专题1.11锐角三角函数精讲精练

1.锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA.即sinA=∠A的对边除以斜边=（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA.即cosA=∠A的邻边除以斜边=.（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA.即tanA=∠A的对边除以∠A的邻边.（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.2.特殊角的三角函数值（1）30°、45°、60°角的各种三角函数值（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记.（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多.3.解直角三角形：（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B=90°;②三边之间的关系：a2+b2=c24.解直角三角形的应用：（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问.如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度.（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）.②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案.5.坡度、坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式.（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα.（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题.应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等.6.俯角、仰角问题：（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角.（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决.【考点1】锐角三角函数的定义【例1】（荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1则tan∠OAP的值是 B.【变式1.1】（岳麓区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,若AC＝3，AB＝5，则cosA的值为【变式1.3】（博兴县一模）如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC则sinA的值为()B.【考点2】特殊角的三角函数【例2】（攸县期末）在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanB﹣|+（2cosA﹣1）2＝0，则△ABC是A．直角（不等腰）三角形B．等边三角形C．等腰（不等边）三角形D．等腰直角三角形【变式2.1】（淄川区期末）下列三角函数中，值为的是()【变式2.3】（石家庄模拟）下列说法中正确的是()C．tan30°+tan60°=1D．tan75°=tan（45°+30°)=tan45°+tan30°=1+【考点3】锐角三角函数的增减性【例3】（惠山区校级期中）已知∠A为锐角，且tanA＝3，则∠A的取值范围是()A．0°<∠A＜30°B．30°<∠A＜45°C．45°<∠A＜60°D．60°<∠A＜90°【变式3.1】（莱芜区期中）已知sina那么锐角a的A．60°＜a＜90°B．0°＜a＜60°C．45°＜a＜90°D．0°＜a【变式3.2】（新邵县期末）下列说法中正确的是()A．sin45°+cos45°=1B．若α为锐角，则sinα=cos（90°﹣α)C．对于锐角β,必有tan=D．若α为锐角，则sinα>cosα【变式3.3】（泗县期末）如图，半径为13的⊙O内有一点A，OA＝5，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，SA．40B．45C．30【考点4】同角三角函数【例4】（金安区校级期末）若∠A为锐角，且sinA则cosA等于()A．大于1B．小于1C．等于1【变式4.2】（连城县校级自主招生）已知有公式：cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ且sinθ+cosθ=则锐角θ的值为()【变式4.3】（冷水滩区月考）关于三角函数有如下公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α﹣β)=sinαcosβ﹣cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ,cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβtan(α+β)=（其中：1﹣tanαtanβ≠0）例如：sin90°=sin（30°+60°)=sin30℃os60°+cos30°sim60°=×+×=1．利用上述公式计算下列三角函数：①sin105°=,②sin15°=,③cos90°=0，④sin15°+tan105°=2﹣2+．其中正确的个数为()【考点s】锐角三角函数新定义问题【例5】（2017•河南模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°,定义：斜边与∠A的邻边的比叫做∠A的用“secA”表示，如设该直角三角形各边为a，b，c，则secA=A．secB•sinA＝1B．secB=C．secA•cosB＝1D．sec2A•sec2B＝1【变式5.1】（2019•罗湖区一模）由三角函数定义，对于任意锐角A，有sinA＝cos（90°﹣A）及sin2A+cos2A=1成立．如图，在△ABC中，∠A，∠B是锐角，BC＝a，AC＝b，AB＝c．CD⊥AB于D，DE∥AC交【变式5.2】（浙江自主招生）定义sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,则sin75°=.【变式5.3】（乐陵市模拟）教材中第28章通过锐角三角函数，建立直角三角形边角之间的关系．解决与直角三角形试题有关问题.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，sinα=锐角，则sadα的值为.【考点6】锐角三角函数与网格问题【例6】（江城区期末）如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为.【变式6.1】（宽城区校级月考）如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点处，则tanB的值为.【变式6.2】（青浦区期末）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，那么∠BAC的正弦值为.【变式6.3】（长春期末）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则cos∠ABC的值为.【考点7】解直角三角形【例7】（遂川县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,CD⊥AB，垂足于点E，交CB于点F．若AC＝6，BC＝8.（1）直接写出CD的长为；（2）求CF的长和tan∠BAF的值.【变式7.1】（浦东新区期中）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tan∠B=,点E是边BC的中点.（1）求边AC的长；（2）求∠EAB的正切值.【变式7.3】（宝山区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC=,BC＝2，过点B作BD⊥AC，垂足为点D.（1）求cot∠ACB的值；（2）点E是BD延长线上一点，连接CE，当∠E=∠A时，求线段CE的长.【考点8】锐角函数的应用：方向角问题【例8】（新泰市期末）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是多少海里结果精确到个位，参考数据：,)【变式8.1】（渠县期末）如图，在东西方向的海岸线l上有一码头PQ＝1千米，在码头西端P的正西方30千米处有一观察站O．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于北偏西30°方向，且与O相距20千米的A处；航行40分钟后，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距20千米的B处.（1）求该轮船的速度；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头PQ靠岸？请说明理由参考数据：≈1.414，≈1.732）【变式8.2】（锦州二模）某海港南北方向上有两个海岸观测站A，B，距离为10海里．从港口出发的一艘轮船正沿北偏东30°方向匀速航行，某一时刻在观测站A，B两处分别测得此轮船正好航行到南偏东30°和北偏东75°方向上的C处．经过0.5时轮船航行到D处，此时在观测站A处测得轮船在北偏东75°方向上，求轮船航行的速度（结果精确到0.1海里/时，参考数据：≈1.414，=1.732）【变式8.3】（沙坪坝区校级期中）如图，海上有一座小岛C，一艘渔船在海中自西向东航行，速度为60海里/小时，船在A处测得小岛C在北偏东45°方向，1小时后渔船到达B处，测得小岛C在北偏东30°方向参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）（1）求BC的距离结果保留整数）（2）渔船在B处改变航行线路，沿北偏东75°方向继续航行，此航行路线记为l，但此时发现剩余油量不足，于是当渔船航行到l上与小岛C最近的D处时，立即沿DC方向前往小岛C加油，加油时间为18分钟，在小岛C加油后，再沿南偏东75°方向航行至l上的点E处．若小船在D处时恰好是上午11点，问渔船能否在下午5点之前到达E处？请说明理由.【考点9】锐角函数的应用：坡度坡角问题【例9】（皇姑区校级期中）如图是某学校食堂的楼梯部分的示意图，上楼楼梯是由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平天台DE构成，已知楼梯顶部B到地面的垂直高度BC为9.6米，与地面垂直的平台立柱MN的高度为6米，整个楼梯的水平跨度AC为16米.（1）求楼梯AD的长度；（2）水平天台DE的长度约为m参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【变式9.1】（高新区校级期中）如图1，居家网课学习时，小华先将笔记本电脑水平放置在桌上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角150°,侧面示意图如图2；如图3，使用时为了散热，他在底板下垫入散热架ACO'后，电脑转到AO'B'位置，侧面示意图如图4．已知OA＝OB，O'C⊥OA于点C，AO'：O'C=5：3，AC＝40cm.（1）求OA的长；（2）垫入散热架后，显示屏顶部B'比原来升高了多少cm？【变式9.2】（高新区期中）如图，水坝的横截面是梯形ABCD（DC∥AB迎水坡BC的坡角α为30°,背水坡AD的坡度i为1：1.2，坝顶宽DC＝2.5米，坝高5米．求：（1）坝底宽AB的长（结果保留根号（2）在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽0.5米，背水坡AD的坡度改为1：1.4，求横截面增加的面积结果保留根号）【变式9.3】（长春期中）如图是某地铁站自动扶梯的示意图，自动扶梯AB的倾斜角(∠BAC）为30.5°,自动扶梯AB的长为17米.（1）求乘客从扶梯底端升到顶端上升的高度BC结果精确到0.1米）（2）如果一层楼的高度为2.8米，问这个扶梯升高的高度BC相当于几层楼高？（结果保留整数）【参考数据：sin30.5°=0.51，cos30.5°=0.86，tan30.5°=0.59】【考点10】锐角函数的应用：俯角仰角问题【例10】（福山区期末）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米（点A，B，C，D，E在同一平面内在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°,则建筑物AB的高度约为多少米参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）【变式10.1】（大渡口区校级模拟）如图，大渡口义渡古镇某建筑物楼顶立有广告牌DE，小玲准备利用所学的三角函数知识估测该建筑的高度．由于场地有限，不便测量，所以小玲从点B处沿坡度为i＝1：0.75的斜坡步行25米到达点C处，测得广告牌底部D的仰角为45°,广告牌顶部E的仰角为53°（小玲的身高忽略不计已知广告牌DE＝9米参考数据：sin5