2024年高中数学新高二暑期培优讲义第9讲 直线的交点坐标与距离公式（教师版）

第第页第9讲直线的交点坐标与距离公式【题型归纳目录】题型一：判断两直线的位置关系题型二：过两条直线交点的直线系方程题型三：交点问题题型四：对称问题题型五：两点间的距离题型六：点到直线的距离题型七：两平行直线间的距离题型八：距离问题的综合灵活运用题型九：线段和与差的最值问题【知识点梳理】知识点一：直线的交点求两直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组SKIPIF1<0的解即可．若有SKIPIF1<0，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有SKIPIF1<0，则方程组无解，此时两直线平行；若有SKIPIF1<0，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标．知识点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数．知识点二：过两条直线交点的直线系方程一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有SKIPIF1<0以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．过两直线的交点的直线系方程：经过两直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交点的直线方程为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是待定系数．在这个方程中，无论SKIPIF1<0取什么实数，都得不到SKIPIF1<0，因此它不能表示直线SKIPIF1<0．知识点三：两点间的距离公式两点SKIPIF1<0间的距离公式为SKIPIF1<0．知识点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握．知识点四：点到直线的距离公式点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0．知识点诠释：(1)点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为直线上所有的点到已知点SKIPIF1<0的距离中最小距离；(2)使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；(3)此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等．知识点五：两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0．知识点诠释：(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；(2)利用两条平行直线间的距离公式SKIPIF1<0时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的系数分别是相同的以后，才能使用此公式．【典例例题】题型一：判断两直线的位置关系例1．曲线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点的情况是(

)A．最多有两个交点 B．两个交点C．一个交点 D．无交点【答案】A【解析】联立两条直线方程得：SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，两边平方得：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．当SKIPIF1<0时，得到SKIPIF1<0，与曲线只有一个交点．所以曲线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的最多有两个交点．故选：A题型二：过两条直线交点的直线系方程例2．过两直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点和原点的直线方程为()A．3x-19y=0B．19x-3y=0C．19x+3y=0D．3x+19y=0【答案】D【解析】设过两直线交点的直线系方程为SKIPIF1<0，代入原点坐标，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故所求直线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：D.例3．经过直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】C【解析】设直线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.所以直线方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：C.题型三：交点问题例4．若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是(

)A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】联立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点位于第一象限，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：D例5．若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交且交点在第二象限内，则k的取值范围为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行或重合，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交，可得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则有：联立方程SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即交点坐标SKIPIF1<0，由题意可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；综上所述：k的取值范围为SKIPIF1<0.故选：C.题型四：对称问题例6．已知点A与点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，则点A的坐标为(

)A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设SKIPIF1<0，因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线SKIPIF1<0上且直线AB与直线SKIPIF1<0垂直，则SKIPIF1<0，即点A坐标为SKIPIF1<0.故选：C例7．已知直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，且直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点的坐标为SKIPIF1<0，由题意可知，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：A.题型五：两点间的距离例8．已知SKIPIF1<0，则BC边上的中线AM的长为__________.【答案】SKIPIF1<0【解析】设BC的中点为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.例9．在x轴上找一点Q，使点Q与A(5，12)间的距离为13，则Q点的坐标为________．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0/SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.题型六：点到直线的距离例10．已知动点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的最小值为_________.【答案】2【解析】因为SKIPIF1<0表示动点SKIPIF1<0到坐标原点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0到线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0.故答案为：2.例11．已知实数x，y满足SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的最小值为______．【答案】SKIPIF1<0【解析】方程SKIPIF1<0表示直线，SKIPIF1<0表示该直线上的点与定点SKIPIF1<0的距离，所以SKIPIF1<0的最小值是点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0例12．若点A在直线SKIPIF1<0上，且点A到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则点A的坐标为________________.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】依题意，设点A的坐标为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.题型七：两平行直线间的距离例13．若两条平行直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________．【答案】3【解析】因为直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0，因为两平行线间的距离为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：3题型八：距离问题的综合灵活运用例14．函数SKIPIF1<0的最小值是_____________.【答案】5【解析】因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0表示点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点的距离之和，即SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0轴上的点，则点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0题型九：线段和与差的最值问题例15．已知点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的周长的最小值为______．【答案】SKIPIF1<0【解析】设点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点为SKIPIF1<0，如图所示，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，由对称性可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点共线时，等号成立，因为点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的周长的最小值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.例16．已知SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上一点，点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的距离之和最小时点SKIPIF1<0的坐标为____________.【答案】SKIPIF1<0【解析】点SKIPIF1<0在直线的同侧，设点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0由题意，点SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0故点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0【过关测试】一、单选题1．已知直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0距离的最大值是(

)A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题意知，直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0，如图所示，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线段SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，那么必有SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合时取等号，从而SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0距离的最大值是SKIPIF1<0.故选：D.2．若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离为SKIPIF1<0，则a的值为(

)A．4 B．SKIPIF1<0 C．4或SKIPIF1<0 D．8或SKIPIF1<0【答案】C【解析】将直线SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0之间的距离SKIPIF1<0，根据题意可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以a的值为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：C3．若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点在第四象限，则m的取值范围是(

)A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由方程组SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即两直线的交点坐标为SKIPIF1<0，因为两直线的交点位于第四象限，可得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故选：D.4．两条平行直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0间的距离为(

)A．SKIPIF1<0 B．2 C．14 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由距离公式可知，所求距离为SKIPIF1<0.故选：D二、填空题5．直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行，则SKIPIF1<0__________.【答案】2【解析】法一：两直线平行，则SKIPIF1<0；法二：两直线平行，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,故答案为：SKIPIF1<0.6．将一张坐标纸折叠一次，使点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合，则与点SKIPIF1<0重合的点的坐标是__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】依题意，点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0关于折痕所在直线对称，则折痕所在直线的方程为SKIPIF1<0，因此点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0，所以与点SKIPIF1<0重合的点的坐标是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<07．已知点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，P为直线SKIPIF1<0上的动点，则SKIPIF1<0的最小值为__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意可得点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0的同侧，故设点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0.则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.当点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0交点时，即SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0最小，最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.三、解答题8．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0边上的高所在的直线的方程为SKIPIF1<0，角SKIPIF1<0的平分线所在直线的方程为SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0.(1)求点SKIPIF1<0的坐标;(2)求直线SKIPIF1<0的方程;(3)求点SKIPIF1<0的坐标.【解析】(1)直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0的交点是SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0.(2)因为直线SKIPIF1<0为BC边上的高，由垂直关系得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.(3)因为角SKIPIF1<0的平分线所在直线的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即点C的坐标为SKIPIF1<0.9．已知直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1