勾股定理的证明教案

PAGEPAGE20勾股定理（第一课时）【学习目标】1．知识技能（1）了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理．（2）运用勾股定理．2．解决问题经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识．3．数学思考通过勾股定理的实验演示，发展自身对图形变换的认识能力．4．情感态度坚持严谨的数学学习态度，体会勾股定理的应用价值．【学习重难点】1．重点：掌握了解勾股定理，会用面积法证明勾股定理并能运用勾股定理．2．难点：用面积法证明勾股定理．一、课前延伸一、思考下列问题：（1）三角形三边关系（2）分别画一个锐角三角形和一个钝角三角形，用刻度尺量出各边的长度（3）分别计算锐角三角形和钝角三角形较小两边的平方和与较大边的平方有何大小关系？（4）猜想直角三角形中较小两边的平方和与第三边的平方的关系．二、预习课本，完成思考题1．一个直角三角形的两条直角边分别为5cm、12cm，那么这个直角三角形斜边为．2．如图，要将楼梯铺上地毯，则需要米长的地毯．三、课内探究1、问题：毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家．相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边的某种数量关系．（1）同学们，请你也来观察下图中的地面，看看能发现些什么？地面（2）你能找出图中正方形A、B、C面积之间的关系吗？（3）图中正方形A、B、C所围等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系?2、（1）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”呢？如图，每个小方格的面积均为1，以格点为顶点，有一个直角边分别是2、3的直角三角形．仿照上一活动，我们以这个直角三角形的三边为边长向外作正方形．（2）想一想，怎样利用小方格计算正方形A、B、C面积？（3）猜想：直角三角形三边有何数量关系四、课堂反馈1．在Rt△ABC，∠C=90°⑴已知a=b=5，求c．⑵已知a=1，c=2，求b．⑶已知c=17，b=8，求a．⑷已知a：b=1：2，c=5，求a．2．已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边．3．小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机．小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗?你能解释这是为什么吗?4．如图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前有多高?5．填空题（1）在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=．（2）在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a=，b=．（3）一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为．（4）已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm（5）已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为五、课后提升已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积．勾股定理(第二课时)学习目标：1．知识目标：在上一节课学习了勾股定理的基础上，联系实际，应用勾股定理解决问题。2．能力目标：经过观察——分析——讨论——归纳的过程，发展自我分析归纳，解决问题的能力。3．情感目标：通过问题的解决，了解勾股定理的广泛应用，感受数学在际生活中无处不在。学习重点：应用勾股定理解决相关问题。学习难点：将实际问题转化为数学问题。一、课前延伸1．勾股定理的内容是什么？2．判断：（1）DABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13()（2）RtDABC中，a=6,b=8,则c=10()3．已知：∠C＝90°，a：b＝3：4，c＝10，求a和b4．已知在△ABC中，∠A=90°，a=13,b=12.求c的长？二、预习课本，完成思考题如图，为了求出位于湖两岸的两点A、B之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好是直角三角形。通过测量,得到AC长160米,BC长128米。问：从点A穿过湖到点B有多远？AB4000米5000米20秒后128160AAB4000500020秒后128160ABCAC三、课内探究创设情境，例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米。飞机每时飞行多少千米？1．问题：在垂直于地面的墙上2米的A点斜放一个长2.5米的梯子,由于不小心,梯子在2、如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AB=5cm,BC=3cm.求CD的长。3．在波平如镜的水面上，有一朵美丽的红莲，它高出水面1米，一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离是是2米，则这里的水深是多少米？4．如图，将长为10米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为6米(1)求梯子上端A到墙的底端B的距离AB.(2)若梯子下部C向后移动2米到C1点，那么梯子上部AAAC106A1C12四、课堂反馈训练：1．直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是（）A．6厘米；B．8厘米；C．厘米；D．厘米；2．如图，将长为10米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为6米(1)求梯子上端A到墙的底端B的距离AB.(2)若梯子下部C向后移动2米到C1梯子上部A向下移动了多少米？3．填空题：在Rt△ABC，∠C=90°，⑴如果a=7，c=25，则b=⑵如果∠A=30°，a=4，则b=。⑶如果∠A=45°，a=3，则c=。⑷如果c=10，a-b=2，则b=。⑸如果a、b、c是连续整数，则a+b+c=。⑹如果b=8，a：c=3：5，则c=。4．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。五、课后提升1、思考：蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）BBC2．如图，在⊿ABC中，∠ACB=900，AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB与D,求：（1），AC的长；（2）⊿ABC的面积；（3）CD的长。勾股定理（第三课时）课题勾股定理课型新授案序第3节学习目标知识技能能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．数学思考通过从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，初步掌握转化和数形结合的思想方法．解决问题能运用勾股定理解决直角三角形相关的问题．情感态度通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．学习重点勾股定理的应用．学习难点勾股定理在实际生活中的应用．一、课前延伸1．一个直角三角形的两条直角边分别为5cm、12cm，那么这个直角三角形斜边为。2．一直角三角形的斜边长比一直角边长大，另一直角边长为，则斜边长为（）A．4B．8C．10D．123．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，a＋b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积为()A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．二、预习课本，完成思考题1．如图中字母A所代表的正方形的面积为()A．4B．8C．16D．642．你听说过亡羊补牢的故事吗？如图,为了防止羊的再次丢次，小明爸爸要在高0.9m，宽1.2m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需_____m长．三、课内探究1．求出下列直角三角形中未知的边．并回答：①在解决问题时，每个直角三角形需知晓几个条件？②直角三角形中哪条边最长？2．在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC长．245245°A15CB230°610ACB问题：BC1m2mA1．在长方形ABCDBC12A2．一个门框的尺寸如图1所示．①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？②若薄木板长3米，宽1.5米呢？③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？3．如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．OBDCＣAOBDCＣACAOBOD②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C，请同学们猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．图34．变式：请同学们再设计其他方案构造直角三角形（或其他几何图形），测量池塘的长AB．图35．如图3，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式．四、课堂反馈训练：1．如图：有一圆柱，它的高等于cm，底面直径等于cm（）在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与相对的点处的食物，需要爬行的最短路程大约（）A．10cmB．12cmC．19mD．20cm2．如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得∠EAC=30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为_______米．3．如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯______米．4．如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？五、课后提升1．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，则CN的长为（）．A．B．C．D．2．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？3．如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？勾股定理（第四课时）【学习目标】1．知识技能1、理解并掌握勾股定理的内容及存在条件；2、能灵活运用勾股定理解决问题．2．解决问题通过问题的变式，实际问题的应用，使学生灵活运用勾股定理解题．3．数学思考通过对勾股定理的复习巩固，进一步提高学生解决几何问题的能力，以及概括能力等．【学习重难点】1.重点：勾股定理及其应用．2.难点：灵活运用勾股定理解决问题．一、课前延伸1．在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)已知=6，=10，则=(2)已知=40，=9，则=(3)已知=，=4，则=．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D．若CD=4，BD=3，则BC=，AC=，AB=．3．CD是Rt△ABC斜边AB上的高，若AB=1,AC：BC=4：1，则CD的长为二、预习思考题1．如图,如图，∠C=∠BAD=90°，AC=2，BC=4，BD=12，求AD的长．2．一根旗杆在离地面8米处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断之前的长度为米．三、课内探究活动11．在△ABC中，若边a=6，b=8，则第三边c是多少？问题：你的根据是什么？2．在Rt△ABC中，、为两直角边，为斜边；若=6，=8，则=________．问题：你的根据是什么？活动21．在Rt△ABC中，、、为三边；若=6，=8，则=________；2．在Rt△ABC中，、为两直角边，为斜边，已知：=3：4，且斜边为10cm，求：（1）、的长；（2）斜边上的高．活动31．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，两条直角边AB=7，BC=24，在三角形内有一点P到三边的距离都相等，求这个距离．2．如图，已知△ABC，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1、S2、S3分别表示这三个正方形的面积，S1=81，S3=225，则S2=________；3．一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8km，接着它又掉头向正东方向航行15（1）此时轮船离开出发点多少km?（2）若轮船每航行1km，需耗油0.4L4．如图，四边形ABCD为长方形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于（）．A．B．C． D．8四、课堂反馈1．若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边比斜边短1cm．2．如图，△ABC中，∠A=90°，点D、E分别在AC和AB上，试说明BD2一DE2=BC2一CE2．3、甲、乙两位探险者在沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6千米／时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米／时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙两人相距多远？五、课后提升如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E勾股定理的逆定理（第五课时）【教学目标】知识与技能：1．研究直角三角形的判别条件；2．熟记一些勾股数；3．研究勾股定理的逆定理的探究方法。过程与方法：用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，体会数形结合的思想。情感态度与价值观：1．通过对Rt判别条件的研究，树立大胆猜想，勇于探索的创新精神。2．通过介绍有关历史资料，激发解决问题的愿望。【教学重难点】教学重点：探究勾股定理的逆定理，理解互逆命题，原命题、逆命题的有关概念及关系。教学难点：归纳、猜想出命题2的结论。一、课前延伸（1）总结直角三角形有哪些性质。（2）一个三角形，满足什么条件是直角三角形?二、预习课本、完成课后练习题三、课内探究问题1：在Rt△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，填表abC3452.56.57.58.5A b c Ca问题2：如果以表中数据为边作三角形，则所作三角形是会什么三角形呢？问题3：由此你们能感受到什么结论？问题4：勾股定理的题设和结论分别是什么？刚才得到的命题的题设、结论分别是什么？原命题正确，逆命题不一定正确，勾股定理是真命题，但它的逆命题一定是真命题吗？要知道它的真假，该怎么办？当△ABC的三边长度为任意长，且满足EQ时如何证明∠C=？已知在△ABC中AB=c,BC=a,AC=b,且，求证∠C=四、课堂反馈1．判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形，为什么？eq\o\ac(○,1)5，6，7eq\o\ac(○,2)15、17、82．以下列各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（）A．1，2B．7，24，25C．1，，D．3.5，4.5，5.53．补充完整下列勾股数。eq\o\ac(○,1)5，12eq\o\ac(○,2)10、26五、课后提升一个三角形三边为15，20，25，求最大边上的高勾股定理的逆定理（第六课时）【学习目标】1．知识技能灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识2．解决问题数形结合，正确标图，将条件反应到图形中，充分利用图形的功能和性质．分类讨论，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高自己的灵活应用能力．作辅助线，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高自己的综合应用能力．优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使自己达到熟练使用，灵活运用的程度．3．数学思考通过对勾股定理及逆定应用，进一步提高自己解决几何问题的能力及概括能力等．【学习重难点】1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题．2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题．一、课前延伸1．三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A．a:b:c=8∶16∶17B．a2-b2=c2C．a2=(b+c)(b-c)D．a:b:c=13∶5∶122．已知某三角形的三边长依次为6、8、10，则该三角形的面积是___________．3．三角形的三边长满足条件，则此三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形二、预习课本、完成思考题1．若△ABC三边a、b、c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，判断△ABC的形状2．如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.三、课内探究活动11．在△ABC中，a、b为两边，c为另一边；⑴若a=6，b=8，则⑴c=________；⑵若∠c=90°则c=．问题：你的根据是什么？2．在△ABC中，如果三边a=5，b=12，c=13，那么你又能得到什么？你的根据是什么？活动21．某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”呈沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行的吗？2．一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状．活动31．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿CD，早晨测得它的影长BD为4米，中午测得它的影长AD为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？2、小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地．小强在操场上向东走了80m后，又走四、课堂反馈1．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为，此三角形的形状为．2．一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？五、课后提升如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C艇的距离是12海里AAMENCB勾股定理及其逆定理（复习课）【学习目标】知识技能勾股定理及其逆定理．长为无理数的线段的画法．互逆命题（定理）及勾股数的概念．能灵活运用勾股定理及逆定理数学思考通过对勾股定理及逆定理的复习巩固，进一步掌握数形结合的思想方法，提高解决几何问题的能力．解决问题长为无理数的线段的画法．互逆命题（定理）及勾股数的概念．能灵活运用勾股定理及逆定理解决直角三角形相关问题情感态度1．通过勾股定理及逆定理综合运用体验数与形的内在联系，感受勾股定理及逆定理之间的和谐及辨证统一的关系．2．通过小组活动培养学生合作交流的意识和探索精神．【学习重难点】重点：勾股定理及逆定理的应用．难点：灵活运用勾股定理及逆定理．一、课前延伸1．在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)已知a=6，b=8，则c=;(2)已知a=b，c=4，则a=．2．在△ABC中，a．b为两边，c为另一边；若a=6，b=8，则c的范围是______；3．已知两条线的长为5cm和4cm，当第三条线段的长为_________㎝时，这三条线段能组成一个直角三角形；补充勾股数10．26．4．已知一个直角三角形的两条直角边分别为6．8，那么这个直角三角形斜边上的高为5．写出“等角的补角相等”的逆命题______；6．在数轴上表示数的点归纳：1．直角三角形有哪些性质？2．满足什么条件的三角形是直角三角形？二、课内探究1．自主探究题：（1）若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积．(2)等边三角形的边长为2，求它的面积．（3）．直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积．（4）．在锐角△ABC中，已知其两边a=1，b=3，求第三边的变化范围．（5）．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A．8，15，17 B．4，5，6 C．5，8，