八年级数学下册第16章教案 (一)

第十六章二次根式

16.1二次根式(1)

【教学目标】

知识与技能

1.根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；知道被开方数必须是非负数的理由；

2、掌握二次根式有意义的条件。

过程与方法

培养学生根据条件处理问题的能力

情感、态度与价值观

培养学生辩证唯物主义观点

【教学重难点】

重点：从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念

难点：二次根式有意义的条件；

【导学过程】

【情境导入】

电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔

高h(单位：km)与电视节目信号的传播半径r(单位：km)之间

存在近似.关系，其中地球半径Rg6400km.

如果两个电视塔的高分别是hlkm、h2km,那么它们

的传播半径之比是

【知识回顾】

(1)已知x2=a,那么a是x的;x是a的,记为,

a一定是数。

(2)4的算术平方根为2,用式子表示为"；

正数a的算术平方根为,0的算术平方根为；

式子GN0(。＞0)的意义是。

【新知探究】

探究一、二次根式的概念

1.:(a'O)叫做二次根式.

二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围

有.限制：被开方数a必须是非负数。

2.试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？

百一厢V?QT(a-0)7771

，fff，

探究二、例1(P2)

1.当a为正数时而指a的.，而。的算术平方根是—，负数,

只有非负数a才有算术平方根。所以，在二次根式而中，字母a必须满足,而

才有意义。

2.式子20）的取值是非负数。

【知识梳理】

本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑?

【随堂练习】

x取何值时，下列各二次根式有意义？

①j3x—4③

2、（1）若J=工有意义，则a的值为

（2）若J限数范围内有意.义，则x为（）。

A.正数B.负数C.非负数D.非正数

3、（1）在式子一；------中，x的取值范围是____________.

i+x

(2)已知y/x2-4+J2«x+y=0,贝!jx-y=.

(3)已知y=J3-X—2,则y'=—

第十六章二次根式

16.1二次根式（2）

【教学目标】

知识与技能

使学生初步掌握利用（&）2=。（a20）进行计算.

过程与方法

如何利用（8）2=a（。20）解题.

情感、态度与价值观

通过利用乘方与开方互为逆运算推导结论（、G）1a（。20）,使学生感受到数学知识的

内在联系.

【教学重难点】

重点：应用（&）-a（a20）进行计算.

难点：利用二次根式的非负性和利用（、份）2=。（a.20）解题.

.【导学过程】

【知识，回顾】

1.什么叫二次根式？

2.当a20时，叫什么？当a<0时，&有意义吗？.

【新知探究】

探究一、

1、y/a（a20）是一个什么数呢？

G（a）0）是一个非负数.

2、根据算术平方根的意义填空:

（V4）2=；（41）J；（79）2=___；（百）J

（R）--；（胃）、--；（而）-—•

3、你从中发现了什么规律？

(\[a)2=a(a0)

探究二、例2计算

⑴(代)2⑵(2①

解：

练习：计算

1.()22.(3s/5)23.()24.()

探究三、例3、化简

（1）屈=⑵E

解：

练习：计算

行=

2、叫代数式.

【知识梳理】

一般地：(G)2=a(aZ°)

【随堂练习】

1、课后练习题1、2

2、补充练习计算下列各式的值：

(V18)2(、户)2(―)2(VO)2(.4、口)2(375)2-(573)2

V34V8

3、化简下列各式

(1)A/4?(X>0)

4、化简下列各式

(2)JQx+3)(<-2)

(1)J(。-3>(«>3)x

第十六章二次根式

16.2二次根式的乘除(1)

【教学目标】

知识与技能

1.探索二次根式乘法法则；

2.能根据二次根式乘法法则进行二次根式的乘法运算.

过程与方法

用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘法规定，并运用规定进行计算.

情感态度价值观

培养学生努力探索事物之间内在联系的学.习习惯.

【教学重难点】

重点：二次根式乘法法则的探究和应用

难点：根据二次根式乘法法则进行二次根式的乘法运算

【导学过程】

【知识回顾】

1、计算：

（1）V4x也=74x9=

（2）J16xJ25_J16x25-

（3）V100xV36=7100x36=

2、根据上题计算结果，用或“="填空：

（1）V4x百J4x9

⑵V16xV25V16x25

（3）V100xV36V100x36

【新知探究】

探究一、

1、由上题并结合知识回顾中的结论，你发现了什么规律?

能用数学表达式表示发现的规律吗？

2、二次根武.的乘法法则是:

探究二、例1

练习、依照例题进行计算:

(1)MX历⑵2百X3叵

(3)45a•(4)旧•43a•

探究三、把二次根式乘法法则反过来，就得到

探究四、例2、例3

练习、化简:

①后②&对从

③125x49④J100>64

【知识梳理】

1、二次根式的乘法法则是什么？如何归纳出这一法则.的？

2、如何二次根式的乘法法则进行计算？

【随堂练习】

1、判断下列各式是否正确并说明理由。

(1)J(T)x(-9)=x7^9

(2)飞3a°b，=ab\[3b

(3)6瓜X(-2>/6)=6x(-2)78x6=-12-y48

(4)=4x3=12

2、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。

第十六章二次根式

16.2二次根式的乘除(2)

【教学目标】

知识与技能

1.会进行简单的二次根式的除法运算.

2.使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.

过程与方法

引导学生从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，解决数学问题.

情感、态度与价值观

通过本节课的学习使学生认识.到事物之间是相互联系的，相互作用的.

【教学重难点】

重点：

会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进行简单的二次根式的除法运算.

难点：

二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.

【导学过程】

【知识回顾】

1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质

2,计算：⑴3我X（-A屈）（2）J1勿

V4匹

（3）屈=______,"16=

【新知探究】

探究一、1、由“知识回顾3题”可得规律：

规雷也叵.巫叵巫

屈-------56'V36--------V36,屈

2、根据大家的练习和解答，我们可以得到二次根式的除法法则:

把这个法则反过来，得到商的算术平方根性质:

探究二、例4,

练习、仿照例题完成下面的题目:

叵

计算：（1）8

(2)

探究三、例5,

练习、仿照例题完成下面的题目:

【知识梳理】

1、二次根式的除法法则是什么？如何归纳出这一法则的？

2、如何二次根式的除法法则进行计算？

3、商的算术平方根有什么性质？

4、如何运用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简？

【随堂练习】

第十六章二次根式

16.2二次根式的乘除（3）

【教学目标】

知识与技能

学习目标：

1.理解最简二次根式的概念；

2.能用最简二次根式的概念进行二次根式的化简.

过程与方法

学会二次根式的化简方法

情感、态度与价值观

通过探究，激发学生的探索热情，让学生充分参与到数学学习的过程中来，使他们体验到成

功的乐趣.

【教学重难点】

重点：把二次根式化简到最简二次根式.

难点：判断这个二次根式是否是最简二次根式

【导学过程】

【知识回顾】

请同学们完成下列各题

计算而，V18,V24,也3A/|巫

E用'扃

上面的结果是最简形式吗？

【新知探究】

G372瓜

探究一、例6.计算(1)小,(2)后,(3)缶

V180V27

练习、计算：(1)友

(2)3A/40(3)V3«

探究二、最简二次根式

观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的.二次根式有如下两个特点:

1.被开方数不含—；

2.被开方数中不含能的因数或.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

探究三、例7.

练习：仿照例题完成下面的题目：

设长方形的面积为S,相邻两边的长分别为a,b,已知S=16,b=W,求a

探究四、2.现在我，们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分.别是hlkm,h2km,

那么它们的传播半径的比是.

J2秋

它们的比是"而

探究五、拓展

L阅读下列运算过程:

1V3732275275

___,——

6一垂-3,后一小X邪一5

数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。

21

利用上述方法化简：(1)瓜=(2)3夜=

1而

(3)=___(4)24=____

2.观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式:

1lx(V2-l)V2-1

V2+1=(^+1)(72-1)-2-1

1________lx(V3-V2)_V3-V2

G+逝=(V3+V2)(V3-V2)-3-2=73-72

]

.同理可得："+G="-百，……

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

1_______1___]]

（/+1+省+五+4+省+……72002+^001）（J2002+1）的值.

分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以

达到化简，的目的.

解：原式=（3-1+6-0+4-6+……+^/2002-^/20（）i）x（V2002+1）

=（V2002_o（J2002+1）

=2002-1=2001

【知识梳理】

化简二次根式达到的要求：

（1）被开方数不含分母；

（2）分母中不含有二次根式。

【随堂练习】

化简

⑴；⑵JxR+九"；

第十六章二次根式

16.3二次根式的加减法（1）

【教学目标】

知识与技能

会进行二次根式的加减法运算。

过程与方法

1.学生经历由实际问题引入数学问题的过程，发展学生的抽象概括能力。

2.通过加减法运算，培养学生的运算能力。

情感、态度与价值观

通过加减法运算解决生活中实际问题，体会数学知识应用的价值,，提高学生学习数学的兴

趣。

【教学重难点】

重点：合并被开方数相同的二次根式。

难点：二次根式加减法的实际应用

【导学过程】

【知识回顾】

1、什么是同类项？

2、如何进行整式的加减运算？

3、.计算：(1)2x-3x+5x(2)crb+2ba2-3ab

【新知探究】

探究一、问题：

1.现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如教科书图16.3-1所示的方式，在这块木

板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？

2.通过计算归纳：进行二次根式的加减法时，应先将二次根式化为,再将被开方数

相同的的二次根式进行。

3.下列计算是否正确？为什么？

（1）—=A/8—3

⑵"+百=14+9

,，⑶V9xV16=A/9X16

（4）3A/2-V2=2V2

探究二、课本例1,.例2,

例1计算

(])J80-J45

（2）J9a+J25a

例2计算

2V12-6.-+3V48

⑴丫3

⑵(V12+V20)+(V3-V5)

思考：(1)比较二次根式的加减法与整式的加减，你能得出什么结论?

.(2)由与后能合并吗？

仿例计算:

(1)y/s+A/TS(2)A/7+2币+3>/9x7(3)3-s/48-9+3>/12

【知识梳理】

二次根式的加减步骤：

进行二次根式的加减法时，应先将二次根式化为,再将被开方数相同的的二次根式

进行。

【随堂练习】

1.计算

(2)(V48+V20)+(V12-V5)

2(])2>/7—6-\/^7.(2)J8O—5/2O+V5

M+(演-4).(4+质)-(6一厢

F♦XT.Z

3、如图所示，面积为48cm2的正方形的四个角是面积为

3cm2的小正方形，现将这四个角剪掉，制作一个无盖的长

方体盒子，求这个长方体的高和底面边长分别是多少？

4"、已知4x"+y2-4x-6y+10=0,

)-(x2）的值.

第十六章二次根式

16.3二次根式的加减(2)

【教学目标】