第07讲 空间向量的应用（七大题型）（学生版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义

第第页第07讲空间向量的应用【题型归纳目录】题型一：求平面的法向量题型二：利用向量研究平行问题题型三：利用向量研究垂直问题题型四：异面直线所成的角题型五：线面角题型六：二面角题型七：距离问题【知识点梳理】知识点一：直线的方向向量和平面的法向量1、直线的方向向量：点A是直线l上的一个点，SKIPIF1<0是直线l的方向向量，在直线l上取SKIPIF1<0，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，这就是空间直线的向量表达式.知识点诠释：(1)在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量．(2)在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算．2、平面的法向量定义：直线l⊥α，取直线l的方向向量SKIPIF1<0，我们称向量SKIPIF1<0为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量SKIPIF1<0，那么过点A，且以向量SKIPIF1<0为法向量的平面完全确定，可以表示为集合SKIPIF1<0.知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量．3、平面的法向量确定通常有两种方法：(1)几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；(2)几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：(i)设出平面的法向量为SKIPIF1<0；(ii)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(iii)根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程SKIPIF1<0；(iv)解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．(1)线线平行设直线SKIPIF1<0的方向向量分别是SKIPIF1<0，则要证明SKIPIF1<0，只需证明SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．(2)线面平行线面平行的判定方法一般有三种：①设直线SKIPIF1<0的方向向量是SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的向量是SKIPIF1<0，则要证明SKIPIF1<0，只需证明SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．(3)面面平行①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．②若能求出平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，则要证明SKIPIF1<0，只需证明SKIPIF1<0．知识点三、用向量方法判定空间的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．(1)线线垂直设直线SKIPIF1<0的方向向量分别为SKIPIF1<0，则要证明SKIPIF1<0，只需证明SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．(2)线面垂直①设直线SKIPIF1<0的方向向量是SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的向量是SKIPIF1<0，则要证明SKIPIF1<0，只需证明SKIPIF1<0．②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．(3)面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．②证明两个平面的法向量互相垂直．知识点四、用向量方法求空间角(1)求异面直线所成的角已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为SKIPIF1<0．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．(2)求直线和平面所成的角设直线SKIPIF1<0的方向向量为SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，直线与平面所成的角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的角为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0．(3)求二面角如图，若SKIPIF1<0于SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为二面角SKIPIF1<0的平面角，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0分别为面SKIPIF1<0的法向量，SKIPIF1<0则二面角的平面角SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即二面角SKIPIF1<0等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角．①当法向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角SKIPIF1<0的大小等于SKIPIF1<0的夹角SKIPIF1<0的大小．②当法向量SKIPIF1<0的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角SKIPIF1<0的大小等于SKIPIF1<0的夹角的补角SKIPIF1<0的大小．知识点五、用向量方法求空间距离1、求点面距的一般步骤：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量．2、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．3、点线距设直线l的单位方向向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则点P到直线l的距离SKIPIF1<0.【典例例题】题型一：求平面的法向量例1．如图，在棱长为3的正方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴，建立如图所示的空间直角坐标系．求平面SKIPIF1<0的一个法向量.

例2．在棱长为2的正方体SKIPIF1<0中，E，F分别为棱SKIPIF1<0的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面SKIPIF1<0的一个法向量；(2)平面SKIPIF1<0的一个法向量.例3．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝SKIPIF1<0，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面PCD的一个法向量.题型二：利用向量研究平行问题例4．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝6，E、F分别为A1D1、D1C1的中点.分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz.

(1)求点E、F的坐标；(2)求证：EF∥平面ACD1.例5．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为直角梯形，其中SKIPIF1<0.SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点.若SKIPIF1<0，证明：直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.例6．如图，在直四棱柱SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为等腰梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点．求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.例7．已知棱长为1的正方体SKIPIF1<0在空间直角坐标系中的位置如图所示，SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0的中点，求证：SKIPIF1<0.题型三：利用向量研究垂直问题例8．如图，已知正方形SKIPIF1<0和矩形SKIPIF1<0所在的平面互相垂直，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点.(1)求证：SKIPIF1<0.(2)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.例9．在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.例10．如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：平面DEA⊥平面ECA.例11．如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明AM⊥平面BMC.例12．如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.例13．如图，在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，建立适当的空间直角坐标系，证明：SKIPIF1<0．

题型四：异面直线所成的角例14．已知正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，则直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角的余弦值为(

)

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例15．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例16．如图所示，已知正方体SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是正方形SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中心，则SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例17．在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值是(

)A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0例18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5．(1)求证：AB⊥A1C；(2)在棱AA1上是否存在一点F，使得异面直线AC1与BF所成角为60°，若存在，求出AF长；若不存在，请说明理由．例19．如图：在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)已知点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，且直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0，求线段SKIPIF1<0的长.题型五：线面角例20．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0为直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．

(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．例21．如图，在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点E.(1)证明：直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求AD与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.例22．如图所示，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若E为PC的中点，求SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.例23．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面ABCD为矩形，SKIPIF1<0平面ABCD，M为PC中点．(1)求证：SKIPIF1<0平面MBD；(2)若SKIPIF1<0，求直线BM与平面AMD所成角的正弦值．例24．四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0.(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)设点SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.例25．在三棱柱SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，侧面SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E是SKIPIF1<0的中点.(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)点P在线段SKIPIF1<0上(异于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)，SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.题型六：二面角例26．如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点.

(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求锐二面角SKIPIF1<0的余弦值.例27．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点E在棱PB上．

(1)证明：平面SKIPIF1<0平面PBC；(2)当SKIPIF1<0时，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．例28．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且直线PB与CD所成角的大小为SKIPIF1<0．

(1)求BC的长；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值．

例29．如图，在斜三棱柱SKIPIF1<0中，侧面SKIPIF1<0与侧面SKIPIF1<0都是菱形，SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．例30．如图，四边形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．

(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦.例31．在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的余弦值．例32．如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，D为SKIPIF1<0中点，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的长；(2)求锐二面角SKIPIF1<0的余弦值．例33．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱BC的中点，AB=4，AA1=3.(1)证明：A1D⊥B1C1；(2)若E为棱AB上一点，且满足A1E⊥DE，求二面角A-A1E-C的正弦值例34．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点F为PB中点，点E在边BC上移动．(1)求证：SKIPIF1<0平面AFC；(2)若二面角SKIPIF1<0的大小为60°，则CE为何值时，三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0．例35．如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，侧面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M，N分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0上的点.(1)证明：SKIPIF1<0；(2)是否存在点D，使得平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值为SKIPIF1<0？如果不存在，请说明理由；如果存在，求线段SKIPIF1<0的长.例36．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面ABCD是直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面ABCD，点E为棱PC的中点，SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0平面PAD；(2)在棱PC上是否存在点F，使得二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0，若存在，求出SKIPIF1<0的值，若不存在，请说明理由．题型七：距离问题例37．如图，已知四棱锥SKIPIF1<0的底面是菱形，对角线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点．

(1)直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值；(2)点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离.例38．如图，设在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E，F依次为SKIPIF1<0的中点．

(1)求异面直线SKIPIF1<0、EF所成角的余弦值；(2)求点SKIPIF1<0到平面AEF的距离．例39．在棱长为4的正方体SKIPIF1<0中，点P在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．(1)求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值大小；(2)求点P到平面SKIPIF1<0的距离．例40．如图，正方体SKIPIF1<0的棱长为2，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．(1)求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．例41．如图①菱形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．沿着SKIPIF1<0将SKIPIF1<0折起到SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，如图②所示．(1)求异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角的余弦值；(2)求异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离．例42．已知点SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为___________.例43．已知点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点在直线l上，则点A到直线l的距离为______.例44．如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，N是棱AD的中点，M是棱CC1上的点，且CC1=3CM，则直线BM与B1N之间的距离为____.例45．正方体SKIPIF1<0中，棱长为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的距离为__________．【过关测试】一、单选题1．已知直线l的一个方向向量为SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0＝()A．﹣3 B．3 C．6 D．92.正方体SKIPIF1<0的棱长为1，则平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的距离为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．如图，已知正方体SKIPIF1<0的棱长为a，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知平面α的一个法向量SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在α内，则SKIPIF1<0到α的距离为(

)A．10 B．3C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．下列说法正确的是(

)A．若向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0共线，则向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在的直线平行；B．若向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在的直线是异面直线，则向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0一定不共线；C．若直线l的方向向量为SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，则lSKIPIF1<0；D．若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是空间三个向量，则对空间任一向量SKIPIF1<0，总存在唯一的有序实数组SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0.6．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，SKIPIF1<0=λSKIPIF1<0，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为SKIPIF1<0，则异面直线A1F与BE所成角θ的余弦值为(

)

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．在棱长为2的正方体SKIPIF1<0中，E，F分别为AD，BC的中点，SKIPIF1<0为线段EF上的一动点，则直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值的取值范围是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．如图，SKIPIF1<0平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．1二、多选题9．下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是(

)A．两条不重合直线SKIPIF1<0的方向向量分别是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．直线SKIPIF1<0的方向向量SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．两个不同的平面SKIPIF1<0的法向量分别是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．直线SKIPIF1<0的方向向量SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<010．下列命题是真命题的有(

)A．A，B，M，N是空间四点，若SKIPIF1<0不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面B．直线l的方向向量为SKIPIF1<0，直线m的方向向量SKIPIF1<0为，则l与m垂直C．直线l的方向向量为SKIPIF1<0，平面α的法向量为SKIPIF1<0，则l⊥αD．平面α经过三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面α的法向量，则u+t＝111．点P在正方体SKIPIF1<0的侧面SKIPIF1<0及其边界上运动，并保持SKIPIF1<0，若正方体边长为，则SKIPIF1<0的可能取值是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．如图，SKIPIF1<0为正方体，边长为1，下列说法正确的是(

)

A．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0C．异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0 D．异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0三、填空题13．在空间直角坐标系中，已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上，且SKIPIF1<0，则M的坐标是_____________.14．矩形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABCD，且SKIPIF1<0，则P到BC的距离为__________．15．如图，已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的余弦值为__________.16．已知空间直角坐标系SKIPIF1<0中，过点SKIPIF1<0且一个法向量为SKIPIF1<0的平面SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0且方向向量为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0用以上知识解决下面问题：已知平面SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0是两个平面SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交线，则直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为_______.四、解答题17．如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点.

(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求锐二面角SKIPIF1<0的余弦值.18．如图，四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF