下，则设

因为|1.8|<1.96,这表明小概率事件没有发生，我们没有理由否定原来的假设，只能认为原假设成立，接受原假设H0

，即认为这天包装机工作正常。这种检验又称显著性检验。假设检验的内容和形式尽管很多，但检验步骤一般如下：①②③④⑤假设检验中的基本术语

上例中“H0:a=0.5”为原假设或零假设，而把相反的结论称作对立假设或备择假设，上例中的备择假设为“H1：a

≠0.5”。如果拒绝H0

，则就接受H1

。给定的小概率为显著水平。拒绝原假设的区域称为拒绝域或否定域。接受原假设的区域称为接受域。

两类错误

第一类错误(“以真作假”错误或“弃真”错误):在原假设为真的情况下，如果一次试验中，小概率事件A发生了，我们就拒绝原假设，实际上，在成立条件下，虽然事件A发生的概率很小（等于显著水平），但是，它还是有可能发生的，一旦发生，就拒绝原假设，即把一个正确的假定给否定了。犯第一类错误的概率就是

。第二类错误(“以假作真”错误或“取伪”错误):在我们进行假设检验的时候，当我们接受原假设时，并不能保证原假设一定是正确的。因为在原假设不成立的情况下，统计量的取值也有可能落在接受域。犯第二类错误的概率为β（如下图）。

在样本容量一定的情况下，变小了，则β变大了；反之,β变小了，则变大，不可能使两者同时都很小。当然，人们总希望尽可能地减小犯两类错误的概率。但是，欲使和β都变小，必须增加样本容量。因为n越大，σ2/n越小，分布越集中。

我们知道对同一个原假设，根据同一组样本，不同，可能有不同的判别结果。因此，的选择也很重要，一般须根据实际情况来确定。例如，在检验药品中，某种成分是否等于规定指标，因为关系到人民的安全，我们情愿犯“以真作假”的错误，而不愿犯“以假作真”的错误，即宁可将合格药品判为不合格药品，而不愿将不合格药品判为合格药品，此时，应把取大些。而在另外一些场合，例如，检查盒装螺丝钉的重量，就不必那么严格了，值可以取小些。§8－2正态总体均值的假设检验

分两种情况讨论：一个正态总体均值的假设检验1①1.2.

2.

例:由生产经验知，某种钢筋的强度服从正态分布N(a,σ2)

，但a,σ2均未知，今随机抽取6根钢筋进行强度试验，测得强度分别是(单位:kg/mm2)：48.5，49.0，53.5，49.5，56.0，52.5，问能否认为该种钢筋的强度为52.0(=0.05)？解：

正态总体均值的双侧假设检验与

单侧假设检验

双侧假设检验：假设检验的否定域分布在接受域的两侧。单侧假设检验原假设为：两个正态总体均值的假设检验

例：设我国南方甲、乙两市的年降水量，分别服从正态分布，X~N(a1,σ12),Y~N(a2,σ22)且已知

σ1=250,σ2=260

。根据甲城市的15年降水资料计算得平均年降水量为1050mm，又根据乙城市13年降水资料计算得平均降水量为1000mm

，试在=0.05下检验两市年降水量的均值有无显著差异？解：

如果两正态总体方差未知，但已知两正态总体方差相等，则在H0成立时统计量

其中这样，可以采用t检验法。

多个正态总体均值的假设检验

(方差分析)表1:在水文研究中,方差分析主要用于分析水文现象的周期性。§8－3正态总体方差的假设检验

分两种情况：一个正态总体方差的假设检验a已知

a未知

例：某车间生产的钢丝折断力在正常情况服从N(a,σ2)

，按规定生产精度σ2=64，某天抽取10根钢丝作折断试验，结果为(单位：kg)578，572，570，568，572，570，572，596，584，570。试问该天生产的精度有无显著变化？（取=0.05）解：，两个正态总体方差的假设检验

例：

对A，B两批同类无线电元件的电阻进行测试（单位：欧），各抽6件，根据测试结果。求得,能否认为这两批元件电阻的方差相等。（＝0.02）解：

根据已知条件，求得F的计算值为：

因为0.09<1.06<11,所以可以认为这两批元件电阻的方差无显著差异。§8－4零相关检验

设X与Y为服从正态分布的随机变量，ρ为它们的相关系数。（X1,X2,…，Xn）和（Y1，Y2,…，Yn）分别为X与Y的样本，R为它们的样本相关系数，与其他样本数字特征一样，也是随机变量。

一般来讲，如果X与Y的线性相关程度越高，则R的绝对值越大；反之，则R的绝对值越小。但是，有时即使X与Y不相关，甚至相互独立，由于抽样的随机性仍有可能有较大的样本相关系数。因此，常常有必要对相关系数是否为零进行检验，这种检验成为零相关检验。提出原假设：

H0:ρ=0；H1:ρ≠0在实际工作中，常采用另外一种等价的检验方法。

例：根据12年资料，算得某流域年径流量与年降水量的相关系数r＝0.88，试检验该流域的年径流量和年降水量是否显著相关（＝0.05）。解：

由＝0.05,根据自由度n-2＝10，查附表（相关系数检验表）得：因为

所以拒绝原假设ρ＝0，即该流域的年径流量与年降水量是显著相关的。§8－5非参数假设检验

分布的假设检验独立性检验一致性检验

前面所讨论的检验对象都是总体的未知参数，所以称为参数假设检验。而在某些场合需要检验某个样本是否来自某已知分布的总体，或者根据样本，要检验随机变量的独立性，有时还要判断某组样本是否属于同一总体，等等。这些都属于非参数假设检验。分布的假设检验

随机变量X的分布函数F(x)未知,F0(x)为某个已知的分布函数。H0:F(x)=F0(x)，H1:F(x)≠

F0(x)

将X的取值范围划分成若干个连续的区间，统计样本落在各区间内的个数mi，再计算出H0成立时，n次试验中在各区间取值的理论频数npi。皮尔逊证明，当

例：下表中①，②两列是某随机变量X的容量n＝269的样本的频率分布，试检验X

是否服从正态分布N(a,σ2)(＝0.05)。各组的频数不应太小，一般要求不小于5，否则，将它与邻组合并，总组数k按合并后的组数计算。解：根据样本，用极大似然法估计正态分布中的两个参数。将表中的最前2组和最后3组分布合并，使每组频数不少于5。总组数k＝11。由

＝0.05，自由度v＝11－2－1＝8，查分布表得。由上表求得的值为7.47