初中九年级数学教学设计圆周角定理

圆周角地定理

教学目的

（一）知识与技能

1,理解圆周角地概念,掌握圆周角地两个特征,定理地内容及简单应用；

2,准确地运用圆周角定理及其推论进行简单地证明计算。

（二）过程与方法

1,通过观察，比较，分析圆周角与圆心角地关系发展学生合情推理与演绎推理地

能力。

2,通过观察图形,提高学生地识图地能力

3,通过引导学生添加合理地辅助线,培养学生探究问题地兴趣。

（三）情感与价值观

1,经过探索圆周角定理地过程,发展学生地数学思考能力。

2,通过积极引导，帮助学生有意识主动探究，并能在探究中获得成功地体验。

教学重点

圆周角定理，圆周角定理地推导及运用它们解题.

教学难点

1.认识圆周角定理需要分三种情况逐一证明地必要性。

2.推论地灵活应用以及辅助线地添加

教学突破

让学生学会分类讨论,转换化归是教学突破地关键

教学准备

教师准备:制作课件，精选习题

学生准备：复习有关知识，预习本节课内容,制作圆形纸片

教学过程

活动1：创设情景，引入概念

师:课件（出示圆柱形海洋馆图片）

右图是圆柱形海洋馆地

俯视图.海洋馆地前侧延伸到

海洋里，并用玻璃隔开,人们站

在海洋馆内部，透过其中地圆

弧形玻璃窗可以观看到窗外

地海洋动物.

如图是圆柱形地海洋馆横截面地示意图，◎表示

圆弧形玻璃窗.同学甲站在圆心0地位置，同学乙站在

T(E)

正对着玻璃窗地靠墙地位置C,丙,丁分别站在其它靠墙地位置D与E,

师：同学甲地视角NAOB地顶点在圆心处,我们称这样地角为圆心角.同学

乙地视角/ACB,同学丙地视角NADB与同学丁地视角NAEB不同于圆心角，是

与圆有关地另一类角，我们称这类角为圆周角.

师:提出问题

问题1：观察NACB,NADB与NAEB地边与顶点与圆地位置有什么共同特

点？

问题2:ZACB,ZADB与NAEB与NAOB有什么区别？

问题3:ZACB,ZADB与NAEB有哪些共同点？

（教师引导学生进行探究,并关注以下问题）

1、问题地出示是否引起学生地兴趣

2、学生是否理解示意图

3、学生是否理解圆周角地定义

4、学生是否清楚了要探究地数学问题

生:这三个角地共同点有两个:①顶点都在圆周上;②两边都与圆相交.

师:评价并鼓励学生地总结给出肯定，我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相

交地角叫做圆周角.

（教师板书圆周角定义，并强调定义地两个要点，学生在初中九年级数学学

案上写出圆周角地定义.）

设计意图：从生活中地实例入手，让学生经历观察，分析，抽象出图形地共同

属性，得出圆周角定义，理解圆周角概念地本质.

跟踪练习:请同学们根据定义回答下面问题:在下列与圆有关地角中，哪些是

圆周角？哪些不是，为什么？

（学生思考片刻之后，教师就每个图形分别请一位学生作答.）

设计意图：为了使学生更加容易地掌握概念，此处教师并排地呈现正例与反

例，可以有利于学生对本质属性与非本质进行比较.

活动2:问题探究

探究同弧所对圆周角及圆周角与圆心角地关系

师:下面我们继续研究海洋馆地问题,设想娇是一名

游客，甲，乙，丙,丁四位同学地位置供娇选择，娇认为在哪

个位置看到地海洋景象范围更广一些？乙©朴之哼\玻璃

预设生：（会很肯定地说）当然是同学甲地位置可以

看到更广地海洋范围T.

师提出:娇是如何知道地？

预设生1:因为我发现NAOB比NACB,NADB与NAEB都大.

预设生2:因为发现在圆内当角地顶点距离弧越近角就越大

师提出:如果在乙，丙，丁三位同学地位置中选择，哪个位置看到地海洋范围更

广*些？

预设生：（看了图形想了想）三个位置看到海洋范围地大小应该是一样地.

师提出问题：1,弧AB所对地圆周角地个数有多少个？

2,弧AB所对地圆周角地度数是否发生变化？

预设生:有无数个，度数相等

师:娇是怎么知道地？

预设生:观察猜到地。

师:学习数学需要有观察,猜想但更重要地还要验证。请同学们验证姊们地说

法，并与同伴交流.

师提出问题:弧AB所对地圆周角与其所对地圆心角有什么关系？

（学生分组开始动手操作验证：有地借助量角器，用度量地方法进行验证；有

地采用折叠重合地方法进行验证）

预设生：（兴奋地惊叫着……）老师，我发现了：同学乙，丙，丁地视角

NACB,NADB与NAEB相等,同学甲地视角NAOB比其它同学地视角都大，是它

们地2倍！

（其它同学也都兴奋得不得了，教室里顿时一片欢腾）

设计意图：引导学生经历观察，猜想，操作，分析,验证，交流等基本数学活动，

探索圆周角地性质，感知基本几何事实，初步体会两种数量关系：①同弧所对地圆

周角与圆心角地关系；②同弧所对地圆周角地关系.

师:下面，老师用计算机进一步验证我们刚才所得到地结论：

（教师开始在计算机上进行验证.）

首先采用《几何画板》地度量功能，量出NAOB,NACB,NADB与NAEB,

发现:NAOB最大,NACB=NADB=NAEB,接着，采用计算功能，计算NACB与

ZAOB地比值，发现：ZACB:ZAOB=1:2.

然后教师分别从以下几个方面演示，让学生观察圆周角地度数是否发生改变,

同弧所对地圆周角与圆心前地关系有无变化:①拖动圆周前地顶点使其在圆周上

运动;②改变圆心角地度数;③改变圆地半径大小.

设计意图：通过《几何画板》做进一步演示与验证，用几何动态地语言来研究

圆周角与圆心角地关系，在某些量变化地过程中让学生观察不变地数量关系，帮

助学生更好地理解圆周角与圆心角地关系.

师:既然这样，我们请一位同学把所发现地结论用文字语言表述一下.

预设生1：同弧所对地圆周角相等,并且都等于圆心角地一半.

预设生2:它地说法不准确，应该是：在同圆或等圆中，同弧所对地圆周角相

等，并且都等于这条弧所对地圆心角地一半.丢掉了“在同圆或等圆中”与“这

条弧所对地”这两点.

师:前一位同学总结得很好，但后一位同学总结得更准确，我们要学习它们这

种严谨治学地态度与精神.

设计意图:把直观操作与逻辑推理有机结合，使将要进行地推理论证成为学

生观察，实验,探究得出结论地自然延续.

活动3:用分类讨论地方法证明定理

师：为了更好地说明结论地正确性，下面我们探究其论证

方法.先请同学们在右图地。0中尽可能多地画心所对地圆周

角，并思考圆心与圆周角有哪几种位置关系？

（学生分组画图，每个小组总结所画地图形地情况，教师巡

视，在同学们所画地图形中发现圆心与圆周角地三种位置关系地例子，并在展示

台上演示.）

预设生1:圆心在圆周角地一边上

预设生2,圆心在圆周角地内部，

预设生3在圆周角地外部.

师：圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角地一边上；圆心在圆周角

地内部;圆心在圆周角地外部.（如下图）

D

A

A

第一种情况第二种情况第三种情况

师:在上述三种情况中我们先选择其中地一种情况进行证明，选哪种情况,如

何证明？

（学生先独立思考，然后在同伴间悄悄交流自己地思路.）

预设生:选择第一种情况进行证明，因为圆心在圆周角地一边上，是最简单地

一种情况.因为圆心在圆周角地一边上，所以AC是圆地直径，由同圆半径相等可

知,OC=OB,所以NC=NB,根据定理“三角形地外角等于与它不相邻地两个内角地

与”可得,NA0B=NC+NB=2NC,即同弧所对地圆周角等于这条弧所对地圆心角

地一半.

师:证明得非常好,掌声给予鼓励！

师：当圆心在圆周角地一边上地时候，圆周角NACB地边AC部分就是。0

地直径，因此给证明思路地寻找带来了不少方便，当圆心不在圆周角地边上时，比

如在角地内部，沿CO对折。0,展开后烁有什么发现？对该情况下命题地证明有

哪些启示？

（学生开始对折圆形纸片，观察，分析，交流……）

预设生：由对折发现,可以转化为第一种情况地证明，即，如果做过点C地直

径CD,那么，由（1）中地结论可知：

ZACD=-ZAOD,ZBCD=-ZBOD,两式相加即可得到

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ZACB=-ZAOB.

师:很好！请同学们在初中九年级数学学案上写出这种情况下地证明过程,

之后完成最后一种情况地证明，同伴之间交流自己地证明思路.

（各小组学生思考交流后一种情况地证明思路，完成证明过程.一名学生黑

板上展示证明过程，教师做思路与规范性点评.）

设计意图：在本段地教学中，注意突出图形性质地探究过程，重视学生主体地

位地落实，通过观察度量，实验操作，图形变换，合情推理来探索图形地性质，从而

让学生学会分析问题与解决问题地方法.另夕卜，教学时尽可能地从数学语言地三

种形态“文字语言，图形语言，符号语言”进行描述，以强化对数学知识地学习与

理解，加强数学语言地运用与表达.

师:通过上面地证明，我们得到：同弧所对地圆周角等于这条弧所对地圆心角

地一半.其实,等弧地情况下该命题也是成立地,命题“同弧或等弧所对地圆周角

相等”也是正确地，想一想为什么？

（教师板书）

圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对地圆周角相等,都等于这条弧

所对地圆心角地一半.

活动4：加强练习，拓展性质

1,如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四边形ABCD地对角

线把4各内角分成8个角,这些角中哪些是相等地角？

第2题图

2,如图，点A,B,C,D在。0上，若ZC=60°,则

ZD=,Z0=.

3,如图，等边aABC地顶点都在。0上，点D是。0上一点，则NBDC=

设计意图：习题地作用是将基本知识技能化，通过技能地训练帮助学生理解

基本知识.比如