等比数列的前n项和公式高二下数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章数列4.3等比数列4.3.2等比数列的前n项和公式(3)内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.能运用等比数列的基本知识解决简单的实际问题．2.通过对等比数列的基本知识的学习，提高理解与运用知识的能力．活动方案例1如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点

E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点

I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．活动运用等比数列的基本知识解决简单的实际问题——建模(1)求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；(2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？【解析】

设正方形ABCD的面积为a1，后继各正方形的面积依次为a2，a3，…，an，…，则a1＝25.由于第k＋1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，设{an}的前n项和为Sn.例2去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨．为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨)．【解析】

设从今年起每年生活垃圾的总量(单位：万吨)构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量(单位：万吨)构成数列{bn}，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn(单位：万吨)，则an＝20(1＋5%)n，bn＝6＋1.5n，Sn＝(a1－b1)＋(a2－b2)＋…＋(an－bn)＝(a1＋a2＋…＋an)－(b1＋b2＋…＋bn)＝(20×1.05＋20×1.052＋…＋20×1.05n)－(7.5＋9＋…＋6＋1.5n)当n＝5时，S5≈63.5，所以从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨．例3某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，….(1)写出一个递推公式，表示cn＋1与cn之间的关系；(2)将(1)中的递推公式表示成cn＋1－k＝r(cn－k)的形式，其中k，r为常数；(3)求S10＝c1＋c2＋c3＋…＋c10的值(精确到1)．【解析】

(1)由题意，得c1＝1200，并且cn＋1＝1.08cn－100.①(2)将cn＋1－k＝r(cn－k)化成cn＋1＝rcn－rk＋k.②所以(1)中的递推公式可以化为cn＋1－1250＝1.08(cn－1250)．(3)由(2)可知，数列{cn－1250}是以－50为首项，1.08为公比的等比数列，所以S10＝c1＋c2＋c3＋…＋c10≈1250×10－724.3＝11775.7≈11776.检测反馈1.某银行设立了教育助学低息贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息(利息按月以复利计算)．如果小新同学贷款10000元，一年还

清，假设月利率为0.25%，那么小新同学每月应还的钱约为(1.002512≈1.03)(

)A.833元 B.858元C.883元 D.902元13524B135242.某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验

室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列．已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1700万元，则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要(

)A.3233万元 B.4706万元C.4709万元 D.4808万元12345C123453.(多选)在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法中正确的是(

)A.此人第二天走了九十六里路

C.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D.此人后三天共走了四十二里路31245ACD312454.今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算(即本年利息计入次年本金生息)，借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是________元．(精确到整数)41235367209412355.“绿水青山就是金山银山”，为响应国家号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从某年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从该年起第n年绿洲面积为an万平方千

米，求：(1)第n年绿洲面积与上一年绿洲面积an－1的关系；(2){an}的通项公式；(3)至少经过几年，绿洲面