专题1.1一元二次方程九大考点精讲精练

1．一元二次方程的有关概念：（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2.（2）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0这种形式叫一元二次方程的一般形式.其中ax²叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了.（3）一元二次方程的根：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.2.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）²=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.（2）配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解.（3）公式法：把x=叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式.用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号②求出b2-4ac的值（若b2-4ac＜0，方程无实数根③在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根.注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2-4ac≥0.（4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.3.一元二次方程根的判别式：利用一元二次方程根的判别式(△=b2-4ac）判断方程的根的情况.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根.上面的结论反过来也成立.4.一元二次方程根与系数的关系：（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q反过来可得p=-（x1+x2q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数.（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，,反过来也成立，x1+x2=—，x1x2=（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根.②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数.③不解方程求关于根的式的值，如求，x12+x22等等.④判断两根的符号.⑤求作新方程.⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件.【考点1】一元二次方程的定义【例1】（2022·安徽·滁州市第六中学八年级阶段练习）若（m+3）xm−1−(m−3）x−5=0是关于x的一元二次方程，则m的值为()【答案】【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义得出方程即可求出答案.【详解】解：由题意可知：|m|−1=2，故选：A.【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，本题属于基础题型.【变式1.1】（2021·天津市晟楷中学九年级阶段练习）下列关于x的方程中，一定是一元二A．ax2+bx+c=0B．x2−4=(x+3)2【答案】【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程）逐项判断即可得.【详解】解：A、当a=0,b≠0时，方程ax2+bx+c=0是一元一次方程，则此项不符合题意；B、方程x2−4=x+32整理为6x+9=−4，是一元一次方程，则此项不符合题意；C、方程x2+−5=0中的不是整式，不是一元二次方程，则此项不符合题意；D、方程3xx−4=0整理为3x2−12x=0，是一元二次方程，则此项符合题意；故选：D.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟记一元二次方程的定义是解题关键.【变式1.2】（2022·新疆·和硕县第二中学九年级期末）关于x的方程(a+2是一元二次方程，则a的值是()A．a=±2B．a=−2C．a=2D．a为任意实数【答案】【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义得a2−2=2且a+2≠0，求解即可.【详解】解：由题意，得a2−2=2且a+2≠0，故选：C.【点睛】本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的方程叫做一元二次方程.【变式1.3】（2022·江苏南通·八年级期末）若关于x的方程(a−1)x2+x=0是一元二次方【答案】【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义，结合“关于x的方程（a-1）x2+2x-1=0是一元二次方程”，得到关于a的不等式，解之即可.【详解】解：∵关于x的方程（a-1）x2+x=0是一元二次方程，故选：C.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键.【考点2】一元二次方程的一般形式【例2】（2022·浙江温州·八年级期末）把一元二次方程x(2x−1)=x−3化为一般形式，正C．2x2−x+2=0【答案】【答案】D【分析】将方程整理为一般式即可.【详解】解：x2x−1=x−3，2x2−x=x−3，故选：D.【点睛】本题考查一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一般式的形式为ax2+bx+c=0(a≠0)是解题的关键.【变式2.1】（2022·全国·九年级单元测试）将一元二次方程（x+1x+20化成一般形式后的常数项是.【答案】【答案】2【分析】首先利用多项式乘法计算方程的左边，可化为x2+3x+2=0，进而可得到常数项.【详解】解x+1x+2）=0，x2+3x+2=0，常数项为2，【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式.【变式2.2】（2022·全国·九年级单元测试）一元二次方程(2+x)(3x−4)=5化为一般形式为，它的二次项是，一次项是，常数项是.【答案】【答案】3x2+2x−13=03x22x−13【分析】先利用多项式乘以多项式法则计算方程等号的左边，再移项、合并同类项即可化为一般形式，由此即可得出答案.【详解】解：2+x3x−4=5，移项、合并同类项，得3x2+2x−13=0，则一元二次方程2+x3x−4=5化为一般形式为3x2+2x−13=0，它的二次项是3x2，一次项是2x，常数项是−13，故答案为：3x2+2x−13=0，3x2，2x，−13.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a,b,c都是常数且a≠0在一般形式中ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项.【变式2.3】（2022·山东淄博·八年级期末）关于x的一元二次方程(m−3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为.【答案】【答案】-3【分析】先将一元二次方程化为一般式，再根据一元二次方程的定义和不含一次项得出m−3≠0且m2−9=0，继而求解即可.【详解】解：(m−3)x2+m2x=9x+5，(m−3)x2+m2x−9x−5=0，∵一元二次方程(m−3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项，解得：m=−3，故答案为：故答案为：−3.【点睛】本题考查了一元二次方程化为一般式和一元二次方程的定义，熟练掌握知识点是解题的关键.【考点3】一元二次方程的根【例3】（2022·河北保定师范附属学校九年级期末）若x=﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2022﹣2a+2b的值为.【答案】【答案】2020【分析】把x=−1代入方程ax2+bx−1=0(a≠0)得a−b=1，再把2022−2a+2b变形为2022−2(a−b)，然后利用整体代入的方法计算.【详解】解：把x=−1代入方程ax2+bx−1=0(a≠0)得a−b−1=0，=2020.故答案为：2020.【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.【变式3.1】（2022·广西崇左·八年级期末）已知x=1是一元二次方程x2+ax−2=0的一个根，则a的值为.【答案】【答案】1【分析】根据一元二次方程根的定义，将x=1代入x2+ax−2=0，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求解.【详解】将x=1代入该方程，得：1+a−2=0，解得：a=1.故答案为：1.【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键.【变式3.2】（2022·浙江绍兴·八年级期末）若a是方程2x2−x−5=0的一个根，则代数式2a−4a2+1的值是.【答案】【答案】-9【分析】由题意可得2a2-a=5，再由2a-4a2+1=-2（2a2-a）+1，即可求解.【详解】解：∵a是方程2x2-x-5=0的一个根，∴∴2a2-a-5=0，∴2a2-a=5，∴2a-4a2+1=-10+1=-9，故答案为：-9.【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，恰当的变形是解题的关键.【变式3.3】（2022·福建·莆田哲理中学九年级期末）关于x的方程x2+bx+2a＝0（a、b为实数且a≠0a恰好是该方程的根，则a+b的值为.【答案】【答案】-2【分析】将x=a代入原方程，再整理，即可求出a+b的值.【详解】∵a是该方程的根，故答案为：-2.【点睛】本题考查一元二次方程的解．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键.【考点4】一元二次方程的解法—配方法选填题【例4】（2022·西藏·江达县第二初级中学校九年级期末）将一元二次方程x2−6x−6=0配方后可写为 .【答案】【答案】(x−3)2=15【分析】根据配方法要求即可变形.【详解】解：x2−6x−6=0，故答案为：x−32=15.【点睛】本题考查了一元二次方程的变形，属于简单题，熟悉完全平方公式是解题关键.2的形式，则m+n的值为.【答案】【答案】14【分析】将一元二次方程进行配方，即可对应得到m和n的值.【详解】解：x2−4x−8=0，即x2−4x=8，故答案为：14.【点睛】本题考查配方法，利用完全平方公式对方程进行配方时，注意运算准确.【变式4.2】（2022·四川宜宾·九年级期末）将方程x2−mx+8=0用配方法化为（x−3)2=n，则m+n的值是.【答案】【答案】7【分析】将方程（x−3)2=n化成一般式得x2-6x+9-n=0，根据两方程对应项系数相等求出m、n的值，即可求解.【详解】解：∵（x−3)2=n，2-6x+9-n=0，∴-m=-6，9-n=8，则m=6，n=1.∴m+n=6+1=7【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程和求代数式的值，能够把完全平方式化成一般式是解此题的关键.【变式4.3】（2022·山东威海·八年级期中）对于二次三项式x2+6x+3，若x取值为m，则二次三项式的最小值为n，那么m+n的值为.【答案】【答案】-9【分析】先将原式进行配方后即可得出m，n的值，再代入计算即可.【详解】解：x2+6x+3=x2+6x+9−6=(x+3)2−6，∴x2+6x+3≥−6，即当x=−3时，二次三项式x2+6x+3的最小值为-6，故答案为：-9.【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，正确进行配方是解答本题的关键.【考点s】一元二次方程的解法—因式分解法选填题【例5】（2022·甘肃·张掖育才中学九年级期末）一元二次方程(2x−3)2＝9(x+1)2的根为x1=,x2=.【答案】【答案】0﹣6【分析】先移项，再用因式分解法求解即可.【分析】先移项，再用因式分解法求解即可.【详解】解：2x−32＝9x+12，[（2x﹣3）+3（x+1）][（2x﹣3）﹣3（x+1）]＝0，）＝解得x1＝0，x2=﹣6.故答案为：0；﹣6.【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键.【变式5.1】（2021·四川·荣县一中九年级阶段练习）x2=2x的根为.【答案】【答案】x1=0，x2=2【分析】移项后利用因式分解法求解可得.【详解】解：∵x2=2x解得x1=0，x2=2，故答案为：x1=0，x2=2【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.【变式5.2】（2021·黑龙江哈尔滨·八年级期末）若一个一元二次方程x2−5x+6=0的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，则Rt△ABC斜边长为.【答案】【答案】13【分析】解一元二次方程求出x1=2，x2=3，根据勾股定理求出斜边长即可.【详解】解：∵x2−5x+6=0，∴（x-2x-3）=0，解得x1=2，x2=3，∴Rt△ABC斜边长为22+32=13，故答案为：13.【点睛】此题考查了解一元二次方程，勾股定理，正确掌握解方程的方法及勾股定理的计算公式是解题的关键.【变式5.3】（2021·河南·邓州市城区第五初级中学校.九年级阶段练习）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b=a+b2−a−b2．若（m+2）◎（m﹣3）=24，则m=.【答案】【答案】﹣3或4【分析】利用新定义得到(m+2+m−3)]2−(m+2−m−3)]2=24，整理得到(2m−1)2−49=0，然后利用因式分解法解方程.【详解】解：根据题意得(m+2+m−3)]2−(m+2−m−3)]2=24，∴（2m﹣1+72m﹣1﹣7）=0，：﹣【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键.【考点6】一元二次方程的解法—解答题【例6】（2022·山东省泰安南关中学八年级期中）解下列方程(1)2x2−4x+1=0（用配方法(2)3x2−4x−1=0（公式法【答案】(1)【答案】(1)x1=1+，x2=1−;(2)x1=，x2=【分析】（1）先把1移到方程的右边，再把二次项系数化为1，然后配方求解即可；（2）先求出Δ的值，再利用求根公式求解即可.解：3x2−4x−1=0，【点睛】本题考查了配方法和公式法解一元二【点睛】本题考查了配方法和公式法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤和求根公式是解题的关键.【变式6.1】（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校八年级期中）按照指定方法解下列方程：(1)x2＋4x＋1＝13（配方法(2)3x2﹣4x﹣1＝0（公式法(3)（x＋1）2＝3（x＋1）(4)（x﹣3x＋26【答案】(1)x1=2,x2=−6(4)x1=−3,x2=4【分析】（1）移项，利用配方法求解可得答案；（2）利用公式法求解可得答案；（3）移项，利用因式分解法求解可得答案；（4）整理成一般式后，利用因式分解法求解可得答案.x2＋4x＋1＝13x2＋4x＝13−1x2＋4x+4＝13−1+4（x＋1）2＝3（x＋1）（x＋1）2-3（x＋1）＝0（x﹣3x＋26x2−x−12=0【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.【变式6.2】（2022·浙江·吴宁第三中学八年级期中）解方程：(1)2x2+2x=1(2)2x2−3x−5=0【答案】(1)x1=−+,x2=−−(2)x1=−1,x2=【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可得；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得.x2+x=，22(x+1)(2x−5)=0，52=252=2【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键.【变式6.3】（2022·安徽·滁州市第六中学八年级阶段练习）阅读下面的材料，解答问题.材料：解含绝对值的方程：x2−3|x|−10=0.解：分两种情况：（1）当x≥0时，原方程化为x2−3x−10=0，解得x1=5，x2=﹣2（舍去（2）当x＜0时，原方程化为x2+3x−10=0，解得x1=﹣5，x2=2（舍去综上所述，原方程的解是x1=5，x2=﹣5.问题：仿照上面的方法，解方程：x2−2|2x+3|+9=0.【答案】x1=1，x2=3.【分析】分当2x+3≥0和2x+3＜0两种情况讨论，再利用解一元二次方程的方法求解即可.【详解】解：分两种情况：2原方程化为x2−22x+3+9=0，2综上所述，原方程的解是x1=1，x2=3.【点睛】本题考查含绝对值符号的一元二次方程的解；能够通过绝对值的性质，去掉绝对值符号将方程转化为一元二次方程求解是解题的关键.【考点7】根的判别式【例7】（2022·江苏扬州·八年级期末）已知关于x的一元二次方程x(x−2)=k.(1)若k=3，求此方程的解；(2)当k≥−1时，试判断方程的根的情况.【答案】【答案】(1)x1=3,x2=−1(2)此时该方程总有两个实数根【分析】（1）将k=3代入，然后利用直接开方法求解即可；（（2）将方程化简为一般式，然后利用根的判别式求解即可.解：当k=3时，方程为x(x−2)=3由一元二次方程x(x−2)=k得x2−2x−k=0，∴此时该方程总有两个实数根.【点睛】题目主要考查利用直接开方法求解一元二次方程及其根的判别式，熟练掌握运用一元二次方程的相关知识点是解题关键.【变式7.1】（2022·江苏南通·八年级期末）已知关于x的一元二次方程(a−1)x2+(2a+(1)求证：此方程一定有两个不相等的实数根；(2)如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值.【答案】(1)见解析(2)a=0【分析】（1）表示出根的判别式，判断其值大于0即可得证；（2）表示出根的判别式，让其值为9求出a的值即可.∴此方程一定有两个不相等的实数根；22【点睛】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式与根的情况之间的关系是解本题的关键.【变式7.2】（2022·全国·九年级单元测试）已知关于x的方程px2+(2p+1)x+(p−1)=0有两个不相等的实根，判断关于x的方程x2−3x−2p=0的根的情况.【答案】有两个不相等的实数根.【答案】有两个不相等的实数根.【分析】先根据一元二次方程根的判别式Δ=b2−4ac结合第一个方程，可确定p的取值范围．再由不等式的性质可求出第二个方程的根的判别式Δ=b2−4ac的符号，即可确定其根的情况.【详解】∵关于x的方程px2+2p+1x+p−1=0有两个不相等的实根，解得：p>−且p≠0.∴关于x的方程x2−3x−2p=0，有两个不相等的实数根.【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式．解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为Δ=b2−4ac，当Δ>0时，原方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，原方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，原方程没有实数根.【变式7.3】（2022·江苏扬州·八年级期末）已知关于x的一元二次方程kx2+(3k+1)x+2k+(1)求证：无论x取何值，此方程总有两个实数根；(2)若该方程的两根都是整数，求整数k的值.【答案】【答案】(1)见解析(2)±1【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；（2）用公式法求出方程的两根，x1=1−,x2=−2，再由该方程的两根都是整数，且k为整数，可得1−1为整数，即可求解.k解：根据题意得：Δ=3k+12−4k2k+2∴无论x取何值，此方程总有两个实数根；∵该方程的两根都是整数，且k为整数，k∴整数k为±1.【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，当Δ=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ=b2−4ac<0时，方程没有实数根是解题的关键.2【考点8】根与系数的关系【例8】（2022·广西玉林·二模）关于x的一元二次方程x2−(k−3)x−2k+2=0.(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两根分为x1、x2，且x+x+x1x2=19，求k的值.【答案】【答案】(1)见解析；(2)k=6或k=-2.【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ=（k+1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，再将它们代入x+x+x1x2=19，即可求出k的值.2-4ac=[-（k-3）]2-4×1×（-2k+2）=k2+2k+1=（k+1）2≥0，∴方程总有两个实数根；由根与系数关系得x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，∵x+x+x1x2=19，∴x1+x22−x1x2=19，解得：k=6或k=-2.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点的知识点1）Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根x1+x2=-，x1•x2=.【变式8.1】（2022·陕西·西安铁一中分校九年级期末）已知关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围；(2)若方程的两根x1，x2满足x1＋x2＝12，请求出方程的两根.【答案】(1)k<1且k≠0；9>0，然后求出两不等式的公共部分即可；（2）根据根与系数的关系得x1+x2==12，解得k=，当k=时，原方程变形为x2−12x=−18，然后利用配方法求解方程.解得：k<1，解：根据题意得x1+x2==12，解得当k=1时，原方程变形为1x2−6x+9=0，【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系，当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系.【变式8.2】（2022·山东淄博·八年级期末）已知关于x的一元二次方程x2−2kx+k−(1)判断该方程根的情况，并说明理由；(2)若方程的两个实数根之和等于两根之积，求k的值.【答案】【答案】(1)方程有两个不相等的实数根，理由见解析1(2)k(2)k=−【分析】（1）表示出根的判别式，判断正负即可得到结果；（2）利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，令其值相等求出k的值即可.2222∴方程有两个不相等的实数根；设方程的两根为x1，x2，则有x1+x2=2k,x1x2=k−，∵方程的两个实数根之和等于两根之积，2解得：k=−1.2【点睛】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键.【变式8.3】（2022·全国·九年级单元测试）已知关于x的一元二次方程x2+(m+2)x+m=0，(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根.(2)若x1，x2是原方程的两根，且+=−2，求m的值.【答案】【答案】(1)见解析(2)m=2【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式Δ=b2−4ac，证明Δ=b2−4ac恒大于0即可得出结论；（2）根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=−,x1x2=，代入即可求出m的值.证明：∵Δ=b2−4ac=(m+2)2−4m=m2+4＞0，∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；解：由题可知，x1+x2=−(m+2)，x1x2=m，解得m=2，经检验m=2有意义.【点睛】此题考查了一元二次方程中根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程中根的判别式，根与系数的关系是本题的关键.中根的判别式，根与系数的关系是本题的关键.【考点9】配方法的综合应用【例9】（2022·福建·福州十八中八年级期末）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．x2+6x+5＝x2+2•x•3+32﹣32+5＝(x+3)2∵(x+3)2≥0∴当x=﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4.请根据上述方法，解答下列问题：(1)x2+5x﹣1＝(x+a)2+b，则ab的值是.(2)求证：无论x取何值，代数式x2+26x+7的值都是正数；(3)若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值.(2)(2)见解析；【分析】（1）利用配方法根据一次项的系数求出a与b的值，再相乘即可；（2）先进行配方，然后根据偶次方的非负性求出代数式的取值范围即可；（3）先将代数式中的二次线系数提出来化为1，再进行配方，根据最小值为2求出k的值即可.解：x2+5x−1解得a=，b=-，∴代数式x2+26x+7的值都是正数；2x2+kx+7k2=2(x2+x)+72∴代数式2x2+kx+7有最小值为∵代数式2x2+kx+7的最小值为2，解得：k=±210.【点睛】本题考查的是将多项式进行配方化为完全平方式的形式，再利用偶次方的非负性求代数式的最大或最小值，准确的进行配方是解题的关键.【变式9.1】（2022·广西北海·七年级期中）阅读材料：把代数式x2−6x−7因式分解，可以分解如下：22=(x−3+4)(x−3−4)=(x+1)(x−7)(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式x2−8x+7因式分解.(2)拓展：当代数式x2+2xy−3y