初中经典几何题型及思想方法

初中几何经典题

一、解答题（共20小题，满分0分）

I.已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD1AB,EF1AB,EG1CO.

求证：CD=GF.（初二）

2.已知：如图，P是正方形ABCD内点，ZPAD=ZPDA=15°.求证：APBC是正三角形.（初

二）

3.如图，已知四边形ABCD、AiBCiDi都是正方形，A2>B2、C2>D2分别是AA|、BB1、

CCi、DD）的中点.

求证：四边形A2B2c2D2是正方形.（初二）

4.已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC

的延长线交MN于E、F.

求证：ZDEN=ZF.

E.

5.已知：AABC中，H为垂心（各边高线的交点），0为外心，且OMLBC于M.

（1）求证:AH=20M；

（2）若NBAC=60。，求证：AH=AO.（初二）

6.设MN是圆0外一直线，过0作OA_LMN于A,自A引圆的两条直线，交圆于B、C

及D、E,直线EB及CD分别交MN于P、Q.

求证：AP=AQ.（初二）

7.如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆0的弦，过

MN的中点A任作两弦BC、DE,设CD、EB分别交MN于P、Q.

求证：AP=AQ.（初二）

D

8.如图，分别以AABC的边AC、BC为一边，在aABC夕卜作正方形ACDC和CBFG,点

D

P是EF的中点,求证:点P到AB的距离是AB的一半AOB

9.如图，四边形ABCD为正方形，DE〃AC,AE=AC,AE与CD相交于F.

求证：CE=CF.

4D

BC

10.如图，四边形ABCD为正方形，DE/7AC,且CE=CA,直线EC交DA延长线于F.

求证：AE=AF.（初二）

FAD

B

E

11.设P是正方形ABCD一边BC上的任一点PF±AP,CF平分NDCE.

求证：PA=PF.（初二）

DDXT

12.如图，PC切圆0于C,AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线P0相交于

B、D.求证：AB=DC,BC=AD.

A

13.已知：AABC是正三角形，P是三角形内-点，PA=3,PB=4,PC=5.

求：/APB的度数.（初二）

14.设P是平行四边形ABCD内部的一点，且NPBA=/PDA.

求证：/PAB=/PCB.

15.设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB・CD+AD・BC=AC・BD.（初三）

16.平行四边形ABCD中,设E、F分别是BC、AB上的一点,AE与CF相交于P,且AE=CF.求

证：ZDPA=ZDPC.（初二）

A,D

17.设P是边长为1的正AABC内任一点，L=PA+PB+PC,求证：后L<2.

18.已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC的最小值.

19.P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的边长.

BC

20.如图，AABC中，/ABC=NACB=80。，D、E分别是AB、AC上的点，/DCA=30。,

ZEBA=20°,求/BED的度数.

初中几何经典题参考答案与试题解析

一、解答题（共20小题，满分0分）

I.已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD1AB,EF1AB,EG1CO.

ADHOFB

考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理。

分析：首先根据四点共圆的性质得出GOFE四点共圆，进而求出△GHFSZXOGE,再利用

GH〃CD,得出典旦即可求出答案.

GFGHCD

解答：证明：作GHLAB,连接EO.

VEF1AB,EGICO,

/EFO=/EGO=90。，

；.G、0、F、E四点共圆，

所以/GFH=/OEG,

又,；/GHF=NEGO,

/.△GHF^AOGE,

VCD1AB,GH1AB,

：GH〃CD,

-EQ_GO_CQ

''GFGHCD'

又：CO=EO,

，CD=GF.

点评：此题主要考查了相似三角形的判定以及其性质和四点共圆的性质，根据已知得出

GOFE四点共圆是解题关键.

2.已知：如图，P是正方形ABCD内点，ZPAD=ZPDA=15".求证：APBC是正三角形.（初

二）

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定。

专题：证明题。

分析：在正方形内做aDGC与4ADP全等，根据全等三角形的性质求出4PDG为等边，三

角形，根据SAS证出△DGCgZiPGC,推出DC=PC,推出PB=DC=PC,根据等边三角形的

判定求出即可.

解答：证明：在正方形内做aDGC与4ADP全等，

，DP=DG,ZADP=ZGDC=ZDAP=ZDCG=15°,

ZPDG=90°-15°-15°=60°,ZDGC=180--15°-15°=150°,

...△PDG为等边，三角形，

；.DP=DG=PG,

ZPGC=360°-150°-60°=150o=ZDGC,

在△DGC4PGC中

'DG=PG

<NDGC=/PGC，

GC=GC

.,.△DGC^APGC,

；.PC=AD=DC,和/DCG=/PCG=15。，

同理PB=AB=DC=PC,

ZPCB=90°-15°-15°=60°,

.,.△PBC是正三角形.

点评：本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知

识点的应用，关键是正确作出辅助线，又是难点，题型较好，但有一定的难度，对学生提出

了较高的要求.

3.如图，已知四边形ABCD、AiBiGDi都是正方形，A2>B2、C2>D2分别是AA|、BBI、

CCi、DDi的中点.

求证：四边形A2B2c2D2是正方形.（初二）

AD

考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：连接BQ和ABi分别找其中点EE,连接C2F与A2E并延长相交于Q点，根据三

角形的中位线定理可得A2E=FB2,EB2=FCI，然后证明得到NB2FC2=NA2EB2,然后利用边

角边定理证明得到△B2FC2与△A2EB2全等，根据全等三角形对应边相等可得A2B2=B2c2,

再根据角的关系推出得到NA2B2c2=90。，从而得到A2B2与B2c2垂直且相等，同理可得其

它边也垂直且相等，所以四边形A2B2c2D2是正方形.

解答：证明：如图，连接BC|和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A正并延长相交于Q

点，

连接EB2并延长交C,Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，

由A，E」AIBI」BICI=FB2，EB,」AB」BC=FCI，

2222

ZGFQ+/Q=90。和ZGEB2+ZQ=90°,

...所以/GEB2=/GFQ,

.".ZB2FC2=ZA2EB2，

可得△B2FC2四△A2EB2,

所以A2B2=B2c2，

又ZHB2c2+NHC2B2=90。和NB2c2Q=ZEB2A2，

从而可得NA2B2C2=90°>

同理可得其他边垂直且相等，

从而得出四边形A2B2C2D2是正方形.

点评：本题主要考查了正方形的性质与判定，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质,

综合性较强，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.

4.已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC

的延长线交MN于E、F.

求证：ZDEN=ZF.

E,

考点三角形中位线定理。

专题证明题。

分析连接AC,作GN〃AD交AC于G,连接MG,根据中位线定理证明MG〃BC,且

GM」BC,根据AD=BC证明GM=GN,可得/GNM=NGMN,根据平行线性质可得:

2

ZGMF=ZF,NGNM=/DEN从而得出NDEN=NF.

解答：证明：连接AC,作GN〃AD交AC于G,连接MG.

是CD的中点，且NG〃AD,

.•.NG」AD,G是AC的中点，

2

又；.M是AB的中点，

；.MG〃BC,且MGjBC.

2

VAD=BC,

NG=GM,

△GNM为等腰三角形,

AZGNM=ZGMN,

VGM/7BF,

；./GMF=/F,

：GN〃AD,

AZGNM=ZDEN,

,\ZDEN=ZF.

点评：此题主要考查平行线性质，以及三角形中位线定理，关键是证明aGNM为等腰三角

形.

5.已知：ZViBC中，H为垂心(各边高线的交点)，0为外心，且OM_LBC于M.

(1)求证：AH=2OM；

(2)若NBAC=60。，求证：AH=AO.(初二)

考点：三角形的外接圆与外心；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角

三角形；平行四边形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理。

专题：证明题。

分析：(1)延长AD到F连BF,做OG1.AF,求出平行四边形OGDM,求出OM=GD,根

据等腰三角形的性质和判定、垂径定理求出HD=DF,代入求出即可；

(2)根据圆周角定理求出/BOM,根据含30度角的直角三角形性质求出OB=2OM即可.

解答：证明：(1)延长AD与。O交于点F,连BF,作OG_LAF于G,

VOMXBC,AD±BC,OG±AF,

ZOMD=ZADB=ZOGD=90°,

四边形OGDM是平行四边形，

:.OM=GD,

ZADC=ZBDA=ZAEB=90°,

AZF=ZACB=ZBHD,

；.BH=BF,

VAD±BC,

・・・HD=DF,

VOG1AF,OG过圆心O,

AG=GF,

Z.AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM,

即AH=2OM.

(2)证明：连接OB,OC,

•?/BAC=60。，

.".ZBOC=120°,

/BOM=60°,

.•./OBM=30°,

；.0B=20M=AH=A0,

即AH=AO.

点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定、圆周角定理、垂径定理、含30度角的直角三

角形性质、平行四边形的性质和判定、三角形的外接圆与外心、三角形的内角和定理等知识

点，题目综合性较强，有一定的难度，但题型较好，难点是如何作辅助线.

6.设MN是圆O外一直线，过O作OALMN于A,自A引圆的两条直线，交圆于B、C

及D、E,直线EB及CD分别交MN于P、Q.

求证：AP=AQ.（初二）

考点：圆周角定理；垂线；平行线的性质；全等三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质;

轴对称的性质。

专题：证明题。

分析：作E点关于GA的对称点F,连FQ、FA,FC,根据轴对称和平行线性质推出

ZFAP=ZEAQ,NEAP=/FAQ,FA=EA,求出NFCQ=/FAQ,推出FCAQ四点共圆，推

出ZPEA=ZQFA,根据ASA推出4PEA和AQFA全等即可.

解答：证明：作E点关于GA的时称点F,连FQ、FA,FC,

VOA1MN,EF1OA,

则有/FAP=NEAQ,NEAP=/FAQ,FA=EA,

•?/PAF=NAFE=/AEF=I8O-ZFCD,

VZPAF=180-ZFAQ,

.\ZFCD=ZFAQ,

AFCAQ四点共圆，

ZAFQ=ZACQ=ZBED,

在AEPA和AFQA中

'NPEA=NQFA

"AF=AE，

,ZPAE=ZQAF

AEPA^AFQA,

，AP=AQ.

点评：本题综合考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，轴对称的性质，圆内接四

边形的性质，圆周角定理，垂线等知识点，解此题的关键是求出NAEP=NAFQ,题型较好,

有一定的难度，通过做题培养了学生分析问题的能力，符合学生的思维规律，证两线段相等,

一般考虑证所在的两三角形全等.

7.如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆0的弦，过

MN的中点A任作两弦BC、DE,设CD、EB分别交MN于P、Q.

求证：AP=AQ.（初二）

考点：四点共圆；全等三角形的判定与性质。

分析：作OF_LCD,OG±BE,连接OP,OA,OF,AF,OG,AG,OQ,ffiH|AADF^AABG,

所以/AFC=/AGE,再利用圆的内接四边形对角互补，外角等于内对角，证得

ZAOP=ZAOQ,进而得至AP=AQ.

解答：证明：作OFJ_CD,OG1BE,连接OP,OA,OF,AF,OG,AG,OQ.

由于AD二AC二CD二2FD二FD

AB=AE=BE=2BG=BG，

.".△ADF^AABG,

/AFC=NAGE,

四边形PFOA与四边形QGOA四点共圆，

/AFC=NAOP；ZAGE=ZAOQ,

.\ZAOP=ZAOQ,

，AP=AQ.

点评：本题考查了全等三角形的判定和全等三角形的性质，以及圆的内接四边形性质：对角

互补，外角等于内对角，解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形.

8.如图，分别以AABC的边AC、BC为一边，在AABC外作正方形ACDC和CBFG,点

P是EF的中点，求证:点P到AB的距离是AB的一半.

考点：梯形中位线定理；全等三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：分别过E,F,C,P作AB的垂线，垂足依次为R,S,T,Q,贝PQ」（ER+FS）,

2

易证RtZXAER也RtZiCAT,贝ijER=AT,FS=BT,ER+FS=AT+BT=AB,即可得证.

解答：解：分别过E,F,C,P作AB的垂线，垂足依次为R,S,T,Q,则ER〃PQ〃FS,

•；P是EF的中点，；.Q为RS的中点，

/.PQ为梯形EFSR的中位线，

，PQ」（ER+FS）,

2

；AE=AC（正方形的边长相等），ZAER=ZCAT（同角的余角相等），NR=/ATC=90。，

/.RtAAER^RtACAT（AAS）,

同理RtABFS^RtACBT,

；.ER=AT,FS=BT,

；.ER+FS=AT+BT=AB,

；.PQ」AB.

2

点评：此题综合考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定以及正方形的性质等知识点，辅

助线的作法很关键.

9.如图，四边形ABCD为正方形，DE〃AC,AE=AC,AE与CD相交于F.

求证：CE=CF.

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；等边三角形的判定与

性质。

专题：证明题。

分析：把4ADE顺时针旋转90。得到AARG,从而可得B、G、D三点在同一条直线上，然

后可以证明4AGB与4CGB全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG,所以4AGC

为等边三角形，根据等边三角形的性质可以推出NCEF=NCFE=75。，从而得解.

解答：证明：如图所示，顺时针旋转△ADE90。得到aARG,连接CG.

•/ZABG=ZADE=90°+45°=135°,

AB,G,D在一条直线上，

ZABG=ZCBG=180°-45°=135°,

'AB=AC

在4AGB与4CGB中，，NABG=/CBG，

BG=BG

.".△AGB^ACGB（SAS）,

；.AG=AC=GC=AE,

...△AGC为等边三角形，

VAC1BD（正方形的对角线互相垂直），

.".ZAGB=30",

/EAC=30。，

.•./AEC=30°+45°=75°,

又；ZEFC=ZDFA=45°+30°=75°,

；.CE=CF.

点评：本题综合考查了正方形的性质，全等三角形的判定，以及旋转变换的性质，根据旋转

变换构造出图形是解题的关键.

10.如图，四边形ABCD为正方形，DE〃AC,月.CE=CA,直线EC交DA延长线于F.

求证：AE=AF.（初二）

AD

考点：正方形的性质：三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质:

正方形的判定。

专题：计算题。

分析：连接BD,作CHLDE于H,根据正方形的性质求出正方形DGCH,求出2cH=CE,

求出/CEH=30。，根据等腰三角形性质和三角形的外角性质求出NAEC=NCAE=15。，求出

NF的度数即可.

解答：证明：连接BD,作CH_LDE于H,

•••正方形ABCD,

ZDGC=90°,GC=DG,

VAC/7DF,CHXDF,

/DHC=/GCH=/DGC=90°,

...四边形CGDH是正方形.

由AC=CE=2GC=2CH,

/CEH=30。，

ZCAE=ZCEA=ZAED=15°,

又/FAE=9(T+45°+15。=150°,

.".ZF=180°-150°-15°=15°,

ZF=ZAEF,

；.AE=AF.

点评：本题综合考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，三角形的外角性质，

正方形的性质和判定等知识点，此题综合性较强，但难度适中.

11.设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF1AP,CF平分NDCE.

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：根据已知作FGLCD,FE1BE,可以得出GFEC为正方形.再利用全等三角形的判

定得出4ABP丝△PEF,进而求出PA=PF即可.

解答：证明：作FGLCD,FE1BE,可以得出GFEC为正方形.

令AB=Y,BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X.

tan/BAP=tanZEPF^L_?—,可得YZ=XY-X2+XZ,

YY-X+Z

即Z(Y-X)=X(Y-X),即得X=Z,得出AABP丝APEF,

；.PA=PF.

点评：此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知得出

△ABP^APEF是解题关键.

12.如图，PC切圆0于C,AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线P0相交于

B、D.求证：AB=DC,BC=AD.

考点：切线的性质；全等三角形的判定与性质。

分析：作出辅助线，利用射影定理以及四点共圆的性质得出EFOQ四点共圆，BECQ四点共

圆，进而得出四边形ABCD是平行四边形，从而得出答案即可.

解答：证明：作CQ_LPD于Q,连接EO,EQ,EC,OF,QF,CF,

所以PC2=PQ・PO(射影定理)，

又PC2=PE»PF,

所以EFOQ四点共圆，

ZEQF=ZEOF=2ZBAD,

又NPQE=/OFE=NOEF=NOQF,

而CQJ_PD,所以/EQC=NFQC,因为/AEC=/PQC=90。，

故B、E、C、Q四点共圆，

所以/EBC=/EQC」ZEQF=A/EOF=ZBAD,

22

；.CB〃AD,

所以BO=DO,即四边形ABCD是平行四边形，

；.AB=DC,BC=AD.

点评：此题主要考查了四点共圆的性质以及射影定理,根据已知得出EFOQ四点共圆，BECQ

四点共圆是解题关键.

13.已知：AABC是正三角形，P是三角形内-点，PA=3,PB=4,PC=5.

求：/APB的度数.（初二）

考点：等边三角形的性质；直角三角形的性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质。

专题：计算题。

分析：先把4ABP旋转60。得到ABCQ,连接PQ,根据旋转性质可知ABCQ丝4BAP,由

于/PBQ=60。，BP=BQ,易知ABPQ是等边三角形，从而有PQ=PB=4,而PC=5,PQ=3,

根据勾股定理逆定理易证△PQC是直角三角形，即NPQC=90。，进而可求/APB.

解答：解：顺时针旋转△ABP60。得到ABCQ,连接PQ,

,/ZPBQ=60o,BP=BQ,

••.△BPQ是等边三角形，

；.PQ=PB=4,

而PC=5,PQH

在△PQC中，PQ2+QC2=PC2,

...△PQC是直角三角形，

.•.NBQC=60°+90°=150°,

ZAPB=150".

点评：本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理的逆定理、旋转的性质,

解题的关键是考虑把PA、PB、PC放在一个三角形中，而旋转恰好能实现这--目标.

14.设P是平行四边形ABCD内部的一点，且NPBA=/PDA.

求证：ZPAB=ZPCB.

考点：四点共圆；平行四边形的性质。

专题：证明题。

分析：根据已知作出P点平行于AD的直线，并选一点E,使AE〃DP,BE〃PC,进而得

出AEBP共圆，即可得出答案.

解答：证明：作过P点平行于AD的直线，并选一点E,使AE〃DP,BE〃PC.

；AE〃DP,BE〃PC,

ZABP=ZADP=ZAEP,

可得：AEBP共圆（一边所对两角相等）.

可得/BAP=NBEP=/BCP,

AZPAB=ZPCB.

点评：此题主要考查了四点共圆的性质以及平行四边形的性质，熟练利用四点共圆的性质得

出是解题关键.

15.设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB・CD+AD・BC=AC・BD.（初三）

考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理。

分析：在BD取一点E,使NBCE=NACD,即得△BECsaADC,于是可得AD・BC=BE・AC,

XVZACB=ZDCE,可得△ABCS/\DEC,即AB・CD=DE・AC,两式结合

ACDC

即可得至I」AB・CD+AD・BC=AC・BD.

解答：证明：在BD取一点E,使/BCE=/ACD,即得△BECs2^ADC,

可得：里迪，即AD*BC=BE・AC,①

BCAC

又；NACB=NDCE,可得△ABCsaDEC,

即得ABDE,即AB・CD=DE・AC,②

ACDC

由①+②可得：AB・CD+AD・BC=AC（BE+DE）=AC・BD,得证.

点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质和圆周角的知识点，解答本题的关键是在BD

上取点E,使NBCE=/ACD,此题难度一般.

16.平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB卜一的一点,AE与CF相交于P,且AE=CF.求

考点：平行四边形的性质；角平分线的性质。

专题：证明题。

分析:过D作DQ_LAE,DG1CF,由S-DE-'平行四边形匹-S/WFC，可得:迎理@四,

222

又；AE=FC,可得DQ=DG,可得/DPA=NDPC（角平分线逆定理）.

解答：证明：过D作DQJ_AE,DG1CF,并连接DF和DE,如右图所示：

11111cS平行四边形妣D

则OAADE=-----------------------=SADFC»

2

・AE-PQ_AE叩Q

••,

22

又YAE=FC,

；.DQ=DG,

，PD为NAPC的角平分线，

ZDPA=ZDPC（角平分线逆定理）.

点评：本题考查平行四边形和角平分线的性质，有一定难度，解题关键是准确作出辅助线,

利用角平分线的性质进行证明.

17.设P是边长为I的正aABC内任一点，L=PA+PB+PC,求证：小L<2.

考点：等边三角形的性质；三角形三边关系；旋转的性质。

专题：证明题。

分析：只要AP,PE,EF在一条直线上，可得最小L=«；过P点作BC的平行线交AB,

AC于点D,F,可得AD>AP①，BP+DP>BP②，PF+FOPC®,DF=AF④，从而得出结

论.

解答：证明：（1）顺时针旋转△BPC60。，可得4PBE为等边三角形.

即得要使PA+PB+PC=AP++PE+EF最小，只要AP,PE,EF在一条直线上，

即如下图：可得最小L二四；

（2）过P点作BC的平行线交AB,AC于点D,F.

由于/APD>/AFP=NADP,

推出AD>AP①

又：BP+DP>BP②

和PF+FOPC③

又：DF=AF④

由①②③④可得：最大L<2；

由（1）和（2）即得：V3<L<2

\，

F

点评：综合考查了旋转的性质，等边三角形的性质和三角形三边关系，分别找到最小和最大

L的求法是解题的关键.

18.已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC的最小值.

考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质。

分析：顺时针旋转△BPC60度，可得4PBE为等边三角形，若PA+PB+PC=AP+PE+EF要使

最小只要AP,PE,EF在一条直线上，求出AF的值即可.

解答：解：顺时针旋转△BPC60度，可得4PBE为等边三角形.

既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一条直线上，

即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF.

既得AF=J（勺1）2邛（停1）

一遍+想

D

、4

-F

点评：本题主要考查轴对称-路线最短问题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握旋转的知

识，此题难度一般.

19.P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的边长.

考点：正方形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；旋转的性质。

专题：综合题。_

分析：把4ABP顺时针旋转90。得到△BEC,根据勾股定理得到PE=2&a,再根据勾股定

理逆定理证明APEC是直角三角形，从而得到NBEC=135。,过点C作CF_LBE于点F,ACEF

是等腰直角三角形，然后再根据勾股定理求出BC的长度，即可得到正方形的边长.

解答：解：如图所示，把4ABP顺时针旋转90。得到△BEC,

.,.△APB^ACEB,

BE=PB=2a,

,,PE=yBE2+PB-2后a，

在△PEC中，PC2=PE2+CE2=9a2,

.1△PEC是直角三角形，

，NPEC=90。，

；./BEC=45°+90°=135°,

过点C作CFLBE于点E

则ACEF是等腰直角三角形，

.\CF=EF=&：E=&,

22

在Rt^BFC中，BC=^BF2+CF^（2a+乎a）\（堂a）2H5+2收,

即正方形的边长为倔丽a.

点评：本题考查了正方形的性质，旋转变化的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及

逆定理的应用，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键.

20.如图，^ABC中，ZABC=ZACB=80°,D、E分别是AB、AC上的点，ZDCA=30°,

NEBA=20。，求/BED的度数.

考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质。

专题：几何综合题。

分析：作NBCF=60。，分别交AC、BE于点F、G,构造出等边三角形4BCG,可以求出ZDCF

与/FCE的度数，并利用角边角证明4ABE与4ACF全等，根据全等三角形为应边相等得

到BE=CF,然后求出4FGE也是等边三角形，再根据等边三角形的角的度数证明EF〃BC,

推出ZAFE=80°，根据平角等于180。推出NDFG=40°，再根据角的度数可以得到BD=BC=BG,

然后推出/DGF=40。，根据等角对等边的性质可得DG=DF,从而利用边边边证明4DFE与

△DGE全等，根据全等三角形对应角相等可得/DEF=/BED,即可得解.

解答：解：作/BCF=60。，分别交AC、BE于点F、G,连接EF,DG,

VZABC=80°,NEBA=20°,

AZGBC=80°-20°=60°,

•••△BGC为等边三角形，

VZDCA=30°,ZACB=80°,

・•・ZDCF=ZBCF-(ZACB-ZDCA)=60°-(80°-30°)=10°,ZFCE=ZDCA-ZDCF=30°

-10°=20°,

AZEBA=ZFCE,

XVZABC=ZACB=80°,

AAB=AC,

在aABE与4ACF中，

rZEBA=ZFCE

<AB=AC，

,ZA=ZA

.,.△ABE^AACF(ASA),

，BE=CF,

VBG=CG(等边三角形的三边相等)

；.FG=GE,

...△FGE为等边三角形，

ZEFG=ZCBG=60°,

EF〃BC,

ZAFE=ZABC=80°,

:.ZDFG=180°-80°-60°=40°@,

在4BCD中，ZBDC=180°-ZABC-ZBCD=180°-80°-(80°-30°)=50°,

.\BD=BC=BG,

在aBGD中，NBGD」(180°-20°)=80。，

2

ZDGF=1800-ZBGD-ZEGF=180°-80°-60°=40°②，

；./DFG=/DGF,

，DF=DG,

在4DFE与ADGE中，

'EF=EG

<DF=DG，

DE=DE

.'.△DFE^ADGE(SSS),

.,.ZFED=ZBED,

VZGEF=60°(等边三角形的每一个角都等于60。)，

?./BED」/GEF=30。.

2

故答案为：30。.

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，巧妙运用题中的角

的度数的关系并作出辅助线是解题的关键，难度较大，对同学们的能力要求较高.

初中几何常用方法

全等三角形辅助线

找全等三角形的方法：

(1)可以从结论出发，看要证明相等的两条线段(或角)分别在哪两个可

能全等的三角形中；

(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；

(3)从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；

(4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形中常见辅助线的作法：

①延长中线构造全等三角形；

②利用翻折，构造全等三角形；

③引平行线构造全等三角形；

④作连线构造等腰三角形。

常见辅助线的作法有以下几种：

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思

维模式是全等变换中的“对折”.

2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等

三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.

3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的

思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定

理或逆定理.

4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是

全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

5）栈长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相

等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质

加以说明.这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶

点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.

常见辅助线写法：

⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F

⑵过点A作BC的垂线，垂足为D

⑶延长AB至C,使BC=AC

⑷在AB上截取AC,使AC=DE

⑸作NABC的平分线，交AC于D

⑹取AB中点C,连接CD交EF于G点

率移交修4

例1

如图，AB=CD=l,ZAOC=60°,证明：4C+BD21。

A

D

例2

（2007年北京中考）如图，已知△ABC

⑴请你在8c边上分别取两点。、E（BC的中点除外），连接4。、AE,写出使此图中只存在两对面积相

等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；

⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明AB+AOAD+AE.

A

B

例3

已知线段。A、OB.OC、OD、OE、OF。

ZAOB=ZBOC=NCOD=ZDOE=NEOF=60。。且AD=BE=CF=2.

求证：+$△℃£>+SAOEF<错误！未找到引用源。。

例4

如图1,在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD,如果N1=N2,那么/3=/4。

仔细阅读以上材料，完成下面的问题.

如图2,设。为688内一点，NPAB=NPCB,求证：NPBA=NPDA。

图1图2

⑴集散思想：有些几何题，条件与结论比较分散，通过添加适当的辅助

线，

将图形中分散，远离了的元素聚集到有关的图形上，使它们相对集中,

便于比较，建立关系，从而找出问题的解决途径。

⑵平移只能用来作为作辅助线的思路，具体做辅助线的时候不能直接说

将

AABC平移至△0EF。

1.在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是A8、BC、CD、DA边上的点，且EGJ_F”，求

证：EG=FH。

2.如图所示，P为平行四边形A8CD内一点，求证：以AP、BP、CP、DP为边可以构成一个

四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB和BCo

BC

3.如图，已知△A8C的面积为16,BC=8,现将△/18c沿直线BC向右平移。个单位到△口£下

的位置。

⑴当a=4时，求△ABC所扫过的面积；

⑵连接AE、AD,设A8=5,当△ADE是以。E为一腰的等腰三角形时，求。的值。

4.如图，AA'=BB'=CC'=1,ZAOB'=ZBOC'=ZCOA'=60°,求证:

SAOB'+SBOC+SCOA'<~T

4°

Br

A'C

籍二：

例1

如图，E、尸分别是正方形ABC。的边8C、C£＞上的点，且/E4尸=45。，AHLEF,，为垂

足，求证：AH=AB.

例2

△A8C中，N4CB=90。，AC=8C,P是△ABC内的一点，且4P=3,CP=2,BP=1,求

N8PC的度数。

例3

已知在△ABC中，AB=AC,P为三角形内一点，且/APB>NAPC,求证：PB<PC。

有边相等或者有角度拼起来为特殊角的时候可以用旋转

⑴边相等时常见图形为正方形，等腰三角形和等边三角形等等

⑵角度能拼成的特殊角指的是180°,90。等等

4M二：■折飞

例4

已知△ABC,Z1=Z2,AB=2AC,AD=BD。求证：DCLAC.

A

D

B

例5

△ABC为等腰直角三角形，ZABC=90°,AB=AE,ZBAE=300,求证:BE=CEo

例6

在aA8c中，E、F为8c边上的点，已知/CAE=/BAF,CE=BF,求证：AC=ABo

出现轴对称的时候可以考虑翻折，尤其注意有角平分线，有角相等或者出现

特殊角的一半的时候，翻折是常用添加辅助线的思想。

强调：

旋转和翻折只能是一种作辅助线的思路，具体做辅助线的时候不能直接说将

△ABC旋转或翻折至△OE凡

1.如图，。是边长为。的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长、圆心角为直角的扇形

纸板的圆心方在。点处，并将纸板绕。点旋转，其半径分别交AB、AD于点M、N,求

证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a。

2.（2008山东）在梯形4BCD中，AB//CD,/A=90。，AB=2,8C=3,CD=1,E是

AD中点，试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程。

3.如图，P是等边△ABC内一点，若AP=3,P8=4,PC=5,求N4P8的度数。

4.已知：在Rtz!\A8C中，N8AC=90。，A8=AC,点D、E分别为线段BC上两动点，

/DAE=45°。

⑴猜想8。、DE,EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

⑵当动点E在线段BC上，动点。运动在线段CB延长线上时，其它条件不变，⑴中探究

的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明。

D

B

5.如图，已知等腰直角三角线ABC,BD平分/A8C,CE1BD,垂足为E,求证：BD=2CE.

A

DE

BC

6.如图，折叠长方形的一边AD,使点。落在BC边的点F处，如果AB=8,BC=10,求EC

的长。

B

F(D)C

》中点的妙用《

一、倍长中线法

例1

（北京文汇中学2009-2010期中测试题），AO是△A8C中BC边上的中线，若48=2,AC=4,则

AD的取值范围是。

例2

已知在△△8c中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长8E交AC于F,AF=EF,求

证：AC=BE.

BDC

例3

⑴如图1,ZXABC与△BDE均为等腰直角三角形，BAA.AC,E。J_8。，点。在A8边上。连接EC,取

EC中点F,连接AF,DF,猜测AF,DF的数量关系和位置关系，并加以证明。

A

E

F

D

BC

图1

⑵如图2,将△BOE旋转至如图位置，使E在AB延长线上，。在CB延长线上，其他条件不变，则

⑴中AF,OF的数量关系和位置关系是否发生变化，并加以证明。

E

图2

例4

已知四边形A8C。中，E,F,G,H分别为A8,BC,CD,DA的中点，求证EFGH为平行四边

形。

例5

如图，已知四边形A8CD中，AB=CD,M、N分别为BC、AD中点，延长/WN与AB、CD延

长线交于E、F,求证NBEM=/CFM

BC

M

例6

己知△AB。和都是直角三角形，SLZABD=ZACE=90°,连接。E,设M为DE的中点。

⑴求证：MB=MCx

⑵设/BAD=/C4E,固定RtZXAB。，让Rt/XACE移至图示位置，此时MC是否成立？请证

明你的结论。

出现中点的时候一般有以下作辅助线的方法

⑴倍长中线法

⑵构造中位线

⑶如果是直角三角形，经常还会构造斜边上的中线

如图，已知△A8C和AADE都是等腰直角三角形，点M为EC中点，求证△BMD为等腰直角三角

形。

C

A

1.在AA8c中，46=12,AC=30,求BC边上的中线A。的范围。

2.在△ABC中，D为BC边上的点，已知/BAD=/CA。，BD=CD,求证：AB=ACo

3.如图，在△ABC中，AD±BC,M是BC中点，ZB=2ZC,如图，求证：DM=

2

D

4.已知△ABC中，AC=7,BC=4,。为AB中点，E为边AC上一点，J3.ZAED=90°+-ZC,

2

求CE的长。

5.在任意五边形ABCDE中，M,N,P,Q分别为AB、CD、BC、DE的中点，K、L、分别为MN、

PQ的中点，求证：KL平行且等于

4A

>E

Q

C(D

N

6.如图，已知△A8C中，AB=AC,CE是AB