人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题14已知两点坐标求两点距离(原卷版+解析)

专题14已知两点坐标求两点距离【例题讲解】阅读材料：两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离AB＝．则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．例如：若点A（4，1），B（2，3），则AB＝根据上面材料完成下列各题：(1)若点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是．(2)若点A（﹣2，3），点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标．(3)若点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，求x的值．(1)解：点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是：故答案为：(2)解：点B在坐标轴上，设或当时，点A（﹣2，3），且A、B两点间的距离是5，或或当时，点A（﹣2，3），且A、B两点间的距离是5，或解得：或(3)解：点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，整理得：解得：【综合解答】1．在学习了勾股定理后，数学兴使小组在江老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动：(1)在中，、、三边的长分别为、、，求的面积．如图1，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），不需要求的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则的面积为___________．(2)在平面直角坐标系中，①若点A为，点B为，则线段的长为___________；②若点A为，点B为，则线段的长可表示为__________∶(3)在图2中运用构图法画出图形，比较大小：_______（填“>”或“<”）；(4)若三边的长分别为、、（，．且），请在如图3的长方形网格中（设每个小长方形的长为m，宽为n），运用构图法画出，并求出它的面积（结果用m，n表示）．2．阅读材料：两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离AB＝．则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．例如：若点A（4，1），B（2，3），则AB＝根据上面材料完成下列各题：(1)若点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是．(2)若点A（﹣2，3），点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标．(3)若点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，求x的值．3．（一）问题提出（1）平面直角坐标系中，如果A、B是x轴上的点，他们对应的横坐标分别是xA，xB，C、D是y轴上的两点，它们对应的纵坐标分别是yC，yD，那么A、B两点间的距离，C、D两点间的距离分别是多少？（2）平面直角坐标系中任意一点P(x，y)到原点的距离是多少？（3）已知平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1，P2的距离|P1P2|（二）问题探究（1）求平面直角坐标系中x轴上的两点E(5，0)、F(-2，0)之间的距离，可以借助绝对值表示|EF|=|5-（-2）|=7，对于y轴上两点，M(0，-3)、N(0，5)之间的距离|MN|=|3-5|=2．结论：在平面直角坐标系中，如果A、B是x轴上两点，它们对应的横坐标分别是xA，xB，则A、B两点间的距离|AB|＝；C、D是y轴上的两点，它们对应的纵坐标分别是yC，yD，那么C、D两点间的距离|CD|＝：（2）如图1：平面直角坐标系中任意一点B(3，4)，过B向x轴上作垂线，垂足为M，由勾股定理得|OB|＝；结论：平面直角坐标系中任意一点P(x，y)到原点的距离|OP|＝；（3）如图2，要求AB或DE的长度，可以转化为求RtABC或RtDEF的斜边长．例如：从坐标系中发现：D(-7，5)，E(4，-3)，所|以|DF|=|5-（-3）|=8，|EF|=|4-（-7）|=11，所以由勾股定理得：|DE|=．在图2中请用上面的方法求线段AB的长：AB＝；在图3中：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，试用x1，x2，y1，y2表示：|P1C|＝，|P2C|＝，|P1P2|＝．（三）拓展应用试用以上所得结论解决如下问题：已知A(0，1)，B(4，3)．（1）直线AB与x轴交于点D，求线段BD的长．（2）C为坐标轴上的点，且使得三角形ABC是以AB为底边的等腰三角形，则C点的坐标为（不必写解答过程，直接写出即可）．4．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或．（1）已知，，试求A、B两点间的距离；（2）已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状，并说明理由．（3）已知，在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形，若存在请直接写出点P的坐标；若不存在说明理由．5．数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．探究一：求方程|x﹣1|＝5的解（1）探究|x﹣1|的几何意义如图①，在以O为原点的数轴上，设点A′对应点的数为x﹣1，由绝对值的定义可知，点A′与O的距离为|x﹣1|，可记为：A′O＝|x﹣1|．将线段A′O向右平移一个单位，得到线段AB，此时点A对应的数为x，点B的对应数是1，因为AB＝A′O，所以AB＝|x﹣1|．因此，|x﹣1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB．（2）求方程|x﹣1|＝5的解因为数轴上所对应的点与1所对应的点之间的距离都为5，所以方程的解为．探究二：探究的几何意义（1）探究的几何意义如图②，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则点P点坐标（x，0），Q点坐标（0，y），|OP|＝x，|OQ|＝y，在Rt△OPM中，PM＝OQ＝y，则MO＝＝＝因此的几何意义可以理解为点M（x，y）与原点O（0，0）之间的距离MO．（2）探究的几何意义如图③，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x﹣1，y﹣5），由探究（二）（1）可知，A′O＝，将线段A′O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5）．因为AB＝A′O，所以AB＝，因此的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（1，5）之间的距离AB．（3）探究的几何意义请仿照探究二（2）的方法，在图④中画出图形，并写出探究过程．（4）的几何意义可以理解为：．拓展应用：（5）的几何意义可以理解为：点A（x，y）与点E（2，﹣1）的距离与点A（x，y）与点F（填写坐标）的距离之和．（6）的最小值为．（直接写出结果）6．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题：已知在平面直角坐标系内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其两点间的距离P1P2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知A(1，3)，B(﹣3，﹣5)，试求A，B两点间的距离；（2）已知线段MN∥y轴，MN＝4，若点M的坐标为(2，﹣1)，试求点N的坐标；（3）已知一个三角形各顶点坐标为D(0，6)，E(﹣3，2)，F(3，2)，你能判定此三角形的形状吗？说明理由．7．在平面直角坐标系中，已知两点的坐标是，，则，两点之间的距离可以用公式．计算，阅读以上内容并解答下列问题：（1）已知点，，则，两点之间的距离为__________；（2）若点，，，判断的形状，并说明理由．8．在信息技术迅猛发展的今天，很多同学都能够借助网络平台进行学习，在学习了平面直角坐标系后，小明同学在网上搜索到下面的文字材料：在x轴上有两个点，它们的坐标分别为（a，0）和（c，0），则这两点所成线段的长为|a﹣c|；同样的，若在y轴上的两点坐标分别为（0，b）和（0，d），则这两点所成线段的长为|b﹣d|．如图1，在直角坐标系中的任意两点P1，P2，其坐标分别是（a，b）和（c，d），分别过这两点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边P1Q＝|a﹣c|，PQ＝|b﹣d|，利用勾股定理可得，线段P1P2的长为．根据上面材料，回答下面的问题：（1）在平面直角坐标系中，已知A（7，﹣2），B（7，7），则线段AB的长为_____．（2）在平面直角坐标系中，已知M（﹣4，3），N（8，﹣2），则线段MN的长为______．（3）若点C在y轴上，点D的坐标是（﹣3，1），且CD=5，则点C的坐标是______．（4）如图2，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的动点，且A、B、C三点不在同一直线上，求△ABC周长的最小值．9．如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找或的长度，显然是转化为求或的斜边长．下面：以求为例来说明如何解决：从坐标系中发现：，．所以，，所以由勾股定理可得：．下面请你参与：（1）在图①中：________，________，________．（2）在图②中：设，，试用，，，表示________，________，________．（3）（2）中得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”，请用此公式解决如下题目：已知：，，为坐标轴上的点，且使得是以为底边的等腰三角形．请求出点的坐标．10．先阅读下列一段文字，再解答问题．已知在平面内有两点P1（，），P2（，），其两点间的距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或．（l）已知点A（7，3），B（2，），试求A，B两点间的距离；（2）已知点A，B在平行于轴的直线上，点A的横坐标为6，点B的横坐标为，试求A，B两点间的距离；（3）应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值．11．热爱学习的小明同学在网上搜索到下面的文字材料：在x轴上有两个点它们的坐标分别为(a，0)和(c，0)．则这两个点所成的线段的长为|a﹣c|；同样，若在y轴上的两点坐标分别为(0，b)和(0，d)，则这两个点所成的线段的长为|b﹣d|．如图1，在直角坐标系中的任意两点P1，P2，其坐标分别为(a，b)和(c，d)，分别过这两个点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边P1Q=|a﹣c|，P2Q=|b﹣d|，利用勾股定理可得：线段P1P2的长为．根据上面材料，回答下面的问题：（1）在平面直角坐标系中，已知A(3，1)，B(6，5)，则线段AB的长为_________________；（2）若点C在y轴上，点D的坐标是(﹣3，0)，且CD=6，则点C的坐标是_________________；（3）如图2，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，3)和(3，0)，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，求△ABC周长的最小值．12．阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点，之间的位置关系有以下三种情形；①如果轴，则，②如果轴，则，③如果与轴、轴均不平行，如图，过点作与轴的平行线与过点作与轴的平行线相交于点，则点坐标为，由①得；由②得；根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式小试牛刀：（1）若点坐标为，点坐标为则；（2）若点坐标为，点坐标为则；（3）若点坐标为，点坐标为则；学以致用：若点坐标为，点坐标为，点是轴上的动点，当取得最小值时点的坐标为并求出最小值=13．数形结合是一种重要的数学思想，我们不但可以用数来解决图形问题，同样也可以用借助图形来解决数量问题，往往能出奇制胜，数轴和勾股定理是数形结合的典范.数轴上的两点A和B所表示的数分别是和，则A，B两点之间的距离；坐标平面内两点，，它们之间的距离.如点，，则.表示点与点之间的距离，表示点与点和的距离之和.（1）已知点，，________；（2）表示点和点之间的距离；（3）请借助图形，求的最小值.专题14已知两点坐标求两点距离【例题讲解】阅读材料：两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离AB＝．则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．例如：若点A（4，1），B（2，3），则AB＝根据上面材料完成下列各题：(1)若点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是．(2)若点A（﹣2，3），点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标．(3)若点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，求x的值．(1)解：点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是：故答案为：(2)解：点B在坐标轴上，设或当时，点A（﹣2，3），且A、B两点间的距离是5，或或当时，点A（﹣2，3），且A、B两点间的距离是5，或解得：或(3)解：点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，整理得：解得：【综合解答】1．在学习了勾股定理后，数学兴使小组在江老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动：(1)在中，、、三边的长分别为、、，求的面积．如图1，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），不需要求的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则的面积为___________．(2)在平面直角坐标系中，①若点A为，点B为，则线段的长为___________；②若点A为，点B为，则线段的长可表示为__________∶(3)在图2中运用构图法画出图形，比较大小：_______（填“>”或“<”）；(4)若三边的长分别为、、（，．且），请在如图3的长方形网格中（设每个小长方形的长为m，宽为n），运用构图法画出，并求出它的面积（结果用m，n表示）．答案：(1)(2)①5；②(3)<(4)【解析】分析：（1）利用构图法求出的面积，即可求解；（2）①利用勾股定理，即可求解；②类比①的方法，即可求解；（3）构造出三边长分别为的三角形，即可求解；（4）先画出三边长分别为、、的，再利用构图法求解，即可求解．(1)解：的面积为；故答案为：(2)解：①；故答案为：5；②线段的长可表示为；故答案为：(3)解：如图，根据题意得：，，，∴，∵，∴；故答案为：<(4)解：解：如图，，，，【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考常见题，3．（一）问题提出（1）平面直角坐标系中，如果A、B是x轴上的点，他们对应的横坐标分别是xA，xB，C、D是y轴上的两点，它们对应的纵坐标分别是yC，yD，那么A、B两点间的距离，C、D两点间的距离分别是多少？（2）平面直角坐标系中任意一点P(x，y)到原点的距离是多少？（3）已知平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1，P2的距离|P1P2|（二）问题探究（1）求平面直角坐标系中x轴上的两点E(5，0)、F(-2，0)之间的距离，可以借助绝对值表示|EF|=|5-（-2）|=7，对于y轴上两点，M(0，-3)、N(0，5)之间的距离|MN|=|3-5|=2．结论：在平面直角坐标系中，如果A、B是x轴上两点，它们对应的横坐标分别是xA，xB，则A、B两点间的距离|AB|＝；C、D是y轴上的两点，它们对应的纵坐标分别是yC，yD，那么C、D两点间的距离|CD|＝：（2）如图1：平面直角坐标系中任意一点B(3，4)，过B向x轴上作垂线，垂足为M，由勾股定理得|OB|＝；结论：平面直角坐标系中任意一点P(x，y)到原点的距离|OP|＝；（3）如图2，要求AB或DE的长度，可以转化为求RtABC或RtDEF的斜边长．例如：从坐标系中发现：D(-7，5)，E(4，-3)，所|以|DF|=|5-（-3）|=8，|EF|=|4-（-7）|=11，所以由勾股定理得：|DE|=．在图2中请用上面的方法求线段AB的长：AB＝；在图3中：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，试用x1，x2，y1，y2表示：|P1C|＝，|P2C|＝，|P1P2|＝．（三）拓展应用试用以上所得结论解决如下问题：已知A(0，1)，B(4，3)．（1）直线AB与x轴交于点D，求线段BD的长．（2）C为坐标轴上的点，且使得三角形ABC是以AB为底边的等腰三角形，则C点的坐标为（不必写解答过程，直接写出即可）．答案：（二）问题探究：（1）|xA-xB|，|yC-yD|；（2）5，；（3）5，y1-y2，x1-x2，；（三）拓展应用：（1）BD；（2）（3，0）或（0，6）【解析】分析：（二）问题探究：（1）根据两点间距离的定义，利用两点的坐标差的绝对值表示即可；（2）构造直角三角形利用勾股定理即可解决问题；（3）构造直角三角形，利用勾股定理即可解决问题；（三）拓展应用：（1）利用待定系数法求出直线AB的解析式，求得点D坐标，利用（3）中结论即可解决问题；（2）作线段AB的垂直平分线交x轴于C，交y轴于C′．△ABC，△ABC′是等腰三角形，列方程求解即可；【详解】解：（二）问题探究：（1）|AB|=|xA-xB|，|CD|=|yC-yD|，故答案为：|xA-xB|，|yC-yD|；（2）平面直角坐标系中任意一点B（3，4），过B向x轴上作垂线，垂足为M，|OM|=3，|BM|=4，由勾股定理得|OB|==5：结论：平面直角坐标系中任意一点P（x，y）到原点的距离|OP|=，故答案为：5，；（3）∵A（4，5），B（1，1），∴BC=3，AC=4，∴AB==5．在图3中：设P1（x1，y1），P2（x2，y2），试用x1，x2，y1，y2表示：|P1C|=y1-y2，|P2C|=x1-x2，|P1P2|=，故答案为：5，y1-y2，x1-x2，；（三）拓展应用：（1）如图4中，设直线AB的解析式为，把B（4，3）代入得：，解得：k=，∴直线AB的解析式为，令y=0，则x=-2，∴D（-2，0），∵B（4，3），∴BD=；（2）作线段AB的垂直平分线交x轴于C，交y轴于C′，△ABC，△ABC′是等腰三角形．设C（m，0），C′（0，n），由题意有：AC=BC，AC′=BC′，则，，解得：m=3，n=6，∴C（3，0），C′（0，6）；故答案为：（3，0）或（0，6）．【点睛】本题考查了待定系数法求直线的解析式、两点间距离公式、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考创新题型．4．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或．（1）已知，，试求A、B两点间的距离；（2）已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状，并说明理由．（3）已知，在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形，若存在请直接写出点P的坐标；若不存在说明理由．答案：（1）10；（2）△ABC是直角三角形；（3）点P的坐标为（，0）或（-，0）或（4，0）或（，0）．【解析】分析：（1）利用公式代入计算即可；（2）利用公式求出AB、AC、BC的长，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状；（3）根据等腰三角形的性质，分三种情况利用勾股定理解答．【详解】解：（1）A、B两点间的距离为；（2）∵，，，∴，∴△ABC是直角三角形；（3）∵，∴，当OA=OP=时，∴P（，0）或（-，0）；当AO=AP时，OP=4，∴P（4，0）；当PA=PO时，过点A作AD⊥x轴于D，设PA=PO=x，则PD=2-x，∵，∴，解得，∴P（，0）．综上，点P的坐标为（，0）或（-，0）或（4，0）或（，0）．【点睛】此题考查直角坐标系中两点之间的距离公式，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，解题的关系是正确掌握各部分知识并熟练应用，解题中注意分类思想的应用．5．数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．探究一：求方程|x﹣1|＝5的解（1）探究|x﹣1|的几何意义如图①，在以O为原点的数轴上，设点A′对应点的数为x﹣1，由绝对值的定义可知，点A′与O的距离为|x﹣1|，可记为：A′O＝|x﹣1|．将线段A′O向右平移一个单位，得到线段AB，此时点A对应的数为x，点B的对应数是1，因为AB＝A′O，所以AB＝|x﹣1|．因此，|x﹣1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB．（2）求方程|x﹣1|＝5的解因为数轴上所对应的点与1所对应的点之间的距离都为5，所以方程的解为．探究二：探究的几何意义（1）探究的几何意义如图②，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则点P点坐标（x，0），Q点坐标（0，y），|OP|＝x，|OQ|＝y，在Rt△OPM中，PM＝OQ＝y，则MO＝＝＝因此的几何意义可以理解为点M（x，y）与原点O（0，0）之间的距离MO．（2）探究的几何意义如图③，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x﹣1，y﹣5），由探究（二）（1）可知，A′O＝，将线段A′O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5）．因为AB＝A′O，所以AB＝，因此的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（1，5）之间的距离AB．（3）探究的几何意义请仿照探究二（2）的方法，在图④中画出图形，并写出探究过程．（4）的几何意义可以理解为：．拓展应用：（5）的几何意义可以理解为：点A（x，y）与点E（2，﹣1）的距离与点A（x，y）与点F（填写坐标）的距离之和．（6）的最小值为．（直接写出结果）答案：探究一：（2）﹣4或6，x＝﹣4或6；探究二：（3）见解析；（4）点（x，y）与点（a，b）之间的距离；（5）（﹣1，5）；（6）3【解析】分析：探究一：（2）因为数轴上的-4或6所对应的点与1所对应的点之间的距离都为5，即可求解；探究二：（3）参考（1）的过程画出函数图象即可求解；（4）根据前面的探究可知几何意义是表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离，即可求解；拓展应用：（5）由探究二（4）可知：+表示点A（x，y）与点F（-1，5）的距离之和；（6）当点A位置线段EF之间时，此时EF=AF+AE，进而求解．【详解】解：探究一：（2）因为数轴上的﹣4或6所对应的点与1所对应的点之间的距离都为5，所以方程的解为x＝﹣4或6，故答案为：﹣4或6，x＝﹣4或6；探究二：（3）如图④，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x+3，y+4），由探究二（1）可知，A′O＝，将线段A′O先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到线段AB，此时点A的坐标为（x，y），点B的坐标为（﹣3，﹣4），因为AB＝A′O，所以AB＝，因此的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（﹣3，﹣4）之间的距离AB；（4）根据前面的探究可知的几何意义是表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离，故答案为点（x，y）与点（a，b）之间的距离；拓展应用：（5）由探究二（4）可知：+表示点A（x，y）与点E（2，﹣1）的距离和点A（x，y）与点F（﹣1，5）的距离之和，故答案为（﹣1，5）；（6）当A（x，y）位于直线EF外时，此时点A、E、F三点组成△AEF，∴由三角形三边关系可知：EF＜AF+AE，当点A位置线段EF之间时，此时EF＝AF+AE，∴+的最小值为EF的距离，∴EF＝，故答案为．【点睛】本题考查学生的阅读理解能力，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求出答案，本题也考查了学生的综合能力，属于中等题型．6．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题：已知在平面直角坐标系内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其两点间的距离P1P2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知A(1，3)，B(﹣3，﹣5)，试求A，B两点间的距离；（2）已知线段MN∥y轴，MN＝4，若点M的坐标为(2，﹣1)，试求点N的坐标；（3）已知一个三角形各顶点坐标为D(0，6)，E(﹣3，2)，F(3，2)，你能判定此三角形的形状吗？说明理由．答案：（1）4；（2）(2，3)或（2，﹣5）；（3）等腰三角形，见解析【解析】分析：（1）直接利用两点间的距离公式计算；（2）利用MN∥y轴得到M、N的横坐标相同，设N（2，t），利用两点间的距离为4得到|t+1|＝4，然后求出t即可；（3）利用两点间的距离公式计算出DE、DF、EF，然后根据三角形的分类进行判断．【详解】解：（1）A，B两点间的距离＝＝4；（2）∵线段MN∥y轴，∴M、N的横坐标相同，设N（2，t），∴|t+1|＝4，解得t＝3或﹣5，∴N点坐标为（2，3）或（2，﹣5）；（3）△DEF为等腰三角形．理由如下：∵D（0，6），E（﹣3，2），F（3，2），∴DE＝＝5，DF＝＝5，EF＝＝6，∴DE＝DF，∴△DEF为等腰三角形．【点睛】本题考查了两点间的距离公式．解答该题时，先弄清两点在平面直角坐标系中的位置，然后选取合适的公式来求两点间的距离．7．在平面直角坐标系中，已知两点的坐标是，，则，两点之间的距离可以用公式．计算，阅读以上内容并解答下列问题：（1）已知点，，则，两点之间的距离为__________；（2）若点，，，判断的形状，并说明理由．答案：（1）13；（2）为直角三角形，理由见解析．【解析】分析：（1）用两点之间的距离可以用公式即可；（2）分别算出三点之间的距离即可．【详解】解：（1）∵，∴．（2）为直角三角形．理由：；；，∴．∴为直角三角形．【点睛】此题考查的是两点之间的距离和三角形类型的判断，掌握两点之间的距离公式和勾股定理的逆定理是解题的关键．8．在信息技术迅猛发展的今天，很多同学都能够借助网络平台进行学习，在学习了平面直角坐标系后，小明同学在网上搜索到下面的文字材料：在x轴上有两个点，它们的坐标分别为（a，0）和（c，0），则这两点所成线段的长为|a﹣c|；同样的，若在y轴上的两点坐标分别为（0，b）和（0，d），则这两点所成线段的长为|b﹣d|．如图1，在直角坐标系中的任意两点P1，P2，其坐标分别是（a，b）和（c，d），分别过这两点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边P1Q＝|a﹣c|，PQ＝|b﹣d|，利用勾股定理可得，线段P1P2的长为．根据上面材料，回答下面的问题：（1）在平面直角坐标系中，已知A（7，﹣2），B（7，7），则线段AB的长为_____．（2）在平面直角坐标系中，已知M（﹣4，3），N（8，﹣2），则线段MN的长为______．（3）若点C在y轴上，点D的坐标是（﹣3，1），且CD=5，则点C的坐标是______．（4）如图2，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的动点，且A、B、C三点不在同一直线上，求△ABC周长的最小值．答案：（1）9；（2）13；（3）（0，5）或（0，-3）；（4）△ABC周长的最小值为．【解析】分析：（1）由线段的公式得：，即可求解；（2）由线段的公式得：，即可求解；（3）设点C（0，m），则，解得m=5或-3，即可求解；（4）作点A关于y轴的对称点D（-1，4），连接BD交y轴于点C，则此时△ABC周长最小，进而求解．【详解】解：（1）由线段的公式得：，故答案为：9；（2）由线段的公式得：，故答案为：13；（3）设点C（0，m），则，解得m=5或-3，故点C的坐标为（0，5）或（0，-3），故答案为：（0，5）或（0，-3）；（4）作点A关于y轴的对称点D（-1，4），连接BD交y轴于点C，则此时△ABC周长最小，∵CA=CD，AB为定长，∴△ABC周长=AB+AC+BC=AB+CD+BC=AB+BD为最小，则，同理可得：，故△ABC周长的最小值=AB+AC+BC=AB+CD+BC=AB+BD=．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质、勾股定理、点的对称性等，这种阅读性题目，通常按照题设的顺序求解，一般容易解答．9．如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找或的长度，显然是转化为求或的斜边长．下面：以求为例来说明如何解决：从坐标系中发现：，．所以，，所以由勾股定理可得：．下面请你参与：（1）在图①中：________，________，________．（2）在图②中：设，，试用，，，表示________，________，________．（3）（2）中得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”，请用此公式解决如下题目：已知：，，为坐标轴上的点，且使得是以为底边的等腰三角形．请求出点的坐标．答案：（1）4；3；5；（2）；；；（3）或．【解析】分析：(1)结合坐标系即可得出AC、BC的长度，利用勾股定理可得出AB的长度；(2)结合坐标系及各点坐标即可得出各线段的长度；(3)设点C的坐标为(x，0)或(y，0)，依次求出即可得出答案.【详解】（1）结合坐标系可得出：，，．（2）结合图形可得：，，．（3）若点在轴上，设点的坐标为，则，即，解得：．即点的坐标为；若点在轴上，设点的坐标为．则，即，解得：，即点的坐标为．综上可得点的坐标为或．【点睛】本题考查了勾股定理及两点间的距离公式，看似难度较大，其实不然，注意仔细审题，领悟题意.10．先阅读下列一段文字，再解答问题．已知在平面内有两点P1（，），P2（，），其两点间的距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或．（l）已知点A（7，3），B（2，），试求A，B两点间的距离；（2）已知点A，B在平行于轴的直线上，点A的横坐标为6，点B的横坐标为，试求A，B两点间的距离；（3）应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值．答案：（1）13；（2）8；（3）10．【解析】分析：（1）利用两点间距离公式将两点的坐标代入公式计算即可；（2）根据点A，B在平行于轴的直线上，可利用公式求出AB；（3）原式表示点（x，y）到（0，−1）和（−6，7）的距离之和．由两点之间线段最短，点（x，y）在以（0，−1）和（−6，7）为端点的线段上时，原式值最小．【详解】解：（1）∵点A（7，3），B（2，），∴AB＝．（2）∵点A，B在平行于轴的直线上，∴AB＝＝8．（3）∵原式＝，∴原式表示点（x，y）到（0，−1）和（−6，7）的距离之和．∵两点之间线段最短，∴点（x，y）在以（0，−1）和（−6，7）为端点的线段上时，原式值最小．∴最小值＝＝10．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中两点间的距离，解题的关键是能够理解公式的含义，结合平面内点的坐标特点求解．11．热爱学习的小明同学在网上搜索到下面的文字材料：在x轴上有两个点它们的坐标分别为(a，0)和(c，0)．则这两个点所成的线段的长为|a﹣c|；同样，若在y轴上的两点坐标分别为(0，b)和(0，d)，则这两个点所成的线段的长为|b﹣d|．如图1，在直角坐标系中的任意两点P1，P2，其坐标分别为(a，b)和(c，d)，分别过这两个点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边P1Q=|a﹣c|，P2Q=|b﹣d|，利用勾股定理可得：线段P1P2的长为．根据上面材料，回答下面的问题：（1）在平面直角坐标系中，已知A(3，1)，B(6，5)，则线段AB的长为_________________；（2）若点C在y轴上，点D的坐标是(﹣3，0)，且CD=6，则点C的坐标是_________________；（3）如图2，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，3)和(3，0)，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，求△ABC周长的最小值．答案：（1）5；（2）(，)或(，)；（3）△ABC周长的最小值为【解析】分析：（1）